Unicité du carré

Endomorphisme · November 2019

Bonjour,

Je voulais savoir, dans cette définition : Soit a un nombre positif. La racine carré de a est le nombre positif dont le carré vaut a,
Comment peut-on justifier de l'unicité de ce nombre positif niveau troisième.

marsup · November 2019

Si $a = b^2 = c^2$, alors $(b-c)\cdot (b+c) = 0$, donc $b,c$ sont égaux ou opposés.

YvesM · November 2019

Bonjour,

Résolution graphique par la fonction $x \mapsto x^2, x \in \R.$

Endomorphisme · November 2019

Excellent, merci.
J'en profite pour te demander de l'unicité du nombre qui multiplié par b donne a dans la définition du quotient de a par b.
Si je prends la même technique, je suppose qu'il y en a deux, genre c et c' et je suppose que a = c x b = c' x b.

Endomorphisme · November 2019

@YvesM : Niveau troisième ? 8-)

Dom · November 2019

On peut donner la définition sous cette forme.

Théorème : il existe au plus deux nombres qui ont pour carré $a$.
Démonstration : voir plus haut
Définition : la racine carrée est le nombre positif.

vorobichek · November 2019

Dans Lebossé on dit les radicaux arithmétiques ou racine carrée du nombre arithmétique. La justification est simple, comme ta définition : on ne raisonne que sur les nombres positifs. Par contre après il y a un chapitre sur la racine carré d'un nombre relatif et là on précise que :

Un nombre positif a deux racines carrées opposées dont la valeur absolue est la racine carrée de celle du nombre donnée.
Un nombre négatif n'a pas de racine carrée.
Le nombre zéro a pour racine zéro.

Après on peut préciser que par convention si un radical n'utilise pas les lettres, c'est une racine arithmétique. Quand il y a des lettres, c'est un nombre réel au carré. Quand c'est une fonction - c'est la racine arithmétique. Cela permet de ne pas être choqué plus tard quand on apprend à résoudre les (in)équations.

Je me rends compte que je n'ai pas compris la question et mon intervention est complétement ... :-D

Foys · November 2019

Soient $a,b$ des réels positifs distincts. Sans perdre de généralité, on peut supposer que $0\leq a<b$. Alors $b-a>0$. D'autre part $a+b\geq b >0$. Donc $0 < (b-a)(a+b) =b^2 - a^2$ donc $b^2 > a^2$ et ces nombres sont donc distincts.
Ainsi pour tout réel positif, il existe au plus un réel positif $y$ tel que $y^2=x$.

Ludwig · November 2019

@Foys : tu démontres seulement l'unicité si existence.
Mais comment peut-on démontrer, en troisième, qu'il existe bel et bien un nombre réel $y$ tel que $y^2=x$ ? ($x$ réel positif donné)

Ludwig · November 2019

Une construction géométrique ?

Dom · November 2019

Cela fait appel au corps des réels il me semble. Si rien ne m’échappe.
Donc l’existence est difficile voire impossible à démontrer.
L’intuition est que « c’est continue quelque part » mais ça fait faire des grands (ou des petits) gestes.

Ludwig · November 2019

Et la construction géométrique de Descartes ?
Ne prouve-t-elle pas l'existence de la racine carrée de $x$, $x>0$ ? 92730

Dom · November 2019

Et si cette représentation est dans $\mathbb Q^2$ et non dans $\mathbb R^2$ ?

YvesM · November 2019

Bonjour,

Pour l’unicité je trouve cette démonstration efficace :
On suppose qu’il existe deux racines carrées (positives) distinctes d’un nombre réel positif : $ x<y$, mais alors $x^2<xy<y^2 $ : contradiction.

Pour l’existence, en troisième, je ne trouve rien.

Dom · November 2019

Peut-être une approche par l'algorithme de calcul d'une racine carrée. Celui où on commence à présenter les choses comme une division. Je ne me souviens plus s'il porte un nom. Edit :

On peut commencer par les entiers. Étendre aux décimaux, voire aux rationnels et après...

Par contre, c'est mettre sous le tapis des histoires de limites il me semble.

Foys · November 2019

Ludwig a écrit:

@Foys : tu démontres seulement l'unicité si existence.

L'auteur ne demande pas autre chose. En outre prouver l'existence sans pipeauter grassement est impossible (tout ce qui se dit au sujet des réels avant le lycée(et avant introduction solennelle des racines carrées) est valable dans un corps comme $\Q[\pi \cup A]$ où $A = \left \{\sin \left (\frac{k \pi}{180} \right) \mid k \in \N \right\}$ où une telle fonction n'existe pas...)

Foys · November 2019

Ludwig a écrit:

@Foys : tu démontres seulement l'unicité si existence.

D'ailleurs non, même pas et ma réponse précédente est erronée à ce sujet: je montre que pour tous $a,b$ réels positifs, si $a^2=b^2$ alors $a=b$ (la preuve, pour fonctionner, introduit des lettres $a,b$ non présentes dans les axiomes des maths ou des axiomes supplémentaires éventuels; cette introduction se fait via la déclaration solennelle "soient $a,b$ des ..." suivi d'un argumentaire qui entraîne que $a\neq b \Rightarrow a = b$. D'où $a=b$ puis le résultat).

Cela dit j'invite à remarquer que pour tout symbole de prédicat $R$ à un argument et tout symbole de prédicat $P$ à deux arguments, on a l'équivalence entre (i) $\forall x,y: \left (R(x) \wedge R(y) \right) \Rightarrow \left (P(x,y) \Rightarrow x=y \right )$ et (ii) $\left (\exists z:R(z) \right )\Rightarrow \left [\forall x,y: \left (R(x) \wedge R(y) \right) \left (P(x,y) \Rightarrow x=y \right ) \right]$.

(i) => (ii) est évidente,
Réciproque: supposons (ii), soient $x,y$ tels que $R(x)$ et $R(y)$. Alors (en posant $z:=x$) il existe $z$ tel que $R(z)$. Donc comme on a supposé (ii), on a $\forall x,y: \left (R(x) \wedge R(y) \right) \Rightarrow \left (P(x,y) \Rightarrow x=y \right )$ et en remplaçant $x$ par $x$ et $y$ par $y$ dans cette formule, on obtient $\left (R(x) \wedge R(y) \right) \Rightarrow \left (P(x,y) \Rightarrow x=y \right )$. Donc ($x,y$ arbitraires) $\forall x,y: \left (R(x) \wedge R(y) \right) \Rightarrow \left (P(x,y) \Rightarrow x=y \right )$.

soland · November 2019

Une fois les preuves faites, un TGV à ne pas rater :
Itérer la boucle $x_*=(x+a/x)/2$

par exemple pour calculer $\sqrt{10}$

$$
3 \mapsto 3.17 \mapsto 3.1623 \mapsto 3.162\,277\,66 ...
$$

Ludwig · November 2019

Bonsoir tout le monde,
Foys, je n'ai pas le temps ni l'envie de lire ton charabia logique (de le relire plutôt, car pour être honnête je l'ai lu une fois et j'avoue n'y avoir rien compris du tout). Je préfère me concentrer sur des analyses historiques ou méta pédagogiques, car leurs rayons d'action est plus large. Il faut agir sur la base (dont je fais partie), et cette base est ignorante.
J'ai relu à cette occasion Écologie de la racine carrée, de Teresa Assude. J'apprécie cet article, j'y apprends des choses, il m'aide. Tes lignes logiques (mais le sont-elles vraiment ? puisqu'elles se veulent d'abord quasiment illisibles), ne m'aident pas. Aident-elles seulement quelqu'un dans ce bas monde ? Une action se doit d'être ciblée pour être efficace.
Je termine en reposant cette question : en quoi la construction géométrique de Descartes ne prouve-t-elle pas l'existence de la racine carrée de $x, x>0$ ? Construire un segment dont la longueur $y$ est telle que $y^2 = x$ ne prouve-t-il pas l'existence de la racine carrée de $x$ ? Dom, j'ai bien compris le problème si on se place dans $\mathbb Q^2$, mais je me place dans $\mathbb R^2$, tout simplement.

Dom · November 2019

Se placer dans $\mathbb R^2$, c’est pour moi quasiment accepter l’existence de la racine carrée.
N’est-ce pas l’exemple premier que l’on utilise pour illustrer les coupures de Dedekind ?

Mais d’ailleurs sans aller si loin, l’existence de l’inverse d’un nombre n’est pas justifiée.
L’existence de $a/b$, pour $b$ non nulle, ne l’est pas.

gerard0 · November 2019

Bonjour.

Historiquement, l'existence des racines carrées a été acceptée dès les mathématiciens grecs, puisque les nombres étaient soit des comptages, soit des longueurs (avec le problème d'existence de parties aliquotes à deux longueurs, qui a tant perturbé Euclide, ses prédécesseurs et ses successeurs). Dans ce cadre (toute longueur est un nombre relatif à l'unité de longueur choisie au départ), la "construction de Descartes" (*) justifie l'existence de la racine carrée de tout nombre positif.
Comme nulle définition des nombres n'est donnée au collège, c'est le théorème de Pythagore qui justifie (très intuitivement) l'existence des racines carrées "dont on a besoin". La "construction de Descartes" peut d'ailleurs s'en déduire, ou être vue plus tardivement.

Cordialement.

(*) Connue près de 2000 ans avant Descartes, les grecs étant friands de quatrième proportionnelle et de moyenne proportionnelle. D'où vient cette attribution qu'il aurait refusée, ayant appris les maths dans Euclide ?

Foys · November 2019

@Ludwig: l'existence ne sert à rien ici si on veut seulement montrer l'unicité, c'est ce que j'ai voulu dire.

De plus, les énoncés suivants sont équivalents ($E$ étant mettons un ensemble et $P$ une propriété):
(i) Pour tous $x,y\in E$, si $P(x)$ et $P(y)$ alors $x=y$
(ii) S'il existe $t \in E$ tel que $P(t)$, alors pour tous $x,y\in E$, si $P(x)$ et $P(y)$ alors $x=y$.

Preuve en coq ci-dessous.

(*Ce code compile avec coq 8.7*)

Section main.

  Variable E:Set.
  Variable P: E -> Prop.
  
  Theorem equivalence_unicite:
    (forall x y:E, (P x /\ P y) -> x = y)
    <->
    ((exists t:E, P t) -> (forall x y:E, (P x /\ P y) -> x = y)).
  Proof.
    split.
    intro U1.
    intro EX.
    apply U1.
    intro UE.
    intro x.
    intro y.
    intro U2.
    apply UE.
    exists x.
    apply U2.
    apply U2.
  Qed.
             
End main.

Cette équivalence est valable pour tous $E,P$ (même si $E$ est vide ou $P$ jamais satisfaite)
Donc cette remarque

Ludwig a écrit:

@Foys : tu démontres seulement l'unicité si existence.

N'était pas pertinente (en plus d'être fausse, quand je dis "soient $a,b$ tels que, j'exploite seulement l'hypthèse, je n'ai jamais dit que de tels nombres existaient).

Pour ce qui est de prouver l'existence de la racine carrée au collège ce n'est pas vraiment faisable sauf à accorder à un dessin la qualité de preuve. De toute façon il faudrait un cadre axiomatique propre (que l'on adopte un point de vue géométrique ou autre).

Dom · November 2019

Oui on peut faire un dessin : tracer un carré dont l’aire est $10 cm^2$ par exemple.
Ce n’est pas une preuve mais c’est convaincant.
En fait en utilisant la croissance de $\sqrt{}{}$ (besoin de la continuité ?) on peut encadrer par des décimaux et faire le tour de passe-passe de la convergence.

Le dernier débat est à la fois intéressant et étonnant :
J’ai toujours (disons à 80%) prouvé les unicités avant les existences.
De toute manière, si le truc (je parle en général, pas de la racine carrée) n’existe pas, il peut y avoir unicité ou non j’imagine. C’est bizarre de dire ça ?

Le souci du détail et de la concision de Foys me ravit. Je regarde son (i) et son (ii). Il est vrai que l’équivalence est admise dans « toutes les académies ».
C’est passé sous silence, détails mis sous le tapis ou bien annonce de manière axiomatique à l’oral « c’est pareil, évidemment ».

Petite question : « coq » travaille avec de la logique classique ? Avec des tables de vérités ? (Je suis à côté de la plaque, ça n’a rien à voir...?)

YvesM · November 2019

Bonjour,

@Dom : comment traces-tu un carré de $10cm^2$ ? Ne vas-tu pas tourner en rond dans ta démonstration ?

Dom · November 2019

Oui, pardon, je disais qu'on fasse dessiner et qu'on indique la longueur du côté.
Evidemment c'est du tâton. J'ai retiré le terme "démonstration" justement. J'ai utilisé "convaincre" même si on est d'accord qu'on peut convaincre beaucoup d'élèves de choses fausses...

Ludwig · November 2019

@Foys : j'avoue que l'équivalence entre (i) et (ii) que tu pointes m'échappe un peu, de sorte que j'ai bien peur qu'on passe du coq à l'âne.

Si je réécris cette équivalence par rapport au sujet du topic, j'obtiens, pour un nombre réel $a>0$ :

(i) Pour tous $x,y\in \mathbb R^+$, si $x^2=a$ et $y^2=a$ alors $x=y$
(ii) S'il existe $t \in \mathbb R^+$ tel que $t^2=a$, alors pour tous $x,y\in \mathbb R^+$,si $x^2=a$ et $y^2=a$ alors $x=y$.

Tu as démontré le (i) un peu plus haut, et donc oui je suis d'accord, nul besoin de l'existence pour démontrer l'unicité.
Mais que penser alors du (ii) ? C'est bien l'unicité si existence non ?
ça veut dire quoi au fond cette équivalence ?

Foys · November 2019

@Dom: les racines carrées s'obtiennent géométriquement par Pythagore: pour tout réel positif on a l'égalité $\sqrt x = \frac{1}{2} \sqrt {(x+1)^2 - |x-1|^2 }$ (calcul direct); donc si la longueur $x\geq 0 $ est donnée, on construit un triangle rectangle de côté de l'angle droit $|x-1|$ et d'hypothénuse $x+1$ avec un compas et on regarde la moitié du côté restant.
Voir aussi https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Wantzel

Foys · November 2019

@Dom: la logique de coq est intuitionniste mais on obtient la classique en rajoutant par exemple le tiers exclu dans les hypothèses. Le théorème ci-dessus n'en a pas besoin. Les raisonnements se font en "déduction naturelle" (cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Déduction_naturelle).

@Ludwig: il y a des gens qui sont gênés à l'idée de montrer l'unicité d'un objet sans prouver son existence. En fait ce n'est pas du tout nécessaire.

Ludwig a écrit:

(ii) ? C'est bien l'unicité si existence non ?

Oui même si mon intervention initiale n'était pas de cette forme mais de la forme de (i).

Dom · November 2019

Foys, oui, je le sais bien, je dis juste qu’il faut disposer de $\mathbb R$ ou des nombres algébriques, d’accord, pour parler de racine carrée.
Si le plan est identifiée a $\mathbb Q \times \mathbb Q$, on va avoir du mal à atteindre toutes les racines carrées.

Unicité du carré

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