Faire simple ? Mais non, voyons !

@Héhéhé, quand tu compares $12 \; 345$ à $54 \; 2178$ est-ce que tu le fais directement ou as tu besoin de passer par le calcul littéral?
Et pour comparer $ 1 + \frac{1}{10}$ à $1+\frac{1}{9}$ il faut aussi faire du calcul littéral ?
Dans l'exercice, les deux fractions ont des gros numérateurs et dénominateurs, mais c'est strictement la même chose que de comparer $ 1 + \frac{1}{10}$ à $1+\frac{1}{9}$.

@Héhéhé, en maths il faut savoir utiliser une méthode simple quand c'est le cas. Et le cours de maths doit apprendre à le faire. Ici ils ont utilisé un tracteur pour écraser une mouche. C'est tout simplement un mauvais exemple, y compris dans le 2.a) :
\[\frac{x+1}{x-1} \text{ et } \frac{x+2}{x} \text{ si } x \neq 1 \text{ et } x \neq 0\]
\[1 + \frac{2}{x-1} \text{ et } 1+ \frac{2}{x} \text{ si } x \neq 1 \text{ et } x \neq 0\]
On obtient que $\frac{x+1}{x-1}$ est plus grande que $\frac{x+2}{x}$ si $x>1$ et inférieur si $x<1$ et $ x \neq 0$.

C'est plus court, c'est général et on travaille plusieurs compétences :
1) rappel sur la comparaison des fractions niveau 6e/5e.
2) oblige l'élève à ne pas oublier qu'on ne divise pas par zéro.
3) petit exercice de démonstration "cas par cas".

Les deux méthodes sont utiles... mais on les utilise pour les choses plus compliquées que ces deux exemples. Même l'exemple 1 c'est de tuer une mouche avec le tracteur... parce que $B=A^2$. Or le carré du nombre est plus petit que le nombre si et seulement si le nombre est entre $0$ et $1$.

Pour moi ce sont les b.a.-ba des nombres et des calculs. Avec ce genre de "cours", pas étonnant qu'il y a autant d'élèves qui n'ont aucun sens de calcul. :-( Et je ne parle pas du calcul littéral.

@Fin de partie,

Ou faire comme c'est indiqué dans l'énoncé me semble d'égale difficulté

:-( :-( :-( Et voilà où on est... les bases de 6e sont "difficiles".

@gerard0, je sais que tu es sarcastique. Mais oui, spontanément. Pourquoi cela ne peut pas être le cas pour les élèves ? Au moins pour les bons et très bons ? Ils ne sont pas des être bêtes. Tout dépend évidement de comment c'est enseigné. Remplaces Russie par Chine ou Singapour ou Pologne ou Vietnam ou... j'en passe. :-P

@FdP

Par soucis d'économie on va plus retenir des méthodes qui semblent avoir un champ d'utilisation plus vaste que des méthodes très spécifiques.

Oui. Par soucis d'économie et par paraisse, les gens oublient aussi ce qu'ils ont étudié il n'y a pas longtemps s'ils n'utilisent pas ces connaissances. Plus le temps passe, plus on oublie. C'est pour cela qu'il est important que les manuels soient bien construits de façon à utiliser les méthodes appris précédemment.
Par exemple "on ne divise pas par 0". Deux situations éducatives :
1) On peut faire comme actuellement : l'énoncé précise chaque fois pour quelles valeurs la fraction algébrique existe.
2) Ou on peut laisser l'élève de le faire tout seul : fraction algébrique ? Je vérifie s'il y a des valeurs pour lesquelles cela n'a pas de sens.
Qui va se souvenir qu'on ne divise pas par zéro ? Les élèves venant de (1) ou de (2)?

@kioups, tant mieux. Mais les auteurs de la page que je cite le font. Pourquoi ne pas laisser l'élève le faire?

@gerard0,

le bouquin cité au premier message n'est pas une bouquin "pour les bons et très bons" (comme l'étaient mes bouquins il y a 50 ans), mais un bouquin pour tous les élèves. Du coup, les bons et très bons se contentent de ça.

Je ne suis pas d'accord, le bouquin cité plus haut est un torchon! Il suffit d'un bouquin pour tout le monde, pourvu qu'il y des exercices du niveau différent et un cours avec du texte + exemples.

J'étais sérieux en pensant que, sauf si tu étais dans un collège pour élèves triés, tu ne savais pas faire ça en arrivant en seconde.

Si personne n'enseigne, les élèves ne savent pas. C'est normal. Si c'est enseigné et ne jamais utilisé, il est normal d'oublier. Pour que les élèves sachent décomposer une fraction évidente il faut le rappeler fréquemment et de donner les exercices. Ce que les manuels russe le font! Ce que je reproche au manuel cité - il ne l'a pas fait. Il prend les exemples ultra simples qui se résolvent avec une autre méthode... C'est une partie "cours" qui apprend aux élèves comment faire.

P.S. Je n'avais pas oublié ce que j'avais fait au collège/lycée et en plus j'ai eu une autre professeur au lycée. Je me souviens ce que j'ai appris et avec qui. Pour chaque minuscule astuce on avait au moins un cours qui était consacré à ne faire que ça : décomposer une fraction, factoriser par $-1$ pour changer "ordre de la soustraction" et pouvoir factoriser par la suite, déplacer $-1$ du numérateur au dénominateur, utiliser la différences des carrés avec les racines, trouver une racine évidente pour faire une division euclidienne des polynomes etc.
Bref au moins 45 minutes pour faire des exercices qui consistent à transformer $\frac{x-1}{2-a}$ en $\frac{1-x}{a-2}$... et qui vont de très faciles à très difficiles.

@FdP, cette page est un torchon (:P)

Je vais commencer par vous remercier pour la discussion constructive bien que mon message est assez provoquant! (tu)

@Héhéhé, je ne comprends pas pourquoi tu parles des fonctions de référence. Le carré du nombre - cela s'apprend avant les fonctions. Faut-il attendre la fin de 2nd pour que les élèves commencent à "voir" tous seuls que $B$ ici est le carré de $A$ ?

@aléa, cela dépend vraiment comment on a appris les choses. Pour moi, il est naturel de voir si la fraction est plus grande que $1$ et si c'est le cas - extraire la partie entière. Si on prend le sujet voisin, "ordre de grandeur/approximation", on peut le faire avec les fractions :

• $\frac{25}{12}+ \frac{67}{7}$ c'est $2+\frac{1}{12} + 9 + \frac{4}{7} \approx 11 + 0,1 + 0,5$. Cela doit être autour de 11,6.
• $\frac{17}{3} - \frac{59}{7}$ c'est négatif parce que nous avons $5,\dots$ moins $8,\dots$.

Je suis étonnée que faire le rapport ou la différence c'est plus intuitif. Déformation professionnelle à cause de l'étude des suites ? Problème dans l’enseignement des fractions ?

Je comprendrais que tu fasses ce reproche-là

J'ai aussi ce reproche, mais je me suis habituée à voir des raisonnements errants et les "devine ce que veut l'auteur de toi". Ce n'est pas cela qui m'a choquée. ;-)

@FdP

Donc la question est une invitation à essayer de comprendre un raisonnement commencé dans la question précédente et à l'appliquer. A priori la réponse suggérée par Vorobichek n'est pas une réponse acceptable stricto sensu à cette question.

PS:
Faut-il bannir les "En déduire" de tout exercice de mathématiques sous-prétexte qu'il existe un raisonnement qui court-circuite celui qu'un exercice déroule?

Pour moi, un raisonnement ne peut pas être guidé, donc on bannie les "en déduire que" utilisé à l'outrance. Certes, on peut donner un ou deux indices et même ajouter "en déduire", mais sans que cela enlève toute la réflexion. Où est la réflexion dans cette exercice? Les auteurs auraient pu donner comme l'énoncé "trouve la fraction la plus grande parmi ..." et dans le corrigé expliquer comment en répondant on construit le raisonnement. Par exemple pourquoi l'auteur a choisi de faire la différence et non le rapport ? Peut-on faire avec la deuxième méthode? Pourquoi introduire le calcul littéral ?

@Bintje, les élèves ne comprennent plus les fractions. A mon avis ils ne verront pas que c'est plus grand que 1. Au final c'est le même approche que j'ai utilisé :
\[ \frac{x^2 +x}{x^2 +x -2} = \frac{x^2 +x -2 + 2}{x^2 +x -2} = 1 + \frac{2}{x^2 +x -2} \]

Et pour vous titiller un peu plus :-D ... Ci-joint le résultat de l'enquête que j'ai lancée hier soir (un canal Telegram qui n'a rien à voir avec les sciences). Les gens se sont étonnés que je pose une question aussi facile. Une personne s'est moquée en disant que c'est le niveau "olympiade"... de CE2/CM1.
Ce n'est pas pour dire, que les ex-soviétiques sont des être supérieurs et ont la science infuse. Non. C'est pour dire que nos élèves français ne sont pas bêtes. Si les autres peuvent, pourquoi pas les nôtres ? Il est peut-être temps de considérer qu'il est possible que la grosse majorité puissent réussir en maths... c'est-à-dire avoir des vraies notes $>10/20$.

@Riemann_lapins_cretins, sauf que tu oublie qu'il ne s'agit pas ici du bouquin des exos corrigés, mais une page de cours. Le cours doit apprendre à raisonner et à utiliser la méthode qu'on apprend.

Pourquoi bouder parce qu'un auteur propose un résultat abstrait et propose de l'exploiter pour obtenir un résultat amusant ?

Pour la même raison que dans un exercice qui demande de trouver les racines de l'équation $4x^2 -1 = 0$ et puis montre qu'il faut le faire en calculant le discriminent. L'abstraction n'est pas le sujet de la discussion.

@FdP,

Pourtant, tu trouves, en plus long, la même structure dans la plupart des énoncés de concours où il est question de mathématiques.

C'est pour cela que j'avais ajouté :

Certes, on peut donner un ou deux indices et même ajouter "en déduire", mais sans que cela enlève toute la réflexion.

Les énoncés des concours te dises : vérifier que la dérivée de $x^3$ est $3x^2$ et en déduire la primitif de $3x^2$ ? J'exagère... mais un tout petit peu ;-)

Comme déjà indiqué on ne sait pas de quel chapitre est extrait la page scannée.

Calcul littéral, factorisation et développement.