Unicité du carré
Bonjour,
Je voulais savoir, dans cette définition : Soit a un nombre positif. La racine carré de a est le nombre positif dont le carré vaut a,
Comment peut-on justifier de l'unicité de ce nombre positif niveau troisième.
Je voulais savoir, dans cette définition : Soit a un nombre positif. La racine carré de a est le nombre positif dont le carré vaut a,
Comment peut-on justifier de l'unicité de ce nombre positif niveau troisième.
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Réponses
Résolution graphique par la fonction $x \mapsto x^2, x \in \R.$
J'en profite pour te demander de l'unicité du nombre qui multiplié par b donne a dans la définition du quotient de a par b.
Si je prends la même technique, je suppose qu'il y en a deux, genre c et c' et je suppose que a = c x b = c' x b.
Théorème : il existe au plus deux nombres qui ont pour carré $a$.
Démonstration : voir plus haut
Définition : la racine carrée est le nombre positif.
- Un nombre positif a deux racines carrées opposées dont la valeur absolue est la racine carrée de celle du nombre donnée.
- Un nombre négatif n'a pas de racine carrée.
- Le nombre zéro a pour racine zéro.
Après on peut préciser que par convention si un radical n'utilise pas les lettres, c'est une racine arithmétique. Quand il y a des lettres, c'est un nombre réel au carré. Quand c'est une fonction - c'est la racine arithmétique. Cela permet de ne pas être choqué plus tard quand on apprend à résoudre les (in)équations.Je me rends compte que je n'ai pas compris la question et mon intervention est complétement ... :-D
Ainsi pour tout réel positif, il existe au plus un réel positif $y$ tel que $y^2=x$.
Mais comment peut-on démontrer, en troisième, qu'il existe bel et bien un nombre réel $y$ tel que $y^2=x$ ? ($x$ réel positif donné)
Donc l’existence est difficile voire impossible à démontrer.
L’intuition est que « c’est continue quelque part » mais ça fait faire des grands (ou des petits) gestes.
Ne prouve-t-elle pas l'existence de la racine carrée de $x$, $x>0$ ?
Pour l’unicité je trouve cette démonstration efficace :
On suppose qu’il existe deux racines carrées (positives) distinctes d’un nombre réel positif : $ x<y$, mais alors $x^2<xy<y^2 $ : contradiction.
Pour l’existence, en troisième, je ne trouve rien.
On peut commencer par les entiers. Étendre aux décimaux, voire aux rationnels et après...
Par contre, c'est mettre sous le tapis des histoires de limites il me semble.
Cela dit j'invite à remarquer que pour tout symbole de prédicat $R$ à un argument et tout symbole de prédicat $P$ à deux arguments, on a l'équivalence entre (i) $\forall x,y: \left (R(x) \wedge R(y) \right) \Rightarrow \left (P(x,y) \Rightarrow x=y \right )$ et (ii) $\left (\exists z:R(z) \right )\Rightarrow \left [\forall x,y: \left (R(x) \wedge R(y) \right) \left (P(x,y) \Rightarrow x=y \right ) \right]$.
(i) => (ii) est évidente,
Réciproque: supposons (ii), soient $x,y$ tels que $R(x)$ et $R(y)$. Alors (en posant $z:=x$) il existe $z$ tel que $R(z)$. Donc comme on a supposé (ii), on a $\forall x,y: \left (R(x) \wedge R(y) \right) \Rightarrow \left (P(x,y) \Rightarrow x=y \right )$ et en remplaçant $x$ par $x$ et $y$ par $y$ dans cette formule, on obtient $\left (R(x) \wedge R(y) \right) \Rightarrow \left (P(x,y) \Rightarrow x=y \right )$. Donc ($x,y$ arbitraires) $\forall x,y: \left (R(x) \wedge R(y) \right) \Rightarrow \left (P(x,y) \Rightarrow x=y \right )$.
Itérer la boucle $x_*=(x+a/x)/2$
par exemple pour calculer $\sqrt{10}$
$$
3 \mapsto 3.17 \mapsto 3.1623 \mapsto 3.162\,277\,66 ...
$$
Foys, je n'ai pas le temps ni l'envie de lire ton charabia logique (de le relire plutôt, car pour être honnête je l'ai lu une fois et j'avoue n'y avoir rien compris du tout). Je préfère me concentrer sur des analyses historiques ou méta pédagogiques, car leurs rayons d'action est plus large. Il faut agir sur la base (dont je fais partie), et cette base est ignorante.
J'ai relu à cette occasion Écologie de la racine carrée, de Teresa Assude. J'apprécie cet article, j'y apprends des choses, il m'aide. Tes lignes logiques (mais le sont-elles vraiment ? puisqu'elles se veulent d'abord quasiment illisibles), ne m'aident pas. Aident-elles seulement quelqu'un dans ce bas monde ? Une action se doit d'être ciblée pour être efficace.
Je termine en reposant cette question : en quoi la construction géométrique de Descartes ne prouve-t-elle pas l'existence de la racine carrée de $x, x>0$ ? Construire un segment dont la longueur $y$ est telle que $y^2 = x$ ne prouve-t-il pas l'existence de la racine carrée de $x$ ? Dom, j'ai bien compris le problème si on se place dans $\mathbb Q^2$, mais je me place dans $\mathbb R^2$, tout simplement.
N’est-ce pas l’exemple premier que l’on utilise pour illustrer les coupures de Dedekind ?
Mais d’ailleurs sans aller si loin, l’existence de l’inverse d’un nombre n’est pas justifiée.
L’existence de $a/b$, pour $b$ non nulle, ne l’est pas.
Historiquement, l'existence des racines carrées a été acceptée dès les mathématiciens grecs, puisque les nombres étaient soit des comptages, soit des longueurs (avec le problème d'existence de parties aliquotes à deux longueurs, qui a tant perturbé Euclide, ses prédécesseurs et ses successeurs). Dans ce cadre (toute longueur est un nombre relatif à l'unité de longueur choisie au départ), la "construction de Descartes" (*) justifie l'existence de la racine carrée de tout nombre positif.
Comme nulle définition des nombres n'est donnée au collège, c'est le théorème de Pythagore qui justifie (très intuitivement) l'existence des racines carrées "dont on a besoin". La "construction de Descartes" peut d'ailleurs s'en déduire, ou être vue plus tardivement.
Cordialement.
(*) Connue près de 2000 ans avant Descartes, les grecs étant friands de quatrième proportionnelle et de moyenne proportionnelle. D'où vient cette attribution qu'il aurait refusée, ayant appris les maths dans Euclide ?
De plus, les énoncés suivants sont équivalents ($E$ étant mettons un ensemble et $P$ une propriété):
(i) Pour tous $x,y\in E$, si $P(x)$ et $P(y)$ alors $x=y$
(ii) S'il existe $t \in E$ tel que $P(t)$, alors pour tous $x,y\in E$, si $P(x)$ et $P(y)$ alors $x=y$.
Preuve en coq ci-dessous.
Cette équivalence est valable pour tous $E,P$ (même si $E$ est vide ou $P$ jamais satisfaite)
Donc cette remarque N'était pas pertinente (en plus d'être fausse, quand je dis "soient $a,b$ tels que, j'exploite seulement l'hypthèse, je n'ai jamais dit que de tels nombres existaient).
Pour ce qui est de prouver l'existence de la racine carrée au collège ce n'est pas vraiment faisable sauf à accorder à un dessin la qualité de preuve. De toute façon il faudrait un cadre axiomatique propre (que l'on adopte un point de vue géométrique ou autre).
Ce n’est pas une preuve mais c’est convaincant.
En fait en utilisant la croissance de $\sqrt{}{}$ (besoin de la continuité ?) on peut encadrer par des décimaux et faire le tour de passe-passe de la convergence.
Le dernier débat est à la fois intéressant et étonnant :
J’ai toujours (disons à 80%) prouvé les unicités avant les existences.
De toute manière, si le truc (je parle en général, pas de la racine carrée) n’existe pas, il peut y avoir unicité ou non j’imagine. C’est bizarre de dire ça ?
Le souci du détail et de la concision de Foys me ravit. Je regarde son (i) et son (ii). Il est vrai que l’équivalence est admise dans « toutes les académies ».
C’est passé sous silence, détails mis sous le tapis ou bien annonce de manière axiomatique à l’oral « c’est pareil, évidemment ».
Petite question : « coq » travaille avec de la logique classique ? Avec des tables de vérités ? (Je suis à côté de la plaque, ça n’a rien à voir...?)
@Dom : comment traces-tu un carré de $10cm^2$ ? Ne vas-tu pas tourner en rond dans ta démonstration ?
Evidemment c'est du tâton. J'ai retiré le terme "démonstration" justement. J'ai utilisé "convaincre" même si on est d'accord qu'on peut convaincre beaucoup d'élèves de choses fausses...
Si je réécris cette équivalence par rapport au sujet du topic, j'obtiens, pour un nombre réel $a>0$ :
(i) Pour tous $x,y\in \mathbb R^+$, si $x^2=a$ et $y^2=a$ alors $x=y$
(ii) S'il existe $t \in \mathbb R^+$ tel que $t^2=a$, alors pour tous $x,y\in \mathbb R^+$,si $x^2=a$ et $y^2=a$ alors $x=y$.
Tu as démontré le (i) un peu plus haut, et donc oui je suis d'accord, nul besoin de l'existence pour démontrer l'unicité.
Mais que penser alors du (ii) ? C'est bien l'unicité si existence non ?
ça veut dire quoi au fond cette équivalence ?
Voir aussi https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Wantzel
@Ludwig: il y a des gens qui sont gênés à l'idée de montrer l'unicité d'un objet sans prouver son existence. En fait ce n'est pas du tout nécessaire.
Oui même si mon intervention initiale n'était pas de cette forme mais de la forme de (i).
Si le plan est identifiée a $\mathbb Q \times \mathbb Q$, on va avoir du mal à atteindre toutes les racines carrées.