Partition de l'univers

bulledesavon
bulledesavon
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour,

Je trouve dans beaucoup de cours de première EDS, qu'une partition de l'univers est un ensemble d'évènements incompatibles deux à deux et dont la réunion est l'univers.

Ne doit-on pas rajouter "de probabilités non nulles" ?

Dans une partition aucun des évènements ne doit être de probabilité nulle sinon au pourrait dire que $\{\emptyset,\Omega\}$ est une partition de $\Omega$.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    On requiert en général d'une partition que ses éléments soient non vide. Par contre rien ne nécessite que les événements qui la constitue soient de probabilité non nulle.
  • Corto
    Corto
    Au contraire, c'est assez pratique de pouvoir avoir des éléments de la partition qui sont de mesure nulle. Exemple tout simple : on considère une suite infinie $(X_n)_{n\geq 1 }$ de variables aléatoires de Bernoulli i.i.d. et $T$ la variable aléatoire qui représente le nombre de lancé effectué pour obtenir le premier pile. On a alors
    \[
    \mathbb E(T) = (+\infty)\cdot \mathbb P(T= +\infty)+\sum_{k=1}^\infty k \mathbb P(T=k).
    \]
    On a bien intégré par rapport à la partition $\Omega = \{T=+\infty\} \cup \left(\bigcup_{k=1}^\infty \{T=k\}\right)$ même si $\mathbb P (T= +\infty)=0$.
  • bulledesavon
    bulledesavon
    OK donc il faut écrire "Une partition de l'univers $\Omega$ est un ensemble d'évènements non vides, incompatibles deux à deux et dont la réunion est $\Omega$".
  • aléa
    aléa
    On écrit ce qu'on veut. C'est une question de choix de conventions.
    Il semble que, hors probas, la tradition est plutôt d'exclure les trucs vides.
    Mais dans un contexte probabiliste, exclure les trucs vides (ou de mesure nulle) a plus d'inconvénients que d'avantages.
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Je souhaiterais savoir ce que la communauté des "probabilistes" (personnes qui travaillent dans le domaine des probabilités) ont comme définition d'une partition. Ca ne m'intéresse pas d'inventer ma définition ou de prendre une définition "hors probas".
  • Sato
    Sato
    Du côté de l'algèbre, il n'y a qu'un seul ensemble vide... Autoriser les ensembles vides dans une partition revient à n'en autoriser qu'un seul. Il est bien commode de l'exclure pour avoir l'équivalence entre partition et relation d'équivalence.

  • Dom
    Dom
    Je ne suis pas du tout spécialiste, chacun le sait.
    Autoriser l’ensemble vide dans ce contexte, n’est-ce pas un peu comme autoriser le nombre $1$ dans une décomposition en facteurs d’entiers « les plus petits possibles » (par pitié, je sais que $1$ n’est pas premier ! et c’est inutile de lancer une digression à ce sujet.) ?

    Je ne parle pas des ensembles de mesures nulles mais bien uniquement de l’ensemble vide.
    Ceci dans l’idée de « rendre les partitions uniques à l’ordre des ensembles près » avec toutes les précautions d’usage (et qui ne me viennent pas à l’esprit) dans cette partie entre guillemets.

    Ça ne répond pas à la question « qu’est-il le plus communément admis comme définition de partition quant à l’ensemble vide ? », j’en conviens.
  • aléa
    aléa
    @Dom: j'ai déjà répondu à cette question: le plus souvent, on interdit le vide.

    Ca ne m'empêche pas de penser qu"il vaut mieux, à priori, ne pas exclure le vide, quitte à préciser si on a besoin de l'exclure.
    Ca me semble plus économique que d'inventer un nouveau mot pour la situation où on n'exclut pas le vide.

    Un argument très simple: si les $(A_i)_{i\in I}$ forment une partition de $\Omega$ et les $(B_j)_{j\in J}$ aussi, alors
    les $(A_i\cap B_j)_{(i,j)\in I\times J}$ forment encore une partition de $\Omega$ ... sauf si on a pris une définition restrictive ne voulant pas de l'ensemble vide.
  • Foys
    Foys
    J'ai l'impression que l'exclusion de l'ensemble vide surcharge les énoncés sans gain notable(*).
    En proba on a besoin d'hypothèse technique du genre "une partition de l'univers est une famille $(A_p)_{p \in D}$ de parties mesurables d'un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal F,\mathbf P)$" où:
    -$D$ est un sous-ensemble de $\N$
    -Pour tous $p,q \in D$ distincts, $A_p \cap A_q = \emptyset$
    -$\bigcup_{p\in D} A_p = \Omega$.

    (*) Par exemple: avec la définition ci-dessus, l'image réciproque d'une partition (définition intuitive immédiate) par une application mesurable quelconque est encore une partition.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Foys
    Les notations sont celles de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1867968,1868614#msg-1868614

    (**)Soit $Q:\mathcal F^2 \to [0,1]$ une application. Il y a équivalence, pour tous $A,B\in \mathcal F^2$, entre
    (i) $Q(A,B)\mathbf P(B) = \mathbf P(A \cap B)$
    (ii) si $\mathbf P(B)\neq 0$ alors $Q(A,B)=\frac{\mathbf P(A\cap B)}{\mathbf P(B)}$

    Lorsque $Q$ satisfait (**), on a en outre pour tout $A\in \mathcal F$ et toute partition de l'univers $(B_j)_{j\in J}$, l'égalité $$\mathbf P(A)=\sum_{k\in J} Q(A,B_k)\mathbf P(B_k)$$

    (écrire $J:=J_1 \coprod J_2$ avec $J_1:=\{k \in J \mid \mathbf P(B_k)\neq 0\}$ et $J_2:=\{k \in J \mid \mathbf P(B_k)=0\}$)
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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