Ordre de grandeur
Bonsoir,
en 6ème, les élèves sont amenés à déterminer des ordres de grandeur (d'une somme, d'un produit, etc.).
Y a-t-il une règle pour trouver un ordre de grandeur ?
Ce qui est difficile, en classe, c'est quand on demande aux élèves de trouver un ordre de grandeur de "7 825 - 317" et que j'ai une multitude de réponses (7 830 - 320 ; 8 000 - 500 ; etc.).
Et il est normal que les élèves veulent savoir si leur résultat est correct.
Je sais que je vais restreindre le champ des possibles (et que je vais me faire grogner dessus), mais il pourrait être intéressant, si ces règles n'existent pas, d'en établir une pour avoir une simplicité de travail.
Tout en précisant que dans le cadre général, il y a de grandes chances que leur résultat soit juste.
[small]Pour moi, cette question rejoint la même question que "Émettre une conjecture sur le résultat obtenu par cet algorithme..." : comme, en général, les conjectures proviennent d'une, de deux, de trois voire quatre observations, toutes ces observations peuvent avoir de points communs (le résultat est pair, il est positif, etc.).
Il y a, là encore, tellement de choix de réponses.[/small]
Suis-je le seul à rencontrer ce problème ?
Comment procédez-vous ?
Merci pour vos retours.
en 6ème, les élèves sont amenés à déterminer des ordres de grandeur (d'une somme, d'un produit, etc.).
Y a-t-il une règle pour trouver un ordre de grandeur ?
Ce qui est difficile, en classe, c'est quand on demande aux élèves de trouver un ordre de grandeur de "7 825 - 317" et que j'ai une multitude de réponses (7 830 - 320 ; 8 000 - 500 ; etc.).
Et il est normal que les élèves veulent savoir si leur résultat est correct.
Je sais que je vais restreindre le champ des possibles (et que je vais me faire grogner dessus), mais il pourrait être intéressant, si ces règles n'existent pas, d'en établir une pour avoir une simplicité de travail.
Tout en précisant que dans le cadre général, il y a de grandes chances que leur résultat soit juste.
[small]Pour moi, cette question rejoint la même question que "Émettre une conjecture sur le résultat obtenu par cet algorithme..." : comme, en général, les conjectures proviennent d'une, de deux, de trois voire quatre observations, toutes ces observations peuvent avoir de points communs (le résultat est pair, il est positif, etc.).
Il y a, là encore, tellement de choix de réponses.[/small]
Suis-je le seul à rencontrer ce problème ?
Comment procédez-vous ?
Merci pour vos retours.
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Réponses
Si le résultat arrondi est $a 10^{b}$ avec $a\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ alors l’ordre de grandeur est $10^b$.
Un ordre de grandeur est une estimation de la taille du résultat (sous forme d'une valeur approchée sans demande de précision). Si pour "7 825 - 317" tu as comme réponse "7 830 - 320", c'est que l'élève n'a pas compris ou a eu la fainéantise de faire le calcul ou ne comprend pas que 7830-320 est un nombre ou ... que sais-je encore.
Dans tous les cas, ton travail est de sanctionner l'incompétence, quitte (c'est une grosse part du boulot de prof) à mettre en place des remédiations (explications générales ou individuelles, reprise du même genre d'exercice, entretien d’explicitation, ...
Quant à donner une définition de notions volontairement floues (*), quel en serait l'utilité ? Si les maths deviennent une activité purement automatique, il n'y a plus de maths.
Cordialement.
(*) exactement comme la notion de "valeur approchée", pas de définition. C'est seulement lorsqu'on définit les conditions de précision qu'il y a définition : "Valeur approchée entière à 0,5 près" se définit; pas valeur approchée. de même "ordre de grandeur en nombre de chiffres avant la virgule" a une définition.
j'aurais tendance à penser que 948950 a pour ordre de grandeur le million.
Cordialement.
Tu peux corriger ta compréhension en pensant que l’ordre de grandeur est $100\,000.$
il semblerait qu'il existe des définitions de l'ordre (*) de grandeur, variables (Wikipédia : "la plus proche des puissances de 10"; YvesM ci-dessus), et des usages locaux. Donc donner une définition en collège est probablement nuisible.
N'importe comment deux ans après ce sera oublié !!
Cordialement.
(*) avec un article défini l'.
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Les ordres de grandeur constituent une notion floue dont les tentatives de définition précise vont tomber dans l'arbitraire et je rejoins gerard0 sur ce point.
Et si on insiste, il serait bon que la définition retenue rejoigne le sens courant donc s'il faut prendre le log, mieux vaut ne pas prendre la partie entière du log.
Il y a toujours de l’arbitraire dans une définition, non ? Comme je suis physicien de formation, les ordres de grandeurs sont devenus intuitifs : j’ai même du mal à comprendre vos objections.
La notion est utile en physique, en économie et dans d’autres domaines.
Par exemple :
Niveau M2 spécialisé astrophysique en devoir à la maison : quel est le diamètre de la plus petite étoile ?
Pour s’amuser sans connaissance préalable :
Véritable question que m’a posé un prix Nobel de physique pour me prendre comme thésard : combien y a t il d’accordeurs de pianos à New York ? Que proposez-vous comme mesure ?
36,2 + 34,1 c'est grosso modo 35 + 35 = 70. Puis on vérifie sur la calculatrice...
L'exemple d'Arturo:
7 825 - 317 c'est pas loin de 7800 - 320 = 7480 ou encore 8000-300=7600 ou encore 7800-300=7500. Il y a plein de variantes.
Comme tu vois, il n'y a rien de précis.
En gros j’achète des trucs : 23,12€+59,95€+18,14€
L’idée est que le gamin, ATTENTION, SANS CALCULATRICE !!!!!, entoure la bonne réponse entre :
Ça va coûter environ :
a) 10€
b) 100€
c) 1000€
Voilà.
On arrondit tout à la dizaine dans mon cas.
2)L’ordre de grandeur est quand même intuitif, on le fait tous, non ? quand on achète des choses et qu’on n’a qu’un billet de 20€ en poche. On arrondit tout par excès et si c’est en dessous de 20, c’est ok.
3) On pourrait donner une définition du type « on arrondit à la puissance du chiffre de plus haut rang » si c’est clair...(édit : bon ok ça ne veut rien dire).
C’est ce que dit Gérard avec le million. En gros c’est 950000€ c’est presque le million.
4) Que ceux qui ont des 2nde essayent la consigne du « 1) ».
Que ceux qui ont des 6e, aussi bien sûr. Ce sera déprimant mais moins qu’en 2nde.
il me semble que demander un ordre de grandeur doit s'accompagner de la précision attendue . Par exemple 10-1 , 10-2 , 5% ....
Cordialement
En fait, la précision est dans la définition : demander un ordre de grandeur, c’est demander $10^b.$
C’est une autre chose que de demander une approximation.
En 6e, c’est une approche naïve.
On peut scander qu’il ne s’agit pas de mathématiques, oui, d’accord.
J’entends encore une Professeur des Écoles dire « qu’il faudrait plutôt penser à la fonction sociale des maths ».
Comprendre : « faut faire des trucs qui servent à acheter le pain ».
Déjà ils ont retiré l’histoire des valeurs approchées que tout le monde utilise.
C’était pompeux troncature, arrondi, etc.
La définition « propre » n’est plus comprise depuis au moins une décennie sauf dans les coins « à peu près bien ».
Bon, moi je pense que ça ne sert à rien de faire ça (ordre de grandeur). Sauf quand ça s’y prête : « Hey ! Regardez les petits loups, si on arrondit grossièrement on peut s’apercevoir que Robert s’est bien planté. D’ailleurs il aurait pu s’en apercevoir. Robert, voyons, on demande le diamètre de la coquille d’un escargot trouvé sur la plage et tu balances ”environ 18000 km”, allons bon, dis-donc !!! ».
C’est un truc de bon sens dans la vie courante. Ça ne s’enseigne pas, ça se debrief de manière opportune.
(Bon je suis catégorique et on va me le reprocher....)
Il y a mieux à faire, notamment en géométrie.
quand un physicien me dit que l'ordre de grandeur de 94, c'est 10, je m'inquiète un peu.Mais je ne suis pas physicien ...
Cordialement.
Ce que j'en pense est dans l'exercice joint.
@gerard0 : ne t’inquiètes plus. On est sur un forum de maths : apprends les définitions. Et soit heureux que les physiciens comprennent les définitions.
Si tu préféres avec des exemples, l’ordre de grandeur revient à dire :
- la maison à 900 mille euros coûte plusieurs (ou quelque) milliers d’euros,
- 94 c’est plusieurs (ou quelque) dizaines.
Bref, ne confonds pas valeur approchée et ordre de grandeur : ce sont des notions distinctes.
- 94 c’est plusieurs dizaines et c’est proche de 100. L’ordre de grandeur est la dizaine. Une valeur approchée est une centaine.
As-tu atteint un âge où on refuse d’apprendre les définitions ?
Avec ta définition, 94,999 a pour ordre de grandeur 10 et 95 a pour ordre de grandeur 100, bizarre, bizarre.
94 fois plus, c'est 2 ordres de grandeur de plus, ou un seul ?
Comme toute notion floue la notion d'ordre de grandeur ne peut avoir une définition unique sans perdre de son intérêt. C'est tout ce que j'ai voulu signifier.
Cordialement.
NB : la remarque sur mon âge n'est pas amicale !!
Je vois les choses comme Gérard. Je n’ai pas de source.
« 950 a pour ordre de grandeur 100 » me fait bizarre.
La fonction « OrdreDeGrandeur » n’est quasiment jamais stable pour l’addition.
Pour moi l’ordre de grandeur serait plutôt 1000.
Je parle intuitivement, bien entendu.
Je comprends que tu choisis, en gros, le premier chiffre significatif du nombre puis son rang dans le tableau de numération de position.
Cela dit, dans ton sens, on dit bien que la taille d’une guêpe est de l’ordre du centimètre, par exemple.
Ça rejoint ton point de vue « plusieurs, quelques ». Ça rejoint aussi la notation scientifique (puissance de 10 choisie).
Ta raideur physicienne me rappelle mes conversations de jeunesse avec un normalien et un para-normalien de Lyon (j'étais en école d'ingé dans la région) qui se plaignaient (gentiment) des enseignements d'un prof de physique ultra-brillant qui était dans ces trips d'ordre de grandeur et disait la même chose que toi. D'ailleurs pour lui $\hbar = 0$.
Edit : à part ça, à la physicienne, la déf. d'YvesM est exacte et d'un usage constant.
Il y a des choses qui ne relèvent pas des mathématiques.
Pour donner un exemple :
si je fais la moyenne des tailles des élèves d'un collège et que je trouve environ trois mètre, il est clair que je me suis trompé quelque part et que c'est une erreur d'ordre de grandeur.
Pourtant on peut dire que 1,5 et 3 sont du « même ordre de grandeur » dans d'autres cas.
Chers camarades, chères camarades, il y a une seule définition et c’est celle de @YvesM!
Wiki française, anglaise, russe et allemande sont d’accord avec YvesM. L’approximation grossière dont vous appelez « ordre de grandeur » est une invention pedago-à-gogo-giste. Un peu comme intervalle de fluctuation, sauf que cette fois ce n’est pas antimaths.
L’ordre de grandeur de $7825-327$ est $3$ ou $10^3$ selon le pays. Parce que $7825-317=7508=7,508 \times 10^3$.
Sinon c'est vraiment étonnant de voir tant de messages suintant l'agressivité pour juste parler d'ordre de grandeur.
@gerard0 : comme je craignais tu as atteint un âge où on refuse d’apprendre ou de corriger ces erreurs. Soit. C’est toi qui perd comme on dit.
@dom : non, 950 n’est pas de l'ordre de mille.
950 est plusieurs centaines. L’ordre de grandeur est donc la centaine.
Si tu assignes un ordre de grandeur de mille, tu dis que 950 est plusieurs milliers. Ce n’est pas vrai. Je dis même plus : c’est faux.
Ordre de grandeur est défini : ce n’est pas une notion floue ou vague. C’est mathématiquement défini. Dans la vie de tous les jours, on ne va pas utiliser rigoureusement cette définition et si j’entends 120 est de l’ordre de la dizaine, je ne m’offusque pas. Mais sur un forum de maths, on a le droit d’utiliser la définition.
Au fait, pour bien comprendre cette notion, il faut répondre à la question : combien d’accordeurs de pianos à New York ? Quel est l’ordre de grandeur ?
Qui se lance ? Sans aucune donnée autre que vos connaissances.
Edit (je joue aussi), en prenant tout le monde, moins de 1 000 c'est sûr, donc de l'ordre de $10^2$.
« 6,7x10^3 a pour ordre de grandeur 10^4, car 6,7 est supérieur à 5.»
Moi, je n’affirme rien, je ne comprends pas pourquoi on a choisi ça.
Je peux accepter des définitions.
Donc il faut accepter « 9,99 est de l’orde de l’unité » si j’ai bien compris.
Yves maintiens-tu « l’ordre de grandeur revient à dire la maison à 900 mille euros coûte plusieurs (ou quelque) milliers d’euros [...] » ?
Pour toi, l’ordre de grandeur de 900 000 €, est-ce bien 1 000 € ?
Qui veut bien déposer la définition formelle « puisqu’on est en maths » ?
Sans lien, merci.
Est-ce le rang du premier chiffre significatif dans l’écriture décimale ? (« Chiffre significatif » que je ne définis pas)
La question sur le nombre d’accordeurs de piano, je la trouve débile.
Je l’aurais dit avec plus de diplomatie et aurait été content quelle que soit l’issue de l’entretien.
Remarque :
C’est quand même bizarre de s’écharper entre personnes intelligentes.
D’autant plus que personne ne sait qui a la plus grosse.
Y a des complexes ici ?
Pour préciser : à part l’échange sur l’âge, je ne trouvais pas que ça s’engueulait.
PS :
Les remarques sur l’âge, c’est taquin, voire amusant, si ce sont des vannes.
Sinon, ce n’est même pas discourtois mais complètement absurde.
En miles, la distance terre-soleil est de 93*10^6 miles. et la distance Mars-Soleil est de 141*10^6 miles (227.9*10^6 km). Elles n'ont pas le même ordre de grandeur (selon la fameuse définition).
NB: le rapport entre les distances Jupiter-Soleil et Mars-Soleil est de 3.41.
Je fais mes courses, premier article 19 euros, deuxième 13, etc. Si le prix final est de 90 euros, on attend que l'élève dise assez rapidement que le prix final sera autour de 100 euros, encore mieux 90, et surtout pas 10.
Je dois 9990 euros à mon banquier qui protège mon argent. Je lui donne mille, c'est bon il est content ?
Comme quoi la notion de "prix psychologique" était bien pensée (prix du type 99999 pour faire croire "que c'est pas 100000"). Maintenant le rôle de l'enseignant (il paraît qu'ils forment le futur citoyen éclairé) est de ne pas préparer la facilitation ultérieure de ce mécanisme d'hypnose chez ses élèves. L'ordre de grandeur en $\lfloor \log_{10} \rfloor$ est à ce titre un véritable scandale.
Selon Wikipedia français, l'ordre de grandeur de $x$ est $10^n$ si $\frac{1}{2}<a\leqslant 5$.
Selon Wikipedia anglais, l'ordre de grandeur de $x$ est $10^n$ si $\frac{1}{\sqrt{10}}\leqslant a <\sqrt{10}$.
Selon YvesM, l'ordre de grandeur de $x$ est $10^n$ si $1\leqslant a<10$ (si j'ai bien compris sa définition).
Ces trois définitions sont à peu près les mêmes, à changement d'unité près. Ce sont des définitions raisonnables en physique, lorsqu'on dit des choses comme « l'ordre de grandeur de la taille d'une molécule est du nanomètre ».
Pour les accordeurs de piano à NYC, je dirais : il y a de l'ordre de $10^6$ habitations. Il y a entre $10$ et $100$ habitations pour un piano. Chaque piano doit être accordé une fois par an, et un accordeur accorde de l'ordre d'un piano par jour, donc quelques centaines par an. Il y a donc besoin d'un accordeur pour $10^4$ habitations environ, donc l'ordre de grandeur du nombre d'accordeurs de piano à NYC est de $10^2$.
Mais tout ceci n'a pas de rapport avec ce qu'on demande à un collégien. Le but de la question posée à l'élève est qu'il évalue grossièrement s'il ne s'est pas lourdement trompé dans ses calculs. Je dirais que, pour un collégien, $a\times 10^n$ est un bon ordre de grandeur de $x$ si $a\in \{2,\ldots,9\}$ et $(a-1)\times 10^n \leqslant x\leqslant (a+1)\times 10^n$, et que $10^n$ est un bon ordre de grandeur de $x$ si $9\times 10^{n-1}\leqslant x\leqslant 2\times 10^n$. Pour la question initiale, un ordre de grandeur de 7 825 - 317 pourrait être 8000, puisque 7825 est proche de 8000 et 317 beaucoup plus petit. Mais on peut aussi vouloir une valeur un peu plus précise : 7800 - 300 = 7500. Les deux réponses me semblent correctes. Le but est que si l'élève pose sa soustraction et trouve environ 5000, alors il se rend compte immédiatement qu'il a fait une erreur.
Dès que tu utilises le terme « citoyen » ça va m’encourager à sortir car ça va encourager la venue d’un autre intervenant régulier.
Tu as atteint un point Godwin-soft (et non sinistre !).
Une vanne, rien d’autre.
@geleon : je trouve comme toi : de l’ordre du millier. D’autres trouvent de l’ordre de la centaine. L’utilité de la seconde question sur la mesure permettrait de trancher par recoupement.
On a fait le tour de l’ordre de grandeur. Et de l’exercice pour les sixièmes. Personnellement, je trouve cet exercice utile. On n’a pas forcément raison ou tort et on apprend la notion d’approximation.
@Foys : tu sembles déçu que deux nombres dans un rapport 3 n’aient pas forcément le même ordre de grandeur. Prenons 8 et 24.
Si je dois sauter dans l’eau de 8 mètres, j’ai peur, mais je sais que je peux le faire comme du haut du plongeoir à la piscine. De 24 mètres ? Non merci.
Si on demande 8 euros pour un café en terrasse, ça passe encore. Si on demande 24 euros, c’est sans moi.
L’ordre de grandeur est utile en physique ou dans d’autres disciplines et il est bon de prendre des situations concrètes.
De l’ordre de 10€ si t’es français.
Plus sérieusement, Yves, je pose à nouveau la question : coquille ou pas ?
« l’ordre de grandeur revient à dire la maison à 900 mille euros coûte plusieurs (ou quelque) milliers d’euros [...] » ?
Pour toi, l’ordre de grandeur de 900 000 €, est-ce bien 1 000 € ? Plutôt 100 000 € ?
Peut être que cette notion porte un autre nom ? Valeur approximative ?
Un exercice de type QCM, ça me paraît assez adapté :
Quel est l'ordre de grandeur de 6.1*7.8 +3 : Environ 45, environ 50, ou environ 55 ?
Pour le QCM : les trois réponses sont bonnes (haha !).
Je votre vote 50 en prenant 6x8+3 mentalement.
On parle de l’ordre de grandeur d’un nombre dont on se fiche d’où il vient.
Autrement dit : on aime bien quand c’est à peu près stable pour l’addition.
Mais quand tu relis ta définition tu n’imposes rien au nombre.
En gros tu dis « L’ordre de grandeur c’est un nombre ».
@kioups : quand j’ai écrit le texte j’étais attablé dans une terrasse et le café est à 2,600 Kuwaiti dinars qui doivent faire 8 euros environ.
@dom : tu as bien sûr corrigé : c’est plusieurs centaines de milliers.
@Iourrran : l’ordre de grandeur est 10. Un ordre de grandeur n’est pas une approximation grossière. Si tu cherches une approximation, il faut en demander une, pas un ordre de grandeur.
J'achète 3 produits, combien ça va me coûter en tout ? environ 50€.
J'ai roulé environ 20 minutes à 90km/h puis quasiment une heure à 50km/h, j'ai fait combien de km ? Environ 80.
Sauf cas très particulier, on manipule des données strictement positives.
Mais peu importe.