Ensemble de définition d'une équation

Pour que l'équation ait un sens, il faut supposer que $x+2>0$, c'est-à-dire $x>-2$. Pour un tel $x$, on a : $\ln(x+2)\ge100$ SSI $x\ge\mathrm{e}^{100}-2$. L'ensemble des solutions de ce problème mal posé est donc $\left[\mathrm{e}^{100}-2,+\infty\right[$.

Edit : correction de l'erreur de signe indiquée par Nicolas Patrois ci-dessous.
Edit bis : correction de la borne de l'intervalle.

Notons $(E)$ l'équation d'inconnue $x\in\R$:
$$(E):~\ln(x+2)\geqslant 100$$
Notons $S_{(E)}$ l'ensemble solution de $(E)$.

Nous avons:
\begin{align*}
\forall x\in\R,~~~x\in S_{(E)}~&\Leftrightarrow~x+2>0~\text{et}~\ln(x+2)\geqslant 100~~&(1)\\
&\Leftrightarrow~x+2>0~\text{et}~x+2\geqslant e^{100}~~&(2)\\
&\Leftrightarrow~x+2\geqslant e^{100}~~&(3)\\
&\Leftrightarrow~x\geqslant e^{100}-2\\
&\Leftrightarrow~x\in \left[e^{100}-2~;+\infty\right[
\end{align*}
$(1)$: car $\mathcal{D}_{\ln}=\R_+^*$.
$(2)$: $\exp:~\R\longrightarrow\R_+^*$ est une bijection strictement croissante de réciproque $\ln$.
$(3)$: car $e^{100}> 0$, par stricte positivité de $\exp$ sur $\R$.

Ainsi: $S_{(E)} = \left[e^{100}-2;+\infty\right[$

Bonjour Fois2.

Dans ton exemple, la rédaction par équivalence de Bbidule montre que ce n'est pas coûteux de ne pas utiliser cette idée de "ensemble de définition de l'équation". C'est parfois bien utile (rédaction d'une étape de recherche des conditions sur les inconnues pour qu'elles puissent être d'éventuelles solutions) puisque en fait on ne rajoute rien à l'équation, mais on peut travailler tranquillement avec les expressions proposées. On ne fait que rajouter à l'hypothèse classique "toutes les règles mathématiques s'appliquent" une hypothèse qui assure que les calculs sont tous faisables. Et parfois, on a l'heureuse surprise de voir qu'il n'y a aucune solution comme dans l'équation :
$\sqrt{x-3}=1+\sqrt{-x}$.

Attention : Il n'y a pas à systématiser cette méthode "ensemble de définition", il y a des situations où la recherche de cet ensemble peut être très coûteuse. Dans ce cas, on procède par implication pour trouver les solutions éventuelles puis on vérifie.

Cordialement.

Très peu utilisent ces symboles.
Par contre je suggère d’écrire en toutes lettres « pour tout » ou « quel que soit » (et « il existe ») ainsi que « revient à dire » ou « est équivalent à ».
Ce permet d’interroger vraiment l’élève sur le sens du symbole et non sur « la tête » du symbole.

- pourquoi dis-tu que c’est équivalent ? sais-tu le démontrer ? sais-tu ce que cela veut dire ?

Je traite exactement ce genre de souci dans mon bouquin du fil d'à coté, vers la page 66-70. C'est exactement le genre de difficultés qui est créé par le manque de précision (et le manque de quelques notions) dans la pratique.

Une équation ou une inégalité avec une variable libre dedans, est un prédicat, et cela veut dire:
1) que ce n'est donc pas une proposition, et n'a donc pas de statut de vérité en soi
2) que ce prédicat n'a de sens, que s'il y a un ensemble associé à cette variable, de telle façon que POUR TOUT élément de cet ensemble, le prédicat obtient une valeur de vérité, c.a.d. devient une proposition.

Écrivons donc le prédicat F(x).

Donc, normalement, dans l'énoncé, il doit y avoir déjà l'ensemble pour lequel le prédicat est sensé "avoir du sens". Il faut donc que l'énoncé dise que le prédicat est à considérer sur un ensemble B, et cet ensemble doit être tel que le prédicat ait un sens (vrai ou faux) pour chaque élément de B, sinon, l'énoncé n'a pas de sens (du genre "considérons 5 conjugué à la troisième personne singulier de l'indicatif imparfait")

L'énoncé doit donc dire "considérons F(x) avec x dans B", sinon l'énoncé même est dépourvu de sens ou est ambiguë.

Si on utilise ce prédicat pour définir un ensemble de solutions, il faut que l'ensemble solution soit une partie de B:

$ S = \{ x \in B | F(x) \}$

On ne peut pas "déduire" l'ensemble de définition, ça fait partie de la question, car sinon, la question est sans signification.

Une autre façon de voir une équation, c'est "l'égalité de deux fonctions", celle implicitement définie par le membre gauche et le membre droit. Alors, on se pose la question de l'égalité des fonctions.

Si on considère l'équation $x^2 / x = x $, alors la fonction à gauche, f(x) = x^2 / x et la fonction à droite g(x) = x, ne sont pas les mêmes fonctions, car ils ont des domaines de définition différentes. En fait, $g = f \cup \{(0,0)\}$.

Ainsi, l'équation x^2/x = x pose un souci d'interprétation car:

s'il faut le considérer comme un prédicat, il faut dire sur quel ensemble on considère le prédicat: il n'est pas valide pour x = 0, donc l'ensemble B qui doit être donné pour parler de ce prédicat ne peut pas contenir 0. On ne peut par exemple pas dire: considérons x^2/x = x sur $\R$. Le prédicat n'a pas de signification sur $\R$ et la question est dépourvue de sens. Sur un tel ensemble, le prédicat sera toujours vrai. On peut donc dire $\forall x \in B: F(x)$.

Sur un ensemble de définition du prédicat donné, le prédicat sera donc vrai pour tout élément, toujours.

Par contre, comme égalité de fonctions, cette expression est une proposition fausse: les deux fonctions implicitement définies ne sont pas égales.

Comme prédicat définissant un ensemble de solution, partie de B, c'est tout B.

Bien sûr, on peut aller plus loin, et considérer d'abord la définition implicite des deux fonctions, et puis, dans un deuxième temps, appeler B l'intersection des deux domaines des deux fonctions, et considérer le prédicat sur ce B.

Mais tout cela est implicite et quel choix on fait parmi ces possibilités est ambiguë.

Foys a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1911252,1919548#msg-1919548
Non, les énoncés logiques peuvent avoir un "sens" sans qu'on borne les domaines d'objets que les variables sont censées désigner.

Ah, voilà une remarque pertinente, je t'en remercie. Il va falloir modifier mon texte.

Il est en effet évident quand on introduit les ensembles d'une façon formelle, on ne peut évidemment pas encore exiger que toute variable qui peut servir pour le faire, soit un élément d'un ensemble. Donc oui, en toute généralité, les variables dans un prédicat ne sont pas associées à un ensemble, car on ne pourrait même pas parler de la notion d'ensemble dans ce cas.

Il faudra que je précise cela.

Cela dit, j'ai du mal à m'imaginer des situations "courantes" quand on fait des mathématiques, et on utilise ce qui est donc couramment nommé "une variable", qu'il n'y aurait pas systématiquement un ensemble qui va avec. C'est vrai que l'exemple que tu donnes est pertinent, mais avant d'attaquer ce genre de mathématiques (qui sont presque des "méta-mathématiques"), il me semble quand-même opportun, dans la compréhension "basique" de la notion de variable (niveau lycée ou juste au-dessus), de faire l'association "variable" et "ensemble". Je ne fais pas l'association systématique de "nom d'objet" et ensemble, juste de "variable" et ensemble.

L'échappatoire est justement, d'appeler les choses qui sont des symboles qui ne font pas partie d'un ensemble des "noms d'objets" et de rester informel là-dessus. À un certain moment, il faudra effectivement se rendre à l'évidence qu'il faudra sortir de la vision purement ensembliste quand on veut parler, comme tu le fais, "de tous les anneaux", ou de "tous les ensembles", mais il est rare, à un niveau de maths plus élémentaire, d'en avoir besoin 'comme variable', et de ne pas pouvoir se "sauver" avec "nom d'objet" de façon informelle.

Je sais bien qu'on a déjà un problème si on veut écrire formellement la définition de, par exemple, l'union de deux ensembles A et B, comme l'ensemble C qui contient un élément X, si cet élément X fait partie de A ou si cet élément fait partie de B. A, B, C et X, vus comme variables, ne font pas partie d'un ensemble quelconque. C'est ce que j'évoque plus haut : on ne peut effectivement pas définir les notions d'ensembles formellement en limitant les noms des choses à des ensembles. Mais il est difficile de "commencer" alors. Donc à un certain moment, on peut s'en sortir informellement en appelant A, B, C et X ne pas "des variables dans une formule", mais juste "le nom d'objets".

Alors pourquoi est-ce alors utile (dans mon idée, cela mérite peut-être reconsidération si tu peux me l'expliquer) de borner une variable utilisée dans un prédicat ? Parce que dans un cadre non-formel, c'est parfaitement possible de fabriquer des prédicats qui n'ont pas de sens sémantique en dehors du domaine voulu, alors que cela n'est pas le cas dans un langage formel. C.à.d. dans un cadre non-formel, on peut produire du charabia, parce qu'on utilise des notations qui sont dépourvus de sens.

L'exemple-type est f(a) où a ne fait pas partie du domaine de f. C'est un symbole qui est syntaxiquement correct, mais dont la sémantique est absente, car f(a) est un "raccourci notationnel" pour "le deuxième élément de l'unique couple de f dont a est le premier élément". Mais quand on l'écrit pour un a qui n'est pas dans le domaine, alors ce couple n'existe pas, et le deuxième élément non plus. Alors f(a) est une notation non-existante, mais on l'écrit quand-même. Une expression contenant f(a) est donc dépourvue de sens. Et tous les profs de maths se mettent à hurler et activer leur stylo rouge quand on ose écrire une proposition avec de tels non-objets dedans.

Alors, si on veut considérer que l'essentiel d'un prédicat, c'est une "usine à propositions", il faut bien que la proposition qui résulte de la substitution d'une variable par un "élément légitime" soit une proposition "exprimable".

Si on considère que F(X) est le prédicat suivant: "5 / X = 12"

et on ne fait pas en sorte que X ne peut pas devenir 0, alors il faut *accepter* que la proposition "5 / 0 = 12" existe comme proposition fausse, et ne pas se mettre à hurler. Ce n'est alors pas plus choquant que d'écrire que "5 > 9" comme proposition fausse.

Mais si on risque de mettre un prof de maths en état de hurlements, il est plus judicieux d'être plutôt trop limitatif, et de dire que dans le prédicat "5 / X = 12", on ne considère pas que la variable X puisse un jour être substitué par "0", plutôt de provoquer des hurlements.

C'est vrai que limiter à un ensemble est trop sévère, et enlève beaucoup de possibilités, mais pour expliquer la notion de "variable" là où on l'utilise "comme variable" à un niveau de maths style lycée ou premier cycle, je crois qu'on peut s'en tirer avec ce garde-fou trop serré, et d'utiliser "nom d'objet" dans un cadre non-formel pour tout ce qui pourrait poser un problème, par exemple, quand on parle d'ensembles même.

À un certain moment, il faut faire sauter ce verrou, mais alors, on n'a plus besoin de conceptualiser "la lettre dans une formule", on sera passé outre.

Maintenant, s'il y a une façon plus correcte d'introduire la notion de variable "comme premier contact", autre que de l'associer à un ensemble comme "protecteur du sens", je suis preneur. Mais je crois que c'est un bon compromis au lycée.

Dans l'exemple traité dans ce fil, le problème qui se pose n'est pas de ne pas pouvoir limiter la variable de l'inégalité à un ensemble pour des raisons profondes, comme si l'ensemble n'existait pas. Il s'agit d'éviter justement, des propositions après substitution qui sont dépourvues de sens, et qui mettent des profs de maths à hurler.

Quand on ne peut pas accepter l'écriture de ln(-25) > 0, alors on ne peut pas considérer la proposition F(X) étant ln(X) > 0, et permettre que X puisse être substitué par -25, d'une façon ou d'une autre.