Division euclidienne posée

lebelge · December 2019

Bonjour,

j'ai deux questions sur la division euclidienne en 6ème :

1. Je voudrais vous soumettre mon "algorithme" pour voir s'il est correct :

on repère le chiffre du dividende qui a le rang le plus élevé. On suppose dans la suite que c'est le chiffre des milliers
- on cherche le nombre de milliers de paquets de la taille du diviseur que l'on peut faire.
  Ce nombre de paquets sera le chiffre des milliers du quotient.
- pn soustrait au dividende le nombre de milliers qui sont maintenant rangés en paquets.
jusqu'à trouver le chiffre des unités du quotient, on recommence à partir du reste du partage trouvé à la fin de l'étape 2. avec le rang suivant (en remplaçant donc ici le mot "milliers" par "centaines")

Ce qui donne sur l'exemple très simple de la division euclidienne de 126 par 3 :

Dans 1 centaine, on peut faire 0 centaines de paquets de 3 unités. Le quotient comporte 0 centaines.
Dans les 12 dizaines qu'il reste à partager en 3, on peut faire 4 dizaines de paquets de 3 unités. Le quotient comporte 4 dizaines.
Dans les 6 unités qu'il reste à partager en 3, on peut faire 2 paquets de 3 unités. Le quotient comporte 2 unités.

2. Sous réserve de validité, quel est l'argument précis qui assure qu'en procédant ainsi, les quotients intermédiaires sont inférieurs à 10, de manière à être représentés par le chiffre correspondant dans le quotient final ?

Merci

gerard0 · December 2019

Bonjour.

J'ai l'impression que la situation est plus compliquée que ce que tu annonces. La division posée du primaire nécessite un choix plus ou moins intuitif des chiffres successifs. je ne vois pas vraiment ça dans ce que tu expliques
Essaie de faire ce que tu dis pour la division de 25 436 par 521 (*).

"quel est l'argument précis qui assure qu'en procédant ainsi, les quotients intermédiaires sont inférieurs à 10" : Si on procède chiffre par chiffre, c'est sûr ! Sinon, comme ce n'est plus un algorithme que tu as exposé, on ne peut pas savoir.

Cordialement.

(*) Pour ma part je commence par voir qu'avec le même nombre de chiffres que 521, on a comme "première tranche" 254, qui est trop petit, donc je lis 2543 qui est en gros 5 fois 521, mais 5 fois ça dépasse, donc je prends 4.

lebelge · December 2019

Merci pour ta réponse.

Je voudrais en quelque sorte me passer de ce choix intuitif. Sur ton exemple :

1. Dans 2 dizaines de milliers, on peut faire 0 dizaines de milliers de paquets de 521.
2. Dans 25 milliers, on peut faire 0 milliers de paquets de 521.
3. Dans 254 centaines, on peut faire 0 centaines de paquets de 521.
4. Dans 2543 dizaines, on peut faire 4 dizaines de paquets de 521.
5. Dans 4596 (le reste), on peut faire 8 paquets de 521 et il reste 428.

Le quotient étant le nombre de paquets, on a alors clairement 48 paquets.

C'est sans doute évident, mais je ne trouve pas la justification dans l'étape 4 ou 5 au fait que le quotient de la division euclidienne de 2543 par 521 ou de 4596 par 521 soit forcément inférieur ou égal à 9. (:D

gerard0 · December 2019

Ben ... s'il est strictement supérieur à 10, donc au moins égal à 11, c'est que c'était au moins 11 fois le diviseur. Et 11 fois le diviseur commence par un nombre à 1 chiffre de moins qui est divisible par le diviseur.
Je te laisse mathématiser ça, puis traiter par la même méthode le cas 10.

Quant à éviter le choix intuitif, on connaît un algorithme de division, mais il n'est pas facile (il y a d'ailleurs eu dans les années 90 une erreur de programmation d'un coprocesseur arithmétique qui du coup faisait des divisions parfois fausses). On trouve cet algorithme dans les bons bouquins de programmation (Knuth, par exemple). Mais les ordinateurs sont bêtes, nous on sait agir intelligemment.

Dasson · December 2019

Disposition donnée dans le rapport Villani Petrossian

Division euclidienne posée

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