Démonstration circulaire ?

Ah bah oui, c'est une caractérisation du milieu qui est déjà en termes de vecteurs.

C'est vrai que c'est une définition déjà assez arrangeante, et que du coup, la démonstration est assez modeste, mais ce n'est pas à proprement parler une faute de logique.

Tu préférerais quoi, comme définition du milieu d'un segment ?

Conseil : cherche « logique équivalence démonstration » sur Gougueule.

Fleuristin:

Le raisonnement fait dans la deuxième vidéo me semble correct.

C'est la caractérisation:

$\vec{AB}=2\vec{AI}\iff\text{I milieu de [A,B]}$ qui te chagrine?

Fleuristin:

On peut imaginer que cette caractérisation est donnée dans un cours bien fait.
Par ailleurs, quand on parle de vecteurs en seconde on admet que si $\vec{AB}=\vec{CD}$ alors $AB=CD$.
Si on sait ça et comment on caractérise avec des vecteurs que trois points sont alignés alors la caractérisation donnée pour le milieu n'est pas difficile à retrouver.
J'imagine qu'à l'occasion on rappellera que si on a $AI=IB$ alors le point $I$ n'est pas nécessairement le milieu de $[A,B]$. B-)


PS:
Dans les deux vidéos l'intervenant précise bien ce qu'il utilise. On comprend que c'est la clef de voûte du raisonnement.
PS2:
Je ne suis pas fan de la façon dont il dispose les calculs sur le tableau.

Donc il ne s'agit pas de démonstration circulaire, mais de démonstration très incomplète.

Pour démontrer cette équivalence manquante, il faut une définition des vecteurs, ou une propriété utile. Autrefois, on définissait l'égalité de vecteurs par la définition : $\vec{OM}=\vec{CD}$ si et seulement si $[OD]$ et $[MC]$ ont le même milieu.
Alors, si $I$ est le milieu de $[AB]$, on voit que $[AB]$ et $[II]$ ont le même milieu $I$ et ($O=A, D=B, C=I, M=I$) la définition donne $\vec{OM}=\vec{CD}$ soit $\vec{AI}=\vec{IB}$.
Une définition purement géométrique était que $\vec{OM}=\vec{CD}$ si $[OM]$ et $[CD]$ sont parallèles , de même sens et de même longueur; ici on voit que $[AI]$ et $[IM]$ sont parallèles , de même sens et de même longueur.
Et il y a d'autres définitions ...

La définition de la multiplication par un nombre d'un vecteur donne d’ailleurs directement $\vec{AB}=2\vec{AI}$.

Cordialement.

NB : Que c'est ennuyeux, ces vidéos ! A ce rythme, il faut 500 h pour voir le programme de seconde, qui est fait en environ 70 h en classe (36 semaines avec 2 h de cours et le reste en exercices et devoirs).

Désolé, j'ai oublié de vérifier. J'ai rajouté le $\$$ qui manquait.

Ok pour ta définition, mais ce n'est plus vu en troisième, et présenté différemment en seconde.

Cordialement.

Fleuristin:

Historiquement, je pense qu'on savait ce qu'était un vecteur avant d'en donner une définition.
En physique on définit un vecteur par une direction, un sens, et un module.


Actuellement, on doit encore savoir qu'un parallélogramme procure deux égalités de vecteurs.
(plus exactement: procure deux représentants du même vecteur, puisqu'un vecteur est une classe d'équivalence par la relation d'équipollence: définition fin des années 70 troisième)

Fleuristin:

Je ne suis pas sûr que ce soit cette définition qui permette de développer une intuition géométrique sur les vecteurs.
La relation d'équipollence sur l'ensemble des bipoints du plan était présentée de la sorte, sauf erreur:
$(A,B)$ est équipollent à $(C,D)$ si et seulement si les segments $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu.


NB: Bien entendu à cette époque on commençait par définir des trucs comme $2\vec{AB}$ voire $\frac{2}{5}\vec{AB}$
avant de glisser rapidement sur le fait qu'on pouvait définir le vecteur $\alpha\vec{AB}$ pour tout $\alpha$ réel.

Aléa:
C'est équivalent si on s'autorise à parler de parallélogramme plat sauf erreur.

Cf: https://fr.wikipedia.org/wiki/Équipollence_(mathématiques)#Équipollence_dans_un_espace_affine_quelconque

Fin de partie, juste une remarque :
Bien entendu que c’est équivalent (sous les bonnes acceptions, même quand les quatre points sont confondus...).
Mais alea précise que l’on donnait une forme et pas les autres (équivalentes).
Rien de bien importante, ma remarque, je le reconnais.

gerard0 a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1892318,1892730#msg-1892730

Cela donne les outils de base et un moyen de locomotion en bonus.

Un vecteur est défini par une translation.
Un translation, c’est un téléphérique.
Le téléphérique, c’est quand, avec le wagon au départ et à l’arrivée, il y a un parallélogramme.
Le parallélogramme c’est quand les diagonales se coupent en leur milieu.

Source : inspection.

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Dom a écrit:

Flûte. L’inspection parle de téléphérique ?

On atteint des sommets. B-)-

On les situe dans les hautes sphères et pourtant ils ont des propos au ras des pâquerettes.

FLEURISTIN écrivait: « D'accord, c'est pas demain (et même jamais) qu'on sortira une telle définition (que j'ai apprise moi-même bien après le bac). »


C'est pourtant ma définition en Seconde : « Le vecteur $\vec{AB}$ est l'ensemble des bipoints équipollents au bipoint $(A,B)$. ».

D'où l'intérêt de ne pas enseigner en ZEP, où ce genre de concept n'a qu'une chance infime d'arriver au cerveau.

FdP,

c'est pourtant la définition utilisée jusque vers 1966 en troisième, à la différence près qu'on ne parlait pas de "classe d'équivalence", seulement d'une notion intuitive de vecteur associé à des bipoints et qu'on insistait fort sur l'égalité des vecteurs ("équipollence des bipoints") et la relation de Chasles.
On a beaucoup perdu à vouloir définir de façon mathématiquement correcte des notions (autrefois axe, maintenant vecteur) abstraites, qu'on peut commencer par manipuler pour démontrer, puis retrouver comme exemples de notions encore plus abstraite (classe d'équivalence : "Ah, c'est ce qu'on a fait pour les vecteurs avec les classes de bipoints équipollents !). Du coup, on abandonne plein d'outils, et ils manquent ensuite.

Cordialement.

C’est vrai.
Cependant c’est la définition du parallélogramme (généralisé) qui a le droit d’être propre.
Car l’égalité de vecteurs est quand même fortement liée aux côtés opposés du parallélogramme.
L’idée « même milieu » pour moi n’est qu’une astuce pour se simplifier la vie.
Est-ce si « propre » que cela ?
Au passage pour certains, un singleton n’est pas un segment et je ne leur reproche pas.
Enfin, personne ne définit segment...

Sinusix a écrit:

D'où l'intérêt de ne pas enseigner en ZEP, où ce genre de concept n'a qu'une chance infime d'arriver au cerveau.

C'est précisément parce que le système a des exigences largement moindres vis-à-vis de ce genre d'élèves qu'ils ne progressent pas.

Foys :
C’est plutôt 5e (parallélogramme au compas, puis règle).
Mais ça a tendance à être mis de côté.

En primaire, je ne sais pas vraiment.
Beaucoup de triangles équilatéraux, à ma connaissance.