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Raisonnement par l'absurde

Envoyé par Flora 
Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Bonsoir à tous,

j'espère que vous allez bien ! Ce petit message, car votre Flora a besoin de votre aide. Comme vous le savez, j'ai fait 3 années de classes préparatoires ECE et je suis actuellement étudiante en école de commerce.
En ce moment je fais quelques heures de cours particuliers à des étudiants de 2ème année de classe préparatoire niveau ECE. Généralement je me débrouille plutôt bien durant ces séances et je suis plutôt à l'aise avec les Mathématiques, mais cette fois-ci je suis confrontée à une difficulté majeure. En effet, 2 de mes étudiants ne maîtrisent pas le raisonnement par l'absurde....Plutôt inquiétant à ce stade de leur parcours, surtout qu'ils savent faire des raisonnements par récurrence mais aussi par disjonctions des cas, mais dès qu'on parle de raisonnement par l'absurde ça y est ils bloquent. Ils ne veulent même pas essayer et partent du principe que c'est difficile. ( Selon eux, le raisonnement par l'absurde est difficile car ce n'est pas du bachotage comme le raisonnement par récurrence....).

Je souhaiterais les aider à dépasser ce blocage, que pourrais-je faire pour les aider ? Auriez-vous des exercices types d'entraînements au raisonnement par l'absurde à me proposer s'il vous plaît ?

Excellente soirée à vous,
Flora
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
avatar
L'irrationalité de $\sqrt{p}$, avec $p$ premier, par exemple. En plus c'est à la mode...
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
avatar
Il me semble qu'on peut parler du tiers exclu, qui n'est pas un truc si anodin.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Il est question de raisonnements dans cet essai, peut-être utile ?
[www.youtube.com]
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Coucou tout le monde,

merci pout vos p'tites réponses smiling smiley !

Petite question, ça veut dire quoi " tiers exclu" s'il vous plaît ?
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
avatar
Bonsoir Flora,

En logique classique une proposition est soit vraie soit fausse, il n'y a pas de troisième possibilité. Tiers = troisième, exclu = interdit, impossible.

Amicalement.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Citation
SchumiSutil
L'irrationalité de $\sqrt p$, avec $p$ premier, par exemple. En plus c'est à la mode...
Sauf que ce n'est pas un raisonnement par l'absurde mais par contraposition...

***********
Une algèbre de Heyting est un ensemble ordonné $(H,\leq)$ tel que:
H1) Toutes les parties finies de $H$ possèdent une borne supérieure et une borne inférieure (ce qui concerne aussi $\emptyset$ d'où l'existence de respectivement $\min(H)=: \perp$ et $\max(H) =: \top$)
H2) Pour tous $a,b\in H$, l'ensemble des $x\in H$ tels que $\inf \{x,a\} \leq b$ possède un plus grand élément (qui sera noté $a\to b$ dans toute la suite de ce message).

On utilisera aussi les abréviations suivantes:
$x\wedge y := \inf \{x,y\}$
$x \vee y := \sup\{x,y\}$
$\neg x := x \to \perp$
"$\Gamma \vdash x$" := "$\inf \Gamma \leq x$" avec $\Gamma$ une partie finie de $H$. Noter que pour tout $y$,
$\emptyset \vdash y$ équivaut à $y=\top$ (puisque $\top = \inf \emptyset $).

0°) NB: une conséquence immédiate de H2 est que pour tous $x,y,z \in H$, $x\leq y\to z$ si et seulement si $(x \wedge y) \leq z$.

Exemples d'algèbres de Heyting:
-$[0,1]$ muni de l'ordre usuel ($x\to y= 1$ si $x\leq y$ et $y$ si $x>y$).
-N'importe quel ensemble fini totalement ordonné (exo: qui est "$\to$ "?).
-L'ensemble des ouverts d'un espace topologique $X$ muni de l'inclusion comme ordre ($A \to B$= intérieur de $(X\backslash A) \cup B$).

On a les autres propriétés suivantes:

1°) Pour toute partie finie $\Gamma$ de $H$ et tous $a,b\in H$, $\Gamma \cup \{a\} \vdash b$ si et seulement si $\Gamma \vdash a \to b$
Cela découle de la définition H2 et du fait que $\inf$ est associative.

2°) Pour toute partie finie $\Gamma$ de $H$ et tous $a,b\in H$, si $\Gamma \vdash a$ et $\Gamma \vdash a \to b$ alors $\Gamma \vdash b$.
Comme $\inf \Gamma \leq a$, $\inf \Gamma = \inf \left (\Gamma \cup \{a\} \right )$; du coup comme $\inf \Gamma \leq a \to b$ on a aussi (cf 1°) $\inf \left (\Gamma \cup \{a\} \right ) \leq b$ d'où $\inf \Gamma \leq b$ par ce qui précède.

3°) Pour toutes parties finies $\Gamma,\Delta$ telles que $\Gamma \subseteq \Delta$ et tout $x\in H$, si $\Gamma \vdash x$ alors $\Delta \vdash x$
Evident (car $\inf \Delta \leq \inf \Gamma$).

4°) Pour tous $a,b \in H$, $a\leq b$ si et seulement si $a \to b = \top$
cf 0°) et le fait que $\inf\{\top,a\} = a$ pour tout $a\in H$.

5°) Pour tous $a,b,c\in H$, $(a \wedge b) \to c = a \to (b \to c)$.
Il suffit d'établir $(a \wedge b) \to c \leq a \to (b \to c)$ et $(a \wedge b) \to c \geq a \to (b \to c)$, autrement dit
(i) $\{a \to (b \to c)\} \vdash (a \wedge b) \to c$
(ii) et $\{ (a \wedge b) \to c\} \vdash a \to (b \to c)$.

(i): découle de $\{a \to (b \to c), a \wedge b\} \vdash z$ (cf 1°)). Mais $\{a \to (b \to c), a \wedge b\} \vdash a$ et $\{a \to (b \to c), a \wedge b\} \vdash a\to (b \to c)$(propriété de $\inf$) donc (cf 2°) $\{a \to (b \to c), a \wedge b\} \vdash b \to c$ et comme $\{a \to (b \to c), a \wedge b\} \vdash b$ (propriété de $\inf$ à nouveau), $\{a \to (b \to c), a \wedge b\} \vdash c$ par 2°).
(ii): équivaut (cf 2°) à $\{ (a \wedge b) \to c, a\} \vdash b \to c$, lui même équivalent à $\{ (a \wedge b) \to c, a,b \} \vdash c$. Mais $\{ (a \wedge b) \to c, a,b \} \vdash a \wedge b$ et $\{ (a \wedge b) \to c, a,b \} \vdash( a \wedge b) \to c$ (propriétés de $\inf$) d'où $\{ (a \wedge b) \to c, a,b \} \vdash c$ par 2°).


6°) Pour tous $a,b,c\in H$, tous les éléments listés ci-dessous sont égaux à $\top$.
(i) $a \to (b \to a)$
(ii) $[a \to (b \to c)] \to [(a \to b) \to (a \to c)]$
(iii) $(a \wedge b) \to a$; $(a \wedge b \to b)$
(iv) $a \to [b \to (a \wedge b)]$
(v) $a \to a \vee b$; $b \to a \vee b$
(vi) $[(a \to c) \wedge (b \to c) \wedge (a \vee b)] \to c$
(vii) $(a \to b) \to [(b \to c) \to (a \to c)]$
(viii) $(a \to b) \to [(\neg b) \to (\neg a)]$ (cas particulier de (vii))
(ix) $[(a \to b) \wedge (a \to \neg b)] \to \neg a$
(x) $\perp \to a$.

Exos (utiliser les points précédents, ça devrait aller vite).

7°) Parmi les exemples d'algèbre de Heyting en préambule, il existe $x,a,b$ tels que $(\neg \neg x) \to x$, $(\neg x) \vee x$ et $[(\neg b) \to \neg a] \to (a \to b)$ sont différents de $\top$.
Par exemple, se placer dans l'ensemble des ouverts de $\R$ et poser $x:= ]0,+\infty[$, $a:= \R \backslash \{1\}, b:= \R \backslash \{1,2\}$.

***********************
Quantificateurs et algèbres de Heyting complètes.

Soit $(H,\leq)$ un ensemble ordonné. Les propriétés suivantes sont équivalentes (exo instructif):
C1) $H$ est une algèbre de Heyting et toute partie de $H$ possède une borne inférieure.
C2) Toute partie de $H$ possède une borne supérieure et une borne inférieure, et pour toute partie $A$ de $H$ et tout $x \in H$, $\inf \{\sup A, x\} = \sup \left \{\inf \{ a,x\} \mid a \in A\right \}$.

On dit que $(H,\leq)$ est une algèbre de Heyting complète s'il possède ces propriétés.
Lorsque $I$ est un ensemble et $f:I \to X$ une application, on pourra désigner par respectivement $\forall i \in I, f(i)$ et $\exists i \in I, f(i)$ les bornes inférieures et supérieures de $\left( f(i)\right)_{i \in I}$ (la lettre $i$ est liée i.e. "muette" dans ces expressions) (on notera aussi simplement $\inf f$ et $\sup f$ pour faire court ...).

8°) Pour tout ensemble $I$, toute fonction $f:I \to H$ et tout $t\in I$, $f(t) \to \exists (i \in I), f(i) =\top = [\forall i \in I, f(i)] \to f(t)$.
Evident compte tenu de 4°).

9°) Pour tous $p \in H$, tout $I$ et toute $f: I \to X$, avec les notations ci-dessus on a
$\forall i\in I, [f(i) \to p] =[ \exists i \in I, f(i)] \to p$.

autrement dit $\inf \{ f(i) \to p \mid i \in I\} = [\sup \{f(j) \mid j \in I\}] \to p$.
Montrons $\leq$:
soit $j\in I$. Alors $\inf \{ f(i) \to p \mid i \in I\}\leq f(j) \to p $ donc $f(j) \wedge \inf \{ f(i) \to p \mid i \in I\} \leq p$ donc
$f(j) \leq \inf \{ f(i) \to p \mid i \in I\} \to p$. Donc ($j$ arbitraire...) $\sup \{f(j),j \in I\} \leq \inf \{ f(i) \to p \mid i \in I\} \to p$.
Donc $\sup f \wedge \inf \{ f(i) \to p \mid i \in I\} \leq p$. Donc $\inf \{ f(i) \to p \mid i \in I\} \leq (\sup f) \to p$ ce qui est l'inégalité voulue.
Montrons $\geq$:
Pour établir $(\sup f \to p) \leq \inf \{f(i), i \in I\}$, il suffit d'établir $(\sup f) \to p \leq f(k) \to p$ pour n'importe quel $k\in I$.
Soit donc $k \in I$. On a $f(k) \wedge [(\sup f) \to p] \leq f(k) \leq \sup f$ et aussi $f(k) \wedge [(\sup f) \to p] \leq (\sup f) \to p$. Donc $f(k) \wedge [(\sup f) \to p] \leq p$ d'après 2°) plus haut. Donc $(\sup f) \to p \leq f(k) \to p$ d'où le résultat.

10°) Pour tous ensemble $J$ et toute application $g:J \to H$, on a
$\exists j \in J, g(j) = \forall p\in H, \left [ \forall k \in J, \left ( g(k) \to p \right) \right ] \to p$.

Soit $i\in J$. Soit $q \in H$. Alors $ \forall (k\in I), [g(k) \to q] = \inf\{g(k) \to q \mid k \in J\} \leq g(i) \to q$ et donc $g(i) \wedge \forall (k\in I), [g(k) \to q] \leq q$ et donc $g(i) \leq \left (\forall (k\in I), [g(k) \to q] \right ) \to q$. En passant à l'inf dans le membre de droite on obtient $g(i) \leq \inf \left \{\left (\forall (k\in I), [g(k) \to p] \right ) \to p\mid p \in H \right \} = \forall p\in H, \left [ \forall k \in J, \left ( g(k) \to p \right) \right ] \to p$. En prenant le sup dans le membre de gauche,
$\exists j \in J, g(j) = \sup g \leq \forall p\in H, \left [ \forall k \in J, \left ( g(k) \to p \right) \right ] \to p$.
Pour la réciproque, noter que ($\forall = \inf$...) $\forall p\in H, \left [ \forall k \in J, \left ( g(k) \to p \right) \right ] \to p \leq \left [\forall k \in J, \left ( g(k) \to \sup g \right) \right ]\to \sup g$. Or pour tout $k\in J$, $g(k)\leq \sup g$ et donc (4°) $g(k) \to \sup g = \top$ et $\forall k \in J, [g(k) \to \sup g] = \top$ et $\left [\forall k \in J, \left ( g(k) \to \sup g \right) \right ]\to \sup g = \top \to \sup g$. Mais $\top \to \sup g = \sup g$ ce qui conclut (car pour tous $x,y\in H$, $x = x \wedge \top \leq y$ si et seulement si $x \leq \top \to y$ ce qui entraîne l'égalité $y = \top \to y$).

*****************
exos: montrer dans la même veine que pour tous $a,b\in H$, $a \wedge b = \forall x \in H, [a \to (b \to x)] \to x$ et $a \vee b = \forall y\in H,(a \to y) \to [(b \to y) \to y]$.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
avatar
"Sauf que ce n'est pas un raisonnement par l'absurde mais par contraposition..."

On peut faire les deux.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
SchumiSutil écrivait : [www.les-mathematiques.net]
-------------------------------------------------------
> L'irrationalité de $\sqrt{p}$, avec $p$ premier, par exemple. En plus c'est à la mode...

Il a déjà été écrit et réécrit sur ce forum que démontrer que $2$ n'est pas rationnel en démontrant que l'hypothèse "$2$ rationnel" aboutit à l'absurde, n'est pas, au sens technique de la logique mathématique, un raisonnement par l'absurde.
Ce n'est pas non plus un raisonnement par contraposition.
C'est juste démontrer une implication $A\rightarrow B$ en démontrant $B$ sous l'hypothèse $A$ et en déchargeant l'hypothèse.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
avatar
GaBuZoMeu, pourrais-tu donner un exemple (simple) qui lui serait bien un raisonnement par l'absurde. Cela m'aiderait je pense à bien faire la distinction. Merci beaucoup.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
On peut aussi jouer à éviter l'absurde.

Pour tout $n\in\Z$, $n$ est un carré dans $\Q$ $\Leftrightarrow$ $n$ est un carré dans $\Z$.

Preuve : Soit $n\in\Z$ tel qu'il existe $a,b\in\Z$ premiers entre eux tels que $n=\dfrac{a^2}{b^2}$. Alors :$$n=n\,\mathrm{pgcd}(a^2,b^2)=\mathrm{pgcd}(na^2,nb^2)=\mathrm{pgcd}(na^2,a^2)=a^2.
$$ Exemple. Pour tout $p$ premier, $p$ n'est pas un carré dans $\Z$ donc $\sqrt p$ est irrationnel.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Zut j’ai un doute.
L’exemple proposé par Christophe est :
Démontrer que : $\forall x \in \mathbb R ( x^2=0 \Rightarrow x=0)$.
(sans se servir de « si un produit est nul alors ... »)

À confirmer !
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Moi qui, comme l'on sait, ne suis pas logicien, je pensais qu'un raisonnement par l'absurde est celui qui suppose le contraire de la proposition à prouver et qui conclut à une contradiction. Et je le pense toujours. En pratique, on recourt à ce raisonnement lorsque la négation de la proposition à prouver est riche de corollaires alors que la proposition à prouver est pour ainsi dire « négative ». Par exemple les démonstrations classiques d'irrationalité, que ce soit de $\sqrt 2$, de $\sqrt 2 +\sqrt 3 -\sqrt 5 $, de $e$ ou de $\pi^2$, me semblent être de ce type.
[fr.wikipedia.org]
[en.wikipedia.org]

Pour répondre à Flora, disons d'abord que c'est toujours un plaisir de lire ses messages car elle est un modèle de courage et d'enthousiasme, et donne une image réjouissante de notre jeunesse. Je pense que la solution à son problème pédagogique consiste à présenter à son élève un certain nombre de raisonnements par l'absurde pour l'habituer à ce genre de raisonnement. Idem pour le raisonnement par récurrence.

Bonne journée.
Fr. Ch.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Chaurien.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
avatar
Exemple de démonstration par contraposition : Prouver que si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.

Exemple de démonstration par l'absurde : Prouver que les nombres premiers sont en nombre infini.


Vive les marronniers !
.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
avatar
Voici comment on démontre par absurde que $ \sqrt{2} $ est irrationnel. Voir ici : [www.deleze.name]
Certains ici affirment qu'il ne s'agit pas d'un raisonnement par absurde, mais, je ne comprends pas ce qu'ils racontent. eye rolling smiley
Dom
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Des pistes ici : [www.les-mathematiques.net]

Je procrastine ma réflexion à ce sujet depuis au moins quatre ans...

Et là une réponse donnée par Alesha : [www.les-mathematiques.net]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Dom.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Citation

Exemple de démonstration par l'absurde : Prouver que les nombres premiers sont en nombre infini.
Ça n'a absolument rien d'une démonstration par l'absurde. On construit par récurrence une injection de l'ensemble des entiers naturels dans l'ensemble des nombres premiers.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
avatar
Citation
Dom :
Et là une réponse donne par Alesha : [www.les-mathematiques.net]

Comment alors démontre-t-on par absurde que $ \sqrt{2} $ est irrationnel ?
Comment démontre-t-on en général, une proposition par absurde ?
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Il n'y a qu'une seule manière de démontrer que les nombres premiers sont en nombre infini ?
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Preuve par l'absurde que $\sqrt 2$ est un irrationnel :
On montre que "$\sqrt 2$ n'est pas irrationnel" conduit à une absurdité.
"$\sqrt 2$ n'est pas irrationnel" $\Rightarrow$ "$\sqrt2$ est rationnel " (licite en logique classique).
*déroulage de la preuve classique*
Donc "$\sqrt 2$ est irrationnel" par un raisonnement par l'absurde.

Est-ce que mon artifice tient la route ?
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
avatar
Dites, les théoriciens de l'absurde, au lieu de pontifier avec des notions de logique à la limite de l'ésotérisme, vous feriez mieux de donner un exemple de raisonnement par l'absurde. Surtout qu'on doit l'enseigner en collège et lycée. Et un exemple que tout le monde puisse comprendre, même Chaurien. Merci.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Sinusix.
Un raisonnement par l'absurde consiste à supposer dans un premier temps que la négation $\neg \mathbf F$ d'un énoncé $\mathbf F$ est fausse pour aboutir à une contradiction et en conclure que $\mathbf F$ est vraie.

Par exemple: Soit $E$ un ensemble, $A,B$ des parties de $E$, et $x$ un élément de $E$. Alors $x \in (E \setminus A) \cup B$, ou $x \in A$.
Supposons la conclusion fausse ; alors $x\notin (E \setminus A)$, $x \notin B$ et $x \notin A$. Mais du coup, ce troisième point entraîne $x\in E\setminus A$ et une contradiction.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Ou des trucs du genre: pour tout ensemble $B$ et toute famille d'ensembles $(A_i)_{i \in I}$, on a $\bigcap_{i \in I} (A_i \cup B) \subseteq \left (\bigcap_{i \in I} A_i \right ) \cup B$.
Soit $x \in \bigcap_{i \in I} (A_i \cup B)$.
On suppose la conclusion fausse pour $x$ i.e. $x \notin \left (\bigcap_{i \in I} A_i \right ) \cup B$.
Alors $x \notin \bigcap_{i \in I} A_i$ et aussi $x\notin B$. Mais pour tout $k\in I$, $x \in A_k \cup B$. Donc $x \in A_k$. Donc $x \in \bigcap_{i \in I} A_i$.

Les deux exemples que j'ai mis sont en fait improuvables sans raisonnement par l'absurde...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Foys.
JLT
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
avatar
Tout ceci ne va pas aider Flora, qui donne des cours particuliers au niveau ECE, donc pas à des étudiants très matheux. Et peu importe si ce sont des raisonnements par l'absurde selon les logiciens ou non, du moment que ces étudiants font un raisonnement correct...

Je n'ai pas beaucoup d'exemples en tête, cela dit.

1) Soit $(u_n)$ une suite à valeurs réelles telle que pour tout $n$, on a $u_{n+1}=u_n^2+1$. Montrer que la suite diverge.

Démonstration : si elle convergeait vers une limite $\ell$, alors on aurait $\ell=\ell^2+1$, ce qui est impossible.

2) Soit $A$ une matrice réelle telle que $A^2+I=0$. Montrer qu'elle n'a pas de valeur propre réelle.

Démonstration : s'il existait $\lambda\in \R$ et un vecteur non nul $X$ tels que $AX=\lambda X$, alors on aurait $(\lambda^2+1)X=A(AX)+X=(A^2+I)X=0$, donc $\lambda^2+1=0$, ce qui est impossible.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
@JLT : typiquement, tes raisonnements pour montrer "non machin" en supposant "machin" pour arriver à une absurdité sont bien sûr tout à fait corrects, et ce sont simplement des démonstrations d'une implication par déchargement d'hypothèse, des apagogies négatives :
$$\begin{array}{rcl} H, p&\vdash&\bot\\ \hline H&\vdash& \neg p\end{array}$$
Ce qui se lit : si sous les hypothèses $H$ et $p$ on déduit l'absurde, alors sous les hypothèses $H$ on déduit non $p$. $\neg p$ est en fait une abréviation de $p\Rightarrow \bot$.
L'apagogie positive, vrai raisonnement par l'absurde, est
$$\begin{array}{rcl} H, \neg p&\vdash&\bot\\ \hline H&\vdash& p\end{array}$$

Apagogie, ça en bouche un coin, non ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par GaBuZoMeu.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Bonjour.

En logique "classique" (celle de la fin du dix-neuvième siècle, celle qu'on utilise en secondaire et début du supérieur pas trop mathématisé), comme $p$ est $\neg(\neg p)$, la différence entre les deux apagogies est une pure question de présentation. Et de ce fait, si on oublie la définition initiale de "diverge" (ou qu'on la définit directement), la preuve 1 de JLT est bien une preuve par l'absurde.

mais il me semblait que Christophe définissait autrement la preuve par l'absurde ("on utilise deux fois l'hypothèse) ?

Cordialement.
JLT
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
avatar
@GaBuZoMeu : oui, je veux dire que peu importe le nom, que l'on dise "apagogie négative" ou que l'on utilise une appellation fausse, il semble que ce genre de raisonnement fasse peur aux étudiants ECE dont parle Flora, donc j'ai essayé de donner quelques exemples simples.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
L'exemple mentionné plus haut est effectivement un exemple très simple de raisonnement par l'absurde "pur" :
Soit $x$ un réel. Montrons que si $x^2=0$, alors $x=0$. On suppose $x^2=0$.
Si $x\neq 0$, alors il existe $y$ tel que $xy=1$. Par conséquent $x=x^2y=0$, ce qui est absurde. Puisque $x\neq 0$ est absurde, c'est que $x=0$.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
avatar
Merci aux différents intervenants dont les explications éclairent ma lanterne.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Je crois avoir donné dans mon dernier message quatre exemples de problèmes qui se traitent au moyen d'un raisonnement par l'absurde ; pur ou impur, chi lo sa ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Chaurien.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Bonjour Foys,

J'ai commencé à regarder ton laïus sur les algèbres de Heyting, où cette fois-ci tu ne parles pas de catégories, ce qui m'arrange. grinning smiley
Peut-être serait-il plus pertinent d'en discuter dans "Fondements et Logique" que dans le présent fil dédié aux étudiants en classe prépa ECE ?
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Bonsoir à tous,

encore merci pour vos p'tits messages d'aide winking smiley

@Felix, merci pour cette petite explication c'est bien je dormirai moins bête ce soir.

@Chaurien, merci également à vous pour ce gentil message, ça fait plaisir surtout que je suis un peu fatiguée en ce moment, l'école de commerce où je suis est plus exigeante que la prépa, on a un rythme de folie, entre les travaux groupes, les interros au début de chaque cours, les assos, les conférences obligatoires, le contrôle continu permanent, les midterms, 0 vacances depuis le début de l'année et ce jusqu'à Noël franchement je fais du 8h-20h chaque jour. Et il y a déjà 2 abandons dans ma classe de gens qui se sont réorientés à la fac... J'ignorais qu'on pouvait le faire. Enfin bref, je suis bavarde j'arrête de raconter ma vie, merci pour ce gentil message d'encouragement ! Ça me manque de ne plus faire mes petits exos le soir et de vous les poster en racontant mes péripéties du moment !

@JLT merci pour votre aide également, au cours de la discussion vous avez essayé de recentrer le sujet sur la filière ECE , merci car j'étais un peu perdue hihi !

Je vous fais plein de gros bisous,
Prenez bien soin de vous,
Flora !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Flora.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Pauvre @Flora moi j'ai 1 semaine de vacs grinning smiley Courage !!! Mais t'es une machine tu vas t'en sortir !
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
@Sunshine, Hihi bonne nouvelle, avant-hier j'ai envoyé un mail au prof pour lui raconter, comme promis, mes petites nouvelles et il a envoyé un mail à la directrice PGE de mon école en lui disant que l'on était en sous-effectif pour la présentation de l'école au forum des anciens et si je pouvais venir. Donc non seulement j'aurais bientôt un petit week-end tranquille et une journée d'absence excusée mais en plus c'est l'école qui payera mon billet, mes repas, mes taxis et aussi un éventuel hébergement en hotel ! C'est vraiment un génie le prof smiling smiley !



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Flora.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Mdr même après la prépa ça restera notre sauveur à tous! Ah ouais 3 personnes c'est vachement un " sous-effectif" bande de malins, pas mal! Bonne solution.
Les gens ont hâte de te voir à Neuilly, le boulanger du boulevard nous demandait tes nouvelles, la caissière du monop aussi et le voiturier du Livio également!
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a huit mois
Bonsoir,

Pardon Flora, j'espère ne pas t'importuner mais ce passage m'interpelle :

Citation
Flora
En effet, 2 de mes étudiants ne maîtrisent pas le raisonnement par l'absurde....Plutôt inquiétant à ce stade de leur parcours, surtout qu'ils savent faire des raisonnements par récurrence mais aussi par disjonctions des cas, mais dès qu'on parle de raisonnement par l'absurde ça y est ils bloquent. Ils ne veulent même pas essayer et partent du principe que c'est difficile. ( Selon eux, le raisonnement par l'absurde est difficile car ce n'est pas du bachotage comme le raisonnement par récurrence....).

Qu'est-ce qui pourrait leur sembler difficile alors qu'ils savent faire des raisonnements a priori plus compliqués comme la récurrence ou la disjonction de cas ? Puisqu'ils ne prennent même pas la peine d'essayer, on dirait presque qu'ils confondent "par l'absurde" avec..."absurde", comme si la définition même de ce raisonnement les démoralisait, tant elle n'avait pas ou plus de sens pour eux (*).

Ou bien, ressentent-ils qu'ils ont bien compris la définition mais qu'ils ne voient pas comment l'appliquer, ni surtout à quel moment ? Le RPA (anciennement appelé "apagogie", dont il existe une version positive et une négative parfaitement équivalentes en logique classique) a pour définition généralement admise (voir dictionnaire du Cnrtl).

Citation

Raisonnement par l'absurde : Méthode de raisonnement qui pour établir la vérité d'une proposition montre que sa négation conduirait à une absurdité.

Citation

Apagogie : Raisonnement par lequel on démontre la vérité d'une proposition en prouvant l'impossibilité ou l'absurdité de la proposition contraire.

En gros, lorsqu'il m'apparaît trop dur de démontrer une certaine proposition P (resp. non P), alors je suppose vraie la proposition contraire non P (resp. P) (tes élèves savent-ils dire le contraire d'une phrase ? ça bloque aussi souvent de ce côté chez les jeunes étudiants). Lorsque cette proposition contraire me mène à une proposition fausse (absurdité ou contradiction), alors c'est qu'elle est fausse elle-même. Autrement dit (selon le principe du "tiers-exclu" déjà expliqué plus haut), c'est son contraire qui est vrai, à savoir ma proposition de départ que je voulais démontrer. CQFD.

Vu le niveau avancé de blocage de tes étudiants (peut-être pour dire le contraire d'une proposition, ou le contraire du contraire, etc. il n'y a pas de honte à cela), tu devrais peut-être déjà commencer par des exemples simples en langue française (mets les maths provisoirement de côté). Le RPA est instinctivement utilisé dès le jeune âge lorsque l'enfant veut convaincre ses camarades :

"Ben si, c'est vrai [proposition à démontrer], sinon [il suppose le contraire] on aurait ceci ou cela, n'importe quoi [on arrive à une absurdité] donc c'est vrai... [le contraire de la proposition initiale est faux, donc elle est vraie]"

Tes étudiants se sentiront soudain plus à l'aise s'ils se rendent compte qu'ils ont toujours utilisé à merveille le raisonnement par l'absurde. Tu peux par exemple (re)prouver avec eux que le soleil couchant sur la mer ne rentre pas dans l'eau (peu importe la validité physique de ces exemples, c'est juste pour la logique) :

"Le soleil couchant ne plonge pas dans l'eau. En effet, sinon il se mouillerait et s'éteindrait dans la mer et ne réapparaîtrait plus...".

etc., puis passer à des exemples mathématiques simples (infinité des nombres entiers, des nombres premiers, irrationalité de $\sqrt{2}$, etc.).

Merci si tu pouvais nous en dire plus ou demander à tes élèves de détailler leurs difficultés.

Bonne nuit.

(*) Ce que je comprendrais mieux s'ils avaient suivi ces dernières années, avant d'être dans ta classe, les débats hallucinants et agités autour du RPA dans ce forum et dont le présent fil se fait encore l'écho winking smiley J'espère que ce n'est pas le cas.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a sept mois
J'ai donné un raisonnement par l'absurde pour prouver qu'une fonction intégrable et uniformément continue sur $ [0,+ \infty[$ a une limite nulle en $ + \infty$.
[www.les-mathematiques.net]
Je ne sais pas le démontrer autrement. J'espère que c'est vraiment un raisonnement par l'absurde.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Dom
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a sept mois
Chaurien :

Si je lis les grandes lignes, on peut dire que tu montres "Si la fonction ne tend pas vers $0$, alors elle n'est pas intégrable". En ce sens, on a la contraposée.
Je crois avoir lu quelque part que dès qu'on peut démontrer une chose par contraposée (disons en prenant les mêmes éléments de démonstration), alors ce n'est pas un "vrai" raisonnement par l'absurde.

Mais je ne m'avance pas davantage.

Dom
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a sept mois
Bonsoir,

@Dom : démontrer par contraposée que A => B (pour 2 propositions quelconques A et B) c'est démontrer la proposition logiquement équivalente non B => non A. Ce n'est pas le RPA, qui consiste à démontrer une autre proposition équivalente à la première, qui est : non(non(A => B)) ("supposer le contraire mène à une absurdité").

Pour rappel du vrai raisonnement par l'absurde ou apagogie :

Version positive :

- Je veux démontrer P :

1) Je suppose non P
2) Je montre non P => tout,
3) D'où non(non P),
-------------------------------------------
i.e. par tiers-exclu, P.

Version négative :

- Je veux démontrer non P :

1) Je suppose non(non P),
2) i.e. par tiers-exclu, P
3) Je montre P => tout,
-------------------------------------------
D'où non P.

Dans les deux versions, l'axiome du tiers-exclu intervient - il est seulement placé à une position différente du raisonnement.

Il existe une autre forme de raisonnement distincte de la version négative et utilisée par les logiciens et philosophes, qui est la réduction à l’absurde pour démontrer la fausseté d'une proposition P, i.e. non P, en montrant qu'elle mène à l'absurde :

(P => tout) => non P

qui elle n'utilise pas le tiers-exclu mais qui n'est pas ce qu'on appelle le raisonnement par l'absurde, lui utilisé uniquement pour démontrer la vérité d'une proposition P ou d'une proposition non P en supposant son contraire pour arriver à une contradiction.

Voir par exemple le site du Cnrtl :

Citation

C.- LOG., p. ext. MATH. Raisonnement par l'absurde. Méthode de raisonnement qui pour établir la vérité d'une proposition montre que sa négation conduirait à une absurdité. Réduction à l'absurde. Raisonnement qui pour établir la fausseté d'une proposition montre qu'elle conduirait à une absurdité
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a sept mois
@Dom : la distinction entre "vrai" et "faux" RPA se voit du point de vue de l'intuitionnisme.
De ce point de vue intuitionniste, si $A\vdash B$ alors $\neg B\vdash \neg A$, mais on n'a pas la réciproque.
La contraposition sous forme si $\neg B\vdash \neg A$, alors $A\vdash B$, c'est kif kif le RPA.
Je te laisse faire l'exercice de confronter ça à la sémantique topologique où les propositions ont comme valeur de vérité des ouverts d'un espace topologique, $\vdash$ se traduit par $\subset$ et $\neg$ par "intérieur du complémentaire".
Dom
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a sept mois
Ha ! Merci GaBuZoMeu winking smiley

Ok.
Du point de vue logique classique, que peut-on dire alors, concernant le RPA ?
Est-ce à dire que tous ceux qui pensaient utiliser un RPA, mais à qui on a dit "cela n'en est pas un vrai", avaient en fait "raison" car ils se mettaient du point de vue de la logique classique ?

En effet, on voit plusieurs fils avec l'exercice que tu proposes dont le support est la topologie.
Il faut me dégager du temps pour m'approprier ces choses là...
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a sept mois
Du point de vue logique classique, du moment qu'on identifie clairement qui est $p$ et qui est $\neg p$, on peut bien repérer les raisonnement qui utilisent l'axiome RPA (ou tiers exclus).
Par exemple si on décide que $p$ est "machin est rationnel" et $\neg p$ est "machin est irrationnel", la démonstration habituelle (celle qui commence par "supposons $\sqrt 2$ rationnel") de l'irrationalité de $\sqrt 2$ n'utilise pas le RPA.
J'ai rarement, en fait jamais, vu quelqu'un commencer la démonstration par "supposons que $\sqrt 2$ n'est pas irrationnel ; donc $\sqrt 2$ est rationnel etc.".
Ça devient bien sûr beaucoup plus compliqué quand on se met à prétendre que $\neg\neg p$ est égal à $p$.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a sept mois
Bonsoir Ltav,

merci pour votre petit message et pas du tout vous ne m'importuner pas winking smiley Je vous répondrai bientôt dès que j'ai un peu de temps , là je suis un peu blasée car j'ai beaucoup de travail et de choses à faire mais je vous répondrai promis :) !
Bonne soirée !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Flora.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a sept mois
Bonsoir Flora, merci de ton post, il n'y a aucun souci : prends ton temps smiling smiley ton travail en priorité, bon courage et bonne soirée !
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a sept mois
Bonjour,

Juste pour répondre à cela sans trop interférer avec le fil.

Lorsque quelqu'un fait le raisonnement suivant :

"Je veux démontrer Q := non P (sous-entendu la vérité de la proposition Q définie par non P). Je suppose P. Je montre P => absurde. Donc Q est vraie"

il fait obligatoirement un raisonnement par l'absurde avec axiome "RPA" ou tiers-exclu s'il raisonne en fonction de Q. En logique intuitionniste (sans axiome tiers-exclu), il est en effet impossible d'obtenir la proposition P à partir d'opérations logiques sur Q : le choix de P serait totalement arbitraire (du genre j'enlève les 3 premières lettre "n.o.n" devant P). En logique classique, on peut car P = non Q. La logique classique a l'immense avantage de justifier pourquoi on suppose P pour démontrer la vérité de non P. Le raisonnement s'écrit donc :

"Je veux démontrer Q := non P. Je suppose son contraire non Q, i.e. P par tiers-exclu. Je montre P => absurde. Donc P est faux, i.e. Q := non P est vraie"

Ainsi, le raisonnement que l'on rencontre très souvent :

"Je veux démontrer $\sqrt{2}$ est irrationnel (Q vraie). Je suppose par l'absurde qu'il est rationnel (i.e. Q est fausse ou P est vraie). Je montre alors une absurdité. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel (Q vraie)"

est très précisément un raisonnement par l'absurde utilisant le tiers-exclu (deux fois même, si au-dessus on dit "Q fausse" au lieu de "P vraie"). Même chose si l'on remplace la proposition "$\sqrt{2}$ est irrationnel" par "l'ensemble des nombres premiers est infini", etc.

Quant au raisonnement : "Je veux démontrer que $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel (au sens où P fausse). Je le suppose rationnel (P vraie) et je montre l'absurde (P => tout), donc $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel (P est fausse)", c'est une réduction par l'absurde (ou "raisonnement par l'absurde sans tiers-exclu"), mais il est loin d'être le seul rencontré dans la littérature, où l'on parle le plus souvent de ("la vérité de") l'irrationalité de $\sqrt{2}$.

J'ai expliqué tout cela en long et en large depuis longtemps. Il serait temps de s'accorder sur ces réalités très simples afin de clarifier enfin les esprits - injustement portés au plus haut point de confusion dans ce "débat" qui dure depuis des années.

Bonne journée.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a sept mois
Ce que raconte Ltav est complètement incohérent. Si Q := non P, le choix de P n'a évidemment rien d'arbitraire. Pas plus arbitraire que le fait que la donnée de $(x,y)\in \mathbb R^2$ détermine entièrement la deuxième coordonnée $y$.
Dom
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a sept mois
Si depuis toujours les gens raisonnent en logique classique et si en plus ils déclarent que non(non(P))=P, on peut quand même très bien comprendre que leur RPA est « je veux démontrer [A => B], je suppose la négation qui est [A et non(B)], et j’arrive à un truc absurde. J’en déduis que ce qui est supposé est faux donc qu’on a bien la négation du truc supposé ».
On dira qu’ils utilisent l’expression RPA par abus de langage.
Tout ça pour expliquer le « ça fait des années que ça dure ».

Cependant : quand on nie une assertion quantifiée, on donne la règle où le $\forall$ devient $\exists$ et vice versa.
Puis le $=$ devient sa négation $\neq$ et tout ce qui s’en suit.
Quand on dit ça : cette règle applique bien le non(non(P))=P.
Je veux dire qu’on n’a pas que l’équivalence mais bien l’égalité.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Dom.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a sept mois
Citation
Dom
Je veux dire qu’on ne pas que l’équivalence mais bien l’égalité.
La formule $\neg \forall x\ P$ n'est pas égale à la formule $\exists x\ \neg P$. Les différences entre les deux sautent aux yeux, n'est-ce pas ? La première est la négation d'une formule, la deuxième est la quantification existentielle d'une formule.
Les deux formules sont (classiquement) logiquement équivalentes. Autrement dit, les classes modulo équivalence logique des deux formules sont égales. Si on fait l'abus consistant à appeler "formule" une classe d'équivalence logique de formules, on a effectivement l'égalité.
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a sept mois
Pas si incohérent si tu y réfléchis sérieusement : je te donne $y$, en supposant qu'il existe $f$ une fonction surjective de $\mathbb{R}$ dans lui-même telle qu'une infinité de réels $x$ vérifient $y= f(x)$. Ton choix d'un $x$ est "arbitraire" au sens où tu choisis un $x$ parmi une infinité. En logique intuitionniste, $g : P \longrightarrow non P$ est une telle fonction surjective de l'ensemble des propositions dans lui-même : une infinité de propositions a $non P$ comme image par $g$ comme $non( non P)$, $non( non (non (non P)))$, etc.

Or cette fonction devient bijective en logique classique grâce au tiers-exclu : à $non P = g(P)$ on peut associer une et une seule proposition $P$ telle que $P = g^{-1}(non P)$. Le choix de $P$ par rapport à $non P$ perd tout "arbitraire". Pour l'exemple avec les réels, cela revient à choisir $y$ et à imposer $x = f^{-1}(y)$. Rien à voir avec se donner librement deux réels $ x, y$.

Mais il s'agit d'une question un peu philosophique qui n'occupe qu'une très petite partie dans mon message. Quelles autres "incohérences" as-tu notées ?
Dom
Re: Raisonnement par l'absurde
il y a sept mois
Ha oui ok, c’est mon abus de langage.
Là encore ce doit être très très répandu.
On doit trouver des « pour nier, on change ceci en cela » et dans des têtes (dont la mienne) ça traduit par « c’est pareil » puis « c’est égal ».
Mais en effet, ce n’est pas égal (sauf dans tel ensemble, modulo ceci...).

Ce doit être lié à une analogie (malheureuse à bien des égards, certainement) avec : $opp(-5)=5$
Là, c’est bien « égal » car on parle des nombres. Mais l’écriture est bien différente.

Autant citer un exemple encore plus simple : 2+3=5.
L’égalité a lieu dans l’ensemble des entiers.

Ces banalités (me) permettent tout de même de comprendre.
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