Fonction périodique

Si tu prends deux réels $x$ et $y$ assez proches, il existe dans $[0,T]$ deux réels $x'$ et $y'$ qui ont les mêmes images par $f$ (i.e. $f(x)=f(x')$ et $f(y)=f(y')$). Problème : si $\delta$ est « petit », si par exemple $x=1000T+\delta$ et $y=1000T-\delta$, alors $x'=\delta$ et $y'=T-\delta$ ne sont pas proches donc on n'est pas avancé.

Cependant, si tu autorises $x'$ et $y'$ à être dans $[-T,T]$, disons, alors tu peux les choisir proches : dans l'exemple précédent, cela revient à prendre $y''=-\delta$ à la place de $y'=T-\delta$. Sauras-tu généraliser ?

[Message commencé il y a deux heures ; grillé par Calli dans l'intervalle ; je poste quand même, c'est un peu plus explicite.]

Bonjour Attien, et bon rétablissement.

Je ne comprends pas bien le but de ta question. Si effectivement, il « suffit de choisir un $n$ de telle sorte que (...) », pourquoi ne le fais-tu pas ? Écris la démonstration. Si tu la trouves convaincante, poste-la ici et on te dira ce qu'on en pense ; si en revanche il y a un endroit où « ça bloque », sans doute verras-tu pourquoi, et peut-être alors saisiras-tu l'intérêt des indications données par Math Coss.

Les maths, c'est du raisonnement. Si le raisonnement est inattaquable, tu dois pouvoir l'écrire de manière explicite et claire. Ta démonstration doit commencer par « Soit $\varepsilon >0$. » À partir de là, tu dois pouvoir prouver l'existence d'un $\eta >0$ tel que... à toi d'expliciter ce qu'il doit vérifier. Le réel $\varepsilon$ t'est imposé, tu n'as aucun contrôle sur lui. Tout ce que tu sais de lui, c'est qu'il s'agit d'un réel strictement positif. Le $\eta$, en revanche, c'est à toi de le choisir de façon qu'il satisfasse les conditions de la définition de l'uniforme continuité de ta fonction $f$ sur $\R$. À toi de jouer ! :-)