Des exercices qui sont des théorèmes

Riemann_lapins_cretins a écrit:

Je me souviens d'un chargé de td qui nous avait mis le théorème de Baire à démontrer (posé cash comme ça), ce qui nécessite le théorème des fermés emboîtés que nous n'avions vu qu'en exercice...

La définition de suite de Cauchy suffit (*).
Ci-dessous, $\overline B$ abrège "boule fermée" et $B$, "boule ouverte".
Soit $(X,d)$ un espace métrique complet (i.e. dans lequel toute suite de Cauchy converge) et soit $V_n$ une suite d'ouverts denses de $X$. Soit $U$ un ouvert non vide de $X$.
Il existe (densité de $V_0$) $x_0 \in U\cap V_0$ et $r_0>0$ tels que ($U \cap V_0$ étant ouvert) $\overline B (x_0,r_0) \subseteq U \cap V_0 $. Ensuite, on construit par récurrence (via l'axiome du choix dépendant) une suite $n \mapsto x_n$ de $X$ et une suite de réels strictement positifs $n \mapsto r_n$ tels que pour tout $n \in \N$, $\overline B(x_{n+1} ,r_{n+1}) \subseteq V_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ et $r_{n+1} \leq \frac{r_n} 2$.
Par construction, $(x_n)_{n \in \N}$ est une suite de Cauchy; en effet, pour tout $m\geq 0$, et pour tout $p\geq m$, $x_p$ est dans $\overline B(x_m,r_m)$, de plus $r_m \leq 2^{-m} r_0$ donc si $p,q \geq m$, $d(x_p,x_q) \leq 2^{m-1}r_0$. Donc cette suite converge donc vers un certain $x\in X$.
Soit $p$ un entier; comme $\overline B(x_p,r_p)$ est fermé et contient tous les $x_n$ pour $n\geq p$, $\overline B(x_p,r_p)$ contient aussi la limite $x$ de la suite $n\mapsto x_n$. Par suite $x$ appartient à $U$ (qui contient $\overline B(x_0,r_0)$ par construction), et aussi $x\in V_n$ pour tout $n$ car $V_n$ contient $\overline B(x_n,r_n)$ pour tout $n$; bref $x \in U \cap \bigcap_{n \in \N}V_n$ d'où la densité de $\bigcap_{n \in \N}V_n$.

[size=x-small](*)A vrai dire tous les théorèmes intermédiaires sont superflus en maths via le théorème d'élimination des coupures mais ce point de vue est un peu trop extrême...[/size]

Dans le travail d'un mathématicien, il n'y a pas d'exercice. Tout ce qui a été déjà démontré et publié (par lui ou par les autres) est utilisable.
Par contre, quand on apprend, les exercices ne sont pas des résultats fondamentaux. Il faut savoir les faire, qu'on les ait déjà rencontrés ou jamais. Donc c'est une pratique formalisée, la réponse "c'est un résultat connu" n'est pas ce qui est attendu.

Cordialement.

gerard0 a écrit:

Dans le travail d'un mathématicien, il n'y a pas d'exercice.

Un mathématicien, c'est un peu quelqu'un qui passe sa vie à faire des exos (très durs et à solution inconnue certes).

J'ai rencontré des définitions du mathématiciens plus intelligentes que celle de Foys : "Un mathématicien, c'est un peu quelqu'un qui passe sa vie à faire des exos (très durs et à solution inconnue certes). "
La fin de la phrase disant le contraire du début, on laissera de côté ce genre d'avis inutile, destiné seulement à dire le contraire d'un message précédent.