Cas d'égalité...

Je l’ai fait récemment mais je n’ai pu faire faire ou avaler aucune démonstration sérieusement car MES ÉLÈVES NE SAVENT PAS ÉCRIRE.

Il n'y a pas plus casse-gueule que ces démonstrations d'égalité de triangles. Regardez la figure ci-dessous et demandez vous si vous voulez vraiment démontrer à vos élèves que ces deux longueurs sont égales.. Oui ? Sérieusement ?
L'enjeu est ailleurs à mon avis, et il n'est pas traité dans les livres : expliquer pourquoi deux triangles qui ont été construits de façon complètement différente sont égaux.

En démontrant des évidences vous allez bousiller le peu de logique qu'il leur reste.
Il s'agit de trouver un équilibre perception/discours.

Aux élèves pour qui l'égalité de longueur des deux segments ci-dessus n'est pas relativement évidente, je doute fortement qu'une "démonstration" puisse les aider. N'oubliez pas qu'aucun des cas d'égalité n'est démontré dans les règles au collège, ils sont tous admis. Et il ne se trouve personne pour protester. Et pour cause !

Pour ces deux segments il s'agit parfois d'un problème d'orientation dans l'espace, auquel cas un découpage au ciseau du quadrillage peut convaincre que les triangles se superposent bel et bien.

Ci-dessous deux triangles égaux mais construits différemment. Là ça vaut le coup !

En effet je suis assez d’accord avec vos messages, Ludwig et biely.

Bonjour,

Comment rédiger ces démos ? Plutôt que de seulement rappeler de quel cas d'égalité il s'agit, je propose de parler à chaque fois de condition suffisante.
Exemple : a = b, c = d et e = f. Cela est suffisant pour affirmer ques les triangles x et y sont égaux.
Puis citer éventuellement, entre parenthèses, le numéro du cas d'égalité.

Insister sur la condition suffisante, ce qu'un simple rappel du cas à tendance à cacher.

Joyeux Noël

@Ludwig

les cas d'égalité ont des noms qui évoquent directement de quoi on parle. En anglais on parle SAS, SSS et ASA. Du coup je dis aux élèves CAC, CCC et ACA. Ce que tu proposes est une utilisation, pas une démonstration.Justement, il n'y a rien à démontrer.

Voici les postulats de Géométrie du SMSG Le SAS est le postulat numéro 15. Normalement, le SSS et le ASA doivent se déduire de ce postulat 15 et des autres, et peuvent se substituer à lui pour déduire tout résultat de géométrie euclidienne.

Si je dis que j'ai présenté à des élèves de 4ème l'égalité des triangles en commençant par

* Donner la définition : des côtés deux à deux de même longueur et des angles deux à deux de même mesure, ce qui donne six conditions.
* Puis donner le but : donner des conditions minimales pour l'égalité de deux triangles
* et la règle du jeu : ne pas utiliser l'axiome des parallèles (d'où trois conditions sur les angles pour définir l'égalité des triangles, et non pas deux).
* Puis donner le cas CAC comme axiome (et je dis "CAC" en cours et pas "1er cas d'égalité" qui ne parle à personne) et en déduire (avec démonstration) la propriété des angles dans un triangle isocèle (trivial) et le théorème de l'angle extérieur (pas trivial).
* Puis donner le cas ACA avec démonstration et le corollaire : un triangle ayant deux angles de même mesure est isocèle.
* Puis donner le cas CCC avec démonstration (un seul des trois cas traité, pour éviter d'allonger inutilement).
* Puis donner le cas CAA avec démonstration.
* Puis donner en remarque et sans démo le cas CCA avec angle A de mesure au moins égale à 90° et en déduire le cas d'égalité dans les triangles rectangles.



Dans le chapitre suivant, Parallèles, démontrer les deux théorèmes sur les angles alternes-internes (et du coup introduire "enfin" l'axiome des parallèles), en déduire le théorème sur la somme des angles d'un triangle, sur la somme des angles d'un quadrilatère non croisé, et conclure en démontrant l'équivalence des cinq propriétés définissant un parallélogramme au collège.

Le tout agrémenté d'exercices pris dans le Monge-Guinchan de 4ème (publié en 1960).


... Vous en déduisez que j'enseigne sur quelle planète ?



Pour Ludwig. Ca donne par exemple :
On considère les triangles $ABC$ et $LMN$ et la correspondance
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
A &\leftrightarrow L \\
B & \leftrightarrow M \\
C & \leftrightarrow N
\end{aligned}\right.
\end{equation*}
On a $AB=LM$, $AC=LN$, $\mathrm{mes}(\widehat{A})=\mathrm{mes}(\widehat{L})$, donc les triangles $ABC$ et $LMN$ vérifient la même condition CAC. Ils sont égaux.

On peut espérer que le prof (qui sait de quoi il parle ...) a bien dit dans le cours que le but est d'avoir des conditions minimales permettant d'affirmer l'égalité de deux triangles (ce qui suppose au passage une définition qui n'est pas minimale) et que chaque "cas d'égalité" est une condition minimale.

Dom a écrit:

Ils vont te répondre « bah ça fait un carreau chacun ».

Elle est géniale, cette réponse, et parfaitement correcte dans un espace métrique $d(x,y) = max(|x_1 - y_1|,|x_2 - y_2|)$. C'est la bonne structure métrique pour ceux qui jouent par exemple aux échecs, ou au jeu vidéo Minecraft, par exemple.

La distance euclidienne, qui correspond à l'espace physique, n'est peut-être pas la première notion de distance qu'ils appliquent intuitivement dans un monde numérisé.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

nicolas.patrois
Ben non je voulais dire l'inverse : COMME on peut se déplacer en diagonale, on fait "un pas", aussi bien en diagonale que selon un axe. Exactement comme disait l'élève. Alors que si on peut seulement se déplacer selon les axes, la structure métrique à utiliser est plutôt la métrique "taxi Newyorkais": $d(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|$.
C.à.d. un pas horizontal et un pas vertical = 2 pas.

Je mentionnais Minecraft parce que c'est un monde en cubes, donc quand on casse un bloc "en diagonale" c'est un bloc, comme le bloc devant, derrière, à gauche ou à droite. Ce n'est pas plus loin pour casser un bloc "en diagonale" que devant ou derrière. Bon, finalement ce n'est pas un très bon exemple...

C'est peut-être plus facile à voir sur un échiquier: le fou ou la reine se déplacent par ex. "deux cases" en diagonale. La tour doit faire "deux cases et encore deux cases" pour faire le même déplacement que le fou. Le cheval fait un pas de deux cases: un "droit" et un "en diagonale".