Analyse réelle
Bonsoir à tous, en travaillant ces temps-ci les démonstrations de mon cours d’analyse (fonctions continues), j’ai eu l’impression que tout le temps on utilisait les propriétés (borne sup, densité) des nombres réels et aussi des suites pour résoudre assez de questions portant sur les fonctions numériques à variable réelle.
J’ai eu l’impression que les nombres réels sont une base dans le cours d’analyse réelle.
J’ai eu l’impression que les nombres réels sont une base dans le cours d’analyse réelle.
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Réponses
Deux tautologies :-)
Cordialement.
Une bonne partie des théorèmes utilisent la complétude. C’est sans doute cela qui « motive ».
Je savais que $\mathbb{R}$ vérifie tout ça depuis longtemps, mais que c'est le seul, ça c'est nouveau pour moi... On est censé apprendre ça en L1 ?
Pour la démonstration c'est un peu fastidieux mais l'idée est naturelle, on montre qu'un tel corps possède un sous-corps isomorphe à $\mathbb Q$ (ça c'est facile, on prend le sous-corps engendré par $1$ après avoir constaté que l'on est en caractéristique $0$) puis on montre que l'on peut faire des coupures à la Dedekind à partir des rationnels, et on construit ainsi un isomorphisme de corps ordonné avec $\mathbb R$.
Exemple
C'est par exemple le cas pour $f(x)=\sqrt{x}$ et $a = 0$.
Il vient :
$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$$ quand $x \to a = 0$.
Donc la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en 0, et graphiquement, ça correspond à ce que la courbe part verticalement vers le haut en 0 : la demi-tangente est verticale, donc elle a pour "coefficient directeur" $+\infty$.
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,+\infty[$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ayant une limite $\ell$ finie en $+\infty$, alors $f$ est bornée.
démontre-le ; puis le théorème "si $f$ est continue sur $\mathbb R$ et a des limites finies en $\pm \infty$, alors $$f est bornée".
Cordialement.
NB : Ce sont des exercices très classiques.
Désolé des erreurs, l'utilisation de mon petit téléphone n'est pas trop "fun".
Merci pour ta réponse.
Nous aimerions se termine par ons et n'est pas du futur.
En tout cas merci @Chaurien, c'est agréable de voir une personne qui peut toujours nous corriger lorsqu'on fait des erreurs (:D.
[B-) AD]