Résolution d’équation du premier degré
Bonjour
Pour l’équation $ 5x-3=2x+7$.
Il faut mieux penser : "je passe le 2x de l’autre coté et il devient -2x ... " ou "je soustrais 2x de part et d’autre..."
Personnellement, je passe le 2x de l’autre coté mais je me demande si les autres font de même.
Pour l’équation $ 5x-3=2x+7$.
Il faut mieux penser : "je passe le 2x de l’autre coté et il devient -2x ... " ou "je soustrais 2x de part et d’autre..."
Personnellement, je passe le 2x de l’autre coté mais je me demande si les autres font de même.
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
On applique l'évidence suivante :
Pour tout ensemble $D$, pour tout élément $a$ et $b$ de $D$ et pour toute $f$ fonction définie sur $D$ :
$$a=b \Rightarrow f(a)=f(b)$$
Quand je parle d'évidence, c'est dans la définition du $"="$. J'entends encore "tout ce qui arrive à l'un arrive à l'autre".
Ici, l'ensemble $D$ est $\mathbb C$ par exemple, et $f$ est $t \mapsto t-2x$ avec les notations précédentes.
Cela rejoint donc : "on retire $2x$ de chacun des membres".
Remarque : l'image de la balance équilibrée, bien que jugée pédagogo me convient assez bien.
On réalise qu'on n'enlève pas un truc sur le plateau de droite pour le poser sur le plateau de gauche.
On "ne passe rien de l'autre côté". Au contraire, on agit de la même manière sur chaque plateau.
Remarque (bis) : Cela ne marche que pour les masses, donc que pour les nombres positifs ?
Non. On peut simuler une "masse négative" (plutôt une "force négative", j'entends qui monte, c'est-à-dire qui tire vers le haut le plateau), comme quand on met une poulie pour inverser le sens de la force.
Présenter cette histoire de balance me semble bien mais surtout pas trop longtemps, c'est une illustration et rien qu'une illustration. Une simple caricature sur la UNE du journal, en gros.
Pour $5 x-3=2 x+7$, je me force à écrire en seconde systématiquement $5 x-2 x-3=2 x-2x+7$ et ainsi de suite, et ça fonctionne. Ce n'est pas du temps perdu selon moi.
Il y a une explication identique pour la multiplication/division.
Je ne suis donc pas choqué du tout quand les gens disent qu'ils transposent ; et en classe j'ai remarqué que le fait de faire comme cela ou autrement ne changeait pas grand-chose... Pour l'anecdote, il y a deux ans, j'ai commencé mon cours de 2de par les équations du premier degré. J'ai bien détaillé la méthode, du style
$$3x=x+5$$ est équivalent à
$$3x-x=x+5-x$$
(notez les deux sens de l'équivalence à justifier, si on veut faire les choses proprement - ce qui va passer 10 km au-dessus de la tête de 95 % de nos élèves de 2nde), avec de la couleur et tout. Résultat : encore plus mauvais que d'habitude dans les copies...
exemple tout récent : il fallait résoudre $ -20=4x$ la réponse de l'élève a été $x=-24$ parce que quand on "bascule de l'autre coté " on change le signe…
On a bien des définitions propres de $a-b$ ou de $a/b$.
En effet $a-b$ est l'unique nombre $u$ tel que : $b+u=a$.
Pour$a/b$ c'est pareil en précisant $b$ non nul, c'est l'unique nombre $v$ tel que : $b*v=a$
Remarque : "passer de l'autre côté" ne suffit pas, on a un changement de signe, et plus exactement un changement d'opération.
Je ne sais pas ce qui passe le plus au dessus de la tête d'un élève.
Le vrai problème est que quand le gamin ne pige pas ce que le prof lui raconte, alors il demande de l'aide à sa soeur qui lui dit "pfff tu passes de l'autre côté et tu changes le signe, t'embêtes pas avec ces choses compliquées".
Un autre problème : les équations sont très peu vues au collège, disons que c'est à la marge.
Je parle des collèges non qualifiés de "favorisés", où le calcul littéral n'est pas non plus approfondi.
Un dernier gros gros problème, disons, indirect, sous-jacent.
Tous les profs que j'ai vus écrivent :
$3x+6 = 21$
$3x+6-6 = 21-6$
$3x = 15$
Puis avec la multiplication, tout à coup, sans ne rien dire, on met des parenthèses :
$3x + 6 = 21$
$(3x+6)/3 = 21/3$ (mais pourquoi là on met des parenthèses ?)
$x+2 = 7$
J'ai envie de militer pour :
$3x+6 = 21$
$(3x+6)-6 = 21-6$ (qu'on les mette là aussi pour le détail complet, puis qu'on justifie la ligne d'après)
$3x = 15$
Bon, bien entendu il manque "le retour" (l'équivalence) car là on travaille avec des "donc".
Disons qu'il faut au moins l'écrire dans la rédaction : "toutes les équations suivantes sont équivalentes" ou autre.
Ils font de la magie et confondent les règles car tout simplement ils ne pratiquent pas assez au collège et ensuite c'est la catastrophe.
On réalise qu'on n'enlève pas un truc sur le plateau de droite pour le poser sur le plateau de gauche.
On "ne passe rien de l'autre côté". Au contraire, on agit de la même manière sur chaque des plateaux. "
Je ne crois pas que ce soit pédagogiste comme approche (les 2 critères : "l’élève construit son propre savoir" et "de manière inefficace" n'étant pas réunis) ! Je pense qu'au collège pour quelqu'un qui a du mal c'est vraiment bien, tu as raison de le préconiser.
Pour introduire précocement l'inconnue c'est aussi l'idéal (sinon voir comme on semble faire avec les vidéos d'Espe récemment mises en ligne par Schumi pour faire n'importe quoi ... ).
Personnellement l'idée m'est venue quand j'ai appris les maths du primaire à mon fils avec la méthode Singapour. Au niveau CM1 il y a pas mal d’exercices de balances :
- j'ai redessiné une situation (un melon d'un côté, la moitié du melon et un poids d'un kilo de l'autre côté),
- la question vient d'elle même : le melon pèse un kilo plus la moitié de son poids,
- l'équation est immédiate, aidée de manière très puissante par la visualisation de la balance, si on appelle P le poids du melon :
P = P/2 + 1
P - P/2 = P/2 + 1 - P/2
P/2 = 1
P = 2
Voilà c'est très facile à saisir.
Edit : d'après la plupart des témoignages d'enseignants que j'ai pu lire ici, j'ai l'impression qu'il n'y a pas que les dextérités calculatoires qui posent problème, le statut de l'inconnue ne semble pas intégré non plus.
Pour récupérer ça avec le peu de temps que j'ai je n'ai pas trouvé de meilleur point de vue que "on cherche comment le nombre est collé au x, si c'est par un fois ou un plus".
Le truc de la balance (qui est la manière dont on m'a enseigné les équations) a tendance à leur passer par-dessus. Ils ne voient pas quelle opération faire et n'ont souvent même pas le truc de voir comment simplifier " x + 3 - x". Donc c'est triste mais je préfère dire "passer de l'autre côté" et encombrer leur mémoire pour savoir "quelle opération faire dans quelle contexte"...
Pour ma part le "faire passer" ne me dérange pas si l'élève ne fait pas d'erreur et qu'il est capable de m'expliquer "mathématiquement" chaque étape mais dans le cas contraire (ce qui arrive souvent...) j'interdis ces tours de passe passe du style "je passe" , "j'enlève" etc...
Nul besoin d'être un génie en seconde pour résoudre cette équation. De mon expérience, je sais que l'écrasante majorité des élèves biberonnés au "je passe de l'autre côté" en seront incapables, même en termS où parfois on tombe de haut, parce qu'ils se savent pas vraiment ce qu'ils passent de l'autre côté. Avec de bonnes habitudes, même des élèves très moyens de seconde sont capables de résoudre ça par exemple.
D'ailleurs, on voit souvent la résolution d'équation comme un truc difficile à apprendre aux élèves, je pense exactement le contraire. Les élèves moyens sont hyper rassurés de voir qu'en appliquant la méthode, ça marche à tous les coups. C'est très sécurisant.
Alors que pour les moyens, le "je passe de l'autre côté", relève de la loterie à chaque ligne de calcul.
$5x-3=2x+7 \qquad \qquad \mid -2x$
$3x-3=7 \qquad \qquad \mid +3$
$3x=10 \qquad \qquad \mid \div 3$
$x=3\frac{1}{3}$ (:P)
@Riemann_lapins_cretins , moi non. C'est trop tard pour rattraper les choses. Et à l'époque le programme me gonflait trop : trop de thèmes étudiés trop superficiellement.
Je pratique la même présentation de vorobichek pour la résolution des équations sauf pour la dernière ligne(:P)
Généralement, tu ne rattrapes pas avec deux heures par semaine de soutien scolaire des années d'empilement de lacunes. On peut combler quelques lacunes dans ces conditions mais pas toutes.
La plupart du temps, les élèves que tu rencontres en soutien scolaire ne connaissent pas correctement leur tables de multiplication et d'addition. Je l'ai déjà écrit plusieurs fois ici, c'est comme espérer bien conduire une voiture en regardant ses pieds à chaque fois qu'on freine ou qu'on change de vitesse.
D'accord avec vorobichek, ce "passer de l'autre côté" est un abus de langage que s'autorisent les spécialistes. Et puis, surtout, qui peut comprendre qu'on obtienne une nouvelle égalité après cette opération magique ?? Personne !
Avec ma classe de quatrième je vient justement de commencer le chapitre sur les équations. Après avoir défini ce qu'est une équation, je leur propose d'en résoudre "à vue d'oeil" et "par bon sens", comme par exemple $x + 2 = 9$ ou $3(x - 2) = 15$. Une fiche que j'ai piqué je ne sais plus où (voir pdf joint).
Ensuite, méthode de la balance : résolution d'équations qui peuvent se traduire par l'équilibre d'une balance, comme par exemple $8x + 20 = 3x + 100$. Une fiche où des balances sont dessinées à chaque étape ($x$ désigne la masse d'une bille).
Je présente la solution un peu comme dans l'exemple de vorobichek :
$\qquad\qquad 5x-3=2x+7 \qquad\qquad $
$-2x \downarrow\ \qquad\qquad\qquad\qquad \downarrow -2x$
$\qquad\qquad 3x-3=7$
En procédant de la sorte il y a moins de lignes à écrire.
Ensuite on généralise à des équations qui ne peuvent pas être associées à des balances.
C’est plutôt « trouver une ou plusieurs solutions par bons sens » que « résoudre ».
En gros, ils cherchent des condition suffisantes pour obtenir l’égalité.
Juste une remarque, pas une critique.
Qu'est-ce que cela donnerait la résolution par "bon sens" de $2x+x=3x$? B-)-
(sans parler de $2x=2x+1$ )
Si, cela est possible mais à trois conditions:
1) L'élève est motivé,
2) l'élève connait ses tables de multiplication et sait calculer de tête par exemple des 4-13,-7-12 (c'est un constat que je fais sur ce point sans avoir d'explication),
3) l'élève "percute" c'est-à-dire que ce n'est pas une buse complète et qu'il n'a pas la mémoire d'un poisson rouge.
N'importe quel élève peut maîtriser parfaitement le calcul littéral mais il existe de très grands écarts sur le temps nécessaire à cette maîtrise. Pour l'élève moyen cela demande en général au moins 6 mois de pratique régulière, pour l'élève qui n'est absolument pas "matheux" (même si je déteste ce terme) cela peut prendre deux années (celles qui manquent au collège...) et pour les plus "doués" quelques petites semaines peuvent suffire.
Par contre je m'étonne qu'il faille tant de temps pour récupérer, mais Biely donne la même indication et vorobichek plus pessimiste encore.
Je pensais que même à un âge "tardif" (adolescence ou fin d'adolescence) ça ne dépendait que de la quantité de travail, il m'avait semblait voir, dans la biographie de mathématiciens anciens, que certains avaient commencé les maths en deuxième partie de jeunesse mais qu'ils y avaient passé le temps nécessaire.
Je pense que ton constat est correct: c'est en effet une question de temps et un peu de motivation. Parce que le calcul littéral c'est assez aride en soi. Le genre de trucs répétitifs qu'un être humain n'aime pas effectuer a priori.
PS:
Peut-être que la façon dont on a appris à lire conditionne le regard qu'on porte sur des expressions mathématiques.
Je ne serais pas étonné de l'apprendre.
Le problème du soutien scolaire est que cela se télescope avec l'aide aux devoirs (en mathématiques).
Tu ne peux pas dire aux parents des enfants: je ne suis pas là pour accompagner leur gosse à assimiler le programme de l'année en cours mais pour combler ses lacunes. C'est quelque chose qui n'est pas entendable.
Donc tu essaies de combler quelques lacunes au fur à mesure quand tu peux le faire (souvent c'est le temps qui est un obstacle). Mais avec beaucoup de temps (mais attention à la saturation donc le rejet de l'élève) on doit pouvoir faire des trucs qui ressemblent à des miracles.
Un des objectifs est de les empêcher de se comporter en robot. Par exemple, l'équation $3(x-2) = 15$, combien de lycéens se dépêcheraient de développer ?.. Il faudrait plus d'équations de ce genre d'ailleurs.
Il y a aussi la méthode essais/erreurs qui permet de les faire réfléchir un petit peu : trop grand, trop petit... premier contact avec le sens de variations d'une fonction.
Ça me fait penser qu'il faudrait aussi ajouter des équations qui font réfléchir sur l'ordre de grandeur de la ou les solutions.
En quoi développer pose un problème dans l'équation 3(x-2)=15?
En revanche dans l'étude de signe d'un (x-2)^2+4 par exemple le développement me gêne beaucoup plus.
Mais nous on a du recul.
Enfin, je ne dénonce pas nos propos mais je rappelle que les sinistrés sont des grands sinistrés alors si le gars développe « bêtement » et qu’il parvient à obtenir une expression développée sans erreur, on peut déjà crier victoire...
C’est ça les sinistrés... on se console de peu...
En général développement se passe plutôt bien dans ce cas, le calcul du discriminant aussi mais pour l'étude de signe dans le cas où le discriminant est négatif en général il y a une perte de mémoire :-D
Pour certains élèves il faudrait six mois à un an avec le volume horaire hebdomadaire de la classe de quatrième pour espérer combler ces lacunes je le crains.
Au delà de ces lacunes il y a aussi l'image qu'ont les élèves d'eux-mêmes et qui se détériore.
Passer des heures en classe à comprendre la moitié de ce qui se dit (ou rien du tout) ce n'est surement pas sans conséquences sur le psychisme humain.
Tu ne peux peut-être pas combler toutes les lacunes mais tu peux essayer d'améliorer l'image qu'ont des gosses d'eux-mêmes. N'est-ce pas le plus important en réalité?
@Ludwig non c'était juste pour savoir. Juger si c'est facile ou pas à l'heure actuelle ne m'est pas aisé, par contre je pense que c'est bien de commencer par ce genre de petites dextérités, ça permet aussi de repérer ceux qui sont vraiment perdus et de les aider mieux.
Je pense plutôt que ce n'est pas un "abus de langage" mais l'application d'une propriété.
a = b + c équivaut a - b = c, on observe donc qu'on peut prendre un terme d'un coté, le faire disparaître de ce coté, et de le faire apparaître de l'autre, et que c'est une transformation d'une égalité admise.
La PREUVE de cette propriété est effectivement l'addition de (-b) des deux cotés. Mais quand une propriété est prouvée, il ne faut pas la re-prouver à chaque fois.
Ce n'est pas différent quand on calcule la dérivée de f(x) = x^2 comme étant 2x. C'est une propriété de l'application "dérivée". Elle est prouvée par des machins avec des limites, mais on ne va pas se taper ça chaque fois qu'on veut calculer une dérivée non ?
Il faut effectivement absolument que l'élève sache d'où vient ce "on passe de l'autre coté et on change de signe", mais une fois acquis, c'est moins encombrant, et surtout, nécessite moins d'écritures, permet un calcul mental plus rapide etc... et donc, évite des fautes d'inattention. Dans de longs calculs, ajouter encore des termes des deux cotés est une source d'erreur de copie, d'oublie, .... et aussi mentalement, c'est plus rapide de s'imaginer passer de l'autre coté, que d'ajouter des termes.
Si vous vous imaginez 3y + 4x = 12 + 2y + 7x, de tête, c'est plus facile de "passer de l'autre coté" que d'ajouter des termes: on voit tout de suite que si on bascule le "2y" de l'autre coté, avec le 3y, ça va faire y, et que le 4x balancé de l'autre coté, avec le 7x donnera du 3x, alors que, si on doit gérer dans sa tête 3y + 4x - 2y - 4x = 12 + 2y + 7x - 2y -4x, on va avoir du mal.
Quand la preuve de la propriété est intégrée, il n'y a, pour moi, aucune raison de ne pas "passer de l'autre coté".
Je crois qu'il est faux en général de penser que de faire des choses répétitives n'est pas quelque chose qu'un être humain pourrait aimer faire (ou pourrait se motiver de faire).
Des enfants aiment souvent répéter des choses. Ils jouent souvent de façon répétitive, ils disent les mêmes choses, répètent les mêmes blagues. Il y a un créneau d'age où la répétition n'est pas vue comme désagréable. C'est plus tard qu'on se lasse.
Quand je vois des ados qui aiment faire de la musculation, on ne va pas me dire qu'il n'y a pas plus bête et répétitif dans le geste. Il y a beaucoup d'arts martiaux ou on répète le geste "à la perfection" pendant des années. Donc non, il n'y a pas de problème en soi avec des exercices répétitifs. C'est la seule façon de pouvoir apprendre des "automatismes" pour un humain, d'ailleurs, et dans beaucoup d'activités, cette répétition n'est pas mise en cause, et parfois même vue comme une expérience agréable.
On s'en lasse peut-être après une demi-heure ou une heure, mais le lendemain, on peut recommencer.
Dire aux élèves "Quand vous aurez compris qu'on peut faire comme ça..." est risqué, car beaucoup vont s'empresser de le faire sans avoir compris, car ils trouveront que c'est plus rapide (ce qui en plus est faux, il y a quoi, trois symboles à écrire en plus).
J'ai dans mon collège des profs (pas de maths je précise) qui en aide aux devoirs ont proposé aux élèves le truc du "passer de l'autre côté". Questionnés sur cette astuce, ils se sont trouvés incapables de la justifier.
"quand est-ce que l'élève a intégré la propriété ?" - ben quand il l'a comprise, c.à.d. quand il connaît la preuve et les conditions d'application, comme toute propriété.
Ce n'est pas en ne l'utilisant pas "tant qu'il ne l'ait pas intégrée" qu'il l'intégrera. On ne fait pas la même chose avec la dérivée: on ne passe pas par la limite des dizaines de fois avant de commencer à utiliser la propriété que la dérivée de x^2 est 2x.
Je crois que le problème en général qu'on rencontre de mauvaises manipulations de formules, viens simplement du fait que les élèves ont une connaissance floue de l'écriture algébrique en générale. Ça ne vient pas de mauvaises connaissances de certaines règles de calcul, mais du système de notation algébrique en général.
Quand on ne sait pas exactement ce que représente a x + b, sauf quand on substitue par des nombres concrets - et encore - alors il ne faut pas faire porter le chapeau à une technique comme "changer de coté".
Je peux bien m'imaginer que, si on a a x + b = c, que l'élève mette sans trop d'hésitations "a de l'autre coté", pour écrire que x + b = c / a. Mais ça, ce n'est pas une mauvaise utilisation de "mettre de l'autre coté", mais une mauvaise compréhension de ce que voulait dire a x + b en premier lieu. Quand il va écrire 1/a a x + b = 1/a c, il arrivera à la même fausse conclusion.
Le décryptage d'une écriture algébrique en "arborescence", et transformations autorisées d'une expression algébrique à partir de propriétés élémentaires, est ce qui n'est pas clair. Et quelque part, comme ils ne le déduisent pas, et que c'est souvent un "jeu stérile de changements de chaînes de caractères", dont on ne se souvient plus exactement quelles sont les transformations permises, ce n'est, finalement, pas si étonnant.
Il est curieux de constater que même pour des lycéens on voit très souvent pour des équations du style 3x=0 toujours les mêmes erreurs qui sont -3 ou 1/3.
Bien souvent quand on leur pose la question: quelle est la solution de l'équation ax=b ils répondent correctement sans hésiter x=b/a et là un doute survient dans le cas 3x=0.... ah oui...donc cela fait 0/3? et que donne 0/3? (Avec la peur d'entendre une horreur:-D), ben 0 donc la solution est 0?...
D'où vient ce ''bug''? A mon avis il vient du fait que leur cerveau est trop habitué à trouver une solution sous la forme d'une fraction d'où le changement du 0 par le 1 ou alors , sentant le "piège '' et que le résultat risque d'être ''étrange", ils transforment de manière inconsciente 3x=0 en 3+x=0.
Il y a aussi la réponse -1/3 mais là c'est plus grave en général car dans ce cas l'élève confond le plus souvent réellement les deux règles et dans le doute on applique les deux:-D.
C'est essentiellement parce que la notation algébrique n'est pas tout à fait "automatique": la conversion de l'écriture en arborescence d'opérations n'est pas toujours évidente. Il faut toujours poser la question, quelle est l'opération "en haut de l'arbre". Est-ce une addition, une multiplication, une puissance ou une fonction ?
ax + b --> en haut, une addition
a(x+b) --> en haut, une multiplication
1/(a+b) --> en haut, une division
exp(a+b) --> en haut, une fonction (exponentielle).
Les calculatrices "reverse Polish notation" de HP étaient génial pour ce genre de chose...
Quand on fait correctement les choses, certains élèves vont s'apercevoir au bout d'un moment et par eux mêmes, qu'ils peuvent gagner une ligne d'écriture. Ils ne passent rien de l'autre côté, ils évitent juste d'écrire une étape qui est parfaitement intégrée pour eux.
Mais pour les autres, je préfère écrire une ligne en plus. Je suis convaincu qu'on gagne au contraire beaucoup de temps. Meilleure compréhension, moins de fautes, notamment pour les élèves moyens.
J'ai l'impression que, c'est comme quand on apprend à lire. (Après je dis peut-être une connerie mais ça me fait penser à ça.) Au début on décompose par syllabes, et bout d'un moment par lui même l'élève lit le mot en entier, qu'il a rencontré pleins de fois sans décomposer.
(*) n'oublions pas qu'une bonne partie des élèves ne maîtrisent pas le sens des opérations en fin de troisième...
Par exemple, quand on a une égalité du genre:
- ax + by - cz = -t + k il peut parfois être plus clair de ré-écrire cela sans signes négatifs, alors on balance tout ce qui est négatif de l'autre coté:
by + t = ax + cz + k
Ça ne me viendrait pas à l'idée d'ajouter des termes opposés des deux cotés.
À gauche, le by reste car il a un plus, et il hérite de tous les machins à droite qui ont un signe négatif, mais on met un plus.
Et à droite, le même jeu.
Ma foi, c'est quand-même pratique comme manipulation ?
Ça ne veut pas dire à mon sens que ce soit une bonne façon de l'enseigner. En tout cas, c'est ma conclusion après quelques années à enseigner.
Voilà, ce que j'avais écrit plus haut...
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1901800,1901986#msg-1901986
Je rajoute quand terminale, ceux qui passent de l'autre côté ne font rien de bien avec avec le logarithme et exponentielle.
De même quand on fait un raisonnement par récurrence, il y a pleins d'exercices très classiques pour démontrer une inégalité ou un encadrement, où on part de $U_k$ et puis pour "arriver" à $U_{k+1}$, on ajoute, on soustrait, on divise on élève au carré, dans chaque membre... Ils sont toujours très simples, mais la majorité des "je passe de l'autre côté", est complètement désorientée, alors que les autres trouvent ça parfaitement logique.
1000, ajouter 40. Ajouter 1000. Ajouter encore 30 et à nouveau 1000. Ajouter 20. Ajouter 1000, puis 10. Quel est le total ?
Pas mal de personnes répondront 5000...même si elles savent très bien calculer des 40+30+20+10...
chépa.
A gauche nous avons une division en haut de l'arborescence. Donc je passe le 3 de l'autre coté, ce qui fait 36 à droite.
Maintenant j'ai $4 \sqrt{x} - 8 = 36$
A gauche, j'ai une soustraction en haut de l'arborescence. Donc je passe 8 de l'autre coté, ce qui fait 44 à droite.
Maintenant j'ai $4 \sqrt{x} = 44$.
A gauche, j'ai une multiplication en haut de l'arborescence. Donc je passe 4 de l'autre coté, ce qui fait 11 à droite.
Maintenant j'ai $\sqrt{x} = 11$.
A gauche, j'ai une fonction en haut de l'arborescence. Donc je passe la fonction inverse de l'autre coté :-D ce qui fait $11^2$, donc 121.
$x = 121$.
Maintenant, c'est parfaitement justifiable et plus propre de le faire comme d'autres suggèrent, on peut écrire "je multiplie par 3", j'ajoute 8, etc.... Mais L'INSPIRATION de cet acte est justement de que fait la règle de "je balance de l'autre coté".
Pourquoi, quand il y a une division par 3 à gauche, ça nous viendrait à l'idée de multiplier par 3, et pas de diviser par 5 ou d'ajouter 7 ? Parce que, *pour se débarrasser de cette division* il faut faire une multiplication.
Ce qu'on veut, ce n'est pas juste faire des manipulations justes, on veut obtenir quelque chose, et ici, c'est "se débarrasser de cette division par 3". Alors, comment on se débarrasse d'une division par 3 ? Eh bien, "en la balançant de l'autre coté", c.à.d., en multipliant par 3 de l'autre coté, on sera débarrassé de cette division de ce coté-ci.
Alors, si le but, c'est de se débarrasser de cette division, c'est normal qu'on ne l'écrive plus. Il faut donc:
- multiplier par 3 de l'autre coté
- ne plus écrire la division dont on veut se débarrasser.
Ben, c'est exactement ce que dit la règle de "balancer de l'autre coté", non ?