Calcul littéral
Bonjour,
A la vue des différents messages de la rubrique, poster ici me semble une bonne idée; je me rappelle particulièrement certaines remarques de vorobichek qui m'ont marquées et que je partage, dans un cadre plutôt personnel.
Mon fils est en 1ère S et je me rends compte qu'il n'est pas si à l'aise que ça avec le calcul littéral, et qu'il fait parfois certaines erreurs grossières (récemment sur des fractions). j'ai trouvé quelques matières sur ce sites, mais je cherche des supports pour qu'il puisse s'exercer (pas de secret c'est en forgeant ...), des exercices rapides mais qui lui fasse travailler à chaque fois certaines notions bien spécifiques: des conseils ?
Merci par avance
Paul
A la vue des différents messages de la rubrique, poster ici me semble une bonne idée; je me rappelle particulièrement certaines remarques de vorobichek qui m'ont marquées et que je partage, dans un cadre plutôt personnel.
Mon fils est en 1ère S et je me rends compte qu'il n'est pas si à l'aise que ça avec le calcul littéral, et qu'il fait parfois certaines erreurs grossières (récemment sur des fractions). j'ai trouvé quelques matières sur ce sites, mais je cherche des supports pour qu'il puisse s'exercer (pas de secret c'est en forgeant ...), des exercices rapides mais qui lui fasse travailler à chaque fois certaines notions bien spécifiques: des conseils ?
Merci par avance
Paul
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Réponses
l'idéal serait de trouver des manuels scolaires de quatrième et troisième d'avant 1965. Ces questions de calcul algébrique élémentaire y sont traitées progressivement avec beaucoup d'exercices. A défaut, ceux des années 1990 pourraient convenir.
Cordialement.
Cette semaine, suite au 1er DS catastrophique, j'ai annoncé à mes élèves de 1ère spé maths qu'au début de chaque cours (2 séances de 2h par semaine) nous ferions quelques calculs, et je me rends compte qu'il faut effectivement reprendre les bases.
Ils savent simplifier ou mettre au même dénominateur des fractions avec des entiers, mais dès qu'apparaît une racine carrée ou un x ils sont paumés et ne savent plus faire... J'ai donc dû leur rappeler que ce sont des nombres comme les autres donc les règles de calcul ne changent pas ! Hier on a passé une demie heure sur 4 malheureux calculs...
A mon avis, tu peux donc commencer avec le manuel cycle 4 de Sesamath, en accès libre sur internet : https://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/?ouvrage=cycle4_2016
Quelques exercices de calculs sur les rationnels et les puissances pour le mettre en confiance (p47 à 49 / p62 à 64), puis le calcul littéral (développer, réduire, identités remarquables p105 à 108), tant qu'on y est quelques équations produits et inéquations (p121).
Il restera les racines carrées, mais s'il sait déjà faire tout ça rapidement et sans erreur, les bases seront déjà là.
J'édite, dans le nouveau manuel de 2nde ils ont mis un chapitre qui me plaît bien "identités remarquables, calculs algébriques et équations" : https://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/index.php?ouvrage=ms2_2019&page_gauche=91 (je ne crois pas que ce chapitre existe tel quel dans le livre que nous avons choisi dans mon lycée, et en tous cas il n'était pas dans le livre des élèves qui étaient en 2nde l'an dernier).
https://manuelsanciens.blogspot.com/2012/12/lebosse-hemery-arithmetique-algebre-et.html
https://manuelsanciens.blogspot.com/2012/12/lebosse-hemery-geometrie-classe-de.html
D'un autre côté, même dans un bon lycée, de nos jours on peut débarquer en 1ere en ayant 18 de moyenne en seconde sans savoir calculer $\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$ (même après avoir fait des exemples de ce type, il y avait écrit sur la copie "$\frac{1}{x(x+1} - \frac{1}{x(x+1)}$), ou encore en simplifiant $\frac{x^3}{x^2 + 1}$ comme $x$, ou encore en écrivant que $\frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} = 0$ (et ce sont 3 élèves différents).
Sans compter le lot de ceux qui ne comprennent rien au calcul algébrique (du style $3x = -4$ donc $x = -4 - 3$, ou encore $(x-1)(x+2) = x-1 + x +2$) ou numérique $2 = 3/6$...
J'imagine nationalement ce que ça peut donner...
PS ; en TES (spé maths), c'est exceptionnel : $9 \times \frac{6}{2} = \frac{18}{2} \times \frac{6}{2} = \frac{108}{2}$ (inutile de préciser que l'élève a pris sa calculatrice pour calculer $18 \times 6$). Réponse "ah oui c'est vrai il faut aussi multiplier les dénominateurs, j'avais oublié".
Je passe sur le $2/3 + 3/4 = 2/4$ car "on simplifie les 3"...
PS bis : Nul doute que notre ami Ramon va bientôt réagir. :-D
Mais non @SchumiSutil !!!!! Tu n'as rien compris !!!!!
Le cerveau de cet élève n'est tout simplement pas cablé pour réduire au même dénominateur !!!!!
Il faut questionner tes pratiques qui sentent la naphtaline et le XXème siècle !!!!!
En 2019, quand on est à la pointe de l'avant garde et que l'on veut passer orklasss, on utilise un logiciel de calcul formel voyons !!!!!
Une nouvelle qui va rejouir certains ici, c'est que le portage de Xcas sur calculatrices avance: apres les Casio Graph 90+e et 35eii, c'est maintenant le tour des Numworks N0110. Ceci devrait changer notablement d'ici 2 ans le pourcentage de lyceens ayant acces au calcul formel sur calculatrices, ce ne sera plus reserve a quelques rares eleves par classe.
J’ai d’ailleurs dit aux 2ndes que je me contenterais de la calculatrice collège et qu’on regardait la possibilité d’installer Python sur les tablettes prêtées par la région.
Petit quizz: rendre chaque citation à son auteur....
L'une est de Parisse et l'autre est de Claude Allègre....
Parisse la seconde
Un très bon élève peut faire une petite erreur de calcul en résolvant une équation avec son cerveau... et un élève totalement nul peut donner la bonne réponse en utilisant Xcas tout en n'ayant rien compris à la question posée...
@Parisse semble préférer celui qui obtient la "bonne réponse" en n'ayant rien compris à celui qui a tout compris mais qui a fait une petite erreur d'inattention... (ce dont personne n'est à l'abri).
"Doit-on, année après année, réduire la part du raisonnement dans l'enseignement des mathématiques ? Les mathématiques seraient-elles devenues une science expérimentale et les exercices demandés aux élèves se limiteraient-ils à des vérifications à l'aide de calculettes ? Si cela était, les mathématiques ne pourraient plus jamais être le premier as vers une pensée libre, fière et altière."
"Le calcul est consubstantiel à l'activité mathématique et prétendre que les ordinateurs l'éliminent presque complètement est une imposture comparable à celle qui voudrait que l'on apprenne à écrire sans maîtriser les bases de la grammaire et de l'orthographe "
la première Yves Meyer ( https://images.math.cnrs.fr/Comment-enseigner-les-mathematiques-selon-Yves-Meyer.html )
la deuxième effectivement Tosel et Morlot ( https://www.lajauneetlarouge.com/wp-content/uploads/2015/02/703-dossier-prepas-complet.pdf ) Mais j'étais avantagé, j'ai cité l'article 2 ou 3 fois dans ce forum :-)
Pour la génération actuelle pour laquelle des heures de "pratiques" ont été supprimées au collège (en 4ième des heures sur les fractions avaient été "sucrées" - dixit le prof de math) n'est-il pas trop tard ? Déjà que les Premières essuient les plâtres avec la nouvelle réforme, si en plus on supprime les calculatrices, le prochain bac restera dans les annales, à l'instar de celui de 2019 ::o::o.
Pour ma part j'ai commis l'erreur de ne regarder que les notes (bonne note = pas de problème), je sais ce qu'il me reste à faire (particulièrement pendant les prochaines vacances scolaires).
Un prof de 4ème qui ferait une séance d'une heure sur les calculs de fractions le jour d'une inspection, se ferait massacrer et serait condamné à une peine incompressible de 30 ans de mines de sel...
Il faut que tu comprennes une chose essentielle: "Le cerveau humain n'est pas cablé pour réduire au même dénominateur"......
- tracer des courbes (mais comme elles font les tableaux de valeurs, on s’en passe très bien)
- statistiques et probabilités : les calculatrices collège font le minimum nécessaire si on n'a plus la loi normale au programme (il me semble que c’est le cas), donc elles ne font pas les combinaisons (il faut redonner la formule) et la loi de Bernoulli (il faut que les élèves retiennent les formules qu’on leur donne déjà).
Bref, c’est très jouable de se contenter de la calculatrice collège et de faire 40€ d’économies par famille, mais il faudra que les élèves apprennent leurs leçons.
- on trace les courbes à la main. C'est très utile et instructif pour les élèves. Il est possible d’apprendre à faire des croquis à la main des fonctions compliquées.
- il suffit de distribuer la table de la loi normale, la loi binomiale (et non Bernoulli) et la loi Poisson... comme on le fait dans le supérieur.
- le triangle de Pascal est maintenant dans le programme, il est inutile de faire des calculs compliqués
- pour les statistiques descriptives : soit on donne peu d'observations, soit on pré-calcule (somme des carrés par exemple)
Et la calculatrice collège coûte 15 euros ou 10 euros d'occasion. On économise 60 euros ou plus. Ce n'est pas rien.
Et oui... et peut-être ils auront alors un meilleur niveau.
Je pense aussi que c’est très instructif de tracer les courbes à la main, pas de souci avec ça.
Le seul truc que je conteste c’est l’utilisation systématique du triangle de Pascal, c’est vite fastidieux, autant leur démontrer et leur faire apprendre la formule des combinaisons avec les factorielles.
Pour l’économie j’ai compté par rapport à une TI82 en faisant la différence, mais effectivement comme ils ont déjà une calculatrice collège en général, l’économie réalisée est plus importante s’ils achètent du neuf.
Enfin pour l’apprentissage des leçons, ce serait un immense avantage. J’en suis réduite à mettre explicitement des questions de cours dans mes DS de lycée afin d’obliger mes élèves à apprendre !
Comme de tout outil, il faut apprendre a faire bon usage du calcul formel, il importe de continuer a faire du calcul mental (en tant qu'exercice hygienique du cerveau) et un peu de calcul a la main sur des cas techniquement simples pour s'approprier de nouveaux objets, en parallele avec l'utilisation du logiciel pour verifier et tester beaucoup plus d'exemples.
Faire comme si le calcul formel n'existait pas ou n'etait accessible qu'a des chercheurs sur des serveurs universitaires couteux, c'est la politique de l'autruche. Interdire *systematiquement* les calculatrices aux examens, c'est aussi faire l'autruche. Dans les UE dont je suis responsable, il y a une partie des evaluations qui se font sans documents ni calculatrices, et une autre partie avec feuille recto-verso A4 manuscrite et calculatrices autorisees.
Je doute fortement. Parmi mes étudiants je n'ai pas vu une seule copie au dessus de 10/20 si l'étudiant ne sait pas calculer.
C'est ce qui se fait actuellement depuis pas mal d'années. Sauf que le niveau s'est effondré et une très grosse majorité d'élèves ne comprend rien aux calculs.
Il y a une différence entre "interdire toutes les calculatrices", "interdire les calculatrices avec le calcul formel", "interdire les calculatrices avec le calcul formel qui affichent toutes les étapes de calcul" et "interdire les calculatrices avec la mémoire où on peut mettre les antisèches". Je ne suis pas contre la calculatrice collège simple.
Puis les dérivées, jamais je n'ai fait cela autre qu'à la main quand j'étais lycéen. Enfin on nous demandait pas grand chose d'autre que d'appliquer 2 ou 3 formules (dont je comprenais le sens) sur des exemples simples. Aujourd'hui, combien dérivent $1/2 f$ comme un produit $uv$, voire $1/2$ comme un quotient $u/v$ ?
Quand on fait cela, c'est qu'on ne comprend rien aux dérivées. D'un autre coté comprendre un taux d'accroissement quand on n'est pas à l'aise avec le calcul de $-1/2 + 1/3$ ou la simplification de $(2 + 4\sqrt{3})/2$...
Quand j'étais au lycée, j'ai appris à tracer des courbes des fonctions sur calculatrice (mais c'était un exercice trivial), sauf qu'à ce moment je savais ce que je faisais.
Allez, notre ami Ramon va encore réagir ! :-D
Excellent, cette série d'exercices.
Cordialement,
Rescassol
Le 25. 40, c'est mon premier exercice d'oral d'algèbre à l'agreg (ce n'est pas un 4 étoiles, je suis déçu).
Mon experience d'autorisation des calculatrices graphiques formelles, c'est que ce sont les etudiants serieux qui font des erreurs d'etourderie dans les calculs qui en beneficient le plus, pas ceux qui n'ont rien compris. Et en quoi c'est genant de laisser calculer une derivee seconde a la machine a la fac si le but c'est de servir apres pour chercher un point d'inflexion? Alors bien sur, on peut donner la derivee dans l'enonce, mais n'est-ce pas mieux de tester que l'etudiant est capable de mener ce calcul avec les outils largement disponibles aujourd'hui?
@SchumiSutil: je ne parle pas de l'utilisation de la calculatrice au college, l'usage des calculatrices graphiques (eventuellement formelles) c'est une question qui se pose au lycee et a la fac. J'ajoute que la comparaison avec les conditions d'etudes qui furent les votres ou les notres il y a 20, 30 ou 40 ans ne me parait pas tres pertinente, l'histoire ne repasse pas les plats. Quel est l'interet de calculer laborieusement un tableau de valeurs a la main pour faire un trace de courbe? Par contre, l'etude analytique des particularites de la courbe (variations, asymptotes, inflexion, rebroussment, etc.) et l'adequation de l'etude au trace par logiciel/calculatrice avec adaptation de la discretisation si necessaire, je trouve ca tres interessant.
Il y a peu de chances que j'arrive a convaincre ceux qui caricaturent ici ma position, j'espere par contre avoir donne un peu matiere a reflexion aux lecteurs qui n'ont pas d'idees preconcues. En consequence, je vous laisse, j'ai du travail pour finir le portage de Xcas sur les Numworks!
La pression monte et j'ai le sentiment qu'il va y avoir un certain nombre d'élèves qui va rester sur le bord de la route; je trouve que l'article suivant a le mérite de poser plusieurs constats: Article
Est-ce que l'objectif est de transformer des gamins de 15-16 ans en taupins ?
-- Schnoebelen, Philippe
\[ \frac{1,4 \times 3,6 \div 0,2 - 4,2}{\frac{3}{4} \div 0,2 - \frac{1}{4}} \]
La réponse est $6$.
\[ \int_{3}^{4} \frac{x^2 -4x+5}{x-2} \, \mathrm{d}x \]
La réponse est $\frac{3}{2} +\ln 2$.
Quelles variations sont possibles? Cela dépend, entre autre, de l'attitude du professeur...
Si l'examen porte sur le calcul, il est normale d'utiliser la calculatrice. Pour le reste j'ai dit que je suis prête à accepter la calculatrice collège. Pourquoi avoir la calculatrice formelle? De même à l'examen sur les dérivées le but est de vérifier si les élèves savent dériver et non si les élèves savent appuyer sur les touches pour donner la réponse. Encore une fois je ne vois pas à quel moment le calcul formel est utile...
Heu, tu n'es pas sérieux quand même là?
Dans ce cas il faut appeler le cours "calcul formel instrumentalisé" et évaluer ces compétences. Cela se fait.
Il n'est pas forcement nécessaire d'avoir le tableau des valeurs pour tracer la courbe. Par exemple $y=|\sin 2x -1/2|$ :
1) On dessine la courbe $y=\sin x$, elle coupe l'axe des abscisses en 0, $\pi/2$, $\pi$ etc.
2) On compresse la courbe le long de l'axe des abscisses pour construire $y=\sin 2x$. La fonction coupe l'axe des abscisse en 0, $\pi/4$, $\pi/2$ etc.
3) On descend de $1/2$ le long de l'axe des ordonnées pour obtenir $y=\sin 2x -1/2$.
4) On reflète les parties de la courbe au dessous de l'axe des abscisse pour les faire passe au dessus.
La fonction est dessinée!
Quant au fond du problème, il suffit de revenir à mon premier post.
Petite anecdote: je me suis battu hier avec mon fils pour qu'il réalise ses calculs en littéral et fasse l'application numérique uniquement à la fin; réponse de ma progéniture: "ouais mais le prof de SI ne veut que le résultat à la calculatrice, et pas les formules"
https://www.lesechos.fr/politique-societe/societe/bac-ce-qui-a-ete-decide-sur-le-controle-continu-1138781
Cette commission d'harmonisation ne m'inspire guère.
Par exemple si j'echange le numerateur et le denominateur de votre fraction a integrer qu'est-ce qui se passe? Ou si on change les bornes, ou si on donne a l'une d'elle une valeur symbolique, etc. Le calcul formel permet de faire immediatement ce calcul et pourra aider certains eleves a comprendre en experimentant, ce qu'il ne ferait pas a la main parce que ca prend trop de temps et que le risque d'erreur est beaucoup plus important qu'a la machine.
L'outil de calcul (formel/numerique) permet aussi de montrer des cas moins simples, pas forcement resolubles analytiquement. L'enseignement traditionnel que pronent certains ici ou on interdirait tout outil de calcul a un gros inconvenient, la plupart des eleves sont persuades que tout se passe comme dans les exercices alors que c'est bien sur faux: par exemple en general on ne peut pas trouver de primitive explicite a une expression.
Les maths ce sont des enonces que l'on construit en utilisant des resultats precedents, on ne redemontre pas tout de zero a chaque fois. Pourquoi cela devrait-il etre different pour un calcul? Lorsque je m'interesse a la convexite d'une courbe, le calcul de derivee a ete vu les annees precedentes, pourquoi ne pas accepter de deleguer ce calcul au logiciel? Surtout pour une courbe en parametriques ou les calculs sont vite tres techniques...
Quand on apprend les derivees, on peut tester en examen des calculs simples de derivee sans outil de calcul, mais cela ne doit pas empecher d'apprendre en meme temps aux eleves a utiliser un logiciel de calcul formel pour verifier leurs exercices et pour faire les calculs dans les cas techniques. Tout cela est un continuum, il n'y a pas lieu de separer dans des enseignements distincts le calcul avec papier-crayon et le calcul avec logiciel etant donne la disponibilite des plateformes materielles faisant du calcul formel.
Croire qu'en interdisant le calcul formel on va ameliorer le niveau en calcul litteral est une illusion car jusqu'a maintenant, le pourcentage d'eleves muni d'une calculatrice formelle est reste tres faible et pourtant le niveau est faible. J'observe plutot l'inverse: les etudiants qui ont une calculatrice formelle ont un niveau moyen meilleur en calcul litteral.
Et croire qu'on va ameliorer le niveau en maths en pratiquant le calcul formel chez des élèves du secondaires où par exemple des secondes de niveau honorable confondent multiplication et addition (cet apm) et où des TES rament au moindre calcul de fractions (cet apm) est une illusion.
Enseignez en collège ou en lycée (pas il y a dix ans et pas une fois tous les 36 du mois) et vous réaliserez que vous êtes totalement hors-sol sur ce sujet. Ce que de modestes praticiens vous disent sur ce forum depuis des années.
Espérons au moins que vous vous faites plaisir avec ça ...
En tant que prof de lycée, je me souviens avoir été élève. Et certains praticiens ont dû oublier avoir été élève. Ou ont une mémoire très sélective...
https://www.ina.fr/video/PUB3784061127
Pour comprendre le principe, il faut : comprendre le cours et faire les applications. Bref, résoudre des problèmes, faire des ateliers etc. Sauf que c'est plus compliqué que faire des calculs. Et de toute façon si tu ne sais pas calculer, tu ne sauras pas résoudre les problèmes.
Non. Parce que cette "machine" pour eux est une boite noire. Ils, les élèves, appuient sur les boutons. Et tu leurs proposent de croire (si j'ai mal calculé, c'est la faute de la calculatrice). Et quand ils le font mal, le logiciel ne tourne pas et ils ne comprennent pas pourquoi. Ou bien le logiciel tourne et ils ont des mauvais réponses parce qu'ils ont mal manipuler le logiciel. J'avais une étudiante qui, en utilisant une simple calculatrice, appuyait d'abord sur la racine, puis sur le nombre, alors qu'il faut faire l'inverse.
Par contre dans le cas des études supérieurs scientifiques, où les exercices sont bien plus complexes qu'au collège/lycée ou une routine de calcul (stats), il est fort utile d'utiliser le logiciel pour comprendre. C'est pour ça qu'on enseigne aux étudiants les différents logiciels et la programmation. Mais tout cela n'est possible que si les étudiants ont des bases. Ton erreur, c'est de comparer tes étudiants (les scientifiques) post-lycée aux élèves. Ce n'est pas la même chose. Ce que tu peux faire à l'université, en prépa, tu ne peux pas le faire au collège et lycée.
Au lycée la dérivée n'est pas vu "les années précédentes", elle était vu en 1ière et en T, et pas de façon complète. Le but est d'apprendre de le faire, pas à déléguer cette tâche. Le but est d'apprendre les méthodes, qui pourront, par exemple, être utilisées les années d'après pour programmer un logiciel du calcul formel. Dans les exercices que j'ai joint à ce poste, quelle partie tu peux déléguer, pourquoi?
En 3h30 par semaine? Pour apprendre à utiliser le logiciel, il faut du temps... or ce temps est limité! Le temps est déjà gaspillé en apprentissage de programmation, python, tableur et scratch. Tu veux y ajouter le logiciel du calcul formel?
Cela fait 10 ans qu'il existe des calculatrices qui savent faire du calcul littéral, résoudre les équations, dériver, intégrer, simplifier des fractions, calcules. Bref, qui savent faire tout ce qui est au programme dont le niveau est faible. C'est pour ça que le niveau est bas.
Vive la Russie !!!!