Analyse réelle

Gon
Gon
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonsoir à tous, en travaillant ces temps-ci les démonstrations de mon cours d’analyse (fonctions continues), j’ai eu l’impression que tout le temps on utilisait les propriétés (borne sup, densité) des nombres réels et aussi des suites pour résoudre assez de questions portant sur les fonctions numériques à variable réelle.

J’ai eu l’impression que les nombres réels sont une base dans le cours d’analyse réelle.

Réponses

  • Héhéhé
    Héhéhé
    Vu que l'analyse réelle étudie des fonctions allant d'un sous-ensemble des nombres réels dans l'ensemble des nombres réels, ce n'est pas très étonnant de les retrouver partout...
  • gerard0
    gerard0
    Et les nombres complexes sont une base dans le cours d'analyse complexe.

    Deux tautologies :-)

    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    L’ensemble des réels est le « premier » (au sens de la formation scientifique) corps complets. Utilisé en tant qu’espace vectoriel normé sur un corps complet.
    Une bonne partie des théorèmes utilisent la complétude. C’est sans doute cela qui « motive ».
  • Poirot
    Poirot
    Rappelons que $\mathbb R$ est caractérisé comme l'unique corps totalement ordonné qui vérifie la propriété de la borne supérieure, ou encore comme l'unique corps totalement ordonné archimédien complet, c'est donc normal que ces propriétés apparaissent crucialement en analyse réelle, on ne pourrait pas faire grand-chose sinon !
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je ne connaissais aucune de ces caractérisations avant de lire ton message, tiens.

    Je savais que $\mathbb{R}$ vérifie tout ça depuis longtemps, mais que c'est le seul, ça c'est nouveau pour moi... On est censé apprendre ça en L1 ?
  • Poirot
    Poirot
    Dans une très bonne L1 peut-être :-D

    Pour la démonstration c'est un peu fastidieux mais l'idée est naturelle, on montre qu'un tel corps possède un sous-corps isomorphe à $\mathbb Q$ (ça c'est facile, on prend le sous-corps engendré par $1$ après avoir constaté que l'on est en caractéristique $0$) puis on montre que l'on peut faire des coupures à la Dedekind à partir des rationnels, et on construit ainsi un isomorphisme de corps ordonné avec $\mathbb R$.
  • Sato
    Sato
    L'apprendre, non, mais le prof nous l'avait fait écrire dans le cours en passant, ça ne prend que quelques secondes (il faut gratter...) sur beaucoup d'heures.

  • Gon
    Gon
    Bonjour en passant, si la notion de dérivabilité en un point sert à déterminer une approximation locale de la fonction en un point $x_{0}$ (on parle aussi du comportement local d'une fonction en ce point) obtenir une limite infinie de l'accroissement moyen, permet de dire qu'on ne peut pas étudier le comportement local de cette fonction en ce point $x_{0}$ non ?
  • marsup
    marsup
    Si $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = +\infty,$$ alors $f$ n'est pas dérivable en $a$, en effet.

    Exemple

    C'est par exemple le cas pour $f(x)=\sqrt{x}$ et $a = 0$.

    Il vient :
    $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$$ quand $x \to a = 0$.

    Donc la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en 0, et graphiquement, ça correspond à ce que la courbe part verticalement vers le haut en 0 : la demi-tangente est verticale, donc elle a pour "coefficient directeur" $+\infty$.
  • Poirot
    Poirot
    Un exemple où ça se passe en plein milieu de l'intervalle de définition (et pas juste au bord comme pour $x \mapsto x^{1/2}$) : $x \mapsto \sqrt[3]{x}$.
  • Gon
    Gon
    Bonsoir, je me demande bien pourquoi les méthodes d'études pour déterminer les équivalents sur les suites récurrentes ne sont pas vues souvent durant nos études en maths :-(, c'est un peu dommage, il y a de belles choses.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    En regardant mes cours d'analyse réelle, et ceux que mes copains des annéess d'après ont eus... il y a des tas de choses intéressantes qu'on ne fait pas.
  • Gon
    Gon
    Bonjour, j'aimerais savoir s'il est possible d'étendre ce résultat à un intervalle quelconque de $\mathbb{R}$.

    Soit $f$ une fonction continue sur $[0,+\infty[$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ayant une limite $\ell$ finie en $+\infty$, alors $f$ est bornée.
  • Chaurien
    Chaurien
    ... j'aimerais.... (conditionnel)
  • gerard0
    gerard0
    Attien,
    démontre-le ; puis le théorème "si $f$ est continue sur $\mathbb R$ et a des limites finies en $\pm \infty$, alors $$f est bornée".
    Cordialement.

    NB : Ce sont des exercices très classiques.
  • Gon
    Gon
    Merci @Chaurien, sinon je connais bien la petite règle :-D , si "je" peut-être remplacé par "nous" et qu'on obtient la terminaison en "ons", nous sommes au futur donc pas de "s" à la fin mais si en remplaçant, on obtient "ions" nous sommes au conditionnel, donc on met un "s".

    Désolé des erreurs, l'utilisation de mon petit téléphone n'est pas trop "fun".
  • Gon
    Gon
    j'ai pu le démontrer @gerard dans le cas de mon post , je me demandais si je pouvais le généraliser.

    Merci pour ta réponse.
  • Félix
    Félix
    La formulation que tu proposes est quelque peu incomplète :
    Nous aimerions se termine par ons et n'est pas du futur.
  • Gon
    Gon
    Effectivement.

    En tout cas merci @Chaurien, c'est agréable de voir une personne qui peut toujours nous corriger lorsqu'on fait des erreurs (:D.

    [B-) AD]
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