Démonstration circulaire ?
Bonjour
Dans cette vidéo, Ici, on est bien d'accord qu'il suppose exactement ce qu'il veut démontrer ?
PS : c'est un agrégé professeur.
Dans cette vidéo, Ici, on est bien d'accord qu'il suppose exactement ce qu'il veut démontrer ?
PS : c'est un agrégé professeur.
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Réponses
De quel moment exactement parles-tu ?
Il part du fait que : I milieu de [AB] c'est comme dire AB = 2AI.
Il est justement là le problème.
$\left( \overrightarrow{IA}+\vec{IB} =\vec{0}\right)\ \Rightarrow \vec{AB}=2\vec{AI}\ \Leftrightarrow I$ est le milieu de $[AB]$
Il manque la preuve de l'équivalence finale, considérée par l'auteur comme déjà connue. Cette preuve peut se faire facilement avec la définition des vecteurs et celle du milieu.
Cordialement.
C'est vrai que c'est une définition déjà assez arrangeante, et que du coup, la démonstration est assez modeste, mais ce n'est pas à proprement parler une faute de logique.
Tu préférerais quoi, comme définition du milieu d'un segment ?
comme dans toute preuve, on "utilise" la conclusion pour guider le raisonnement, mais elle arrive à la fin sous la forme $\vec{AB}=2\vec{AI}$.
C'est celle-ci : ICI.
On peut très certainement raisonner par équivalence et il n'y a pas besoin de séparer la démonstration de ce résultat en deux. J'imagine qu'en séparant en deux cette démonstration il peut afficher deux vidéos au lieu d'une. B-)-
NB: je parlais de la première vidéo mise en lien.
Dans la vidéo l'auteur défini le milieu I de $\vec{AB}$ par la relation $\vec{AB}=2\vec{AI}$.
Ensuite il démontre que $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec0 \implies \vec{AB}=2\vec{AI}$.
Il n'y a rien de circulaire là dedans.
C'est surtout le second lien qui me laisse vraiment sceptique.
Et puis, définir le milieu d'un segment autrement (ici avec une égalité vectorielle) que celle déjà proposé en Sixième doit être justifié normalement pour éviter d'avoir deux définitions d'un même objet mathématique.
Le raisonnement fait dans la deuxième vidéo me semble correct.
C'est la caractérisation:
$\vec{AB}=2\vec{AI}\iff\text{I milieu de [A,B]}$ qui te chagrine?
La définition du milieu d'un segment est bien connue depuis la Sixième. Si on en donne une autre définition, il me semble normal dans ce cas de justifier l'équivalence des définitions.
On peut imaginer que cette caractérisation est donnée dans un cours bien fait.
Par ailleurs, quand on parle de vecteurs en seconde on admet que si $\vec{AB}=\vec{CD}$ alors $AB=CD$.
Si on sait ça et comment on caractérise avec des vecteurs que trois points sont alignés alors la caractérisation donnée pour le milieu n'est pas difficile à retrouver.
J'imagine qu'à l'occasion on rappellera que si on a $AI=IB$ alors le point $I$ n'est pas nécessairement le milieu de $[A,B]$. B-)
PS:
Dans les deux vidéos l'intervenant précise bien ce qu'il utilise. On comprend que c'est la clef de voûte du raisonnement.
PS2:
Je ne suis pas fan de la façon dont il dispose les calculs sur le tableau.
Pour démontrer cette équivalence manquante, il faut une définition des vecteurs, ou une propriété utile. Autrefois, on définissait l'égalité de vecteurs par la définition : $\vec{OM}=\vec{CD}$ si et seulement si $[OD]$ et $[MC]$ ont le même milieu.
Alors, si $I$ est le milieu de $[AB]$, on voit que $[AB]$ et $[II]$ ont le même milieu $I$ et ($O=A, D=B, C=I, M=I$) la définition donne $\vec{OM}=\vec{CD}$ soit $\vec{AI}=\vec{IB}$.
Une définition purement géométrique était que $\vec{OM}=\vec{CD}$ si $[OM]$ et $[CD]$ sont parallèles , de même sens et de même longueur; ici on voit que $[AI]$ et $[IM]$ sont parallèles , de même sens et de même longueur.
Et il y a d'autres définitions ...
La définition de la multiplication par un nombre d'un vecteur donne d’ailleurs directement $\vec{AB}=2\vec{AI}$.
Cordialement.
NB : Que c'est ennuyeux, ces vidéos ! A ce rythme, il faut 500 h pour voir le programme de seconde, qui est fait en environ 70 h en classe (36 semaines avec 2 h de cours et le reste en exercices et devoirs).
Si on prend cette définition connue depuis la Sixième : I est le milieu de [AB] ssi I appartient à [AB] et IA=IB, alors il suffit de montrer que les vecteurs AI et IB sont égaux.
Pour peu que l'on est une définition de deux vecteurs égaux (même direction, même sens et même norme), j'aurais fait :
Si A et B sont confondus, le résultat est immédiat. Supposons-les distincts.
En ce qui concerne les vecteurs AI et IB :
1) Ils ont la même norme puisque AI = IB par hypothèse.
2) La même direction, I étant milieu de [AB], il appartient à cette droite et donc les droites (AI) et (IB) sont parallèles.
3) Si ces vecteurs n'avaient pas le même sens, alors compte tenu de ce qui précède, les points A et B seraient confondus, cas qui est exclu.
La réciproque se fait à peu près pareil.
Je propose une démonstration niveau troisième (de mon époque en 2006).
Ok pour ta définition, mais ce n'est plus vu en troisième, et présenté différemment en seconde.
Cordialement.
Quelle définition est donnée actuellement en 2019 de deux vecteurs égaux ? Je suppose aussi que l'on ne définit pas explicitement ce qu'est un vecteur.
Historiquement, je pense qu'on savait ce qu'était un vecteur avant d'en donner une définition.
En physique on définit un vecteur par une direction, un sens, et un module.
Actuellement, on doit encore savoir qu'un parallélogramme procure deux égalités de vecteurs.
(plus exactement: procure deux représentants du même vecteur, puisqu'un vecteur est une classe d'équivalence par la relation d'équipollence: définition fin des années 70 troisième)
Je ne suis pas sûr que ce soit cette définition qui permette de développer une intuition géométrique sur les vecteurs.
La relation d'équipollence sur l'ensemble des bipoints du plan était présentée de la sorte, sauf erreur:
$(A,B)$ est équipollent à $(C,D)$ si et seulement si les segments $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu.
NB: Bien entendu à cette époque on commençait par définir des trucs comme $2\vec{AB}$ voire $\frac{2}{5}\vec{AB}$
avant de glisser rapidement sur le fait qu'on pouvait définir le vecteur $\alpha\vec{AB}$ pour tout $\alpha$ réel.
C'est équivalent si on s'autorise à parler de parallélogramme plat sauf erreur.
Cf: https://fr.wikipedia.org/wiki/Équipollence_(mathématiques)#Équipollence_dans_un_espace_affine_quelconque
Cordialement.
Bien entendu que c’est équivalent (sous les bonnes acceptions, même quand les quatre points sont confondus...).
Mais alea précise que l’on donnait une forme et pas les autres (équivalentes).
Rien de bien importante, ma remarque, je le reconnais.
Il faudrait retrouver les programmes de l'époque pour voir quelle définition était utilisée.
Parce que curieusement c'est la définition que j'ai donnée plus haut qui me revient spontanément alors qu'elle n'a pas un grand intérêt dans la pratique, à mon humble avis.
C'est tout de même plus "utile" d'avoir en tête une association d'idée entre vecteur et parallélogramme que vecteur et milieu. B-)-
Un vecteur est défini par une translation.
Un translation, c’est un téléphérique.
Le téléphérique, c’est quand, avec le wagon au départ et à l’arrivée, il y a un parallélogramme.
Le parallélogramme c’est quand les diagonales se coupent en leur milieu.
Source : inspection.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Je n’avais jamais entendu ou lu cela.
Mais je ne m’interroge pas bien sûr. Je ne suis pas surpris.
On atteint des sommets. B-)-
Ma démonstration ci-dessus est donc la bonne.
Cordialement.
C'est pourtant ma définition en Seconde : « Le vecteur $\vec{AB}$ est l'ensemble des bipoints équipollents au bipoint $(A,B)$. ».
D'où l'intérêt de ne pas enseigner en ZEP, où ce genre de concept n'a qu'une chance infime d'arriver au cerveau.
Avant de parler de vecteurs dans les classes précédentes de collège on avait un cours sur les relations d'équivalence/partition d'un ensemble.
On mettait les mains dans le cambouis. Je pense qu'on avait environ deux ans pour digérer cette notion.
c'est pourtant la définition utilisée jusque vers 1966 en troisième, à la différence près qu'on ne parlait pas de "classe d'équivalence", seulement d'une notion intuitive de vecteur associé à des bipoints et qu'on insistait fort sur l'égalité des vecteurs ("équipollence des bipoints") et la relation de Chasles.
On a beaucoup perdu à vouloir définir de façon mathématiquement correcte des notions (autrefois axe, maintenant vecteur) abstraites, qu'on peut commencer par manipuler pour démontrer, puis retrouver comme exemples de notions encore plus abstraite (classe d'équivalence : "Ah, c'est ce qu'on a fait pour les vecteurs avec les classes de bipoints équipollents !). Du coup, on abandonne plein d'outils, et ils manquent ensuite.
Cordialement.
Cependant c’est la définition du parallélogramme (généralisé) qui a le droit d’être propre.
Car l’égalité de vecteurs est quand même fortement liée aux côtés opposés du parallélogramme.
L’idée « même milieu » pour moi n’est qu’une astuce pour se simplifier la vie.
Est-ce si « propre » que cela ?
Au passage pour certains, un singleton n’est pas un segment et je ne leur reproche pas.
Enfin, personne ne définit segment...
Un principe qui est souvent mis en défaut et qui est très probablement à rebours de l'histoire des mathématiques.
Tu peux me dire où dans l'enseignement secondaire on définit "proprement" le vecteur $\pi.\vec{AB}$? (aujourd'hui et il y a quarante ans)
On ne le définit pas "proprement" et pourtant on n'a pas de mal à faire des calculs avec une telle quantité.
C’est plutôt 5e (parallélogramme au compas, puis règle).
Mais ça a tendance à être mis de côté.
En primaire, je ne sais pas vraiment.
Beaucoup de triangles équilatéraux, à ma connaissance.