Impossible

Bonjour Mtx,
C'est une question perverse.

@jacquot ; Pourquoi donc ?

Geo:

Que veut dire: ils ne connaissent pas leur formule? Formellement ils la connaissent semble-t-il. Ce qui fait défaut est qu'il y a un domaine de validité pour une formule. Ce qui passe au dessus de la tête de la plupart des gens.

Gérard:

Quel est l'intérêt de demander directement les cas limite d'utilisation d'une formule?

Par ailleurs, $\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{1-x^{11}}{1-x}=11$ sauf erreur donc on peut donner un sens à la formule en question pour tout $x$ réel.

Tant que cent pour-cent des élèves ne répondront pas instantanément 1+1+...+1=11 quoi qu'on leur disait cinq minutes plus tôt, on aura du souci à se faire pour l'enseignement des mathématiques, sauf à accréditer l'hypothèse chaque jour plus plausible d'un affaiblissement généralisé des facultés cognitives dû à l'ingestion forcée de pesticides, d'écrans dès l'âge de deux ans, et autres saloperies.

@kioups, ok, j'accepte ta critique de grand coeur ! Mais il me semble que " ils l'ont utilisé plusieurs fois, ils veulent le réutiliser. " c'est ce qu'on appelle un conditionnement. Et il me semble aussi qu'une des missions de l'enseignement, c'est précisément de rendre sensible à la différence entre réflexion et réflexe, c'est transmettre le goût du déconditionnement, de la liberté. Répéter, c'est une chose, comprendre en est une autre.

Je m’intéresse à la consigne « simplifier », je ne sais pas ce que cela veut dire.
Peut-être « donner l’écriture décimale » ?

Ils connaissent la formule puisque ils l’appliquent avec justesse à un symbole (le chiffre $1$) sans s’intéresser à ce que représente ce symbole (le nombre $1$).
Ils ne savent pas appliquer le théorème, ça oui, puisqu’ils en méprisent les hypothèses.

La réponse « c’est impossible » par contre, si elle est classique, étonne encore car à ce niveau on a forcément rencontré des cas similaires dans sa scolarité. Des cas où l’on réclamait la méfiance de la calculatrice.

Pour tout anneau $A$, tout $u\in A$ et tout $n\in \N$ on a l'égalité $1-u^n=(1-u)\left( \sum_{k=0}^{n-1} u^k \right )$.
Cette égalité peut être mise à contribution pour calculer une somme de puissances de $u$ lorsque $(1-u)$ est inversible.

Je suis d'accord avec @GG, c'est tout simplement inacceptable de ne pas savoir faire la somme des 1. Et ce n'est pas une question piège, c'est une question de bon sens niveau 5e.

kioups a écrit:

Les élèves viennent d'apprendre un outil (et pas une formule, on parle d'élèves T ES/L là), ils l'ont utilisé plusieurs fois, ils veulent le réutiliser.

En quoi le fait que ce sont les ES/L cela les excuse? J'aurais compris la phrase "bon, on parle des BAC Pro ...". Mais là, non. Oui, ce ne sont pas les Cédric Villani, ni Nicole el Karoui. Ils ne sont les doués en maths et/ou ne sont pas intéressés par la carrière de mathématicien, physicien, ingénieur. Mais ils peuvent être bons, voire très bons en maths, si notre système fait un petit effort. Et pour nombreux, cela peut se relever utile par la suite.

kioups a écrit:

Combien de fois mes élèves de TS utilisent le discriminant pour résoudre $x^2 - 3x=0$ ou $x^2 - 9=0$ (bon, j'exagère peut-être un poil avec ces calculs très simples... mais pas tant que ça) ?

Non, tu n'exagères pas. La raison est simple : on ne leur a pas appris comment factoriser. Ce n'est plus au programme depuis longtemps.

@Corto, oui. Mais que en partie la faute des profs. Parce que par des moments c'est le programme qui crée les réflexes au lieu d’inciter à la réflexion. Par exemple, à un moment le programme demandait de voir que des expressions "facile" : linéaire ou second degrés. On crée le réflexe qu'un nombre à la puissance est quelque chose de positive. Du coup $(-2)^3 = -2^3 = 8$.

Le programme peut être merdique, c'est le prof qui gère quand même !

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
GG
Ceci n'arrive pas parce que les élèves sont devenus bêtes mais parce que les pédagos d'un certain âge leur refusent ce qui les a nourris dans l'enfance : l'apprentissage systématique des 4 opérations dans les petites classes et la manipulation répétitive du nombre, sans aucun recours aux calculatrices (on remplace ça par des pseudo-activités d'éveil à deux balles au nom de la croyance en "la compréhension qui s'oppose à la technique").

Je signale aussi que quoi qu'on pense, "3^2-3^2=(3-3)(3+3)=0x6=0" est un raisonnement correct du début à la fin et se doit d'être récompensé à hauteur de ce que serait "3^2-3^2=0 car c'est la différence entre deux mêmes nombres"(sauf consigne explicite préalable), sous peine de véhiculer une idée FAUSSE ET GRAVEMENT DESINFORMANTE de ce qu'est un raisonnement mathématique.

Non, vous n'avez jamais vu un $(3+5)^2=3^2+2\times 3\times 5 +5^2$ ? Je le rencontrais souvent quand j'étais élève...

Eh ben, on faisait et on fait encore de la même façon...

@Badiste75. Je ne suis pas d'accord : si tu développes $f(x)=\left(4x^2-8x+3\right)^2$ avant de dériver, tu tombes sur un polynôme de degré 3 dont les racines sont non évidentes ; tandis qu'en l'écrivant $u\times v,$ tu factorises facilement la dérivée.

N.B. Je me place au niveau de la classe de première.

Tu as raison pour un cas comme celui ci en effet. C’est d’ailleurs très intéressant pédagogiquement et j’avoue que ça m’avait échappé. Cela peut donc s’avérer utile dans certains cas. Mais je pense tout de même qu’il ne faut pas systématiser cette méthode et ne l’appliquer que dans un cas intéressant comme celui que tu décris.

Badiste : mouais, ça dépend comment tu l'amènes la dérivée du produit de polynômes. Après, à part les cas proposés par rebellin et verdurin, ça n'a effectivement pas autant d'intérêt qu'avec les fonctions ln ou exp...

@rebellin, le message de mon message est autre. En plus je n'explique pas comment faire... J'ai juste dit qu'au lieu d'utiliser $u \times v$, on utilise la forme $u^n$ et on factorise. Je trouve que c'est plus rapide.
P.S. les racines sont évidentes si on connait la relation de Viete et on maitrise les fractions. Ce qui n'est pas les cas des élèves actuels (bien dommage).

Avec l'identité $\frac{x^n-y^n}{x-y}=\dots$ par exemple.

@kioups, voilà l'extrai du manuel de Kolmogorov pour la 1ière :

Si la fonction $f$ est dérivable au point $x_0$ et la fonction $g$ est dérivable au point $y_0 = f(x_0 )$, alors la fonctions composée $h(x) = g(f(x))$ est aussi dérivable au point $x_0$ et sa dérivé est :
\[h'(x_0 ) = g' (f(x_0 )) \cdot f'(x_0) \]

Preuve
Le but est d'examiner la fraction $\frac{\Delta h}{\Delta x}$ pour $\Delta x \neq 0$ et en déduire que $ \frac{\Delta h}{\Delta x} \to g'(y_0 ) \cdot f' (x_0 )$ si $\Delta x \to 0$. Définissons $\Delta y$ :
\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 ) = \Delta f \]
Alors $\Delta h = h(x_0 + \Delta x) - h(x_0 ) = g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0 )) = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0 ) = \Delta g$.

Nous avons $\Delta y \to 0$ et $\Delta x \to 0$ parce que $f$ est dérivable au point $x_0$. Continuons la preuve, valable uniquement pour les fonctions $f$ qui vérifient $\Delta f \neq 0$ au voisinage de $x_0 $. Alors $\frac{\Delta h}{\Delta x} = \frac{\Delta h}{\Delta y} \cdot \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta g}{\Delta y} \cdot \frac{\Delta f}{\Delta x} \to g'(y_0 ) \cdot f'(x_0 )$ si $\Delta x \to 0$ parce que $\frac{\Delta f}{\Delta x} \to f'(x_0 )$ si $\Delta x \to 0$ et $\frac{\Delta g}{\Delta y} \to g'(y_0 )$ si $\Delta y \to 0$, ce qui est vrai pour $\Delta x \to 0$. CQFD.

D'ailleurs comme l'exemple introductif, ils utilisent $f(x) = (3x+2)^{100}$ : possible de factoriser, mais trop long.

Les formules de Viète font leur retour dans les programmes de spécialité en 1ère.

Une bonne chose, quoi que c'est à faire ne 3ième ou Seconde.

@rebellin, j'ai l'impression que tu te sens attaqué par moi. Je ne mets pas en doute tes capacités, bien au contraire. Contrairement à moi, tu est probablement un mathématicien. J'ai écris le message pour qu'il soit compréhensible et non pour vous apprendre comment dériver... C'est ma façon d'écrire. Rien de plus.

Pour le reste, je n'aime cet amour du programme pour le carré - la puissance maximale qu'on utilise dans les exemples et les exercices. Comme ils ont peu d'exercices d'entrainement (sauf si je me trompe), cet exemple risque d'installer un automatisme : si c'est au carré, j'utilise la formule du produit. Et je pense qu'il faut faire la dérivée de la fonction composée, peu importe si c'est $u^n$ ou $\ln u$. C'est-à-dire $u^n$ sera juste un des exemples.

@kioups, il n'y a pas de notion de fonction composée $g \circ f$ dans le manuel bien que c'est au programme maintenant. A mon époque il n'y avait pas non plus de chapitre sur les limites, mais le manuel en parlait pour prouver certaines choses. Comme dans la démonstration ci-dessus : on utilise le bon terme, mais on ne fait pas toute la théorie, ni l'écriture mathématique appropriée. On fonctionne sur l’intuition et du bon sens. Bien sur, ce n'est possible que si on comprend ce que c'est une fonction. Il faut faire attention pour ne pas dire des choses fausses. Bref, on peut mentionner les choses qu'ils verront plus tard ou jamais sans sortir du programme. Par exemple, je savais depuis la Seconde qu'il existe des nombres complexes qui permettent de résoudre le trinôme du second degré quand le discriminant est négatif. On savait qu'il existe un nombre imaginaire, que si on utilise une axiomatique différente d'axiomatique d'Euclide, les droites parallèles peuvent ... se croiser! Et ainsi de suite.

Et Viète en seconde alors qu'on ne fait même pas (ou très peu) les polynômes du second degré...

Ce n'est pas normale, je trouve. En collège on traine les pieds, au lycée on court à la vitesse TGV.

Pour finir... J'aime bien ce passage dans le manuel de Vladimir Zorich (Mathematical Analysis I) après 40 pages d'introduction très rigoureuse avec toutes les axiomes (logique, ensemble, application, graphique de fonction, relation, corps, groupe, isomorphisme) :

This definition (on parle des nombres réels $\mathbb{R}$) does not formally require any preliminary knowledge about numbers, and from it "by turning on mathematical thought" we should, again formally, obtain as theorems all the other properties of real numbers. On the subject of this axiomatic formalism we would like to make a few informal remarks. Imagine that you had not passed from the stage of adding apples, cubes, or other named quantities to the addition of abstract natural numbers; you had not studied the measurement of line segments and arrived at rational numbers; you did not know the great discovery of the ancients that the diagonal of a square is incommensurable with its side, so that its length cannot be a rational number, that is, that irrational numbers are needed; you did not have the concept of "greater" or "smaller" that arises in the process of measurement; you did not picture order to yourself using, for example, the real line. If all these preliminaries had not occurred, the axioms just listed would not be perceived as the outcome of intellectual progress; they would seem at the very least a strange, and in any case arbitrary, fruit of the imagination.