Impossible
Bonjour,
hier, avec des terminales L/ES.
durant le cours sur les suites géométriques et après quelques calculs illustratifs, je pose la question suivante :
"Simplifier $1^0+1^1+1^2+\ldots+1^{10}$"
Réponse de plusieurs élèves : "$\frac{1-1^{11}}{1-1}$ mais quand on rentre ça dans la calculatrice, elle nous dit que c'est impossible."
"Et donc ?"
"C'est impossible."
C'est pour ce genre de moment que j'aime ce métier.
hier, avec des terminales L/ES.
durant le cours sur les suites géométriques et après quelques calculs illustratifs, je pose la question suivante :
"Simplifier $1^0+1^1+1^2+\ldots+1^{10}$"
Réponse de plusieurs élèves : "$\frac{1-1^{11}}{1-1}$ mais quand on rentre ça dans la calculatrice, elle nous dit que c'est impossible."
"Et donc ?"
"C'est impossible."
C'est pour ce genre de moment que j'aime ce métier.
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Réponses
C'est une question perverse.
Que veut dire: ils ne connaissent pas leur formule? Formellement ils la connaissent semble-t-il. Ce qui fait défaut est qu'il y a un domaine de validité pour une formule. Ce qui passe au dessus de la tête de la plupart des gens.
une formule sans son domaine de validité, ça n'est pas des maths, mais de la magie ("abracadabra"). Donc ils ont appris un calcul, pas une formule.
Sauf si le prof n'a pas donné dans son cours les deux cas de la somme des termes d'une suite géométrique (ou oublié que la raison peut être 1. Sinon, les élèves n'ont aucune excuse d'avoir appris de travers leur cours !!
Cordialement.
NB : En dehors de l'enseignement, dans un club sportif par exemple, celui qui n'applique pas la règle se fait sanctionner immédiatement.
Quel est l'intérêt de demander directement les cas limite d'utilisation d'une formule?
Par ailleurs, $\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{1-x^{11}}{1-x}=11$ sauf erreur donc on peut donner un sens à la formule en question pour tout $x$ réel.
Par ailleurs, cette formule est fausse si x=1.
-- Schnoebelen, Philippe
Le jour où 100% de mes élèves éviteront mes pièges, je rends mon tablier...
Peut-être « donner l’écriture décimale » ?
Ils connaissent la formule puisque ils l’appliquent avec justesse à un symbole (le chiffre $1$) sans s’intéresser à ce que représente ce symbole (le nombre $1$).
Ils ne savent pas appliquer le théorème, ça oui, puisqu’ils en méprisent les hypothèses.
La réponse « c’est impossible » par contre, si elle est classique, étonne encore car à ce niveau on a forcément rencontré des cas similaires dans sa scolarité. Des cas où l’on réclamait la méfiance de la calculatrice.
Peut-être bien, mais je pense que c'est une question nécessaire. La formule pour la somme des termes d'une suite géométrique marche dès que $x\neq 1$, cela devrait donc éveiller la question : et pour $x=1$ ? Même si les élèves n'ont pas la curiosité ou les réflexes nécessaires pour se poser cette question il est important de leur montrer que, même si la formule ne marche pas, on peut très bien calculer ce type de somme pour $x=1$.
Le fait que les élèves veuillent utiliser la formule $(1-x^{n+1})/(1-x)$ n'a rien de surprenant, un peu de réflexe de Pavlov, un oubli des hypothèses et le tour est joué. S'ils sont tombés dans le piège une fois il y a plus de chance qu'ils l'évitent la prochaine fois. Là où c'est un peu plus triste (mais toujours pas surprenant) c'est qu'ils sortent leur calculatrice pour faire $(1+1^{11})/(1-1)$. Je pense cependant que même sans calculatrices tu aurais eu pour réponse "La formule donne $2/0$ donc c'est impossible".
En tout cas c'est une très bonne occasion pour instruire et faire réfléchir ceux qui le veulent.
Cette égalité peut être mise à contribution pour calculer une somme de puissances de $u$ lorsque $(1-u)$ est inversible.
Dans une démarche pédagogique, il peut être utile de poser des questions perverses.
Là, il faut se souvenir d'où vient la fameuse formule :
Soit $S_n=1+x+\ \cdots \ +x^{n-1}+x^n$
On multiplie les deux membres par $x$, obtenant
$xS_n=x+x^2+\ \cdots \ +x^n+x^{n+1}$
On soustrait membre à membre :
$(1-x)S_n = 1+ (x-x) +(x^2-x^2)+\ \cdots \ + (x^{n-1}-x^{n-1}) + (x^n-x^n)-x^{n+1}$
Si $x\not=1$ on peut alors diviser les deux membres par le non nul $1-x$.
Mais si $x=1$ ?
Alors la série n'est pas seulement géométrique mais aussi arithmétique et on peut additionner membre à membre au lieu de soustraire membre à membre, obtenant
$2S_n =2+2+ \ \cdots \ +2$
Combien de fois $2$, au juste ?
En quoi le fait que ce sont les ES/L cela les excuse? J'aurais compris la phrase "bon, on parle des BAC Pro ...". Mais là, non. Oui, ce ne sont pas les Cédric Villani, ni Nicole el Karoui. Ils ne sont les doués en maths et/ou ne sont pas intéressés par la carrière de mathématicien, physicien, ingénieur. Mais ils peuvent être bons, voire très bons en maths, si notre système fait un petit effort. Et pour nombreux, cela peut se relever utile par la suite.
Non, tu n'exagères pas. La raison est simple : on ne leur a pas appris comment factoriser. Ce n'est plus au programme depuis longtemps.
Evidemment ça demande plus de travail de la part de l'enseignant et les notes des élèves seront sans doutes moins bonnes, au moins au début.
Quant aux factorisations, on est censé en faire quand même pas mal en seconde... Enfin, chez nous, en tous cas !
Les miens ont répondu 0 à la même question (exercice corrigé ce matin).
hypothèse : ils ont "pensé" que $\frac{0}{0}=0$.
Supposons qu'il demande ensuite aux élàves de calculer 32 - 32 et qu'un pourcentage non nul se lance dans le calcul
32 - 32 = (3-3)(3+3) = 0 x 6 = 0 (avec naturellement des fautes de calcul).
Dirait-on alors toujours que mon hypothèse d'une détérioration des facultés cognitives est ridicule ?
GG
Ceci n'arrive pas parce que les élèves sont devenus bêtes mais parce que les pédagos d'un certain âge leur refusent ce qui les a nourris dans l'enfance : l'apprentissage systématique des 4 opérations dans les petites classes et la manipulation répétitive du nombre, sans aucun recours aux calculatrices (on remplace ça par des pseudo-activités d'éveil à deux balles au nom de la croyance en "la compréhension qui s'oppose à la technique").
Je signale aussi que quoi qu'on pense, "3^2-3^2=(3-3)(3+3)=0x6=0" est un raisonnement correct du début à la fin et se doit d'être récompensé à hauteur de ce que serait "3^2-3^2=0 car c'est la différence entre deux mêmes nombres"(sauf consigne explicite préalable), sous peine de véhiculer une idée FAUSSE ET GRAVEMENT DESINFORMANTE de ce qu'est un raisonnement mathématique.
Ce serait imtéressant de savoir ce qu'en pense S. Dehaene.
N.B. Je me place au niveau de la classe de première.
$x^{20-n}(1-x)^n$ avec $n$ variant de 1 à 19.
C'est mignon tout plein de m'expliquer comment on dérive $u^n.$
P.S. les racines sont évidentes si on connait la relation de Viete et on maitrise les fractions. Ce qui n'est pas les cas des élèves actuels (bien dommage).
J'étais au second degré. Bien sûr je connais les formules de dérivées, je sais les démontrer et je sais les utiliser ! Je ne suis pas né de la dernière pluie.
Je me plaçais dans la situation d'un cours de première, où figure la formule pour la dérivée de $u\times v,$ mais pas celle de $u^n.$ L'exemple que j'ai donné me semble alors être une bonne illustration. J'ai d'ailleurs prévu de le faire encore cette année en première ; je dirai un mot de $u^2,$ et si la classe est réceptive, je parlerai de $u^n.$
D'ailleurs comme l'exemple introductif, ils utilisent $f(x) = (3x+2)^{100}$ : possible de factoriser, mais trop long.
Une bonne chose, quoi que c'est à faire ne 3ième ou Seconde.
@rebellin, j'ai l'impression que tu te sens attaqué par moi. Je ne mets pas en doute tes capacités, bien au contraire. Contrairement à moi, tu est probablement un mathématicien. J'ai écris le message pour qu'il soit compréhensible et non pour vous apprendre comment dériver... C'est ma façon d'écrire. Rien de plus.
Pour le reste, je n'aime cet amour du programme pour le carré - la puissance maximale qu'on utilise dans les exemples et les exercices. Comme ils ont peu d'exercices d'entrainement (sauf si je me trompe), cet exemple risque d'installer un automatisme : si c'est au carré, j'utilise la formule du produit. Et je pense qu'il faut faire la dérivée de la fonction composée, peu importe si c'est $u^n$ ou $\ln u$. C'est-à-dire $u^n$ sera juste un des exemples.
Et Viète en seconde alors qu'on ne fait même pas (ou très peu) les polynômes du second degré...
Ce n'est pas normale, je trouve. En collège on traine les pieds, au lycée on court à la vitesse TGV.
Pour finir... J'aime bien ce passage dans le manuel de Vladimir Zorich (Mathematical Analysis I) après 40 pages d'introduction très rigoureuse avec toutes les axiomes (logique, ensemble, application, graphique de fonction, relation, corps, groupe, isomorphisme) :