La droite réelle
Bonjour ou bonsoir à vous,
Récemment je me suis attaqué aux livres de mathématiques des années 70.
Aucun soucis que ce soit pour la sixième ou la cinquième, de même presqu’aucun soucis pour la quatrième si ce n’est pour la définition d’une droite réelle que j’ai du mal à pleinement appréhender.
J’ai joint les deux pages qui en parle dans le Queysanne-Revuz de 1973.
Si parmi vous une âme charitable souhaite m’aider à comprendre tout cela je lui en serais reconnaissant !
ÉDIT: sans doute pas le meilleur sous forum, mais ne sachant pas trop ou poser cette question... je laisse un modo décider de déplacer ce thread ou cela lui semblera le plus indiqué.
Récemment je me suis attaqué aux livres de mathématiques des années 70.
Aucun soucis que ce soit pour la sixième ou la cinquième, de même presqu’aucun soucis pour la quatrième si ce n’est pour la définition d’une droite réelle que j’ai du mal à pleinement appréhender.
J’ai joint les deux pages qui en parle dans le Queysanne-Revuz de 1973.
Si parmi vous une âme charitable souhaite m’aider à comprendre tout cela je lui en serais reconnaissant !
ÉDIT: sans doute pas le meilleur sous forum, mais ne sachant pas trop ou poser cette question... je laisse un modo décider de déplacer ce thread ou cela lui semblera le plus indiqué.
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Réponses
la droite graduée est simplement ce qu'on appelle un axe (axe de repère) : A chaque point est associée une abscisse. Si tu as compris la notion de bijection, tu vois qu'il y a une bijection entre l'ensemble des points (la droite) et l'ensemble des abscisses (l'ensemble des nombres réels).
Cette définition a posé beaucoup de problèmes aux profs de ces années, d'autant qu'il existe une infinité de telles graduations, non cohérentes entre elles. Pas seulement celles dont parle le cours ! Elle n'a quasiment pas été utilisée par les profs de l'époque, encore moins par leurs élèves.
Pour la relation entre les changements de bijection, le paragraphe sur les repères permet de comprendre ce qui est en cause : Si on a repéré les points d'un axe, il y a un ordre entre eux donné par les abscisses ($A$ est avant $B$ si $x_A \le x_B$. Si on fait un changement de repère les nouvelles abscisses seront données par $x'=ax+b$ avec $a$ non nul. Toutes ces bijections conservent l'ordre sur la droite ($a>0$) ou simplement l'inversent ($a<0$).
Cordialement.
NB : malgré les intentions des auteurs des programmes, on admettait quand même de gros axiomes, car ça revient à dire que la droite géométrique est en bijection avec l'ensemble des réels.
-- Schnoebelen, Philippe
Une des raisons qui ont fait que cette définition a été laissé rapidement de côté, c'est qu'elle était compliquée inutilement, et sans lien avec le dessin géométrique classique. Sans compter que les nombres réels n'étaient pas définis préalablement.
Il faut noter que les principaux promoteurs de la réforme avaient déjà laissé tomber, par opposition à ce programme de quatrième, déformation malsaine des ambitions de rigueur qui étaient à la base.
Cordialement.
Synthétique mais efficace !
J’ai toutefois encore quelques questions !
- quelle est l’utilité d’une telle définition ?
- a quoi pouvait-elle bien servir dans la suite de l’enseignement ?
- pourquoi avoir choisi d’enseigner cela ?
Et surtout,
- quelles étaient les difficultés rencontrées par les professeurs et les élèves de cette époque ?
Tout cela m’intrigue énormément !
Droite graduée, demi-droite graduée.
Ici, c’est un repère de la droite.
Mais aujourd’hui on ne définit plus rien.
On trace une droite, on place un point, toujours nommé $O$, d’abscisse toujours $0$.
On place un point, souvent $A$ ou $I$ d’abscisse $1$.
Puis on demande de placer le point, souvent $B$, d’abscisse $\frac{3}{4}$.
Rien n’est défini. Cela dit, dans ce cas, ce n’est vraiment pas bien grave.
Définition moderne : une droite réelle est un espace affine réel de dimension $1$.
Il manque l’idée de graduation dans mon truc.
Cela revient à choisir un point et un vecteur.
Je n’ai personnellement pas appris ce qu’est une droite il y a un peu plus de dix ans durant mes années collège... tout au plus appris à placer des points sur cette droite !
De même au lycée en seconde, je n’ai pas vraiment appris ce qu’était un repère, tout au plus à y placer des vecteurs et effectuer quelques opérations sur ceux-ci..
C’est bien pour ça que je me pose les précédentes questions...!
Qu’est-ce qui a pu pousser les concepteurs des programmes de l’époque à imposer une telle définition ? Surtout en quatrième. Certes la volonté de rigueur y est sans doute pour quelque chose, mais elle ne peut pas tout expliquer ! Une très grande partie du programme de quatrième n’étant pas si abstraite que cela, une fois passé la définition des groupes et quelques perles en géométrie comme celle-ci.
Elle est bizarre en fait. Si on prend $\Delta = \mathbb R$ et $g=id$, on obtient que $(\mathbb R, id)$ est la droite réelle graduée.
Enfin, quand je dis bizarre, je me comprends.
L’idée est « d’approcher » (sens courant) les réels avec de la géométrie je pense.
Il s’agit de tout ce qui est isomorphe à $\mathbb R$.
On pourrait dire plus simplement : la droite graduée est la donnée d’un ensemble en bijection avec $\mathbb R$.
Mouais bon.
On peut comprendre qu’on peut s’en passer finalement.
Seuls les ordres et quelques opérations sur les réels y sont présentés.
ÉDIT: L’ensemble des réels est au mieux défini comme le bouche-trou de l’ensemble des nombres décimaux.
Expliquer en quelques lignes les idées de la commission Lichnérovicz sur la rénovation de l'enseignement des mathématiques n'est pas possible. D'autant que peu à peu, son travail a dérivé de l'objectif initial. Disons qu'il y a eu une bagarre entre les universitaires purement matheux, les universitaires travaillant déjà sur l'enseignement (essentiellement les créateurs de IREM, et l'Inspection Générale, jalouse de ses prérogatives de rédactrices de programme. Et comme souvent, ce sont les plus puristes qui l'ont emporté au moment de la rédaction du programme de quatrième.
En fait, l'objet droite n'est pas défini dans l'axiomatique géométrique directe (Euclide, ou Hilbert), c'est une notion première, dont seules les relations avec les autres objets (géométriques ou pas) sont énoncées (axiomes). Et c'est sur cette axiomatique non algébrique (*) que voulaient s'appuyer les auteurs, tout en réintroduisant la notion d'abscisse pour avoir un outil utilisable (sinon, on ne faisait rien d'utile de la géométrie). Je ne cherche pas ici à justifier, seulement expliquer ce qu'il y avait dans les têtes.
Et évidemment, c'était bien tôt pour faire fonctionner une géométrie purement axiomatique, alors qu'à l'époque, la construction de $\mathbb N$ par les axiomes de Peano rebutait 50% des élèves de terminale Math Elem (ancêtre de la terminale C). Et ce n'est pas pour rien qu'on a renoncé depuis (et même malheureusement, renoncé aussi à l'essentiel de la géométrie).
Cordialement.
Bien qu’il soit impossible de résumer ici l’histoire des mathématiques modernes, auriez-vous des liens ou articles assez complets à fournir ?
Merci encore !
Par exemple (traduction de Peyrard), une ligne est une longueur sans largeur. Une ligne droite est celle qui est également placée entre ses points.
Il écrit par ailleurs que les extrémités d’une ligne sont des points sans écrire qu’une ligne est formée de points.
-- Schnoebelen, Philippe