Règle des signes

La règle des signes est régulièrement abordée sur le forum, tu peux regarder dans le moteur de recherche.

Qu’appelle-t-on « la » règle des signes ?

Pour additionner deux relatifs ?
Pour simplifier l’écriture ((+a)+(-b) par exemple) ?
Pour multiplier deux relatifs ?

La question originale relève du produit de deux relatifs.

Il me semble que le plus difficile pour les élèves est de calculer une somme de relatifs.
Même $-2+3$ donne toutes les surprises.

1) une question : je ne comprends pas l’expression « pointer dans le sens horaire ».
Je suis d’accord pour utiliser un langage courant dans ce cadre, bien entendu.
Edit : je viens de comprendre !!! en fait non, toujours pas, presque...

2) le « problème » est le cas des deux nombres négatifs.
Pour les autres : $7\times (-5)$ c’est tout simplement $-5-5-5-5-5-5-5$.
Est-ce que revenir à ces fondamentaux peut aider ?

Démontrer la règle des signes n'est pas au programme du collège.
Je crois même qu'il est écrit texto dans le programme de ne pas essayer de l'aborder d'une façon ou d'une autre, à vérifier.

Perso je fais un truc bateau en partant de la multiplication apprise en primaire (de quoi d'autre peut-on partir ?), pour essayer de leur faire "pressentir" la règle.

a) 3 fois 7 c'est 7 + 7 + 7
de la même façon on pose que 3 fois (-7) c'est (-7) + (-7) + (-7).

b) Puis, de la même façon que 7 fois 3 c'est pareil que trois fois 7, on pose que (-3) fois 7 c'est pareil que 7 fois (-3).

c) pour multiplier deux nombres négatifs, on calcule les 6 premières lignes de :
5 fois -3
4 fois -3
3 fois -3
2 fois -3
1 fois -3
0 fois -3
-1 fois -3
-2 fois -3
-3 fois -3
-4 fois -3
..etc

on remarque qu'on passe d'un ligne à l'autre en ajoutant 3, procédé qu'on poursuit pour les 4 lignes suivantes
"d'où" la règle.

Perso, je fais remplir une table de Pythagore (multiplication) incomplète mais qui déborde du côté des négatifs en bas et à gauche.

Quand j'étais petit on nous a jamais démontré la règle des signes. D'ailleurs au collège je l'aborde comme Nicolas.

Il y a quelque chose dont je n'avais pas tellement conscience avant de fréquenter un peu cet excellent forum, c'est qu'il y a un carence pédagogique, encouragée par le délabrement des programmes, tant et bien que l'on pourrait même parler de fracture pédagogique.
Il y a d'un côté une infime minorité d'une classe d'âge parvenant à avoir un bon niveau en maths (Christophe indique qu'il a lu 0,4% sur un comparatif international, il n'a pas cité la source mais je vais bien le croire, car l'enquête rétrospective de la Depp 1987-2017 indique que le nombre de très bons est passé de 10% à 1% d'une classe d’age en sortant du primaire).
En se basant sur 750 000 élèves en ordre de grandeur, selon donne de l'ordre de 3 000 à 7 500 bon élèves susceptibles de suivre avec profit un cursus de maths ou à forte "utilisation" de maths (ingénieurs, physiciens etc.).

On pourra ne pas être d'accord, mais en ce qui me concerne je suis convaincu que le primo apprentissage à l'école primaire est fondamental (enfin, c'est pas moi qui le dit c'est Lafforgue suivi de Connes, Serre etc. et je suis convaincu de ce point de vue). Tout comme l'apprentissage de la lecture-écriture en élémentaire est capitale pour la suite des études. En tout cas cette urgence a fait l'objet d'une attention dans les zones éducatives et sociales sinistrées, c'est déjà mieux que rien.

Si tout cela est défaillant et qu'on cherche à un moment ou un autre à introduire des concepts plus avancées et de la "rigueur", c'est évident que ça va coincer, d'autant plus que d'après certains le niveau des profs a lui-même baissé au point qu'il n'est plus possible d'avoir des enseignements corrects de façon homogène sur tout le territoire, et que cela se reflètent sur la qualité des manuels (où en est la mise en œuvre de la proposition 20 de Vilani Torossian d'ailleurs?).

D'un autre côté, les mathématiciens compétents ne parviennent pas à des formulations abordables pour le niveau secondaire (comme j'ai pu le voir dans ce fil au d'autres avec des préoccupations identiques), et ceux qui enseignent à ce niveau sont trop peu nombreux ou accaparés par d'autres préoccupations.

Donc le merdier est plus conséquent que ce que je pensais au départ, et sans doute plus inextricable malgré une prise de conscience au niveau politique.

Par contre, et c'est du à la construction historique des lieux d'enseignement "d'élite", le crash n'aura pas de conséquences sur la pointe de la seringue (Ens, un peu les ens secondaires et l'X, et peut-être accessoirement Jussieu, Orsay etc).

Tout ça et très lourdingue et un brin désespérant.

@xax, ci-joint un DM pour les 5e. On n'est pas prêt à augmenter le niveau en maths. 8-)

Il y a d'un côté une infime minorité d'une classe d'âge parvenant à avoir un bon niveau en maths (Christophe indique qu'il a lu 0,4% sur un comparatif international, il n'a pas cité la source mais je vais bien le croire, car l'enquête rétrospective de la Depp 1987-2017 indique que le nombre de très bons est passé de 10% à 1% d'une classe d’age en sortant du primaire).

A mon avis c'est TIMSS. Pour les CM1, que 2% d'élèves qui ont un niveau avancé contre 50% au Singapour et 20% en Russie. Pour le TIMSS advanced (TS) : 1% ont un niveau avancé.

xax a écrit:

La difficulté en fait c'est d'adapter cela à un niveau collège winking smiley

Bah on rajoute des couleurs fluorescentes et des dessins de poney et ça devrait être bon non?
Plus sérieusement: en fait tu touches un problème inhérent aux maths: un discours mathématique ne peut s'adresser qu'à un public restreint (c'est-à-dire qui est en pleine possession des prérequis servant à sa lecture-vocabulaire de base de la théorie des ensembles et maniement correct des lettres dans l'exemple en lien; cela explique pourquoi la vulgarisation des mathématiques est un exercice ingrat au résultat décevant: songer à la vidéo d'Etienne Ghys postée récemment sur le forum. Et en même temps le public ne doit pas être trop avancé sinon il s'ennuie ou pense qu'on se moque de lui).

Le texte en lien ci-dessus s'adresse à un public adulte (les enfants sont loin d'être les seuls à ne pas comprendre au passage et j'ai l'impression que certaines demandes du forum pédagogie sont des appels au secours déguisés) et contient une démonstration complète de la "règle des signes". Le message est que celle-ci est conséquence forcée de la préservation des propriétés algébriques de base des opérations lorsqu'on les étend aux nombres relatifs (commutativité et associativité des opérations et distributivité de l'une par rapport à l'autre, structure de groupe pour l'addition).
Je mets au défi quiconque (dans l'intérêt du forum et pour satisfaire la demande du posteur original) de fournir un argumentaire plus court et dans lequel aucune information n'est masquée
(ex: suppression des quantifications "pour faire plus pédagogique").

La règle des signes est simplement moins simple qu'il n'y paraît et reste soit un truc prouvé en bonne et due forme, soit un "décret divin" (pour reprendre une expression du fil mis en lien).

Dans ce genre de discussion, parfois la demande n’est qu’une demande « d’illustration » sur des exemples.
J’entends cela dans le sens que certains qui « voient que ça marche » sur des exemples simples sont satisfaits et convaincus que c’est un « bon décret ».

C’est désastreux mathématiquement, bien entendu.

Mais je crois que c’est ce qui fait mal aux maths. C’est le point essentiel de beaucoup de discussions.
Des profs (« les ? ») s’y laissent prendre parfois. En effet, les démonstrations sont rejetées par incompréhension ou plus généralement par flemme de tenter même de les comprendre, de se concentrer, de faire l’effort et avec la mention « dès qu’on met des lettres, je n’y comprends plus rien ».

Fichtre !

Haha.
C’est tout élève du secondaire (sauf 1% - rhetoriquement) et tout individu lambda qui « raisonne » comme ça.

Cela dit il est bien connu que plus personne n’enseigne au collège (:P).

Le format de preuves, même en 6e peut se faire.
Celle-ci (règle des signes) est longue.

D’autres le sont moins.

Par exemple, toutes les propriétés classiques (les théorèmes) sur les fractions sont faisables.

De là à ce que parfois les élèves ne les comprennent pas, c’est une évidence. Mais est-ce si grave ?

Les étudiants de L1 d’il y a 20 ans comprenaient-ils tous les preuves exposées en TD ?
Non !
Seuls ceux qui s’y intéressaient et qui bossaient chez eux pouvaient toutes les encaisser.

Pardon pour ces lapalissades.

Et de toute façon, il suffit de remplacer les $2$ et $4$ ci-dessus par des lettres pour obtenir le raisonnement général. Mais sans aptitude au calcul, on ne peut de toute façon pas comprendre ça, il ne peut y avoir de substitut à ce savoir-faire.

Tiens une question : a-t-on besoin de retrancher ?
L’unicité de l’opposé n’est-elle pas déjà acquise avant tout ça ?

En effet c’est amusant d’utiliser des chiffres comme des lettres.
Un peu « mieux » : avec $\pi$ c’est encore plus convaincant.

Bon, je me sens obligé d'intervenir puisque l'on m'a introduit subrepticement.
J'avais posé cette question effectivement vers Noël dernier. Et il me semblait que la question était close.
La conclusion que j'ai tiré du fil de naguère est que la question de démonstration de la règle des signes est une question mal posée. La vraie question est : dans quel cadre axiomatique peut-on démontrer la règle des signes ? Trois situations ont été présentées dans ce fil. Foys présente l'une de ces situations en l'affaiblissant légèrement, qui est celle de prendre Z comme un anneau.
Mon ami physicien qui est retraité du CNRS a tout à fait le droit de ne pas être bourbakiste et de pencher pour les mathématiques d'Arnold. Ce qui est sûr, c'est qu'en tant que physicien mathématicien, il a certainement démontré beaucoup plus de théorèmes que la quasi-totalité des gens de ce forum...

ignatus.

Je lis en parallèle le message qui précède.
Je n'ai pas de temps à perdre à polémiquer avec des gens qui passent des heures à taper des textes pour impressionner des gens, alors qu'il suffirait de dire : on prend pour axiome de départ que Z est un anneau.

J'ai dit que la question était close, au sens qu'elle a été "tuée". Elle n'a plus lieu d'être, et ceux qui reposeront cette question pourront être renvoyés à ce fil que j'avais ouvert qui donne une réponse définitive qui, soit dit en passant, n'avait jamais été donné auparavant.
Prendre pour point de départ que Z est un anneau n'est pas La réponse, mais une réponse. Qu'un formaliste puisse avoir autant de mal à le comprendre me semble tout à fait surprenant.

Par contre, ce que je ne supporte pas, c'est cette attaque contre mon ami physicien qui a effectivement démontré des théorèmes très techniques, notamment en ce qui concerne les systèmes dynamiques et le contrôle du chaos.
Qu'il veuille une preuve "géométrique" de la règle des signes, c'est son droit. Qu'on puisse l'accuser de ne pas comprendre une preuve qui prend pour axiome que Z est un anneau, ou plus pernicieusement, que l'on insinue que je suis un menteur, je trouve ça particulièrement navrant.

Je remarque en passant que les mêmes qui ont été incapables de me répondre dans un fil portant sur la notion de variables, aboient particulièrement pour des futilités.
Je vous laisse aboyer, la caravane passe.

Ignatus.

@ignatus il ne faut pas te formaliser, Foys est juste parfois un peu sec :-) Mais bon, sa démo complète sur la règle des signes et son exemple pour le niveau collège sont quand même intéressants.

Bonsoir,

Je prends un risque en intervenant ici car je ne connais rien à ce qui se fait en collège. Il me semblerait assez naturel, même sans parler de commutativité ni distributivité, de présenter pour $n,m$ entiers naturels :

• $n\times (-m)$ comme une addition répétée $n$ fois de $(-m)$ (en partant de $0$) ;
• $(-n) \times m$ comme une soustraction répétée $n$ fois de $m$ (en partant de $0$) ;

Dans chaque cas, on a « clairement » l'opposé de $n \times m$. De plus, ceci s'étend sans problème à $m$ entier relatif.
Reste à voir que $-(-m) = m$, ce qui est assez clair par définition de l'opposé puisque $m + (-m) = 0$.

Mais j'ai peut-être mal compris le problème.

Beaucoup d'élèves ont déjà du mal à calculer des 2-8 ou -2-8 donc ce n'est pas étonnant qu'ils soient perdus quand on mélange tout avec des multiplications. -2-8? Ben ça fait 10, - et - ça fait + non? Je comprends vraiment rien...

@xax, si du tac au tac tu avais demandé à ces parents s'ils pensaient alors que ce serait très bien que tout le monde puisse avoir un diplôme de médecin ou de dentiste, que penses-tu qu'ils t'auraient répondu ?

xax, ça fait un moment que la règle des signes est au programme de quatrième.

xax a écrit:

"il faudrait que les gens arrêtent de brandir Arnold" surtout que le différent ne se situait absolument pas sur la rigueur ou le formalisme mais sur le parti pris français de séparer physique et maths.

Cette séparation s'est faite d'elle-même et n'est pas propre aux mathématiques françaises, essentiellement pour deux raisons:
-D'abord parce que l'explosion de la quantité de connaissances de chaque domaine oblige les gens à se spécialiser.
-Ensuite parce que les mathématiques étudient les conséquences forcées d'axiomes décidés par l'homme alors que la physique étudie une nature dont les fondements nous sont imposés et en fait irrémédiablement inconnus (d'où des résultats jamais démontrés mais progressivement et imparfaitement validés par la démarche expérimentale). Personne au monde ne sait ce qu'est un électron etc.

@nicolas.patrois merci, j'ai prévu une lecture attentive des programmes de collège / lycée bientôt :-)

Xax a écrit:

"Personne au monde ne sait ce qu'est un électron" bien sûr que si justement, c'est une solution (entre autres) de l'équation de Dirac, ..

Tu ne parles pas de la même chose que Foys. Il parle d'un objet physique, utilisé dans des raisonnements non mathématisés. Tu parles d'une entité mathématique (donc complétement abstraite) qui peut se résumer à quelques symboles sur un papier. Et qui dépend d'une théorie purement mathématique, même si on peut faire des correspondances avec certaines expérimentations.
Il y a quelques siècles, tu aurais pu défendre de la même façon l'existence du phlogistique.

Des physiciens éminents s'interrogent sur la réalité physique de l'électron. J'ai même lu l'un d'entre eux, à l'époque au Collège de France, qui écrivait qu'il penchait plutôt sur un artéfact des théories physiques.

Cordialement.