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Cas d'égalité...

Envoyé par Dasson 
Cas d'égalité...
il y a trois mois
J'ai lu que les cas d'égalité étaient revenus...
Très utilisés au siècle dernier dans des exercices avec des DEMONSTRATIONS !
Pour ceux qui n'ont pas la chance d'être assez vieux pour avoir connu ces joyeusetés, je propose cette vidéo
[www.youtube.com]
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
Je l’ai fait récemment mais je n’ai pu faire faire ou avaler aucune démonstration sérieusement car MES ÉLÈVES NE SAVENT PAS ÉCRIRE.
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
avatar
Tu sais, ce matin, au bout de 20 minutes et dans un lycée à 95 % de réussite au BAC, près de la moitié de mes élèves de 1ere avaient copié entre 1/2 et 1 ligne...
Paraît-il que c'est parce que c'est les vacances...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par SchumiSutil.
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
Il n'y a pas plus casse-gueule que ces démonstrations d'égalité de triangles. Regardez la figure ci-dessous et demandez vous si vous voulez vraiment démontrer à vos élèves que ces deux longueurs sont égales.. Oui ? Sérieusement ?
L'enjeu est ailleurs à mon avis, et il n'est pas traité dans les livres : expliquer pourquoi deux triangles qui ont été construits de façon complètement différente sont égaux.

En démontrant des évidences vous allez bousiller le peu de logique qu'il leur reste.
Il s'agit de trouver un équilibre perception/discours.


Dom
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
Ludwig,

Tu as raison sur l’exemple que tu proposes, mais pas pour tout le monde.

Certains ne savent pas recopier une telle figure (un carreau de trop dans un sens, un de moins dans l’autre, ...).
Certains ne verront pas qu’il s’agit de deux segments de même longueur. Je t’assure.
C’est même démoralisant.

Autre exemple : on étudie les longueurs, on repasse le côté d’un carré du quadrillage et une diagonale d’un autre carré du quadrillage.
Selon les bahuts, tu peux en trouver jusqu’à une bonne moitié qui va te dire que les segments ont la même longueur.
Interloqué, tu vas leur demander pourquoi ils disent cela.
Ils vont te répondre « bah ça fait un carreau chacun ».

Je ne sais pas s’il s’agit d’une carence dans le cadre d’expérience personnelle cognitive ou je ne sais quoi.
Mais c’est très inquiétant. Il s’agit d’un retard énorme à côté de celui pour qui c’est évident.
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
Aux élèves pour qui l'égalité de longueur des deux segments ci-dessus n'est pas relativement évidente, je doute fortement qu'une "démonstration" puisse les aider. N'oubliez pas qu'aucun des cas d'égalité n'est démontré dans les règles au collège, ils sont tous admis. Et il ne se trouve personne pour protester. Et pour cause !

Pour ces deux segments il s'agit parfois d'un problème d'orientation dans l'espace, auquel cas un découpage au ciseau du quadrillage peut convaincre que les triangles se superposent bel et bien.

Ci-dessous deux triangles égaux mais construits différemment. Là ça vaut le coup !


Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
Même dans le cas simple de la première figure certains élèves ne verront pas l'"évidence" et oui une démonstration peut leur faire ouvrir les yeux. Il y a une chose qui m'a toujours énervé chez certains profs c'est leur faculté à "uniformiser" l'évidence. Un prof qui dit, dans le cas de la première figure, à un élève: c'est évident! (Et rien d'autre) peut détruire des élèves.
Le fait qu'aucun des cas d'égalité des triangles ne soit démontré ne doit pas être un prétexte pour balancer des "c'est évident" ou "il n'y a rien à démontrer" alors que justement il y a matière à expliquer même avec des propriétés non démontrées. Si on devait au collège utiliser seulement des propriétés correctement démontrées on ne ferait pas grand chose...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par biely.
Dom
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
En effet je suis assez d’accord avec vos messages, Ludwig et biely.
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
Je ne comprends pas, normalement en géométrie euclidienne, un cas d'égalité est un axiome parmi les 5 de bases. Les autres cas s'en déduisent. Du coup les 3 cas sont plutôt des postulats qu'on est obligé d'admettre avant le bac.
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
Bonjour,

Comment rédiger ces démos ? Plutôt que de seulement rappeler de quel cas d'égalité il s'agit, je propose de parler à chaque fois de condition suffisante.
Exemple : a = b, c = d et e = f. Cela est suffisant pour affirmer ques les triangles x et y sont égaux.
Puis citer éventuellement, entre parenthèses, le numéro du cas d'égalité.

Insister sur la condition suffisante, ce qu'un simple rappel du cas à tendance à cacher.

Joyeux Noël



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Ludwig.
Dom
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
Je ne sais plus où j’ai lu qu’un prof admettait ces cas d’égalité (en axiome, donc) pour démontrer plein de choses.
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
@Ludwig

les cas d'égalité ont des noms qui évoquent directement de quoi on parle. En anglais on parle SAS, SSS et ASA. Du coup je dis aux élèves CAC, CCC et ACA. Ce que tu proposes est une utilisation, pas une démonstration.Justement, il n'y a rien à démontrer.

Voici les postulats de Géométrie du SMSG Le SAS est le postulat numéro 15. Normalement, le SSS et le ASA doivent se déduire de ce postulat 15 et des autres, et peuvent se substituer à lui pour déduire tout résultat de géométrie euclidienne.
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
@ zenxbear : parler de CAC au lieu de cas d'égalité n°1 cela revient à peu près au même. Tu peux me dire comment tu rédiges exactement ?
Quant à cette école, la SMSG, et à leurs postulats, je n'en avais jamais entendu parler.
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
Si je dis que j'ai présenté à des élèves de 4ème l'égalité des triangles en commençant par

* Donner la définition : des côtés deux à deux de même longueur et des angles deux à deux de même mesure, ce qui donne six conditions.
* Puis donner le but : donner des conditions minimales pour l'égalité de deux triangles
* et la règle du jeu : ne pas utiliser l'axiome des parallèles (d'où trois conditions sur les angles pour définir l'égalité des triangles, et non pas deux).
* Puis donner le cas CAC comme axiome (et je dis "CAC" en cours et pas "1er cas d'égalité" qui ne parle à personne) et en déduire (avec démonstration) la propriété des angles dans un triangle isocèle (trivial) et le théorème de l'angle extérieur (pas trivial).
* Puis donner le cas ACA avec démonstration et le corollaire : un triangle ayant deux angles de même mesure est isocèle.
* Puis donner le cas CCC avec démonstration (un seul des trois cas traité, pour éviter d'allonger inutilement).
* Puis donner le cas CAA avec démonstration.
* Puis donner en remarque et sans démo le cas CCA avec angle A de mesure au moins égale à 90° et en déduire le cas d'égalité dans les triangles rectangles.



Dans le chapitre suivant, Parallèles, démontrer les deux théorèmes sur les angles alternes-internes (et du coup introduire "enfin" l'axiome des parallèles), en déduire le théorème sur la somme des angles d'un triangle, sur la somme des angles d'un quadrilatère non croisé, et conclure en démontrant l'équivalence des cinq propriétés définissant un parallélogramme au collège.

Le tout agrémenté d'exercices pris dans le Monge-Guinchan de 4ème (publié en 1960).


... Vous en déduisez que j'enseigne sur quelle planète ?



Pour Ludwig. Ca donne par exemple :
On considère les triangles $ABC$ et $LMN$ et la correspondance
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
A &\leftrightarrow L \\
B & \leftrightarrow M \\
C & \leftrightarrow N
\end{aligned}\right.
\end{equation*}
On a $AB=LM$, $AC=LN$, $\mathrm{mes}(\widehat{A})=\mathrm{mes}(\widehat{L})$, donc les triangles $ABC$ et $LMN$ vérifient la même condition CAC. Ils sont égaux.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Eric.
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
Bonsoir,
C'est vrai le numéro des cas d'égalité ça ne parle à personne, mais je continue de penser que se référer à des cas préétablis (CAC, CCC, etc) évite aussi - et c'est malheureux - de parler du nombre minimal de conditions (bien choisies), car c'est bien ça l'important non ? A mon avis il vaut mieux être plus direct. Ce que j'ai proposé au dessus (écrire, après avoir recensé trois conditions : cela est SUFFISANT pour conclure que les triangles truc et machin sont égaux) je ne l'ai pas encore testé en classe, mais c'est mon premier chapitre en 2020.
Quant aux exercices je trouve ceux du 1960 peu adaptés pour mes élèves (pas facile d'y "rentrer"), j'en ai fait moi-même (voir le pdf en bas de cette page)
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
On peut espérer que le prof (qui sait de quoi il parle ...) a bien dit dans le cours que le but est d'avoir des conditions minimales permettant d'affirmer l'égalité de deux triangles (ce qui suppose au passage une définition qui n'est pas minimale) et que chaque "cas d'égalité" est une condition minimale.
Re: Cas d'égalité...
il y a trois mois
Un exemple utilisable aujourd'hui ?
[www.youtube.com]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Dasson.
Re: Cas d'égalité...
il y a deux mois
Citation
Dom
Ils vont te répondre « bah ça fait un carreau chacun ».

Elle est géniale, cette réponse, et parfaitement correcte dans un espace métrique $d(x,y) = max(|x_1 - y_1|,|x_2 - y_2|)$. C'est la bonne structure métrique pour ceux qui jouent par exemple aux échecs, ou au jeu vidéo Minecraft, par exemple.

La distance euclidienne, qui correspond à l'espace physique, n'est peut-être pas la première notion de distance qu'ils appliquent intuitivement dans un monde numérisé.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Patrick123.
Re: Cas d'égalité...
il y a deux mois
avatar
Citation
Patrick123
Elle est géniale, cette réponse, et parfaitement correcte dans un espace métrique $d(x,y) = max(|x_1 - y_1|,|x_2 - y_2|)$. C'est la bonne structure métrique pour ceux qui jouent par exemple aux échecs, ou au jeu vidéo Minecraft, par exemple.

On peut se déplacer en diagonale dans Minecraft.
En revanche, dans un jeu en mode texte comme Nethack, ça marche.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Cas d'égalité...
il y a deux mois
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]


nicolas.patrois
Ben non je voulais dire l'inverse : COMME on peut se déplacer en diagonale, on fait "un pas", aussi bien en diagonale que selon un axe. Exactement comme disait l'élève. Alors que si on peut seulement se déplacer selon les axes, la structure métrique à utiliser est plutôt la métrique "taxi Newyorkais": $d(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|$.
C.à.d. un pas horizontal et un pas vertical = 2 pas.

Je mentionnais Minecraft parce que c'est un monde en cubes, donc quand on casse un bloc "en diagonale" c'est un bloc, comme le bloc devant, derrière, à gauche ou à droite. Ce n'est pas plus loin pour casser un bloc "en diagonale" que devant ou derrière. Bon, finalement ce n'est pas un très bon exemple...

C'est peut-être plus facile à voir sur un échiquier: le fou ou la reine se déplacent par ex. "deux cases" en diagonale. La tour doit faire "deux cases et encore deux cases" pour faire le même déplacement que le fou. Le cheval fait un pas de deux cases: un "droit" et un "en diagonale".



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
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