Injectivité, surjectivité, ... au lycée

Bonjour,

Comme exos, comparer $f(A\cup $ et $f(A) \cup f(B)$, même chose avec l'intersection, puis avec $f^{-1}$, suivant les propriétés de $f$.

Cordialement,

Rescassol

Edit: Et le complémentaire de $A$.

Il est vrai que c’est chiant : des choses primordiales ne sont pas au programme (logique simple, implication, notions ensemblistes...) et c’est assez délicat de les proposer...

Cela dit, j’ai vu toutes ces choses quand j’étais en L1 (DEUG).
J’avais « compris » que le collège et le lycée n’apprenaient que les règles de calculs (fractions, racines carrées, logarithme, inégalités, ...).
Évidemment c’était déjà pas mal ! Vu qu’aujourd’hui il est difficile de faire écrire des lignes de calculs justes aux pauvres lycéens qui subissent l'air du temps.

1977, année du mouvement punk mais aussi année de parution de l'ouvrage dont vous trouverez ci-dessous un extrait en pièce jointe (je précise que cet ouvrage est un fascicule d'exercices destiné aux élèves de TC et de TE).

En 1977, les sciences dures sont à l'honneur en TC et en TE....On y apprend vraiment les mathématiques car à cette époque, la France pouvait s'enorgueillir d'être une puissance scientifique de très haut niveau et de possèder le meilleur enseignement du monde en mathématiques !!!!!

Qui aurait alors pu imaginer que 40 ans plus tard en Terminable S, le programme de "mathématiques" tournerait autour de DIST NORM NCD et des zintervalles alakhon au seuil de 95% (quand aux zintervalles de confiance, il y a des couches pour cela....) ????
Qui aurait pu imaginer que dans certaines classes de TS en 2020, une majorité d'élèves serait incapable de résoudre une équation ou une inéquation du premier degré ????

En 1977, Johnny Rotten et les Sex Pistols faisaient donc office de prophètes en chantant "No future" !!!!!

Addallah de Bourgogne a écrit:

J'aimerais en savoir un peu plus sur toi....

Certaines bonnes zâmes sur ce forum disent que je suis un "boeuf-carottes", d'autres affirment que je suis un "chatbot" et d'aucuns prétendent que je suis "une brute tenant des propos outranciers" voire "un idéologue cherchant à diffuser auprès du corps enseignant un message d'extrême droite"......

Ramon : le programme de TS ne se limite pas à une heure de cours où tu fais joujou avec la calculatrice. Il est pauvre, certes, mais tu as le droit d'en faire un peu plus (et surtout éviter de se limiter aux probas...)

Kioups a écrit:

tu as le droit d'en faire un peu plus

Il y a aussi DIST BINM BPD, DIST BINM BCD, la touche $\int dx$, la touche $ \sum $, la touche module, la touche argument, la touche solve.....Les adjudants pédagogiques régionaux appellent cela "la méthode ingénieur".......

JLT a écrit:

personne ne le connaît, à part les partisans du Frexit (2 personnes en France).

En mi pueblo sin pretensión tengo mala reputación....

http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/rapports_agreg/laureats/1995.html

Ramon a écrit:

En mi pueblo sin pretensión tengo mala reputación....

Il faut chercher un patronyme à consonance espagnole ! ;-)

Perso à chaque fois que j'ai fait des cours particulier sur la bijection au lycée j'ai décomposé en injectivité / surjectivité (sans insister sur le nom) pour montrer qu'il y a bien deux parties à la définition et fait de petits exercices avec une fonction en variant les ensembles de départ et d'arrivée (typiquement x^2, R->R, R^+->R, R-> R^+, R^+ -> R^+). En tête à tête ça passe bien, même avec des élèves légers.

Il y a un truc dans la triade injection, surjection, bijection que j'ai compris que bien plus tard, c'est la nature totalement différente de l'injectivité, comparé à la surjectivité (et donc la bijectivité) et/ou la notion d'application vs fonction.

L'injectivité est intrinsèque à la fonction: elle dit que la relation inverse est une fonction. Cela ne dépend donc pas de l'ensemble de départ ou l'ensemble d'arrivée (tant qu'ils ne restreignent pas le graphe).

La surjectivité parle juste du fait qu'on a considéré un ensemble d'arrivée trop grand ou non (comparé à l'image). Le fait d'être une application parle juste du fait qu'on a considéré un ensemble de départ trop grand ou non (comparé au domaine). Mais l'injectivité parle de la fonction même, si elle est inversible ou non (comme fonction) - au moins, si on garde le même graphe. Pour une fonction de même domaine, et (donc) de même image, on peut en faire une surjection en limitant l'ensemble d'arrivée à l'image, et en faire une application en limitant l'ensemble de départ au domaine. Mais on ne peut pas en faire une injection sans modifier le graphe si elle ne l'est pas.

Si on a $f: \R \rightarrow \R: x \rightarrow x^2$ le domaine est $\R$, l'image est $\R^+$, c'est une application, mais pas une surjection, ni injection.

On peut, cependant, en faire une surjection en limitant l'ensemble d'arrivée à $\R^+$, et d'ailleurs, les autres éléments de l'ensemble d'arrivée ne servaient à rien dans la fonction. Le domaine et l'image restent les mêmes, on n'a rien changé à ce que la fonction peut faire. Mais on ne peut pas en faire une injection, et la relation inverse n'est donc pas une fonction.

Oui, on peut "amputer" le graphe, mais alors on a limité la "fonctionnalité" de la fonction, ce qui n'était pas le cas en virant les négatifs de l'ensemble d'arrivée. Sans toucher à ce que la fonction "pouvait faire", l'injectivité est intrinsèque à la fonction.

En d'autres termes, surjectivité et application sont des choses que toute fonction peut acquérir "avec une simple mesure administrative", alors que, pour en faire une injection, il faut sortir le bistouri.

@Mathurin

oui, je marche sur des œufs, car je danse entre "fonction = graphe" et "fonction = triplet".

Je suis d'accord que, pour les fonctions-triplets, les propriétés d'application et de surjection sont aussi intrinsèques que l'injectivité - c'est d'ailleurs la stricte seule raison que je peux m'imaginer d'utiliser les fonctions-triplets, de pouvoir dire que c'est des propriétés intrinsèques, mais soit.

Seulement, quand on modifie une fonction-triplet en une autre fonction-triplet avec le même graphe, on ne change en rien ce que j'appelle "la fonctionnalité de la fonction", c.à.d. sur quels éléments on peut l'utiliser (donc son domaine), donc les a pour lesquels on peut écrire f(a), ni, bien sûr, le résultat, donc la valeur de f(a), pour tous ces a, et donc, ni son image.

En d'autres termes, même si on veut pouvoir dire, comme on le fait, avec des fonctions-triplets, que f et g sont des fonctions différentes, s'ils ont le même graphe, on "ne voit pas cette différence en l'utilisant": on peut écrire f(a) comme on peut écrire g(a) PARTOUT. Pour tout a où on peut écrire f(a), on peut écrire g(a) à la place, et vice versa.

Donc leur *utilisation* partout, est identique. C'est ce que j'appelle, leur "fonctionnalité", par manque d'autre mot.

On peut donc parfaitement avoir que deux fonctions-triplets différentes, f et g, mais où on peut, PARTOUT, remplacer f(a) par g(a) et vice versa, sont telles que la première n'est ni application, ni surjection, et la deuxième, si, par, ce que j'appelle en rigolant, une simple mesure administrative sur les ensembles de départ et d'arrivée dans les triplets différents. On peut tout faire avec f ce qu'on pouvait faire avec g et vice versa, ça ne change en rien leur "utilisation".

Par contre, ce n'est pas vrai pour l'injectivité. On ne peut pas avoir que f(a) est remplaçable PARTOUT par g(a) et vice versa, et faire que g soit injective alors que f ne l'était pas. On ne pourra pas utiliser g(a) partout où on pouvait utiliser f(a) (ou vice versa).

Ce qui fait qu'on peut remplacer partout f(a) par g(a) et vice versa, ne vient que du graphe. Si les graphes des fonctions-triplets f et g sont les mêmes, alors f(a) est partout remplaçable par g(a) et vice versa ; si les graphes sont différents (l'un est une partie de l'autre par exemple), alors ce n'est pas le cas.