Discriminant
Bonjour,
Je me demande à quoi sert le discriminant, pourquoi il semble incontournable dans l'enseignement de première (en France. Ailleurs je ne sais pas).
Pour les élèves, "on fait delta", "on applique les formules", "signe de a à l'extérieur".
Et Mathémagix, notre Harry Potter à nous, sort sa baguette magique.
Le sens est largement perdu pour beaucoup.
Je propose de toujours procéder ainsi :
ax^2+bx+c = a (x^2 + b/a x + c/a) = a [ (x - b/(2a))^2 - (b^2 - 4ac) / (4a^2) ]
et on discute :
- soit tout est de signe constant, au sens strict (b^2-4ac <0)
- soit c'est déja factorisé (b^2-4ac = 0)
- soit, avec A^2-B^2, on factorise (b^2-4ac >0), puis si on a besoin du signe, on dresse un petit tableau de signes.
Adieu Mathémagix, les recettes et les oublis, on remet du sens et un peu de pratique de la factorisation et de l'étude de signe.
On perd du temps ? Peut-être un tout petit peu, ok.
Je ne demande qu'à être contredit.
Mais ce dogme de l'enseignement actuel m'énerve. Alors expliquez-moi svp ce qu'on y gagne.
Salut à tous.
Je me demande à quoi sert le discriminant, pourquoi il semble incontournable dans l'enseignement de première (en France. Ailleurs je ne sais pas).
Pour les élèves, "on fait delta", "on applique les formules", "signe de a à l'extérieur".
Et Mathémagix, notre Harry Potter à nous, sort sa baguette magique.
Le sens est largement perdu pour beaucoup.
Je propose de toujours procéder ainsi :
ax^2+bx+c = a (x^2 + b/a x + c/a) = a [ (x - b/(2a))^2 - (b^2 - 4ac) / (4a^2) ]
et on discute :
- soit tout est de signe constant, au sens strict (b^2-4ac <0)
- soit c'est déja factorisé (b^2-4ac = 0)
- soit, avec A^2-B^2, on factorise (b^2-4ac >0), puis si on a besoin du signe, on dresse un petit tableau de signes.
Adieu Mathémagix, les recettes et les oublis, on remet du sens et un peu de pratique de la factorisation et de l'étude de signe.
On perd du temps ? Peut-être un tout petit peu, ok.
Je ne demande qu'à être contredit.
Mais ce dogme de l'enseignement actuel m'énerve. Alors expliquez-moi svp ce qu'on y gagne.
Salut à tous.
Réponses
-
Bonjour,
Je m’étonne de ton message.
Je t’ai suivi....puis tu parles de discuter de $b^2-4ac$.
Ainsi, je ne comprends pas la plainte originale.
C’est $b^2-4ac$ que les gens appellent « discriminant ».
Ou alors je n’ai pas compris.
Veux-tu exiger de refaire la démonstration à chaque fois ?
Ce serait plus clair, dit comme ça...si c’est l’objet de ton message.
Cordialement
Dom -
Le but de faire la démonstration d'un théorème et d'appeler ça un théorème c'est justement de se simplifier la tâche en n'ayant pas à refaire la démonstration à chaque fois, pour chaque cas particulier. Une fois le théorème de convergence dominée démontré on n'a plus besoin de redémontrer la convergence "à la main" à chaque fois, il suffit de vérifier les hypothèses dudit théorème. Ici tu proposes que les élèves refassent la démonstration en entier à chaque fois, cela leur permettrait sans doute de mieux se souvenir d'où sortent ces formules, mais à part ça c'est quand même une perte de temps et assez éloigné de la pratique des maths qu'ils rencontreront pour certain dans le supérieur.
Ceci dit je comprends ton point de vue, ça m'embête d'avoir des étudiants qui se souviennent que la limite en $+\infty$ d'une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient des deux termes dominants, mais qui ne savent pas le démontrer. Je n'ai pas cependant envie de leur faire réécrire la factorisation par $x^m$ et $x^n$ à chaque fois qu'ils doivent calculer la limite d'une fraction rationnelle. -
Oui, je suis pour refaire la démonstration à chaque fois.
En fait je me suis mal exprimé : en pratique, on n'a pas à discuter, on agit en fonction de ce que l'on obtient :
- la somme d'un carré et d'un nombre positif ? le signe est clair, la possibilité que la quantité s'annule s'évanouit
- un carré ? le signe est clair, la valeur d'annulation aussi
- une différence entre un carré et un nombre positif ? identité remarquable.
Le fond de ma question :
est-il utile de faire apprendre par coeur aux élèves des formules magiques, à mon avis au risque d'une perte du sens de ce qu'il font ? -
Disons que plus rien n’a de sens aujourd’hui. Quelle qu’en soit la notion.
Même pour une simple longueur de segment tu pourras trouver quelqu’un de moyen qui trouve « -7,5 cm » et qui justifiera par « c’est ce qui était marqué sur ma calculatrice ».
Là, les lycéens finiraient par apprendre des lignes de démonstration, sans les comprendre.
Autrement dit on n’aura que déplacé le problème.
« Apprends $bé-deux-moins-catra-cé$ » est finalement le moins pire, peut-être.
Enfin, je crois... -
Exercice typique de ES:
Montrer que f'(x)=(x-1)(x+2)/(blabla)^2 (avec f définie sur [0;100] par exemple)
Que fait l'élève en général? je développe le numerateur, chouette du second degré, je calcule le discrimant, je fais mon tableau de signe sur R et ensuite je "coupe" sur mon intervalle... -
Vous avez raison.
Je suis calmé (surtout pas le tir de bazooka de Dom).
Le problème $\in\R$,
la situation $\in\C$,
et l'amélioration $\frac10$.
Je suis très curieux de voir la situation après un an de "première spécialité math" avec un tel contenu en 4 heures hebdo. -
Jp nl
Je comprends parfaitement ta plainte originale )
Je modifie mon "je calcule le discrimant" par "je rentre dans ma calculatrice les valeurs de a,b et c et elle va me donner la valeur du discriminant " -
Version longue :
Vérifier si $a \neq 0$
Si oui, passer $c$ à droite et multiplier des deux côtés par $4a$ :
$4a^2x^2+4abx = -4ac$
Pour compléter le carré à gauche, ajouter $b^2$ des deux côtés :
$(2ax+b)^2 = b^2-4ac$
ETC.
Version courte :
Vérifier si $a \neq 0$
Si oui, regarder le signe de $\Delta$
Si le signe est négatif, cesser les frais.
Si...
Dans la version courte, obligation de commenter $a$ et $\Delta$
Si le premier membre n'a que deux termes, interdiction d'utiliser la formule.
Amen -
Oui, biely, à condition de savoir trouver ces valeurs $a$, $b$ et $c$, avec leurs bons signes.
Mieux : à condition de ne pas chercher $a$, $b$ et $c$ pour une équation qui ne relève pas de ce cours.
Autrement dit : si un gamin rentre les bons $a$, $b$ et $c$, c’est déjà 15/20... -
Je ne sais pas si le discriminant est une lubie, mais le terme a été inventé en 1851 par J.J. Sylvester, un anglais, semblait être déjà utilisé par les Babyloniens il y a quelques millénaires et plus certainement par les Italiens au XVème siècle. Voilà, voilà...
-
...Et bien sûr, tout le monde sait que Sylvester, jamais à court d'imagination pour trouver un mot nouveau (autre exemple, les "dénumérants"), l'a baptisé ainsi car il "discrimine" les racines.
-
Ça pourrait s’appeler « Le caractérisant » aussi.
-
Effectivement,
on pourrait se passer du discriminant; et des identités remarquables; et de la formule du binôme; et du théorème de Pythagore.
Sérieusement, ce n'est pas parce que certains élèves agissent bêtement qu'il faut arrêter d'enseigner les techniques mathématiques. Ce qui est gênant c'est qu'on a supprimé (et souvent interdit) les équations paramétriques en secondaire, qui amenaient à mieux maîtriser ces techniques.
Cordialement. -
Le discriminant permet de voir si l'on peut discriminer (séparer) les racines.
Il est nul si c'est impossible; et pas seulement pour le deuxième degré.
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