Des exercices qui sont des théorèmes
Bonsoir, j'aimerais bien savoir si après avoir faire des exercices, il était possible de les réutiliser dans autre exercice sans les démontrer à nouveau.
exemple:
Soit $f$ une fonction périodique.
si $f$ est continue, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
Merci d'avance pour votre réponse.
exemple:
Soit $f$ une fonction périodique.
si $f$ est continue, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
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Réponses
Oui : seulement si on sait démontrer ce que l’on utilise.
En fait, c’est assez délicat de répondre à cette question.
Disons que pour le cas que tu cites (il faudrait tout de même préciser l’espace de départ, notamment parce que dit comme ça, la périodicité ne sert pas dans certains cas), je pense que l’on peut, oui...
Dans d’autres cas, peut-être qu’on peut tenter le coup pour des raisons de temps mais pour ma part il m’est déjà arrivé de préciser les points clefs de la démonstration pour « rassurer » le correcteur.
Attendons d’autres avis.
En règle générale il faut surtout avoir un petit corpus de résultats adhérents au programme, en sachant les remontrer, du moins pour la plupart. Leur utilisation passe à condition de rester dans l'esprit du problème. Même en sachant le remontrer utiliser un résultat qui court-circuite une preuve guidée n'est pas une bonne idée.
La définition de suite de Cauchy suffit (*).
Ci-dessous, $\overline B$ abrège "boule fermée" et $B$, "boule ouverte".
Soit $(X,d)$ un espace métrique complet (i.e. dans lequel toute suite de Cauchy converge) et soit $V_n$ une suite d'ouverts denses de $X$. Soit $U$ un ouvert non vide de $X$.
Il existe (densité de $V_0$) $x_0 \in U\cap V_0$ et $r_0>0$ tels que ($U \cap V_0$ étant ouvert) $\overline B (x_0,r_0) \subseteq U \cap V_0 $. Ensuite, on construit par récurrence (via l'axiome du choix dépendant) une suite $n \mapsto x_n$ de $X$ et une suite de réels strictement positifs $n \mapsto r_n$ tels que pour tout $n \in \N$, $\overline B(x_{n+1} ,r_{n+1}) \subseteq V_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ et $r_{n+1} \leq \frac{r_n} 2$.
Par construction, $(x_n)_{n \in \N}$ est une suite de Cauchy; en effet, pour tout $m\geq 0$, et pour tout $p\geq m$, $x_p$ est dans $\overline B(x_m,r_m)$, de plus $r_m \leq 2^{-m} r_0$ donc si $p,q \geq m$, $d(x_p,x_q) \leq 2^{m-1}r_0$. Donc cette suite converge donc vers un certain $x\in X$.
Soit $p$ un entier; comme $\overline B(x_p,r_p)$ est fermé et contient tous les $x_n$ pour $n\geq p$, $\overline B(x_p,r_p)$ contient aussi la limite $x$ de la suite $n\mapsto x_n$. Par suite $x$ appartient à $U$ (qui contient $\overline B(x_0,r_0)$ par construction), et aussi $x\in V_n$ pour tout $n$ car $V_n$ contient $\overline B(x_n,r_n)$ pour tout $n$; bref $x \in U \cap \bigcap_{n \in \N}V_n$ d'où la densité de $\bigcap_{n \in \N}V_n$.
[size=x-small](*)A vrai dire tous les théorèmes intermédiaires sont superflus en maths via le théorème d'élimination des coupures mais ce point de vue est un peu trop extrême...[/size]
Par contre, quand on apprend, les exercices ne sont pas des résultats fondamentaux. Il faut savoir les faire, qu'on les ait déjà rencontrés ou jamais. Donc c'est une pratique formalisée, la réponse "c'est un résultat connu" n'est pas ce qui est attendu.
Cordialement.
Ça m'avait juste marqué ce théorème posé en exercice dans un contrôle d'une heure parmi deux autres exercices, donc théoriquement fait pour être traité en 20 minutes, et le clou enfoncé par la correction du contrôle juste après durant laquelle le prof a dit "par théorème des fermés emboîtés, vu en exercice...".
Pour revenir au propos initial, je pense que tu ne perds rien à connaitre des résultats, en sachant les remontrer (par exemple le fait qu'une fonction périodique continue est bornée se trouve en deux lignes donc ce serait dommage de juste le sortir du chapeau).
La fin de la phrase disant le contraire du début, on laissera de côté ce genre d'avis inutile, destiné seulement à dire le contraire d'un message précédent.
L'hypothèse de Riemann est un exercice difficile, ce n'est pas une dépréciation.