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Résolution d’équation du premier degré

Envoyé par enrouement 
Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
Bonjour

Pour l’équation $ 5x-3=2x+7$.
Il faut mieux penser : "je passe le 2x de l’autre coté et il devient -2x ... " ou "je soustrais 2x de part et d’autre..."
Personnellement, je passe le 2x de l’autre coté mais je me demande si les autres font de même.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
Il est préfèrable d'isoler les coefficients des inconnues de manière à obtenir des coefficients positifs (surtout pour les inéquations). Mais après chacun fait comme il veut! ^^
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
avatar
Je trouve que « passer 2x de l’autre côté » est dangereux parce que quand tu vas passer le 3 de 3x de l’autre côté pour isoler x, les élèves ne vont pas forcément comprendre pourquoi, là, soudain, un signe moins n’apparaît pas.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
Ce "passer de l'autre coté " ne veut rien dire et est très dangereux pour les élèves qui confondent les cas x+a=b et ax=b. Pour les élèves qui savent ce qu'ils font ça peut...passer mais pour tous les autres ça ne passe pas chez moigrinning smiley
Dom
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
J'en remets une couche : on ne passe rien de l'autre côté.
On applique l'évidence suivante :

Pour tout ensemble $D$, pour tout élément $a$ et $b$ de $D$ et pour toute $f$ fonction définie sur $D$ :

$$a=b \Rightarrow f(a)=f(b)$$
Quand je parle d'évidence, c'est dans la définition du $"="$. J'entends encore "tout ce qui arrive à l'un arrive à l'autre".

Ici, l'ensemble $D$ est $\mathbb C$ par exemple, et $f$ est $t \mapsto t-2x$ avec les notations précédentes.

Cela rejoint donc : "on retire $2x$ de chacun des membres".

Remarque : l'image de la balance équilibrée, bien que jugée pédagogo me convient assez bien.
On réalise qu'on n'enlève pas un truc sur le plateau de droite pour le poser sur le plateau de gauche.
On "ne passe rien de l'autre côté". Au contraire, on agit de la même manière sur chaque plateau.

Remarque (bis) : Cela ne marche que pour les masses, donc que pour les nombres positifs ?
Non. On peut simuler une "masse négative" (plutôt une "force négative", j'entends qui monte, c'est-à-dire qui tire vers le haut le plateau), comme quand on met une poulie pour inverser le sens de la force.

Présenter cette histoire de balance me semble bien mais surtout pas trop longtemps, c'est une illustration et rien qu'une illustration. Une simple caricature sur la UNE du journal, en gros.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
Je ne suis pas un Ayatollah des mathématiques. Mais je rejoins les camarades ! Surtout pas cet horrible "je passe de l'autre côté." On se retrouve avec des secondes qui écrivent n'importe quoi. Tous les ans je reprends.
Pour $5 x-3=2 x+7$, je me force à écrire en seconde systématiquement $5 x-2 x-3=2 x-2x+7$ et ainsi de suite, et ça fonctionne. Ce n'est pas du temps perdu selon moi.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par zeitnot.
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
D'accord avec les intervenants précédents.
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
Je ne suis pas trop d'accord avec vous. Le fait que $a=b+c$ soit équivalent à $a-b=c,$ c'est la définition même de la soustraction : pourquoi $6-2=4~?$ Parce que $6=4+2.$ En ce sens, on "passe bien de l'autre côté". Et quelqu'un qui écrit cela montre qu'il a compris que la soustraction est l'opération inverse de l'addition.
Il y a une explication identique pour la multiplication/division.

Je ne suis donc pas choqué du tout quand les gens disent qu'ils transposent ; et en classe j'ai remarqué que le fait de faire comme cela ou autrement ne changeait pas grand-chose... Pour l'anecdote, il y a deux ans, j'ai commencé mon cours de 2de par les équations du premier degré. J'ai bien détaillé la méthode, du style
$$3x=x+5$$ est équivalent à
$$3x-x=x+5-x$$
(notez les deux sens de l'équivalence à justifier, si on veut faire les choses proprement - ce qui va passer 10 km au-dessus de la tête de 95 % de nos élèves de 2nde), avec de la couleur et tout. Résultat : encore plus mauvais que d'habitude dans les copies...
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
Il y a aussi le "on bascule de l'autre coté "
exemple tout récent : il fallait résoudre $ -20=4x$ la réponse de l'élève a été $x=-24$ parce que quand on "bascule de l'autre coté " on change le signe…
Dom
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
Oui, j'allais en parler mais je n'osais pas charger la barque.
On a bien des définitions propres de $a-b$ ou de $a/b$.
En effet $a-b$ est l'unique nombre $u$ tel que : $b+u=a$.
Pour$a/b$ c'est pareil en précisant $b$ non nul, c'est l'unique nombre $v$ tel que : $b*v=a$

Remarque : "passer de l'autre côté" ne suffit pas, on a un changement de signe, et plus exactement un changement d'opération.

Je ne sais pas ce qui passe le plus au dessus de la tête d'un élève.

Le vrai problème est que quand le gamin ne pige pas ce que le prof lui raconte, alors il demande de l'aide à sa soeur qui lui dit "pfff tu passes de l'autre côté et tu changes le signe, t'embêtes pas avec ces choses compliquées".
Un autre problème : les équations sont très peu vues au collège, disons que c'est à la marge.
Je parle des collèges non qualifiés de "favorisés", où le calcul littéral n'est pas non plus approfondi.

Un dernier gros gros problème, disons, indirect, sous-jacent.
Tous les profs que j'ai vus écrivent :
$3x+6 = 21$
$3x+6-6 = 21-6$
$3x = 15$

Puis avec la multiplication, tout à coup, sans ne rien dire, on met des parenthèses :
$3x + 6 = 21$
$(3x+6)/3 = 21/3$ (mais pourquoi là on met des parenthèses ?)
$x+2 = 7$

J'ai envie de militer pour :
$3x+6 = 21$
$(3x+6)-6 = 21-6$ (qu'on les mette là aussi pour le détail complet, puis qu'on justifie la ligne d'après)
$3x = 15$


Bon, bien entendu il manque "le retour" (l'équivalence) car là on travaille avec des "donc".
Disons qu'il faut au moins l'écrire dans la rédaction : "toutes les équations suivantes sont équivalentes" ou autre.
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
Oui mais ici je vais parfois voir des (3x+6)-6=-18x-36...(dans le "meilleur" des cas)
Ils font de la magie et confondent les règles car tout simplement ils ne pratiquent pas assez au collège et ensuite c'est la catastrophe.
xax
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
avatar
@Dom "Remarque : l'image de la balance équilibrée, bien que jugée pédagogo me convient assez bien.
On réalise qu'on n'enlève pas un truc sur le plateau de droite pour le poser sur le plateau de gauche.
On "ne passe rien de l'autre côté". Au contraire, on agit de la même manière sur chaque des plateaux. "

Je ne crois pas que ce soit pédagogiste comme approche (les 2 critères : "l’élève construit son propre savoir" et "de manière inefficace" n'étant pas réunis) ! Je pense qu'au collège pour quelqu'un qui a du mal c'est vraiment bien, tu as raison de le préconiser.

Pour introduire précocement l'inconnue c'est aussi l'idéal (sinon voir comme on semble faire avec les vidéos d'Espe récemment mises en ligne par Schumi pour faire n'importe quoi ... ).

Personnellement l'idée m'est venue quand j'ai appris les maths du primaire à mon fils avec la méthode Singapour. Au niveau CM1 il y a pas mal d’exercices de balances :
- j'ai redessiné une situation (un melon d'un côté, la moitié du melon et un poids d'un kilo de l'autre côté),
- la question vient d'elle même : le melon pèse un kilo plus la moitié de son poids,
- l'équation est immédiate, aidée de manière très puissante par la visualisation de la balance, si on appelle P le poids du melon :

P = P/2 + 1

P - P/2 = P/2 + 1 - P/2

P/2 = 1

P = 2

Voilà c'est très facile à saisir.

Edit : d'après la plupart des témoignages d'enseignants que j'ai pu lire ici, j'ai l'impression qu'il n'y a pas que les dextérités calculatoires qui posent problème, le statut de l'inconnue ne semble pas intégré non plus.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par xax.
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
Les élèves que je récupère en cours particulier ont tous, sans exception, le point de vue "passer de l'autre côté" en-tête. Je ne sais pas comment l'école enseigne la chose.
Pour récupérer ça avec le peu de temps que j'ai je n'ai pas trouvé de meilleur point de vue que "on cherche comment le nombre est collé au x, si c'est par un fois ou un plus".
Le truc de la balance (qui est la manière dont on m'a enseigné les équations) a tendance à leur passer par-dessus. Ils ne voient pas quelle opération faire et n'ont souvent même pas le truc de voir comment simplifier " x + 3 - x". Donc c'est triste mais je préfère dire "passer de l'autre côté" et encombrer leur mémoire pour savoir "quelle opération faire dans quelle contexte"...
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
Si déjà ils n'arrivent pas à simplifier des x+3-x alors ce n'est même pas la peine de se lancer dans les équations . Pour ma part j'utilise souvent (au moins dans un premier temps) ce principe de la balance pour faire comprendre qu'on ne passe rien de l'autre coté en réalité. Il faut vraiment y aller étape par étape.
Pour ma part le "faire passer" ne me dérange pas si l'élève ne fait pas d'erreur et qu'il est capable de m'expliquer "mathématiquement" chaque étape mais dans le cas contraire (ce qui arrive souvent...) j'interdis ces tours de passe passe du style "je passe" , "j'enlève" etc...
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
$\frac{4\sqrt{x}-8}{3}=12$

Nul besoin d'être un génie en seconde pour résoudre cette équation. De mon expérience, je sais que l'écrasante majorité des élèves biberonnés au "je passe de l'autre côté" en seront incapables, même en termS où parfois on tombe de haut, parce qu'ils se savent pas vraiment ce qu'ils passent de l'autre côté. Avec de bonnes habitudes, même des élèves très moyens de seconde sont capables de résoudre ça par exemple.
D'ailleurs, on voit souvent la résolution d'équation comme un truc difficile à apprendre aux élèves, je pense exactement le contraire. Les élèves moyens sont hyper rassurés de voir qu'en appliquant la méthode, ça marche à tous les coups. C'est très sécurisant.
Alors que pour les moyens, le "je passe de l'autre côté", relève de la loterie à chaque ligne de calcul.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par zeitnot.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
Je suis entièrement d'accord Zeitnot.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
Vous réussissez à récupérer des élèves de terminale ? Je suis preneur des conseils. En les voyant deux heures par semaine (quand tout se passe bien), étant déjà pris par le "nouveau cours" à voir j'admets me sentir parfois débordé. J'aimerais avoir le luxe de faire des séances consacrées uniquement à ça ou à la rédaction.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
Passer à gauche/droite/de l'autre côté est un abus de langage des gens qui maîtrisent la résolution des équations parfaitement. Donc à éviter avec les élèves. J'aime cette méthode, utilisée dans certains pays :
$5x-3=2x+7 \qquad \qquad \mid -2x$
$3x-3=7 \qquad \qquad \mid +3$
$3x=10 \qquad \qquad \mid \div 3$
$x=3\frac{1}{3}$ spinning smiley sticking its tongue out


@Riemann_lapins_cretins , moi non. C'est trop tard pour rattraper les choses. Et à l'époque le programme me gonflait trop : trop de thèmes étudiés trop superficiellement.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par vorobichek.
xax
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a trois mois
avatar
@vorobichek "C'est trop tard pour rattraper les choses" pourquoi es-tu si pessimiste ?
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
Cela m'arrive de rattraper des élèves de terminale S qui ont un niveau absolument catastrophique notamment en calcul littéral (niveau cinquième, pas plus, pour ne pas dire niveau zéro). Par contre, je laisse de côté les premiers temps le programme de terminale S pour me consacrer à cette reprise des bases, cinquième, quatrième, etc...c'est un choix que l'élève doit comprendre et bien souvent il le comprend de lui-même. Il faut savoir sacrifier les premiers contrôles. Si l'élève est motivé et qu'il percute bien on peut faire des miracles et on voit tout de suite qu'il retrouve la vue et qu'il ne fait plus de la magie à chaque étape. Si l'élève n'est pas très motivé ou qu'il a déjà du mal à calculer par exemple de tête des -5-7 en général c'est mort...
Je pratique la même présentation de vorobichek pour la résolution des équations sauf pour la dernière lignespinning smiley sticking its tongue out



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par biely.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
avatar
Xax:

Généralement, tu ne rattrapes pas avec deux heures par semaine de soutien scolaire des années d'empilement de lacunes. On peut combler quelques lacunes dans ces conditions mais pas toutes.

La plupart du temps, les élèves que tu rencontres en soutien scolaire ne connaissent pas correctement leur tables de multiplication et d'addition. Je l'ai déjà écrit plusieurs fois ici, c'est comme espérer bien conduire une voiture en regardant ses pieds à chaque fois qu'on freine ou qu'on change de vitesse.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
Bonjour,

D'accord avec vorobichek, ce "passer de l'autre côté" est un abus de langage que s'autorisent les spécialistes. Et puis, surtout, qui peut comprendre qu'on obtienne une nouvelle égalité après cette opération magique ?? Personne !

Avec ma classe de quatrième je vient justement de commencer le chapitre sur les équations. Après avoir défini ce qu'est une équation, je leur propose d'en résoudre "à vue d'oeil" et "par bon sens", comme par exemple $x + 2 = 9$ ou $3(x - 2) = 15$. Une fiche que j'ai piqué je ne sais plus où (voir pdf joint).

Ensuite, méthode de la balance : résolution d'équations qui peuvent se traduire par l'équilibre d'une balance, comme par exemple $8x + 20 = 3x + 100$. Une fiche où des balances sont dessinées à chaque étape ($x$ désigne la masse d'une bille).

Je présente la solution un peu comme dans l'exemple de vorobichek :

$\qquad\qquad 5x-3=2x+7 \qquad\qquad $
$-2x \downarrow\ \qquad\qquad\qquad\qquad \downarrow -2x$
$\qquad\qquad 3x-3=7$

En procédant de la sorte il y a moins de lignes à écrire.

Ensuite on généralise à des équations qui ne peuvent pas être associées à des balances.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - equavuoeil.pdf (9.5 KB)
Dom
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
Une petite remarque :
C’est plutôt « trouver une ou plusieurs solutions par bons sens » que « résoudre ».
En gros, ils cherchent des condition suffisantes pour obtenir l’égalité.
Juste une remarque, pas une critique.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
avatar
Ludwig:

Qu'est-ce que cela donnerait la résolution par "bon sens" de $2x+x=3x$? smoking smiley

(sans parler de $2x=2x+1$ )

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
Fin de partie
Si, cela est possible mais à trois conditions:
1) L'élève est motivé,
2) l'élève connait ses tables de multiplication et sait calculer de tête par exemple des 4-13,-7-12 (c'est un constat que je fais sur ce point sans avoir d'explication),
3) l'élève "percute" c'est-à-dire que ce n'est pas une buse complète et qu'il n'a pas la mémoire d'un poisson rouge.
N'importe quel élève peut maîtriser parfaitement le calcul littéral mais il existe de très grands écarts sur le temps nécessaire à cette maîtrise. Pour l'élève moyen cela demande en général au moins 6 mois de pratique régulière, pour l'élève qui n'est absolument pas "matheux" (même si je déteste ce terme) cela peut prendre deux années (celles qui manquent au collège...) et pour les plus "doués" quelques petites semaines peuvent suffire.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
xax
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
avatar
@Fin de partie ça j'en ai bien conscience, les tables ça donne une première aisance considérable pour les multiplications un peu lourdes et les divisions, c'est un goulot d'étranglement.

Par contre je m'étonne qu'il faille tant de temps pour récupérer, mais Biely donne la même indication et vorobichek plus pessimiste encore.

Je pensais que même à un âge "tardif" (adolescence ou fin d'adolescence) ça ne dépendait que de la quantité de travail, il m'avait semblait voir, dans la biographie de mathématiciens anciens, que certains avaient commencé les maths en deuxième partie de jeunesse mais qu'ils y avaient passé le temps nécessaire.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
avatar
Biely:
Je pense que ton constat est correct: c'est en effet une question de temps et un peu de motivation. Parce que le calcul littéral c'est assez aride en soi. Le genre de trucs répétitifs qu'un être humain n'aime pas effectuer a priori.

PS:
Peut-être que la façon dont on a appris à lire conditionne le regard qu'on porte sur des expressions mathématiques.
Je ne serais pas étonné de l'apprendre.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
xax
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
avatar
@Ludwig tes petites équation c'est en 4eme ?
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
avatar
Xax:

Le problème du soutien scolaire est que cela se télescope avec l'aide aux devoirs (en mathématiques).
Tu ne peux pas dire aux parents des enfants: je ne suis pas là pour accompagner leur gosse à assimiler le programme de l'année en cours mais pour combler ses lacunes. C'est quelque chose qui n'est pas entendable.
Donc tu essaies de combler quelques lacunes au fur à mesure quand tu peux le faire (souvent c'est le temps qui est un obstacle). Mais avec beaucoup de temps (mais attention à la saturation donc le rejet de l'élève) on doit pouvoir faire des trucs qui ressemblent à des miracles.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
Ce qui est entendable c'est de dire que les lacunes sont responsables du désastre et qu'il est indispensable de consacrer du temps à rattraper ses lacunes quitte à sacrifier les premiers devoirs. Si l'élève ou les parents ne comprennent pas cela sincèrement il vaut mieux lâcher l'affaire dès le départ et laisser le bébé à ceux qui remonteront la moyenne uniquement en faisant à la place de l'élève les devoirs maisons.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
@xax : Oui, en 4ème. Pourquoi ? Tu les trouves trop faciles ?
Un des objectifs est de les empêcher de se comporter en robot. Par exemple, l'équation $3(x-2) = 15$, combien de lycéens se dépêcheraient de développer ?.. Il faudrait plus d'équations de ce genre d'ailleurs.
Il y a aussi la méthode essais/erreurs qui permet de les faire réfléchir un petit peu : trop grand, trop petit... premier contact avec le sens de variations d'une fonction.
Ça me fait penser qu'il faudrait aussi ajouter des équations qui font réfléchir sur l'ordre de grandeur de la ou les solutions.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
Ludwig
En quoi développer pose un problème dans l'équation 3(x-2)=15?
En revanche dans l'étude de signe d'un (x-2)^2+4 par exemple le développement me gêne beaucoup plus.
Dom
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
Oui bon comme d’habitude on fait les malins.
Mais nous on a du recul.
Enfin, je ne dénonce pas nos propos mais je rappelle que les sinistrés sont des grands sinistrés alors si le gars développe « bêtement » et qu’il parvient à obtenir une expression développée sans erreur, on peut déjà crier victoire...
C’est ça les sinistrés... on se console de peu...
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
Dom
En général développement se passe plutôt bien dans ce cas, le calcul du discriminant aussi mais pour l'étude de signe dans le cas où le discriminant est négatif en général il y a une perte de mémoire grinning smiley
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
avatar
Citation
Biely
Ce qui est entendable c'est de dire que les lacunes sont responsables du désastre et qu'il est indispensable de consacrer du temps à rattraper ses lacunes quitte à sacrifier les premiers devoirs.

Pour certains élèves il faudrait six mois à un an avec le volume horaire hebdomadaire de la classe de quatrième pour espérer combler ces lacunes je le crains.

Au delà de ces lacunes il y a aussi l'image qu'ont les élèves d'eux-mêmes et qui se détériore.
Passer des heures en classe à comprendre la moitié de ce qui se dit (ou rien du tout) ce n'est surement pas sans conséquences sur le psychisme humain.

Tu ne peux peut-être pas combler toutes les lacunes mais tu peux essayer d'améliorer l'image qu'ont des gosses d'eux-mêmes. N'est-ce pas le plus important en réalité?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
Le plus difficile et parfois décourageant pour les élèves est de constater qu'ils progressent mais que leurs notes sont toujours mauvaises car lorsqu'on doit faire 6 lignes de calculs et que l'on passe de deux fautes par ligne à une seule faute sur les 6 lignes, le résultat est le même:c'est faux!
xax
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a trois mois
avatar
Pour reprendre un peu le ton pessimiste de Dom, ce qui est extraordinaire c'est que l'on a la génération la plus faible en maths de l'histoire contemporaine de l'enseignement (depuis les programmes de Ferdinand Buisson) qui est au collège ou qui va y rentrer, alors que les programmes de 1ère et de Tle ont été revus à la hausse.

@Ludwig non c'était juste pour savoir. Juger si c'est facile ou pas à l'heure actuelle ne m'est pas aisé, par contre je pense que c'est bien de commencer par ce genre de petites dextérités, ça permet aussi de repérer ceux qui sont vraiment perdus et de les aider mieux.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a deux mois
Citation
vorobichek
> Passer à gauche/droite/de l'autre côté est un
> abus de langage des gens qui maîtrisent la
> résolution des équations parfaitement. Donc à
> éviter avec les élèves.

Je pense plutôt que ce n'est pas un "abus de langage" mais l'application d'une propriété.

a = b + c équivaut a - b = c, on observe donc qu'on peut prendre un terme d'un coté, le faire disparaître de ce coté, et de le faire apparaître de l'autre, et que c'est une transformation d'une égalité admise.

La PREUVE de cette propriété est effectivement l'addition de (-b) des deux cotés. Mais quand une propriété est prouvée, il ne faut pas la re-prouver à chaque fois.

Ce n'est pas différent quand on calcule la dérivée de f(x) = x^2 comme étant 2x. C'est une propriété de l'application "dérivée". Elle est prouvée par des machins avec des limites, mais on ne va pas se taper ça chaque fois qu'on veut calculer une dérivée non ?

Il faut effectivement absolument que l'élève sache d'où vient ce "on passe de l'autre coté et on change de signe", mais une fois acquis, c'est moins encombrant, et surtout, nécessite moins d'écritures, permet un calcul mental plus rapide etc... et donc, évite des fautes d'inattention. Dans de longs calculs, ajouter encore des termes des deux cotés est une source d'erreur de copie, d'oublie, .... et aussi mentalement, c'est plus rapide de s'imaginer passer de l'autre coté, que d'ajouter des termes.

Si vous vous imaginez 3y + 4x = 12 + 2y + 7x, de tête, c'est plus facile de "passer de l'autre coté" que d'ajouter des termes: on voit tout de suite que si on bascule le "2y" de l'autre coté, avec le 3y, ça va faire y, et que le 4x balancé de l'autre coté, avec le 7x donnera du 3x, alors que, si on doit gérer dans sa tête 3y + 4x - 2y - 4x = 12 + 2y + 7x - 2y -4x, on va avoir du mal.

Quand la preuve de la propriété est intégrée, il n'y a, pour moi, aucune raison de ne pas "passer de l'autre coté".



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Patrick123.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a deux mois
Citation
Fin de partie
> Le genre de trucs répétitifs
> qu'un être humain n'aime pas effectuer a
> priori
.

Je crois qu'il est faux en général de penser que de faire des choses répétitives n'est pas quelque chose qu'un être humain pourrait aimer faire (ou pourrait se motiver de faire).

Des enfants aiment souvent répéter des choses. Ils jouent souvent de façon répétitive, ils disent les mêmes choses, répètent les mêmes blagues. Il y a un créneau d'age où la répétition n'est pas vue comme désagréable. C'est plus tard qu'on se lasse.

Quand je vois des ados qui aiment faire de la musculation, on ne va pas me dire qu'il n'y a pas plus bête et répétitif dans le geste. Il y a beaucoup d'arts martiaux ou on répète le geste "à la perfection" pendant des années. Donc non, il n'y a pas de problème en soi avec des exercices répétitifs. C'est la seule façon de pouvoir apprendre des "automatismes" pour un humain, d'ailleurs, et dans beaucoup d'activités, cette répétition n'est pas mise en cause, et parfois même vue comme une expérience agréable.

On s'en lasse peut-être après une demi-heure ou une heure, mais le lendemain, on peut recommencer.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a deux mois
Oui, quand la propriété est intégrée, mais comment savoir quand l'élève l'a intégrée ? Ce n'est pas évident du tout. Il faut en tous cas lui laisser la possibilité de l'intégrer, raison pour laquelle il est préférable à mon avis de ne pas utiliser ce "passer de l'autre côté" dès le début, systématiquement.
Dire aux élèves "Quand vous aurez compris qu'on peut faire comme ça..." est risqué, car beaucoup vont s'empresser de le faire sans avoir compris, car ils trouveront que c'est plus rapide (ce qui en plus est faux, il y a quoi, trois symboles à écrire en plus).
J'ai dans mon collège des profs (pas de maths je précise) qui en aide aux devoirs ont proposé aux élèves le truc du "passer de l'autre côté". Questionnés sur cette astuce, ils se sont trouvés incapables de la justifier.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a deux mois
Patrick : mais la propriété n'est pas acquise pour un bon nombre d'élèves en terminale ! Et ça ne prend absolument pas plus de temps à écrire, c'est ridicule...
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a deux mois
@Ludwig:
"quand est-ce que l'élève a intégré la propriété ?" - ben quand il l'a comprise, c.à.d. quand il connaît la preuve et les conditions d'application, comme toute propriété.

Ce n'est pas en ne l'utilisant pas "tant qu'il ne l'ait pas intégrée" qu'il l'intégrera. On ne fait pas la même chose avec la dérivée: on ne passe pas par la limite des dizaines de fois avant de commencer à utiliser la propriété que la dérivée de x^2 est 2x.

Je crois que le problème en général qu'on rencontre de mauvaises manipulations de formules, viens simplement du fait que les élèves ont une connaissance floue de l'écriture algébrique en générale. Ça ne vient pas de mauvaises connaissances de certaines règles de calcul, mais du système de notation algébrique en général.

Quand on ne sait pas exactement ce que représente a x + b, sauf quand on substitue par des nombres concrets - et encore - alors il ne faut pas faire porter le chapeau à une technique comme "changer de coté".

Je peux bien m'imaginer que, si on a a x + b = c, que l'élève mette sans trop d'hésitations "a de l'autre coté", pour écrire que x + b = c / a. Mais ça, ce n'est pas une mauvaise utilisation de "mettre de l'autre coté", mais une mauvaise compréhension de ce que voulait dire a x + b en premier lieu. Quand il va écrire 1/a a x + b = 1/a c, il arrivera à la même fausse conclusion.

Le décryptage d'une écriture algébrique en "arborescence", et transformations autorisées d'une expression algébrique à partir de propriétés élémentaires, est ce qui n'est pas clair. Et quelque part, comme ils ne le déduisent pas, et que c'est souvent un "jeu stérile de changements de chaînes de caractères", dont on ne se souvient plus exactement quelles sont les transformations permises, ce n'est, finalement, pas si étonnant.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a deux mois
Ce n'est pas bien compliqué de savoir si l'élève a assimilé ces règles: soit il a toujours tout juste et dans ce cas on ne l'oblige pas à écrire les étapes soit il se trompe (même de temps en temps) car il s'emmêle les pinceaux entre a+x=b et ax=b et dans ce cas justications obligatoires.
Il est curieux de constater que même pour des lycéens on voit très souvent pour des équations du style 3x=0 toujours les mêmes erreurs qui sont -3 ou 1/3.
Bien souvent quand on leur pose la question: quelle est la solution de l'équation ax=b ils répondent correctement sans hésiter x=b/a et là un doute survient dans le cas 3x=0.... ah oui...donc cela fait 0/3? et que donne 0/3? (Avec la peur d'entendre une horreurgrinning smiley), ben 0 donc la solution est 0?...
D'où vient ce ''bug''? A mon avis il vient du fait que leur cerveau est trop habitué à trouver une solution sous la forme d'une fraction d'où le changement du 0 par le 1 ou alors , sentant le "piège '' et que le résultat risque d'être ''étrange", ils transforment de manière inconsciente 3x=0 en 3+x=0.
Il y a aussi la réponse -1/3 mais là c'est plus grave en général car dans ce cas l'élève confond le plus souvent réellement les deux règles et dans le doute on applique les deuxgrinning smiley.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a deux mois
Citation
biely
> Il est curieux de constater que même pour des
> lycéens on voit très souvent pour des équations
> du style 3x=0 toujours les mêmes erreurs qui sont
> -3 ou 1/3.

C'est essentiellement parce que la notation algébrique n'est pas tout à fait "automatique": la conversion de l'écriture en arborescence d'opérations n'est pas toujours évidente. Il faut toujours poser la question, quelle est l'opération "en haut de l'arbre". Est-ce une addition, une multiplication, une puissance ou une fonction ?

ax + b --> en haut, une addition
a(x+b) --> en haut, une multiplication
1/(a+b) --> en haut, une division
exp(a+b) --> en haut, une fonction (exponentielle).

Les calculatrices "reverse Polish notation" de HP étaient génial pour ce genre de chose...
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a deux mois
A mon avis ce n'est pas un problème de règle ou de preuve à intégrer. (J'ai donné mon avis sur le désastreux "je passe de l'autre côté plus haut".)
Quand on fait correctement les choses, certains élèves vont s'apercevoir au bout d'un moment et par eux mêmes, qu'ils peuvent gagner une ligne d'écriture. Ils ne passent rien de l'autre côté, ils évitent juste d'écrire une étape qui est parfaitement intégrée pour eux.
Mais pour les autres, je préfère écrire une ligne en plus. Je suis convaincu qu'on gagne au contraire beaucoup de temps. Meilleure compréhension, moins de fautes, notamment pour les élèves moyens.

J'ai l'impression que, c'est comme quand on apprend à lire. (Après je dis peut-être une connerie mais ça me fait penser à ça.) Au début on décompose par syllabes, et bout d'un moment par lui même l'élève lit le mot en entier, qu'il a rencontré pleins de fois sans décomposer.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a deux mois
Tout à fait d'accord avec toi zeitnot. Je ne dis jamais rien quant à ce "passer de l'autre côté" (*). Mais si un élève se rend compte qu'écrire, par exemple, $3x - 3x$, est une perte de temps (mais une perte d'explication, dans un certain sens), alors je le laisse procéder ainsi. L'année dernière 1 élève me l'a indiqué. Cette année, aucun.

(*) n'oublions pas qu'une bonne partie des élèves ne maîtrisent pas le sens des opérations en fin de troisième...
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a deux mois
Citation
zeitnot
J'ai donné mon avis sur le désastreux "je passe de l'autre côté plus haut".
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi cette propriété-là poserait plus un souci qu'une autre propriété, honnêtement. Moi, j'ai appris à "passer de l'autre coté" je ne sais pas quand, comme propriété "officielle", exactement comme une identité remarquable ou tout autre transformation d'une égalité.

Par exemple, quand on a une égalité du genre:
- ax + by - cz = -t + k il peut parfois être plus clair de ré-écrire cela sans signes négatifs, alors on balance tout ce qui est négatif de l'autre coté:
by + t = ax + cz + k
Ça ne me viendrait pas à l'idée d'ajouter des termes opposés des deux cotés.

À gauche, le by reste car il a un plus, et il hérite de tous les machins à droite qui ont un signe négatif, mais on met un plus.
Et à droite, le même jeu.

Ma foi, c'est quand-même pratique comme manipulation ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a deux mois
Je ne nie pas que pour toi ou d'autres, il n'y a pas eu de souci. winking smiley
Ça ne veut pas dire à mon sens que ce soit une bonne façon de l'enseigner. En tout cas, c'est ma conclusion après quelques années à enseigner.
Voilà, ce que j'avais écrit plus haut...

[www.les-mathematiques.net]

Je rajoute quand terminale, ceux qui passent de l'autre côté ne font rien de bien avec avec le logarithme et exponentielle.
De même quand on fait un raisonnement par récurrence, il y a pleins d'exercices très classiques pour démontrer une inégalité ou un encadrement, où on part de $U_k$ et puis pour "arriver" à $U_{k+1}$, on ajoute, on soustrait, on divise on élève au carré, dans chaque membre... Ils sont toujours très simples, mais la majorité des "je passe de l'autre côté", est complètement désorientée, alors que les autres trouvent ça parfaitement logique.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Résolution d’équation du premier degré
il y a deux mois
Je pense qu'il y a deux cas à distinguer: ceux qui confondent les règles car ils ne les maîtrisent pas assez (la majorité à mon avis...) et ceux qui les connaissent bien mais dont l'"automatisation" leur joue parfois des tours dans la précipitation exactement comme dans le ax=0 ou de la même manière que si on demande de calculer très rapidement de tête par exemple des
1000, ajouter 40. Ajouter 1000. Ajouter encore 30 et à nouveau 1000. Ajouter 20. Ajouter 1000, puis 10. Quel est le total ?
Pas mal de personnes répondront 5000...même si elles savent très bien calculer des 40+30+20+10...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: résolution d’équation du premier degré.
il y a deux mois
Citation
zeitnot
> $\frac{4\sqrt{x}-8}{3}=12$
>
> Nul besoin d'être un génie en seconde pour
> résoudre cette équation.

chépa.

A gauche nous avons une division en haut de l'arborescence. Donc je passe le 3 de l'autre coté, ce qui fait 36 à droite.

Maintenant j'ai $4 \sqrt{x} - 8 = 36$

A gauche, j'ai une soustraction en haut de l'arborescence. Donc je passe 8 de l'autre coté, ce qui fait 44 à droite.

Maintenant j'ai $4 \sqrt{x} = 44$.

A gauche, j'ai une multiplication en haut de l'arborescence. Donc je passe 4 de l'autre coté, ce qui fait 11 à droite.

Maintenant j'ai $\sqrt{x} = 11$.

A gauche, j'ai une fonction en haut de l'arborescence. Donc je passe la fonction inverse de l'autre coté grinning smiley ce qui fait $11^2$, donc 121.

$x = 121$.

Maintenant, c'est parfaitement justifiable et plus propre de le faire comme d'autres suggèrent, on peut écrire "je multiplie par 3", j'ajoute 8, etc.... Mais L'INSPIRATION de cet acte est justement de que fait la règle de "je balance de l'autre coté".

Pourquoi, quand il y a une division par 3 à gauche, ça nous viendrait à l'idée de multiplier par 3, et pas de diviser par 5 ou d'ajouter 7 ? Parce que, *pour se débarrasser de cette division* il faut faire une multiplication.

Ce qu'on veut, ce n'est pas juste faire des manipulations justes, on veut obtenir quelque chose, et ici, c'est "se débarrasser de cette division par 3". Alors, comment on se débarrasse d'une division par 3 ? Eh bien, "en la balançant de l'autre coté", c.à.d., en multipliant par 3 de l'autre coté, on sera débarrassé de cette division de ce coté-ci.

Alors, si le but, c'est de se débarrasser de cette division, c'est normal qu'on ne l'écrive plus. Il faut donc:
- multiplier par 3 de l'autre coté
- ne plus écrire la division dont on veut se débarrasser.

Ben, c'est exactement ce que dit la règle de "balancer de l'autre coté", non ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Patrick123.
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