Mon manuscrit sur les maths au lycée
Bonjour tout le monde,
je me présente: je ne suis pas un prof de maths (je suis physicien et ingénieur) mais à force d'avoir des enfants, j'ai été obligé de m'intéresser à l'enseignement des mathématiques (et j'avoue que cela ne me déplaît pas). A force de m'y intéresser, j'ai fini par écrire trois textes, deux sur les mathématiques, et un sur la matière physique-chimie. J'aimerais avoir des commentaires sur le premier texte. La préface explique l'origine du texte.
Je m'excuse à l'avance pour les erreurs contre la langue française, je ne suis pas francophone d'origine ; mon entourage m'a déjà aidé beaucoup pour "nettoyer" le texte, mais je suis sûr qu'il y a encore du travail. Mon idée est de publier ce texte sous la licence Creative Commons, qui permet la libre circulation à condition de respecter l'attribution d'auteur.
Je vous présente ce texte afin de pouvoir l'améliorer, et d'éviter de trop grosses erreurs.
Bonne lecture...
Cordialement,
Patrick.
je me présente: je ne suis pas un prof de maths (je suis physicien et ingénieur) mais à force d'avoir des enfants, j'ai été obligé de m'intéresser à l'enseignement des mathématiques (et j'avoue que cela ne me déplaît pas). A force de m'y intéresser, j'ai fini par écrire trois textes, deux sur les mathématiques, et un sur la matière physique-chimie. J'aimerais avoir des commentaires sur le premier texte. La préface explique l'origine du texte.
Je m'excuse à l'avance pour les erreurs contre la langue française, je ne suis pas francophone d'origine ; mon entourage m'a déjà aidé beaucoup pour "nettoyer" le texte, mais je suis sûr qu'il y a encore du travail. Mon idée est de publier ce texte sous la licence Creative Commons, qui permet la libre circulation à condition de respecter l'attribution d'auteur.
Je vous présente ce texte afin de pouvoir l'améliorer, et d'éviter de trop grosses erreurs.
Bonne lecture...
Cordialement,
Patrick.
Réponses
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Salut Patrick, j'ai juste lu la préface - je suppose que tu es Flamand belge - ne t’inquiète pas pour les quelques lourdeurs.
Le reste je l'ai lu rapidement, j'aime bien. Deux commentaires :
- tu devrais plus découpler les textes mathématiques du texte proprement dit comme ça se fait bien en Latex, regarde par ex. ton équation de cercle p60 sur 2 lignes ça ne fait pas bien, ça donnerait plus de lisibilité ;
- l'idée de départ est très bonne - palier au délabrement des programmes - une explication très convaincante (les trous font perdre tellement de cohérence que l'acquisition s'en ressent), je pense que tu gagnerais à développer un peu plus.
Pour le concept de variable, demande à Foys :-)"J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Bonjour xax,
effectivement je suis Flamand Belge d'origine, bien deviné :-)
J'ai écrit le texte en libreoffice, ce qui est plus facile pour l'édition des styles, mais effectivement, pour la mise en forme mathématique, LaTeX marche mieux, mais ça donne un produit final un peu austère (je ne suis pas assez bon LaTexien pour modifier les styles facilement). Je vais essayer de voir comment faire en libreoffice pour avoir des équations "in line" un peu mieux typographiées (par ex, qu'il n'y a pas de retour à la ligne dedans). Merci pour cette remarque pertinente.
En ce qui concerne la préface, en fait, avant elle faisait bien 10 pages pleines de lamentations, mais j'ai enlevé tout ça, car l'idée n'était pas d'en faire un pamphlet politique en soi, même si c'est très alléchant d'en profiter pour le faire, mais un texte éducatif. Je pense d'ailleurs maintenant que des lamentations sur "le programme officiel" ne servent à pas grand chose (contrairement à mon opinion il y a quelques années) car le cheminement de l'apprentissage est une chose personnelle et toute idée d'un programme officiel, quel qu'il soit, est une idée idiote, qui ne conviendra jamais à l'ensemble des élèves (et même un sous-ensemble suffisamment grand pour qu'on puisse parler de filière). Alors, c'est peut-être aussi bien que le programme officiel est tellement mauvais, que personne n'y adhère, et qu'on "personnalise" l'apprentissage selon ses propres goûts, après tout... :-D -
Salut Patrick.
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Manuscrit a écrit:Je me suis trouvé dépourvu de moyens pour expliquer quelque notion que ce soit.
Il y a des gens que cela surprend mais professeur de mathématiques c'est un vrai métier. Apprendre à apprendre aussi. B-)- -
FDP a écrit:Apprendre à apprendre
C'est du charabia de pédagogo....
Et pourquoi pas apprendre à apprendre à apprendre puis apprendre à apprendre à apprendre à apprendre puis apprendre à apprendre à apprendre à apprendre à apprendre pendant qu'on y est ?????
@Patrick 123,
Ton document est intéressant même s'il est perfectible. Quoiqu'il en soit, ton intention est louable.
Le contenu de la préface remet les choses en place sur ce qui devrait être enseigné au collège et au lycée.
Cette préface froisserait les pédagogos et les zadjudants pédagogiques régionaux (j'ignore si cettte corporation sévit outre-Quiévrain...comme disait le regretté Thierry Roland).....pour qui les maths consistent à faire des problemzouverts en zilobonifés dans un bordel indescriptible....
Le passage suivant est frappé au coin du bon sensPatrick123 a écrit:L’activité formatrice pour la pensée est vite taxée d’élitisme abjecte et réactionnaire. Ainsi, seulement l'outil pour résoudre des problèmes, jugé utile pour l'activité économique du pays, semble trouver grâce. Mais on constate
que cela ne fonctionne pas très bien quand on enseigne les mathématiques uniquement comme un outil pour la résolution de problèmes, car c'est un outil abstrait qui devient difficile à comprendre et donc à utiliser quand on reste dans le flou concernant les notions qui en font partie.
On maîtrise mieux un outil quand on comprend comment il fonctionne. Or, comprendre comment les mathématiques fonctionnent nécessite justement un peu de connaissances structurées qui font partie des chapitres bannis.
Ce texte veut ré-introduire les notions oubliées afin de rendre les mathématiques de nouveau compréhensible.Patrick123 a écrit:Comment se fait-il que la réduction de ce programme a amplifié la difficulté pour les élèves au lieu de la diminuer ? Est-ce parce que les techniques pédagogiques efficaces ont été oubliées ou interdites par la loi ?
Tu as raison de poser cette question. Il faut que tu saches qu'en France tout professeur qui fait un cours magistral suivi d'une séance d'exercices se fait scalper par son adjudant pédagogique régional et peut tirer un trait sur la orklasss....
En France, on fait des zaktivités !!!! Quant aux problèmes concrets...leur contenu est à mourir de rire !!!! Ainsi, dans un exercice du Bac, on raconte qu'un confiseur fabrique ses chocolats avec la fonction logarithme népérien et le théorème des valeurs intermédiaires.....https://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Amerique_Sud_21_nov_2017_3.pdf
Pierre Marcolini à Bruxelles et Dumon à Bruges peuvent en prendre de la graine....(pour rendre hommage à l'excellence de la chocolaterie belge)
Pour les bras cassés didactico-pédagogos, seules leurs théories fumeuses sont valables....bien qu'elles aient coulé l'enseignement des maths en France.....
Pour eux comme pour Margaret Thatcher: "THERE IS NO ALTERNATIVE !!!!!"
ENCORE MERCI POUR TON EXCELLENTE CONTRIBUTION A CE DEBAT !!!!Liberté, égalité, choucroute. -
Fin de partie écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1917320,1917676#msg-1917676
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
La remarque que vous citez de la préface n'indiquait pas un aveu d'incapacité innée à expliquer de ma part, mais le fait que le programme officiel manque cruellement de fondements actuellement, et qu'on y jongle avec des notions qui n'ont JAMAIS été introduites ouvertement. On peut presque dire que l'état actuel du programme est pré-Euclidien.
Et justement, je crois que cela rend le métier de professeur de mathématiques bien plus difficile que si le programme était cohérent, bien structuré et introduisant tous les éléments nécessaires à sa bonne compréhension. Car il faut, maintenant (et c'est peut-être ce que vous entendez par "vrai métier" ?), être un marchant de canapé pour faire avaler l'idée à ses élèves qu'ils comprennent des choses dont ils n'ont pas vu les bases.
Je crois, par ailleurs, que l'idée que seulement un professeur "officiel" de mathématiques serait capable d'expliquer des notions de mathématiques est une idée incohérente, car avant d'être professeur de mathématiques, il ne l'était pas et il n'y a rien de magique qui se passe quand il obtient son concours, son affectation, ou sa première classe, pour passer du coté incapable d'explication, à l'état de membre du métier (et non, vous n'allez pas me dire que ce sont les cours de IUFM ou son incarnation d'aujourd'hui qui font la différence, hein ;-) ). C'est en forgeant qu'on devient forgeron, n'est-ce pas. Et permettez-moi, mais j'ai rencontré quelques professeurs de mathématiques dont je ne pourrais pas dire qu'ils soient particulièrement capables d'expliquer des notions de mathématiques, et les effets sur leurs élèves ne sont pas très convaincants non plus. -
Ramon Mercader écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1917320,1917698#msg-1917698
> Tu as raison de poser cette question. Il faut que tu saches qu'en France tout professeur qui fait unPatrick123 a écrit:Comment se fait-il que la réduction de ce programme a amplifié la difficulté pour les élèves au lieu de la diminuer ? Est-ce parce que les techniques pédagogiques efficaces ont été oubliées ou interdites par la loi ?
> cours magistral suivi d'une séance d'exercices se fait scalper par son adjudant pédagogique
> régional et peut tirer un trait sur la orklasss....
J'avoue que c'était un petit clin d’œil B-)-
Ça fait plus que 20 ans que j'y habite et je suis marié à une prof, donc oui, je sais...
Mais, comme indiqué plus haut, je ne veux pas faire un pamphlet politique, mais accepter la situation officielle comme elle est. Pour cela, il faut la comprendre, il faut comprendre ce qui ne marche pas, et il faut donner les moyens à ceux qui veulent, d'y remédier, pour eux-mêmes et leurs proches, "hors système". Comme élève, ou comme parent, ou (c'est un peu plus délicat bien sûr) comme enseignant, il faut disposer des moyens pour pallier, en dehors, ce qui manque "dedans". C'est plus positif, plus efficace, et je dirais même, à terme, bien plus lucratif que de se battre contre des moulins à vent.
Je voudrais donc surtout avoir des commentaires constructifs concernant le contenu et la forme... -
Patrick123 a écrit:http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1917320,1917710#msg-1917710
Je crois, par ailleurs, que l'idée que seulement un professeur "officiel" de mathématiques serait capable d'expliquer des notions de mathématiques est une idée incohérente, car avant d'être professeur de mathématiques, il ne l'était pas et il n'y a rien de magique qui se passe quand il obtient son concours, son affectation, ou sa première classe, pour passer du coté incapable d'explication, à l'état de membre du métier
Ce que tu ne sembles pas comprendre.
1) Un professeur du secondaire a un programme à suivre qu'il ne décide pas.
2) Avoir de la culture mathématique n'est pas suffisant pour faire de vous un bon enseignant
L'expérience d'un prof' de mathématiques qui s'intéresse à son métier d'enseignant et qui ne se prend pas pour un adjudant n'est pas celle d'un ingénieur.
PS. Je n'ai fait que parcourir le document posté dans le premier message.
Je salue le travail effectué mais je ne sais pas à qui s'adresse ce document. -
Bonjour,
FdP, ce que tu racontes n'est en rien une réponse à la citation que tu fais de Patrick.
Tu as raison comme lui, mais les deux affirmations sont sans rapport.
Il faut vraiment que tu apprennes à lire.
Cordialement,
Rescassol -
" et il faut donner les moyens à ceux qui veulent, d'y remédier, pour eux-mêmes et leurs proches, "hors système". Comme élève, ou comme parent, ou (c'est un peu plus délicat bien sûr) comme enseignant, il faut disposer des moyens pour pallier, en dehors, ce qui manque "dedans"."
Oui c'est tout à fait ça, j'en suis arrivé à cette conclusion, et même à l'idée de ne plus tenir compte de ce qui se fait à l'école. Quant on peut le faire pour ses enfants c'est bien.
Mais ce qui me chagrine c'est le fait que ceux qui ont le plus besoin de bénéficier de cette attitude ne se trouvent pas dans un environnement qui le permette.
En clair les parents des bonnes CSP sont en général bien informés de ce qui se passe à l'école et remédient à la situation en choisissant l'établissement et en enrichissant le contenu des enseignements.
Pour les autres c'est vraiment dramatique car toutes les difficultés s’additionnent. Et en fin de compte on a une situation bien décrite par les comparatifs internationaux : un résultat d'ensemble moyen, mais avec des très gros écarts selon les CSP, du moins pour la France qui est championne des pays de l'OCDE pour ce type d'inégalités."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Rescassol:
C'est ton appréciation mais pas la mienne.
J'ai bien lu et relu et je maintiens mon message.
NB:
Bien évidemment qu'il vaut mieux avoir comme prof' un enseignant qui est dans le métier depuis plusieurs années ET qui s'intéresse réellement à ce qu'il fait. -
Fin de partie écrivait:
> Ce que tu ne sembles pas comprendre.
> 1) Un professeur du secondaire a un programme à
> suivre qu'il ne décide pas.
Dans la mesure où cela serait une condition contraignante pour son activité explicative, on pourrait en conclure qu'une personne libre à donc plus de chances de bien expliquer une notion qu'un professeur qui n'a pas le droit de décider ce qu'il explique :-D (je rigole)
> 2) Avoir de la culture mathématique n'est pas
> suffisant pour faire de vous un bon enseignant
> L'expérience d'un prof' de mathématiques qui
> s'intéresse à son métier d'enseignant et qui ne
> se prend pas pour un adjudant n'est pas celle d'un
> ingénieur.
>
D'abord, mais c'est dommage de devoir en arriver là, j'ai été enseignant. J'ai enseigné comme maître de conférences dans une école d'ingénieurs (à Gand, si vous voulez les détails), avant d'aller vers d'autres horizons. Et pendant que j'étais thésard, j'ai aussi été assistant à la fac. Et avant de l'être, je ne l'étais pas. Donc un jour, j'étais, selon vos critères, parfaitement inapte à expliquer des notions, et le jour suivant, c'était mon métier, frappé par la grâce du Saint Esprit de l'Enseignement.
En quelle mesure est-ce que le fait que j'ai été enseignant ou non, change le contenu de mon texte ?
Alors, à qui s'adresse mon texte ? Au lycéen, en premier lieu. Mais éventuellement aussi à celui ou celle qui veut l'aider, l'accompagner et qui ne saurait comment s'y prendre, si le lycéen en question n'est pas capable de lire un bouquin de 100 pages tout seul comme un grand ou une grande (ce qui arrive...). A quel moment ? Il peut commencer en seconde, arriver au milieu en début de première, et finir vers milieu première. Mais il/elle fait comme bon lui semble.
Je me rappelle que, dans mon temps de lycéen, le premier semestre de la seconde était consacré à la logique, un peu plus poussé que ce que j'écris dans mon texte. En fait, mon texte est une version très très allégée (il y a une suite d'ailleurs) de ce que j'ai eu moi-même, avec un peu plus de recul et d'explications que ce qui était nécessaire dans le temps. On pourrait les considérer comme des "prises de notes retravaillées d'un lycéen d'antan qui les met à disposition de ses co-lycéens après avoir pris une machine à voyager dans le temps" si on veut. -
Bonjour,
FdP, la petite phrase "Ce que tu ne sembles pas comprendre." signifie en général qu'on n'est pas d'accord avec ce qui précède et que ce qui suit est une objection.
Ben, je suis d'accord avec ce qui précède et avec ce qui suit. C'est grave, Docteur ?
Cordialement,
Rescassol -
xax écrivait:
> En clair les parents des bonnes CSP sont en
> général bien informés de ce qui se passe à
> l'école et remédient à la situation en
> choisissant l'établissement et en enrichissant le
> contenu des enseignements.
Même là, ça commence à faire des dégâts si on est trop confiant. Le fils de mon beau-frère, médecin-psychiatre, il y a qqs années, toujours félicitations jusqu'en 1S, toujours 16 en maths ou d'avantage, et en terminale, cata totale. J'ai essayé de l'aider à partir de janvier, il n'y avait rien à faire, c'est comme s' il n'avait même pas fait une seconde. Le truc qui m'avait frappé, c'est qu'il comprenait que, si on écrit f(x) = x^2 - 3, alors f(3) c'est bien 3^2 - 3, mais pourquoi est-ce que f(a) serait alors a^2 - 3 ? Il pouvait machinalement calculer des dérivées, mais il ne savait pas ce qu'était un coefficient directeur, ou quel pouvait bien être le lien entre une tangente et une dérivée ? A Pâques, il m'a dit que ce n'était pas la peine qu'on continue, il laissait tomber les maths, et se concentrait sur les autres matières. Il a eu son bac mais c'était chaud. En maths, il a eu 3/20. Il était pourtant un "très bon élève" (jusqu'en terminale) dans "un bon lycée de centre-ville".
Donc, non, le système devient, visiblement, socialement plus "juste": tout le monde dans la m....
Il faut arrêter de s'en plaindre, le constater, et trouver des moyens de s'y faire. C'est ce que j'essaie de faire. -
Rescassol:
Patrick émet une opinion qui n'est pas la mienne et il m'a semblé bon de rappeler quelques évidences ignorées de lui.
C'est du moins ce que j'en ai déduit en le lisant. C'était le sens de la phrase: "Ce que tu ne sembles pas comprendre".
Mode ironique on:
Je n'ai pas lu dans le manuscrit de Patrick comment on arrivait à convaincre un élève que l'expression:
$(4-x)\text{e}^x-5$ ne pouvait pas être factorisée (autre que trivialement $1\times (..)$) pour tout $x$ réel. B-)-
Mode ironique off. -
Patrick 123 a écrit:le système devient, visiblement, socialement plus "juste": tout le monde dans la m...
C'est ce que proposent certains sur ce forum (ils se reconnaîtront....)Liberté, égalité, choucroute. -
Fin de partie écrivait:
> Rescassol:
>
> Patrick émet une opinion qui n'est pas la mienne
> et il m'a semblé bon de rappeler quelques
> évidences ignorées de lui.
> C'est du moins ce que j'en ai déduit en le
> lisant. C'était le sens de la phrase: "Ce que tu
> ne sembles pas comprendre".
Je suis désolé, mais tu as sorti une citation de mon texte, tu lui as attribué une autre signification que celle que j'en donne dans le texte, pour pondre une affirmation qui est seulement en lien avec la signification modifiée de la citation, affirmation qui devrait souligner que j'ai essentiellement tout faux car seulement un prof de maths aurait le monopole d'expliquer des maths.
La citation était "Je me suis trouvé dépourvu de moyens pour expliquer quelque notion que ce soit", qui, dans mon texte, fait référence à l'absence de notions de base dans le programme, mais que tu ré-interprètes hors contexte comme "je suis un couillon qui ne savait pas expliquer les maths", à partir de quoi tu postules que seulement un prof de maths peut expliquer des maths, donc QED, forcément que tu t'es trouvé comme un couillon, puisque tu n'es pas prof de maths, tu ne sais pas enseigner.
Puisque la citation n'est pas dans le sens que tu en donnes hors contexte, le lien que tu en fait est hors sujet.
Ton affirmation "seulement un prof de maths est capable d'expliquer des maths" se trouve donc déconnecté de mon texte et est une affirmation indépendante, dont je souligne l’incohérence: si une personne serait parfaitement incapable d'expliquer une matière jusqu'au moment où il devient un jour enseignant, moment où la Grâce le frappe alors il devient, par miracle, parfaitement capable de le faire.
Je n'émets donc pas une opinion à part de souligner que l'affirmation que les enseignants sont les seuls à être capable d'expliquer des choses est incohérente. -
Patrick a écrit:mais que tu ré-interprètes hors contexte comme "je suis un couillon qui ne savait pas expliquer les maths"
Désolé d'insister. Cette phrase ne fait que confirmer ce que j'écrivais plus haut.
Je pense que tu crois qu'il suffit d'avoir un peu de culture en mathématiques pour s'improviser prof' de mathématiques.
Celui qui ne sait pas expliquer les maths n'est pas nécessairement un co...llion: il n'a seulement pas la formation et/ou l'expérience et/ou l'état d'esprit pour le faire à mon humble avis.
Je ne connais rien à la plomberie pourtant je sais ce qu'est un chalumeau et une clef anglaise.Cela fait de moi un co..llion? :-D
PS:
Je n'ai pas compris à quel public tu destinais ton manuscrit. -
Seul un professeur de mathématiques peut en même temps (1) enseigner les mathématiques et (2) prétendre que "seul un professeur de mathématiques peut enseigner les mathématiques".
La question n'est pas de savoir si l'affirmation (2) est vraie ou fausse. Elle est fausse, mais qu'importe.
Par contre voir FdP affirmer (2) et prétendre faire (1) est une bouffonnerie.
Cordialement, Pierre. -
"l'affirmation que les enseignants sont les seuls à être capable d'expliquer des choses" c'est une opinion assez largement - mais pas totalement - partagée dans l'EN en France, qui est bien corporatiste, un peu moins dans d'autres pays que je connais un peu, notamment les pays anglo-saxons qui ont plus la culture du DIY. J'ai eu cette perception des "enseignants-sachants" dès l'école maternelle, c'est d'ailleurs assez rigolo.
Enfin tu as eu l'avantage ainsi de faire connaissance avec notre ami Fin de partie :-D
J'aime bien ton titre "Ce qui n'est pas dans le programme de mathématiques du lycée", j'essaye moi même d'autres voies pour reconstituer ce qui a été supprimé :
- les requêtes à la volée style : "mathématiques" "n'est pas exigible" site:https://eduscol.education.fr etc.,
- l'achat d'anciens manuels des années 70, 80 et début des années 90 (avant il y a un blog où ils sont scannés, "manuels anciens" il s'intitule),
- les témoignages d'amateurs de maths (ici entre autres),
etc.
Le cas du jeune de ta famille que tu décris est malheureusement du aux programmes antérieurs particulièrement délabrés au collège où les dextérités de base ne sont plus apprises."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Tout le monde est là cool !
Mais je n’ai pas le temps ce soir, allez, j’offre tout de même une tournée de cacahuètes-binouzes.
Bonne soirée.
NB : le sujet original est intéressant de mon point de vu.
Mais il a été bousillé à une très grande vitesse... dommage. -
Pldx1:
Qu'est-ce que tu appelles enseigner?
Ecrire un gros pdf de plus de cent pages et donner implicitement la consigne: vous n'avez plus qu'à lire le pdf pour apprendre les mathématiques?
PS:
Tout le monde trouve ça normal de ne pas faire appel à un comptable, mais plutôt à un plombier, quand on a une fuite dans ses toilettes.
Mais quand il s'agit d'enseigner les mathématiques, il semble se dessiner un consensus que tout le monde peut le faire. Il suffit d'un peu de culture, rien de plus. -
Mon père est comptable et il répare tout seul ses chiottes. Que fait la modération ??
+1 Dom. -
FDP a écrit:Mais quand il s'agit d'enseigner les mathématiques, il semble se dessiner un consensus que tout le monde peut le faire. Il suffit d'un peu de culture, rien de plus.
Quand il s'agit de corriger des copies, il semblerait que tout le monde puisse le faire.....Liberté, égalité, choucroute. -
Ramon Mercader:
Je n'ai rien à te prouver. Je fais correctement mon travail et ce n'est pas le salaire qui me motive. -
Fin de partie écrivait:
>
>Patrick a écrit:> mais que tu ré-interprètes hors contexte comme
> "je suis un couillon qui ne savait pas expliquer
> les maths"
>
> Je pense que tu crois qu'il suffit d'avoir un peu
> de culture en mathématiques pour s'improviser
> prof' de mathématiques.
Non, il faut aussi avoir une forme "d'empathie intellectuelle", c.a.d. pouvoir se projeter dans le monde conceptuel de son auditoire, et il faut savoir capter l'attention (c.a.d. savoir communiquer). Il faut savoir faire le lien entre le monde conceptuel de l'autre, et le message à passer. Mais l'enseignement n'est pas le seul métier où ces capacités sont nécessaires. En réalité, chaque fois qu'on veut pouvoir "passer un message", il faut faire cela, et il y a beaucoup de métiers où c'est nécessaire pour avoir un certain succès. Le technico-commercial (à part le vendeur de canapés) à souvent cette fonction, justement dans les métiers d'ingénierie, où le client n'est pas un spécialiste du domaine (s'il l'était, il n'avais pas besoin du service de l'autre entreprise). La différence avec l'enseignant, c'est que, quand le technico-commercial foire sa communication, c'est lui qui rate le business, alors que, quand l'enseignant foire sa communication, c'est l'élève qui obtient une caisse. Dans les deux cas (sauf vendeur de canapé, je me répète), savoir se mettre dans le monde conceptuel de l'autre, savoir faire le lien entre ce monde et les éléments techniques à apporter de son message, et en montrer la pertinence pour l'autre, capter son attention, et introduire une nouvelle conception dans la tête de l'interlocuteur, sont essentiels.
Pensez-vous que, comme ingénieur, votre direction est "compétente" dans votre domaine ? Il faut donc pouvoir l'éduquer en même temps que de proposer son projet ; mais ce ne sont pas des idiots, et s'ils sentent que vous êtes en train de raconter des âneries, vous n'obtiendrez pas ce que vous voulez.
Donc non, l'enseignant n'a pas le monopole de l'explication. Et non, il ne suffit effectivement pas de "connaître la matière" en question, mais c'est comme ça dans beaucoup de métiers, pas seulement dans l'enseignement. Il faut des compétences humaines en plus, c'est sûr. Mais les enseignants ne sont pas les seuls à devoir appliquer ces compétences dans leur métier. La différence se situe sans doute plus, comme je l'indiquais déjà, sur qui va subir les conséquences quand cette compétence est absente, le client ou le communicant.
> Celui qui ne sait pas expliquer les maths n'est
> pas nécessairement un co...llion: il n'a
> seulement pas la formation et/ou l'expérience
> et/ou l'état d'esprit pour le faire à mon humble
> avis.
Concernant la "formation", comme je disais, on ne va quand-même pas faire référence à l'IUFM (et ces successeurs) hein B-)- Et pour le reste, on n'est pas enseignant jusqu'à ce qu'on se trouve devant la classe. Alors 5 minutes avant, on était incapable d'expliquer, et 5 minutes plus tard, on est "un professionnel".
> Je ne connais rien à la plomberie pourtant je
> sais ce qu'est un chalumeau et une clef
> anglaise.Cela fait de moi un co..llion? :-D
Imaginez que vous avez installé dans votre propre maison, et dans votre petit chalet à la montagne, toute la tuyauterie et le chauffage. Mais effectivement, vous n'avez pas votre BTS de plomberie. Alors, toujours pas *capable* de faire de la plomberie, sans votre petit certificat ? Imaginez maintenant que cela vous prend, et vous vous installez comme auto-entrepreneur-plombier. Soudain, vous vous y connaissez ?
Mais la situation est assez ironique en fait. Quand vous avez devant vous un "plombier professionnel" qui fait en sorte qu'il y ait des fuites partout, et vous vous y connaissez un peu en plomberie, et vous voyez ce type relier le tuyau du gaz avec celui de l'eau froide, et l'évacuation des toilettes avec l'eau chaude, pensez-vous toujours que c'est lui, le professionnel, et que seulement lui peut faire de la plomberie ?
>
> PS:
> Je n'ai pas compris à quel public tu destinais
> ton manuscrit.
C'est bizarre, car
"Alors, à qui s'adresse mon texte ? Au lycéen, en premier lieu. Mais éventuellement aussi à celui ou celle qui veut l'aider, l'accompagner et qui ne saurait comment s'y prendre, si le lycéen en question n'est pas capable de lire un bouquin de 100 pages tout seul comme un grand ou une grande (ce qui arrive...). A quel moment ? Il peut commencer en seconde, arriver au milieu en début de première, et finir vers milieu première. Mais il/elle fait comme bon lui semble. "
me semble clair, non ? -
Patrick:
Je craignais que tu me fasses cette réponse.
Il va falloir mettre un concours à l'entrée au lycée pour qu'on revoit un tel programme.
La nostalgie n'est pas un programme en soi. -
La nostalgie n'est peut-être pas un programme en soi, mais la mélancolie sert de béquille voire de guide à tout être humain digne de ce nom.
-
Ludwig:
On n'est pas obligé de laisser la mélancolie envahir le compartiment professionnel. Il y a bien d'autres compartiments de la vie qu'on peut lui réserver. -
Les élèves que tu formes sont pourtant tes futurs concitoyens.
Edit : et il est difficile d'ignorer un con-citoyen -
@Patrick123,
J'ai lu ton texte et le trouve intéressant. Quelques remarques en vrac:
- il gagnerait à être davantage aéré
- j'ignorais l'emploi du vocable "environnement" dans ce sens (p86), moi je parlerais plutôt de "base de voisinage"
- plutôt que de parler de "nombres naturels" (page 67), on parle plutôt d'"entiers naturels ou naturels" (enfin c'est ce que j'ai vu); ceux que tu appelle "entiers" tout court sont aussi appelés "entiers relatifs ou rationnels"
- construire les réels avec les suites de Cauchy (p81) me parait un peu dur pour le lycée, on se contente usuellement de postuler la propriété de la borne supérieure (bien que Lebossé Hémery, années 60, utilise les coupures)
- les limites que tu définis (p88) sont épointées, le programme actuel les pointe
- plus généralement, ton texte culmine avec la définition de la dérivation; on pourrait l'intituler "tout ce qu'il y a besoin de comprendre pour aborder un cours d'introduction au calcul différentiel". Dans ce but j'ajouterais un peu de géométrie "repérée" au vu de l'importance de l'interprétation géométrique du nombre dérivé ("la tangente de la tangente"), il me parait nécessaire de connaitre les équations cartésiennes de droites (et certainement bien d'autres choses auxquelles je ne pense pas).
- si la finalité de ton texte est d'introduire aux fondations lycéennes du cours de mathématiques, il faudrait rajouter le binôme de Newton, la combinatoire et les structures algébriques usuelles (groupe, anneau, corps, voire ev). C'est j'imagine le but de ton second document.
Mais encore une fois merci du partage (je ne suis pas prof, donc mon avis n'a pas d'intérêt B-))
PS: Ne tiens pas compte de FdP, son but est de faire dériver le fil vers des sujets adventices afin de le faire fermer. Beaucoup s'y laissent prendre.
(La modération ferme les fils dont le cours s'éloigne par trop du propos initial pour se perdre dans des considérations oiseuses)
Il a choisi de t'attaquer sur ta supposée incompétence, mais cela aurait pu être n'importe quoi, l'important est pour lui de dévier la conversation. Disons que c'est une forme de bizutage.
Accessoirement il n'est pas lui-même prof selon la définition stricte (en situation de cours devant un groupe d'élèves).
Cordialement -
Je n'ai fait que survoler le texte mais mon impression est qu'il est inutilisable pour 95% des lycéens actuels (et peut-être même pour 80% des lycéens d'il y a 30 ans).
Actuellement, on a une proportion non négligeable de lycéens "scientifiques" qui
* considèrent que les parenthèses sont facultatives : $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d+e} = \dfrac{a\; d+e + bc}{b\; d+e}$,
* croient que $\ln (a+b)=\ln a +\ln b$, $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$, $\int_a^b f(x)g(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx \times \int_a^b g(x)\,dx$...
* confondent addition et multiplication : $3+x=4\implies x=\dfrac{4}{3}$,
* dérivent et calculent de façon farfelue : $(\dfrac{x}{3})'=\dfrac{x' 3-3'x}{3^2}=\dfrac{3}{6}$ (et en plus le calcul s'arrête là, la fraction n'est pas simplifiée),
* sont dans l'incapacité d'écrire des démonstrations simples. Exemple d'exercice simple mais infaisable pour la majorité des élèves de terminale S : "soit $p$ un nombre premier. Trouver tous les couples d'entiers naturels $(x,y)$ tels que $x^2-y^2=p$. On pourra factoriser le membre de gauche".
Ce n'est pas de la théorie des ensembles ou des suites de Cauchy dont les lycéens ont besoin. Ils ont besoin de faire du calcul algébrique, et des démonstrations.
Qu'il y ait quelques bases de logique, pourquoi pas, si ça permet de leur faire passer le message que les variables doivent être quantifiées par $\forall$ ou $\exists$, et que les symboles $\implies$, $\iff$ et $=$ ne sont pas interchangeables. -
JLT a écrit:Ce n'est pas de la théorie des ensembles ou des suites de Cauchy dont les lycéens ont besoin. Ils ont besoin de faire du calcul algébrique
Je suis bien d'accord mais tu vas avoir du mal à convaincre les nostalgiques d'une époque que les moins de cinquante ans n'ont pas connue. B-)-Rescassol a écrit:Tu pardonneras à certains de travailler pour gagner leur vie.
Je leur pardonne comme je me le pardonne. 8-)
PS:
Qu'on se comprenne bien. Ecrire un bouquin c'est un gros travail et je félicite Patrick de l'avoir fait.
Ce qui me gêne est le titre et la préface mais ce n'est que mon avis. -
Oui pour le niveau JLT a raison, c'est un texte intéressant d'un bon niveau pour le début du supérieur, donc pour les 5% de très bons lycéens qui iront en prépa ou majorer les amphis.
Je le vois comme un bon complément des "calculus" du début du supérieur édités par certains lycées ou en vente en librairie.
De fait, au niveau du secondaire, c'est utilisable à vue de nez dans une cinquantaine de terminales sur les 2000 lycées français.
Donc si tu as l'ambition de proposer des documents - d'une qualité manifeste - pour que plus d'élèves s'en saisissent, il faut penser à une démarche complémentaire."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Mathurin écrivait:
> @Patrick123,
>
> J'ai lu ton texte et le trouve intéressant.
> Quelques remarques en vrac:
>
> - il gagnerait à être davantage aéré
==> oui, je sais. C'est un choix, d'essayer d'être le plus compact possible. Je visais le genre de "que sais je" qui sont limités à une centaine de pages.
> - j'ignorais l'emploi du vocable "environnement"
> dans ce sens (p86), moi je parlerais plutôt de
> "base de voisinage"
Oui, je le dis dans une note, que ce n'est pas la définition standard, et je corrige le tir dans le deuxième volume.
> - plutôt que de parler de "nombres naturels"
> (page 67), on parle plutôt d'"entiers naturels ou
> naturels" (enfin c'est ce que j'ai vu); ceux que
> tu appelle "entiers" tout court sont aussi
> appelés "entiers relatifs ou rationnels"
==> merci, c'est ce genre de remarques qui me sont très utiles. Je vais essayer de corriger cela. J'avais simplement traduit de l'anglais (natural number and integer), ou, si on veut, du néerlandais qui suit exactement l'anglais dans cette nomenclature, et je pensais que c'était la même chose en francais.
> - construire les réels avec les suites de Cauchy
> (p81) me parait un peu dur pour le lycée, on se
> contente usuellement de postuler la propriété de
> la borne supérieure (bien que Lebossé Hémery,
> années 60, utilise les coupures)
==> je trouvais cela pourtant le plus pertinent, car on voit aussi les suites au lycée (c'est une façon d'en parler), et c'est la méthode qui ressemble le plus aux constructions précédentes (couple de naturels => entier relatif ; couple d'entiers relatifs => nombre rationnel ; suite de nombres rationnels => nombre réel), plus un lien avec le développement décimal sans limite (qui est quand même la notion "intuitive" du nombre réel).
> - les limites que tu définis (p88) sont
> épointées, le programme actuel les pointe
Je ne connais pas cette expression: est-ce que tu veux dire l'inclusion du point a dans l'ensemble dont il faut prendre l'image pour l'inclure dans le voisinage d'arrivée ?
Je me souviens, dans le temps, que la fonction:
f(x) = 2 si x différent de 0
f(0) = 5
avait bien une limite en 0, c.a.d. 2. Elle avait une limite, mais cette limite était différente de son image et donc la fonction n'y était pas continue. Maintenant, on va dire que la limite n'existe pas ?
Par contre, la fonction f = {(2,40)} (qui a donc {2} comme domaine) n'avait pas de limite en 2, et maintenant, cette limite est 40 ? Cette fonction est alors une fonction continue maintenant ?
J'ajouterai un petit commentaire là-dessus. Merci pour la remarque.
Je me souviens que mon prof aimait faire des petits exos du genre...
> - plus généralement, ton texte culmine avec la
> définition de la dérivation; on pourrait
> l'intituler "tout ce qu'il y a besoin de
> comprendre pour aborder un cours d'introduction au
> calcul différentiel".
Ben, c'est aussi un peu la culmination du cours de maths au lycée, mais le but n'était pas seulement ça. Le but était d'introduire les notions de base *qui manquent maintenant* pour pouvoir comprendre les fondements des notions abordées dans les cours de maths au lycée, y compris "les raisonnements logiques", et des notions comme variable (dans ses différentes apparitions comme "inconnue", ou "dans une identité", ou "paramètre" ou...), fonction, équation, ... Donc un peu tout, et pas seulement la partie calcul différentiel, même si c'est une grosse partie du programme.
Disons que dans le temps, la première partie (et d'avantage) était acquise en 5ième, la deuxième partie (logique) était acquise en premier semestre de seconde, en 4ieme on voyait la construction de Z, en 3ieme (je crois) la construction de Q. Il faut donc, et c'est le but du texte, un "cours express de rattrapage" pour tout ça, mais finalement, ce n'est pas si énorme que cela. Mais pour R il fallait attendre la première (après introduction de l'espace topologique, mais je trouve cela un peu une grosse artillerie, c'est pourquoi j'ai pris un raccourci dans le texte).
Dans ce but j'ajouterais un
> peu de géométrie "repérée" au vu de
> l'importance de l'interprétation géométrique du
> nombre dérivé ("la tangente de la tangente"), il
> me parait nécessaire de connaitre les équations
> cartésiennes de droites (et certainement bien
> d'autres choses auxquelles je ne pense pas).
==> a ce que je sache, ça fait toujours partie du programme non ?
Mon idée était de seulement traiter ce qui manque, pas de "refaire le cours".
Mais effectivement, je traite l'espace vectoriel dans le deuxième volume. Je pourrais le balancer ici, mais il est dans un état d'élaboration bien moins avancé et il n'est passé encore dans la main de personne...
> - si la finalité de ton texte est d'introduire
> aux fondations lycéennes du cours de
> mathématiques, il faudrait rajouter le binôme de
> Newton, la combinatoire et les structures
> algébriques usuelles (groupe, anneau, corps,
> voire ev). C'est j'imagine le but de ton second
> document.
>
==> oui. (pas le binôme de Newton, ça fait quand-même toujours partie du programme je pensais...)
> Mais encore une fois merci du partage (je ne suis
> pas prof, donc mon avis n'a pas d'intérêt B-))
>
> PS: Ne tiens pas compte de FdP, son but est de
> faire dériver le fil vers des sujets adventices
> afin de le faire fermer. Beaucoup s'y laissent
> prendre.
==> c'est donc le troll du coin. Merci, je commençais à m'en douter et j'ai effectivement été emporté un peu 8-)
Quelque part, il a bien sûr raison que l'expérience d'un prof a de la valeur, et c'est d'ailleurs pour cela que je viens ici, pour avoir des critiques constructives des gens du métier.
Bon, allez, je balance la deuxième partie "en son état" mais comme je disais, c'est beaucoup moins "travaillé" encore. -
Fin de partie écrivait:
> Patrick:
>
> Je craignais que tu me fasses cette réponse.
> Il va falloir mettre un concours à l'entrée au
> lycée pour qu'on revoit un tel programme.
> La nostalgie n'est pas un programme en soi.
=> le programme officiel fait ce qu'il veut, on s'en tape un peu. Je m'adresse à ceux pour qui ce cheminement pédagogique peut être bénéfique, et il l'était fortement il y a 40 ans: il y avait des gens (je n'étais vraiment pas le seul) à apprécier de comprendre ces notions, et (je n'étais vraiment pas le seul) beaucoup de personnes étaient parfaitement capables de l'assimiler. D'autres, non. Comme je crois que l'évolution biologique prend quand-même un certain nombre de générations, je ne crois pas que les jeunes personnes d'aujourd'hui sont si différentes que cela de leurs aînés. Il doivent donc y avoir beaucoup de personnes, exposées au programme actuel, qui pourraient profiter de notions plus rigoureuses et clarificatrices. C'est à ces personnes, qui sont en manque de clarté, que je m'adresse. Pour tous ceux pour qui le programme actuel marche à merveille, surtout, je ne veux pas les déranger.
Essentiellement, je m'adresse donc au potentiel très bon élève qui se fait massacrer par le manque de solidité dans son apprentissage. Les autres, qu'ils soient heureux. J’œuvre pour le bonheur de tous, et ce bonheur est différent selon la personne.
Cela dit, je me poserais quand-même une question, si, ce qui était au programme de 5ième il y a 40 ans, nécessite "un concours" maintenant au lycée. Toutes les autres technologies, la médecine, l'informatique, l’aéronautique, le ski, la plongée sous-marine, les jeux vidéo.... ont fait d'énormes progrès en 40 ans. Ce qui était difficile ou impensable il y a 40 ans est devenu trivial et routine dans ces domaines. Mais la technologie "enseignement des maths" aurait évoluée dans le sens inverse: ce qui était routine alors, est maintenant hors de portée ?
Avant, on pouvait descendre d'une piste noire, mais maintenant, avec nos skis de 40 ans d'avancées technologiques et d'apprentissage de techniques de glisse évoluées, on se casse la figure sur une piste verte ? -
JLT écrivait:
> Je n'ai fait que survoler le texte mais mon
> impression est qu'il est inutilisable pour 95% des
> lycéens actuels (et peut-être même pour 80% des
> lycéens d'il y a 30 ans).
==> inutilisable dans quel sens ? Je pourrais croire que ce texte se lit "ab initio" dès qu'on a passé l'école primaire et qu'on connaît les 4 opérations sur les nombres, non ? Il n'y a quasi pas de pré-requis.
Inutile, ça dépend, justement, s'il y a des blocages au niveau conceptuel ou non. Ce qui est sûr, c'est que ce texte ne va pas aider à résoudre des problèmes quand les notions conceptuelles semblent clairs, mais c'était mon impression que beaucoup d'élèves "sèchent" justement sur le plan conceptuel: que les "trucs du cours" ne veulent pas dire grand-chose, ne sont pas ancrés conceptuellement, et donc, qu'on n'a aucune idée ce qu'on peut en faire (et ce qu'on ne peut pas faire), car c'est du charabia de A à Z. Il y a bien sûr une fraction des élèves qui semblent être incapable de penser de façon un peu abstraite, mais ce n'est pas en enlevant les notions de base qu'on améliore la situation pour eux ; on l'aggrave pour d'autres. C'est l'idée sur laquelle je suis parti, au moins.
>
> Actuellement, on a une proportion non négligeable
> de lycéens "scientifiques" qui
>
> * considèrent que les parenthèses sont
> facultatives : $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d+e} =
> \dfrac{a\; d+e + bc}{b\; d+e}$,
> * croient que $\ln (a+b)=\ln a +\ln b$,
> $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$, $\int_a^b
> f(x)g(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx \times \int_a^b
> g(x)\,dx$...
> * confondent addition et multiplication :
> $3+x=4\implies x=\dfrac{4}{3}$,
> * dérivent et calculent de façon farfelue :
> $(\dfrac{x}{3})'=\dfrac{x'
> 3-3'x}{3^2}=\dfrac{3}{6}$ (et en plus le calcul
> s'arrête là, la fraction n'est pas
> simplifiée),
==> si ces élèves sont dans cet état-là, c'est que:
1) il n'y a rien à faire et il ne faut donc pas tenir compte de ces élèves, on s'occupe des autres
2) ou: on ne les a pas donné les outils pour éviter cette (ce manque de) structure conceptuelle dans leur tête.
Je crois que pour certains, c'est le cas 1), pour d'autres, c'est 2), et c'est à ceux-là que je m'adresse.
> * sont dans l'incapacité d'écrire des
> démonstrations simples. Exemple d'exercice simple
> mais infaisable pour la majorité des élèves de
> terminale S : "soit $p$ un nombre premier. Trouver
> tous les couples d'entiers naturels $(x,y)$ tels
> que $x^2-y^2=p$. On pourra factoriser le membre de
> gauche".
==> mais est-ce qu'il y a eu un cours et une définition explicite de ce que c'est, une démonstration ? Ou est-ce que, comme beaucoup d'autres choses, justement, il faut "l'assimiler de façon tacite sur le tas sans en parler clairement" ?
C'est justement de cela qu'il s'agit: d'expliciter.
>
> Ce n'est pas de la théorie des ensembles ou des
> suites de Cauchy dont les lycéens ont besoin. Ils
> ont besoin de faire du calcul algébrique, et des
> démonstrations.
==> l'un n'empêche pas l'autre (au contraire). C'est difficile de faire des "démonstrations" quand les notions utilisées sont floues, et quand la notion même de démonstration n'est pas très nette non plus.
En ce qui concerne les suites de Cauchy, je trouve cela pourtant assez "basique": c'est la généralisation du développement décimal, qui est quand-même l'ancrage de la notion de "nombre réel".
On peut partir de l'égalité de 2 et de 1.9999.... par exemple.
>
> Qu'il y ait quelques bases de logique, pourquoi
> pas, si ça permet de leur faire passer le message
> que les variables doivent être quantifiées par
> $\forall$ ou $\exists$, et que les symboles
> $\implies$, $\iff$ et $=$ ne sont pas
> interchangeables.
==> oui. Autant faire cela de façon claire et explicite, alors, non ? C'est pas la mer à boire de voir ce que c'est "un tableau de vérité", et une "preuve formelle" non ?
C'est d'ailleurs universellement utile, en dehors des maths aussi. -
La théorie des ensembles, la construction de $\Z$ et de $\Q$, les suites de Cauchy, etc. sont des notions que j'ai abordées après le bac, alors que j'avais déjà passé du temps au lycée sur la notion de limites de suites, limites de fonctions, continuité. Ton texte se lit sans pré-requis, mais on pourrait en dire autant des volumes de Bourbaki. Rares sont les élèves capables d'une telle capacité d'abstraction sans être passé par des maths plus concrètes (je ne dis pas que ces élèves n'existent pas). Les élèves de terminale C d'il y a 40 ans arrivaient peut-être à comprendre intégralement ces notions (et encore je ne suis pas persuadé que ce soit le cas de la majorité d'entre-eux), mais ils étaient aussi habitués dès le plus jeune âge à faire du calcul algébrique et à rédiger des démonstrations, et ce sont ces deux dernières choses qui me paraissent prioritaires.
-
Salut Patrick,
Crise de la quarantaine ? Cinquantaine ?
Il faut tenir, ça finit par passer... -
On propose ci-dessous une introduction complète sur les limites de fonctions à valeurs dans $\overline \R$.Patrick123 a écrit:f(x) = 2 si x différent de 0
f(0) = 5
avait bien une limite en 0, c.a.d. 2. Elle avait une limite, mais cette limite était différente de son image et donc la fonction n'y était pas continue. Maintenant, on va dire que la limite n'existe pas ?
Notations:
Soient $+\infty, -\infty$ distincts n'appartenant pas à $\R$, on notera $\overline \R := \R \cup \{-\infty, +\infty\}$ ci-dessous. On étend la relation d'ordre usuel de $\R$ en posant $a \leq +\infty$ et $- \infty \leq b$ pour tous $a,b \in \overline \R$ (on note encore "$x<y$" pour "$x\leq y$ et $x\neq y$" pour tous $x,y \in \overline \R$).
Soit $a \in \overline \R$.
Si $a$ est réel, on désigne par $\mathfrak V(a)$ l'ensemble de toutes les parties de $\R$ de la forme $]a-r,a+r[$ où $r$ parcourt l'ensemble des réels strictement positifs.
On désigne par $\mathfrak V(+\infty)$ (resp. $\mathfrak V(-\infty)$) l'ensemble de toutes les parties de $\overline \R$ de la forme $]s,+\infty]$ (= $\{x \in \overline \R \mid s < x\}$) (resp. $[-\infty, s[$)où $s$ parcourt l'ensemble des réels (donc $s\neq +\infty$ ou $-\infty$).
Définition 1: soit $E$ un ensemble, $f:E\to \overline \R $ une application et $\mathfrak B$ un ensemble de parties de $E$. Soit $\ell \in \overline \R$. On dit que $f$ converge vers $\ell$ suivant $\mathfrak B$ si pour tout $A\in \mathfrak V(\ell)$, il existe $B\in \mathfrak B$ tel que $f(B) \subseteq A$.
Un élément $y\in \overline \R$ tel que $f$ converge vers $y$ suivant $\mathfrak B$ s'appelle également une limite de $f$ suivant $\mathfrak B$.
Il y a en pratique beaucoup de couples $(E,\mathfrak
$ utilisés avec cette définition. Liste d'exemples non exhaustive:
(i) lorsque $E=\N$ et $\mathfrak B$ est l'ensemble des parties de $\N$ de la forme $\{k \in \N \mid k \geq n\}$ avec $n$ parcourant $\N$, on parle de limite de suite numérique.
(ii) lorsque $E=\R$ (ou $\overline \R$)et que $\mathfrak B$ est l'ensemble des parties de la forme $]s,+\infty[$ (resp $\mathfrak V (+\infty)$), on parle de limite en $+\infty$ d'une fonction.
(iii) lorsque $E$ est un intervalle de $\R$, $x \in E$ et $\mathfrak B$ est l'ensemble des intersections de $E$ avec un élément de $\mathfrak V(x)$
(iv) lorsque $E$ est un intervalle de $\R$, $x \in E$ et $\mathfrak B$ est l'ensemble des parties de $E$ de la forme $\left ( ]x - r] \cup [x + r[\right )\cap E$ où$r$ parcourt $]0,+\infty[$. On reviendra sur la différence entre (iii) et (iv) un peu plus bas.
Définition 2: un ensemble $\mathfrak B$ de parties de $E$ est appelé une base de filtre si
(BF1) $\mathfrak B$ n'est pas vide
(BF2) Aucun élément de $\mathfrak B$ n'est vide
(BF3) Pour tous $X,Y\in \mathfrak B$, il existe $Z\in \mathfrak B$ tel que $Z\subseteq X \cap Y$
Remarque 3: Si $\mathfrak B$ est une base de filtre et si $f:E \to \overline \R$ converge vers $m$ et vers $n$ au sens de $\mathfrak B$, alors $m=n$. En effet, si $m\neq n$ alors on peut montrer qu'il existe $U \in \mathfrak V(m)$ et $V\in \mathfrak V(n)$ tels que $U\cap V=\emptyset$ (quitte à les échanger, on peut supposer que $m<n$; si $m=-\infty$ et $n=+\infty$, prendre par exemple $U:=[-\infty,0[$ et $V:=]0,+\infty]$; si $m=-\infty$ et $n\in \R$ prendre $U:= [-\infty,n-2[$ et $V:=]n-1,n+1[$;si $m\in \R$ et $n=+\infty$ prendre $U:=]m-1,m+1[$ et $V:=]m+2,+\infty]$ (édité); enfin si $m,n$ sont réels prendre $U:=]m-\alpha,m+\alpha[$ et $V:=]n-\alpha,n+\alpha[$ avec $\alpha:= \frac{1}{3}(n-m)$).
Soient donc $U,V$ de telles parties. Par hypothèse il existe $B$ et $C$ dans $\mathfrak B$ tels que $f(B)\subseteq U$ et $f(C)\subseteq V$. Il existe ($\mathfrak B$ étant une base de filtre) $D\in \mathfrak B$ telle que $D\subseteq B\cap C$ ce qui entraîne en particulier que $f(D)\subseteq f(B) \subseteq U$ et $f(D)\subseteq f(C) \subseteq V$ et donc $f(D)\subseteq U\cap V$. Or ceci est impossible puisque $U\cap V$ est vide mais $D$ (et donc $f(D)$) ne l'est pas.
Lorsque $\mathfrak B$ est une base de filtre sur $E$ et $f:E\to \overline \R$ une fonction, il y a donc unicité d'une limite éventuelle de $f$ et on dira donc" la limite" et on la notera $\lim \limits_{\mathfrak B} f$ (ou, dans les cas spécifiques, autres artifices de notation qu'en principe le lecteur du phorum connaît déjà...)
Dans tous les exemples de (i) à (iv) ci-dessus, $\mathfrak B$ est une base de filtre et en fait, dans chaque situation de définition de limite que le lecteur connaît, on peut en exhiber une et montrer qu'on est dans un cas particulier de la définition 1.
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Limites épointées ou non?
Il y a un "débat" pédagogiste récurrent pour savoir si "la bonne" définition de limite en un point des fonctions est (iii) ou (iv) de ma liste d'exemples -avec des gens visiblement très remontés qui agressent en disant "c'est (iv) exclusivement", prétendant que le monde entier est d'accord avec eux (ce qui est faux) mais en fait se persuadent d'avoir touché des choses ontologicoconceptuelles très profondes ("une limite c'est quand on se rapproche indéfiniment du nombre sans l'atteindre" et autres fausses philos de ce calibre).
Bon, laissez tomber ces âneries, la bonne définition de limite (de fonctions numériques) est celle à bases de filtres du présent message ;-).
Concernant les limites ponctuelles de fonctions d'intervalles de $\R$ dans $\overline R$, c'est (iii) qui est le plus utilisé en pratique bien que pour définir des dérivées, on a besoin de (iv).
Une limite au sens de (iv) s'appelle parfois "limite épointée".Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Pour les parties consacrées aux variables (ce que Patrick qualifie de variable est plutôt ce que les logiciens appellent des variables liées, je le mets pour faire le lien dans les discussions) si l'idée de dire que ce sont des marqueurs de place dans une formule est essentiellement juste (cf indices de De Bruijn en lambda calcul), il y a un certain nombre de choses qui ne vont pas dans ce texte. Je reviendrai là-dessus quand j'aurai du temps.
Le problème de l'utilisation correcte des lettres -une fois assimilés les calculs et la géométrie de base- est de loin le plus grave problème de l'enseignement des maths et il est amplifié par le refus ferme (ou de plus en plus: l'incapacité) de livrer toute documentation explicite sur la grammaire précise des formules de maths (dont la gestion des variables libres/liées), prétendûment au nom de la "préservation de la compréhension intuitive des maths par l'enfant".
Ce problème transpire jusque chez des gens d'un âge avancé (voyez les malaises provoqués par des phrases comme $\forall x \in \emptyset, x = x^4$, car "on ne peut pas prendre ce $x$ avec ses mains", alors qu'en fait $x$ est lié dans ladite phrase et donc ne désigne strictement rien...)Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
JLT écrivait:
> La théorie des ensembles, la construction de $\Z$
> et de $\Q$, les suites de Cauchy, etc. sont des
> notions que j'ai abordées après le bac, alors
> que j'avais déjà passé du temps au lycée sur
> la notion de limites de suites, limites de
> fonctions, continuité.
Ben, moi, non. En 5ième, on avait vu les notions d'ensembles, relations, relations d'équivalence, d'ordre, compositions de relations, de fonctions, partitions et d'ailleurs aussi de monoïde et groupe commutatifs et non-commutatifs (surtout avec la composition de fonctions sur des petits groupes finis).
En 4ième, les constructions de Z (et je ne me souviens plus si Q c'était en 4ième ou en 3ième), la notion d'anneau et une introduction à la géométrie par couples équipollents - mais ce dernier truc, c'était moins bien réussi. C'était des classes relativement indifférenciés (les élèves du professionnel étaient parti, mais c'est tout), et ça marchait très bien, je n'ai pas de souvenir de grandes souffrances de la part de mes camarades. On jouait à ça sans difficultés. A partir de l'anneau de Z, on dérivait pleins de règles de calcul algébrique, et on faisait alors "des maths classiques avec", c.a.d. des calculs algébriques. Je me répète, ça avait l'air de passer très facilement. Il y avait quelques camarades qui éprouvaient des difficultés, mais ils n'étaient pas très nombreux, et c'étaientt de toute façon "les cancres" dans les autres matières aussi.
En 3ième, par contre, on introduisait le corps commutatif, (je crois donc aussi Q) et plus d'algèbre ; par contre, le prof avait décidé de faire Euclides en géométrie et on a vu un programme relativement classique.
En seconde, on passait dans les filières différentes, et moi, je vous parle de la filière "mathématiques modernes" (à coté de "sciences modernes" et "langues modernes" ; il y avait aussi latin-maths, latin-grec.
Le premier semestre était purement de la logique, le deuxième on avait une introduction à l'espace vectoriel, mais tout était limité à deux dimensions, et on reprenait donc la géométrie en forme cartésienne. On apprenait à utiliser des matrices pour faire des rotations, des projections et des réflexions, et on re-faisait de la géométrie dans le plan. On voyait aussi l'équation quadratique dans les nombres réels, qui n'étaient pas clairement définis à ce point. On passait aussi du temps sur l'anneau modulo n, et surtout, sur le corps modulo un nombre premier et on voyait grosso modo ce qui était dans la spécialité maintenant - mais il faut l'avouer, avec des exercices beaucoup plus simples que celles dans la spécialité maths maintenant.
En première, on introduisait l'espace métrique, l'espace de Banach et l'espace topologique, et puis, on l'appliquait aux nombres réels, et on définissait plus clairement les fonctions réelles, les suites, limite, continuité, dérivée. On repassait sur la géométrie comme espace vectoriel, mais cette fois, dans 3 dimensions. On introduisait le produit scalaire comme relation bi-linéaire, source de la notion de norme (dans le cadre de l'espace de Banach, même si je crois que ce n'était pas vraiment un espace de Banach car on ne parlait pas de la partie convergence, mais on l'appelait comme ça: un espace vectoriel avec une norme qui dérivait d'une relation bi-lineaire).
En terminale, on introduisait l'intégration de Riemann en premier semestre. Je considère le deuxième semestre totalement raté, car on faisait énormément de géométrie projective (3 coordonnées dans le plan, et la "droite à l'infini" au milieu de la feuille), et puis, une introduction ratée aux nombres "pré-complexes", c.a.d. un truc parfaitement inutile R^2, +,. avec (x,y) . (a,b) = (x.a, b.y). Le sens et l'utilité de ce truc m'a échappé totalement.
Dans la classe, il y avait peut-être deux ou trois camarades "perdus". Pour le reste, ça marchait. Certes, pas tout le monde avait 19/20. Mais, à 2 ou 3 camarades près, tout le monde "suivait".
Ton texte se lit sans
> pré-requis, mais on pourrait en dire autant des
> volumes de Bourbaki. Rares sont les élèves
> capables d'une telle capacité d'abstraction sans
> être passé par des maths plus concrètes (je ne
> dis pas que ces élèves n'existent pas).
==> je suis d'accord. C'est d'ailleurs pourquoi l'introduction de ces notions à l'époque des maths modernes était trop précoce (surtout dans le primaire, c'est carrément ridicule). Mais quand on arrive au lycée, je pourrais penser que la clarté de l'exposé gagne sur le petit effort d'abstraction. On a, à ce moment-là, vu suffisamment de notions mathématiques pour que la notion d'ensemble et de relation ne soit pas si difficile que cela, non ?
Les
> élèves de terminale C d'il y a 40 ans arrivaient
> peut-être à comprendre intégralement ces
> notions (et encore je ne suis pas persuadé que ce
> soit le cas de la majorité d'entre-eux), mais ils
> étaient aussi habitués dès le plus jeune âge
> à faire du calcul algébrique et à rédiger des
> démonstrations, et ce sont ces deux dernières
> choses qui me paraissent prioritaires.
Mon idée, sans doute erronée pour certains, mais je suis persuadé correcte pour d'autres, c'est que "enlever des notions" n'est pas la bonne façon d'améliorer la compréhension de ce qui reste.
Oui, certaines notions sont "optionnelles". D'autres sont fondamentales. C.a.d. ils *aident* à comprendre. Quand on les enlève, ça devient plus difficile. J'ai du mal à m'imaginer que le contenu de mon texte soit "difficile". On peut éventuellement discuter de sa pertinence, mais justement, je crois que là, le verdict est net: quand on a investi le petit effort de comprendre ce qui est dans ce texte, je crois vraiment que les notions abordées dans le programme deviennent beaucoup plus limpides. Il se peut que ces notions ne posent déjà pas de problèmes pour certains. Alors pour ces personnes, qu'on les laisse tranquille. Mais moi, personnellement, j'aurais eu beaucoup de mal, je crois, avec le programme actuel. -
Foys écrivait:
>
> Bon, laissez tomber ces âneries, la bonne
> définition de limite (de fonctions numériques)
> est celle à bases de filtres du présent message
> ;-).
Ok, j'enlèverai donc "l'exception en a". C'est juste que je l'avais appris autrement, et qu'on y avait fortement insisté.
Merci pour cet éclaircissement. -
Bonjour,
Après le troll à la sauce "galimatias sociologique", voici le troll à la sauce "galimatias ultrafiltrant". Le sujet de ce fil est comment donner des définitions précises et des modes d'emploi précis permettant aux élèves de lycée d'avoir une activité mathématique et en particulier leur permettant d'apprendre à trouver et à rédiger par eux mêmes des démonstrations. Cela suppose entre autres d'arriver à distinguer entre une démonstration, une "preuve par intimidation" et une mise bout à bout de morceaux insensés.
Pour ce qui est de la construction de $\R$, la présentation "on fait ce qu'il faut pour que toute suite monotone de rationnels ait une limite dans le nouvel ensemble" me semble être la plus simple. Cela donne $\overline \R$. Et en coupant les deux bouts, il est facile d'obtenir les opérations dans $\R$. La présentation "par les suites de Cauchy" impose une rédaction tordue pour éviter de raisonner sur les distances... et ne sera donc pas recyclable pour étudier les limites dans $\C$ ou dans tout autre espace vectoriel normé.
Le fait que l'on puisse identifier (1, appliquée à $\R$) comme étant "la topologie de l'ordre" et (2, appliquée à $\C$) comme étant "la topologie de la distance" et que l'on puisse unifier tout cela dans une "topologie générale" est un fait. Donner l'impression de proposer de commencer par la topologie générale, au lycée, est simplement stupide. Ceci est un autre fait.
La chose à visualiser est "peut-on contrôler le résultat simplement en contrôlant les conditions initiales" ? Ceci est également à la base du contrôle de tout processus, industriel ou autre. Comme ce n'est pas facile, autant commencer tôt, en le faisant pour de bon et pas seulement en agitant les ultrafiltres "juste pour dire le mot".
Cordialement, Pierre. -
Patrick a écrit:Mais quand on arrive au lycée, je pourrais penser que la clarté de l'exposé gagne sur le petit effort d'abstraction. On a, à ce moment-là, vu suffisamment de notions mathématiques pour que la notion d'ensemble et de relation ne soit pas si difficile que cela, non ?
La notion d'ensemble et de relation n'est pas difficile, mais la notion de quotient l'est pour un lycéen.
D'autre part, les lycéens actuels n'ont justement pas "vu suffisamment de notions mathématiques" au collège.
Quand j'étais au collège dans les années 1980, on voyait les axiomes d'Euclide en quatrième, et la pratique de la géométrie permettait de faire comprendre que les mathématiques partent d'axiomes et que les démonstrations consistent à effectuer des déductions à partir de ceux-ci. On faisait nettement plus de calcul que maintenant : PGCD/PPCM en cinquième, décomposition en facteurs premiers en quatrième, développement-factorisation en 4e-3e, etc. Tout ceci a quasiment disparu du collège.Dans la classe, il y avait peut-être deux ou trois camarades "perdus". Pour le reste, ça marchait. Certes, pas tout le monde avait 19/20. Mais, à 2 ou 3 camarades près, tout le monde "suivait".
"Suivait" veut dire quoi ? Dans ma classe de terminale C, la moyenne de la classe était environ à 10/20. Je ne considère pas qu'à 10/20 on maîtrise les choses. Et il n'y avait pas de suites de Cauchy ni d'ensembles quotient au programme. -
JLT écrivait:
> La notion d'ensemble et de relation n'est pas
> difficile, mais la notion de quotient l'est pour
> un lycéen.
==> couper un ensemble en morceaux par les éléments qui "collent ensemble par la relation d'équivalence" serait inaccessible pour un lycéen ?
Je me souviens en 5ième, qu'on introduisait l'entier naturel en "prenant l'ensemble de tous les ensembles finis" :-S et en introduisant "... peut avoir une bijection avec...". Alors on voyait qu'un ensemble avec 3 vaches "pouvait avoir une bijection avec" un ensemble de 3 élèves, et la classe d'équivalence était le "nombre 3". L'ensemble-quotient était N. Je me souviens encore de la prof, qui dessinait des patates et puis les bijections.
En 5ième. Je ne veux pas reprendre cela car "l'ensemble de tous les ensembles finis" me semble un truc hasardeux. Mais l'idée de "couper en morceaux par les trucs qui collent ensemble" et de considérer l'ensemble des morceaux n'est quand-même pas insurmontable par un lycéen maintenant, quand c'était "évident' pour un élève de 5ième à cette époque, non ??
>
> Quand j'étais au collège dans les années 1980,
> on voyait les axiomes d'Euclide en quatrième, et
> la pratique de la géométrie permettait de faire
> comprendre que les mathématiques partent
> d'axiomes et que les démonstrations consistent à
> effectuer des déductions à partir de ceux-ci. On
> faisait nettement plus de calcul que maintenant :
> PGCD/PPCM en cinquième, décomposition en
> facteurs premiers en quatrième,
> développement-factorisation en 4e-3e, etc. Tout
> ceci a quasiment disparu du collège.
Oui, bien sûr, si l'école primaire est devenue la maternelle, le collège le primaire, alors effectivement, le lycée devient le collège et ce qui était le lycée devient la classe prépa. Mais il y avait beaucoup d'élèves qui finissaient leur "lycée-devenu-prépa" à 18 ans, alors il doivent y avoir maintenant aussi qui en sont capables, je pense. -
Expérimentalement, la notion de quotient est difficile pour les étudiants de fac, alors a fortiori pour les lycéens...Oui, bien sûr, si l'école primaire est devenue la maternelle, le collège le primaire, alors effectivement, le lycée devient le collège et ce qui était le lycée devient la classe prépa. Mais il y avait beaucoup d'élèves qui finissaient leur "lycée-devenu-prépa" à 18 ans, alors il doivent y avoir maintenant aussi qui en sont capables, je pense.
Il y avait beaucoup d'élèves qui arrivaient à grimper au 18e étage, mais ils y sont arrivés en grimpant étage par étage, et non en sautant directement du 13e au 18e. -
Patrick123 a écrit:Avant, on pouvait descendre d'une piste noire, mais maintenant, avec nos skis de 40 ans d'avancées technologiques et d'apprentissage de techniques de glisse évoluées, on se casse la figure sur une piste verte ?
Le monde a beaucoup changé, au moins sur certains aspects, en quarante ans.
Il y a deux "avancées" technologiques qui ont révolutionné notre rapport à la connaissance.
1) l'ordinateur 2)internet*
Est-ce qu'en soi cela élève le niveau de connaissance des gens? Bien sûr que non.
Mais cela remet en cause le rôle de "médiateur" de la connaissance des enseignants.
Certains ont l'impression qu'ils peuvent tout savoir, tout comprendre, sans l'aide de personne (aide qui se manifeste par une présence physique d'un être humain qui vous parle, vous explique et répond à vos questions et qui idéalement crée ou entretient un affect positif qui donne l'envie aux élèves d'apprendre)
En quarante ans, le public qui fréquente les lycées a changé aussi.
Au milieu des années 80, 30% des personnes d'une classe d'âge, si je me souviens bien, obtenait le bac.
Le choix est fait, me semble-t-il, de tenter de bourrer la tête des gens de culture.
Ce n'est peut-être pas important qu'on ne se rappelle pas exactement l'année où est survenu un évènement historique
cela n'empêche pas d'avoir une vue d'ensemble historique sur une époque et c'est ce qui restera dans la tête de beaucoup de gens après leur passage à l'école.
En mathématiques, on bombarde les élèves d'un tas de connaissances qui sont constituées en une sorte d'échafaudage mais visiblement on se fiche de la fiabilité de la "construction": la "livraison du paquet" a été effectuée, au suivant !
Pour en revenir au sujet, ce n'est pas de bourrer encore plus la tête des gens la direction à prendre dans l'enseignement des mathématiques dans l'enseignement secondaire, selon moi, mais changer de cap: être moins ambitieux dans les programmes mais s'assurer qu'un élève maîtrise ce qui lui a été enseigné.
Je sais bien qu'il y a peu de chance que cela prenne cette direction.
*: si Internet n'existait pas, tu n'aurais sûrement pas entrepris la rédaction de ce document car qu'il aurait eu peu de chance d'être lu par d'autres. De plus, si tu es venu dans ce forum c'est surtout pour qu'on reconnaisse ton travail: c'est humain.
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