Mon manuscrit sur les maths au lycée

kioups a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1917320,1919854#msg-1919854
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C'est un phénomène connu qu'un produit peut être ré-utilisé à des fins différentes B-) Heureux de t'être utile B-)-

vorobichek a écrit:

@Patrick123, le vide abyssal est au niveau de collège. Ton premier exemple avec $a$ à la place de $5$ : des lacunes en calcul littéral.

J'avoue ne pas avoir compris. Mais visiblement, il avait une très étrange représentation de ce que voulait dire:

$f(x) = x^2 - 3$

Mais j'avais aussi remarqué avec mon fils, que la notion de "variable" n'est absolument pas nette. Qu'on ne voit pas ça comme une sorte d'indicateur d'emplacement d'un objet mathématique dans quelque chose qui, alors, deviendra une proposition. En d'autres termes, un prédicat. Je ne sais pas comment on le voit. Je ne sais pas comment le prof pense que ses élèves le voient.

Mais puisqu'on n'a jamais donné un cours sur comment il faut voir la notion de variable, ce n'est pas étonnant que les élèves ne savent pas ce que ça veut dire, et en font parfois des conceptualisations très bizarres. Et pour d'autres, ils trouvent visiblement par eux-mêmes ce que c'est. Un peu. Beaucoup. Passionnément. Ou pas du tout (:P)

vorobichek
Ce n'est jamais nettement enseigné non plus. Le truc (qui avait, au départ, coulé mon fils d'ailleurs) c'était les problèmes en début 1S des fonctions quadratiques paramétrés. Mais on ne peut pas s'en étonner: ce n'est pas enseigné non plus !

Quand une notion n'est absolument pas enseignée, alors comment veut-on que l'élève la maîtrise ? C'est un peu comme si on n'avait jamais fait un cours sur la liaison covalente, et on va s'étonner qu'un élève ne comprenne rien à une substitution nucléophile. C'est évident: on ne l'a pas expliqué ! Ça devrait venir d'où ? Du Saint Esprit de l'Inspiration Divine ?

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Fin de partie a écrit:

> Je ne suis pas sûr que c'est ce que tu proposes
> ou que ce que tu proposes permette de corriger
> ça.

Je pense que oui, alors que toi, tu penses le contraire. Sans doute que la réponse est au milieu: pour certains, oui, pour d'autres, non. Tu avais évoqué le "biais du survivant" et sans doute qu'il joue: j'ai effectivement du mal à totalement sortir de mon propre monde conceptuel (je pense d'ailleurs que tout le monde a du mal avec ça, et ce fait même en est une application récursive :-) ). Je me sens sur des peaux de banane quand je n'ai pas l'idée (ou l'illusion si on veut) que je sais de quoi je parle.

> Si tu étais au collège vers la même période
> que moi tu dois te rappeler des innombrables
> exercices de développements, factorisation etc
> qu'on nous faisait faire. Je dois en avoir
> conservé quelques uns.
> (il y a peut-être encore l'odeur de l'alcool à
> bruler dessus ça se trouve)

Oui. Mais avant de faire cela, nous avions étudié la structure de l'anneau. On avait déduit toutes les règles de calcul des axiomes de l'anneau. En 5ième on s'était entraîné sur des monoïdes (surtout avec l'union et l'intersection), des groupes (avec la composition de fonctions) etc... et en 4ième, c'était l'anneau de Z. Maintenant, je crois aussi qu'il y a une façon plus classique de faire tout ça. On ne doit pas nécessairement parler de ces structures explicitement au collège, c'est un peu tôt. Mais on avait déduit les règles de calcul à partir d'axiomes de base, comme la commutativité, l'associativité, la distributivité, l'élément neutre, etc... Ces notions-là sont extrêmement importantes et on peut aussi en parler sans formaliser la structure.

Il fallait faire les démonstrations des règles de calcul à partir des axiomes, cela faisait parti du cours, il y avait des interros dessus et tout ça. Et oui, il y avait aussi de l'entraînement. Mais ce que j'ai déjà constaté maintenant, c'est que beaucoup d'élèves ne sont pas très sûrs de quelles manipulations sont permises, et lesquelles sont "inventées". Selon le caractère prudent ou aventurier, alors ils n'osent pas utiliser une règle correcte ou par contre ils inventent des règles fausses qui leur semblent convenir. On savait donc quelle règle dépendait de quel axiome. On savait ce qui n'allait plus marcher quand, par exemple, la commutativité multiplicative sautait (par exemple, le binôme de Newton ne marche plus).

Je crois que nous avons une conception totalement différente sur l'utilité d'entraînement: moi, je ne crois pas que faire beaucoup d'exercices permet de comprendre une notion qui n'était déjà pas claire. Je crois qu'une notion floue reste floue, même si on fait 100 exercices en l'utilisant. Je crois que toi tu es convaincu de l'inverse, qu'il suffit de répéter une idée pour qu'elle devienne claire.

Je crois que, quand un élève n'est pas très sûr d'une règle de calcul, lui faire appliquer cette règle 100 fois ne rend pas ça plus net dans sa tête alors que, pour toi, c'est la façon de l'apprendre. Par contre, il faut de l'entraînement pour rendre cela fluide, pour développer des réflexes, et apprendre à reconnaître des situations quand certains cheminements seront utiles. Pour rendre le calcul un automatisme. Mais je crois que cela ne marche pas si l'idée au départ n'est pas claire et si on n'est pas sûr qu'une règle s'applique ou non. Attention, une idée claire peut être fragile, et l'entraînement la rend robuste. Mais quand l'idée est floue (c.a.d. on ne sait pas très bien d'où ça vient, pourquoi c'est valable etc...), elle restera floue, même après entraînement. Ce ne sera pas une idée mais un réflexe Pavlovien. Elle ne sera pas conceptualisée mais juste conditionnée. Et alors, on constatera qu'on ne peut rien bâtir dessus alors "qu'il savait faire les exos à la perfection". Ça ne voulait toujours rien dire. Je crois que c'est exactement ce qui est arrivé à mon neveu.

Et sans doute que nous avons tous les deux raison: pour certains, ce sera comme moi, et pour d'autres ce sera comme toi tu le penses. Il y a des gens comme moi, qui veulent d'abord pouvoir "construire l'idée" et qui refusent de l'utiliser quand ce n'est pas déjà clair. Et il y en a qui suivent plutôt le cheminement "par imprégnation", c.a.d. qui commencent à comprendre une idée quand on l'utilise, d'une façon instinctive, sans vraiment savoir pour quoi, mais ce n'est pas ce qui importe.

Il est clair que je pense que mon texte peut aider des "gens comme moi".

> Il n'y avait pas de concept. On te donne quelques
> règles à appliquer et tu les appliques sur des
> dizaines d'exercices répétitifs comme un danseur
> qui répète inlassablement des mouvements pour
> assimiler une chorégraphie.

Nous, on déduisait les règles des axiomes de base. Je crois que c'était très utile, car il y a une grande différence entre une règle dont on sait parfaitement d'où elle vient, et "une règle parce que le prof le dit". Car en cas d'hésitation, on peut la re-déduire vite fait, alors qu'on est peut-être pas sûr de ce que le prof voulait vraiment dire quand "on vous donne des règles".

Mais de nouveau, je crois que ça dépend de l'élève. Pour certains, oui, pour d'autres, non.

Attention: je suis tout à fait d'accord qu'il faut s'entraîner. C'est nécessaire mais pas suffisant. Quand mon fils avait des problèmes en début de 1S, j'ai pris le Schaum "intermediate algebra" et je lui ai fait faire 500 exos d'algèbre de base pendant les vacances de Toussaint. Il a râlé, mais ça l'a aidé beaucoup. Mais il n'avait pas de problèmes conceptuels pour les calculs, ça manquait juste de fluidité. Il faut libérer l'esprit de ces choses élémentaires pour que cela devienne un automatisme, mais il faut aussi qu'ils soient clairs.

Tu commences à donner envie d'écrire un texte pour le collège :-D

@Suerkarl: Merci pour ces commentaires

Superkarl a écrit:

> Donc en fait le souci, c'est que ce qu'aurait du
> être ton texte, c'est un texte qui va aussi haut
> que tu en as envie si tu le souhaites, mais un
> texte qui parle comme on parle à un gosse, c'est
> vraiment l'aspect pédagogique qui est en cause.

C'est utile de lire ça, mais ça fait mal, car je croyais (à moitié) m'adresser à un gosse. Enfin, à un gosse et son mentor (parent, oncle, tante, ....), ou bien à un gosse brilliant qui peut le lire tout seul. Je croyais justement que, comparé à un texte "style BU", j'étais beaucoup plus informel, pédagogique et limitatif dans l'exposé. Je pensais que je tartinais beaucoup plus sur la façon de voir les choses que ce qui est l'habitude dans un cours universitaire.
D'un autre coté, je voulais un petit ouvrage, d'une centaine de pages seulement.

> Et là tu aurais été le seul sur le marché, et
> là tu aurais été plus utile. Notamment, ça
> manque d'exemples (à chaque
> théorème/définition => exemple).

Je pensais justement que ce texte est plein d'exemples, dans la mesure où je ne veux pas gonfler le volume à 200 - 300 pages, bien sûr. Ce ne serait pas raisonnable.

> Au final, le vrai titre de ton texte aurait du
> être "Comment les mathématiques sont construites
> ou ce qui est caché aux élèves" (pour des
> raisons pédagogiques d'ailleurs). Car tu te
> focalises sur la manière dont l'édifice
> mathématique est élaboré de manière
> cohérente, par ex tu pars des ensemble, tu
> construit les entiers, etc.

Ma thèse est justement - mais il y a des personnes qui n'y adhèrent donc pas - que c'est, au niveau du lycée, une mauvaise idée *pour des raisons pédagogiques*, de "cacher cette construction". Mon idée n'est pas de faire apprendre des choses en plus pour leur connaissance intrinsèque, mais justement, que leur manque de connaissance fait en sorte qu'on n'arrive pas à conceptualiser le cours du lycée et donc, qu'il reste vide de sens. Et qu'on n'arrive pas à comprendre ce qu'on y raconte. Ce qui implique qu'on ne sait pas non plus comment utiliser ces notions dans un problème à résoudre, car on n'arrive pas à les conceptualiser.
Que le fait que beaucoup d'élèves n'arrivent pas à résoudre des problèmes vient en partie parce que les notions utilisés ne veulent rien dire dans leur tête.

Visiblement, ce que beaucoup de personnes critiquent, c'est ma façon de construire des nombres et je vais retravailler cela profondément et faire beaucoup plus le lien avec des notions "pré-ensemblistes".

Ce n'est pas l'essentiel de l'ouvrage, d'ailleurs. Je dirais que la partie "Récapitulons pour le lycée" est sans doute la contribution la plus pertinente. La partie après s'adresse juste au vide conceptuel qui règne dans le programme pour les notions de limite, dérivée et continuité et qu'un bon élève risque de "bugger" dessus si on n'explique pas ce que ça veut dire.

Les personnes que j'ai voulu aider ont tous eu des problèmes avec la notion de variable, dès que ça dépasse "x c'est sur l'axe X, et f(x), ou y, c'est l'axe Y. Il me semble que c'est une difficulté majeure.

Aussi, je crois qu'il faudra écrire un ouvrage: "Ce qui n'est pas dans le programme du collège", mais ça, c'est bien plus difficile, car là, on s'adresse vraiment à des enfants.

> Mais si l'objectif est de
> faire comprendre non pas la constitution mais les
> notions des mathématiques, c'est là que le bât
> blesse cruellement.

Pour moi, justement, c'est la même chose. On comprend (seulement) une notion quand on sait comment elle est constituée.
Mais je crois voir ce que beaucoup de personnes disent, et je vais essayer de retravailler cela.

> Ou alors c'est que tu souhaites t'adresser à une
> toute petite partie rendue encore plus petite
> qu'à ton époque par un passage par le collège
> où le calcul littéral et le calcul algébrique
> sont déjà difficilement assimilés.

Je ne me rendais pas compte à quel point c'est le cas. Donc, comme je disais, il faudra un remède à ça avant.
Comme j'ai encore un cadet à l'école primaire, au moins le texte sera prêt le moment venu.

vorobichek a écrit:

> Les bons bouquins "style BU" sont fait pour
> travailler seul et doivent être assez
> pédagogiques.

Oui, mais je n'écris pas un cours. J'écris un complément qui cadre des idées, c'est tout.
Le but de mon texte n'est pas de pouvoir résoudre des problèmes, mais d'avoir mieux conceptualisé afin de pouvoir profiter plus du cours du lycée (de comprendre de quoi on parle).

> Mais si tu n'as jamais enseigné à un
> groupe, tu n'as pas assez de recul pour comprendre
> comment il faut leur parler. D'où ta difficulté
> à cibler ton publique. Si c'est ta passion,
> peut-être tu peux faire des vacations...

Je ne peux bien sûr pas, par "bouquin interposé" résoudre un problème spécifique d'un élève. Ce que tu me dis, c'est qu'il me manque l’expérience d'enseignant pour savoir où se situent statistiquement les difficultés. C'est bien possible. Mais il ne peut même pas y avoir "difficulté de compréhension du cours" car il n'y a même pas une explication "standard" des notions introduites. Je n'essaie pas de "mieux expliquer" les notions qui seraient introduites d'une façon qui serait mal comprise. Elles ne le sont simplement PAS. Il n'y a pas, dans le programme actuel, une introduction nette des notions qui y sont abordées, ni de "fonction", ni de "variable", ni de nombre réel, ni d'équation,... Les notions d'analyse sont seulement très partiellement abordées. Alors, je les introduits. Je présente un cheminement d'introduction de ces notions. Ce cheminement même peut avoir des difficultés de compréhension. Alors, il se peut que ce cheminement n'est pas utile pour ce lecteur. Maintenant, il peut y avoir un enseignant expérimenté qui viendra après moi, et qui va trouver des moyens pour faire comprendre à ses élèves ce qu'ils n'ont pas compris de MON introduction des notions, mais *au moins elle existera*. Si mon texte n'aide pas, alors il ne faut pas insister. Ce n'était pas le bon chemin pour cet élève. Je n'introduis pas "de la matière supplémentaire à connaître", mais un chemin possible de compréhension. Il n'est pas fait pour tout le monde sans doute.

Fin de partie a écrit:

> Dès que tu rajoutes du contenu de cours tu
> participes à l'"entropie": ce qui sera rajouté
> ne sera pas nécessairement bien compris voire
> pourrait agir comme une forme de diversion.

Mais ça, c'est un argument contre *toute* aide. Tout cours privé, toute explication supplémentaire par un camarade, ou par un parent, contribue à cette entropie alors. Tout ce qu'on dit à un élève peut "modifier" son "réseau associatif" dans sa tête et faire des liens inopportuns.

Alors tous les livres du commerce, à part ceux qui ne proposent que des reformulations à l'identique des contenus des cours et des exercices, seraient potentiellement toxiques. Mais quand on doit limiter les explications à des reformulations du cours, alors on ne peut pas introduire une autre conceptualisation: on peut juste espérer que le problème éventuel était un problème de la compréhension de la langue française: que la phrase du prof était, pour une ou autre raison, mal comprise *en français* mais qu'une reformulation de la même idée avec d'autres mots va marcher.

Cours du prof : "un esprit des cavernes vit dans une caverne"
Cours privé: il y a des esprits qui vivent dans des cavernes, et on leur donne un nom: "esprit des cavernes".
Oncle qui aide: "tu vois, petit, un chameau qui vit dans la montagne, s'appelle "chameau des montagnes". Eh bien, pour les esprits, c'est comme pour les chameaux: ceux qui vivent dans une caverne, s'appellent esprit des cavernes.

Si l'élève avait juste un problème de compréhension de français de la phrase du cours, alors ce genre d'aide "non-entropique" peut aider. S'il ne peut juste pas conceptualiser la notion d'esprit des cavernes, on tourne en rond, et il faudra bien un autre cadre conceptuel pour l'aider. L'oncle avait commencé un peu, et le danger est que maintenant, l'élève va associer l'esprit des cavernes avec des chameaux. Il a pris le risque d'ajouter de l'entropie. Mais s'il faut avoir peur de cela, alors on ne peut rien faire: c'est "venu" au moment de la compréhension de la phrase, ou ça ne voudra rien dire, quoi qu'on fasse.

> Implicitement, un enseignant cadre le contenu de
> son cours (mais il doit respecter le programme)
> pour tenter de maintenir au plus bas l'"entropie".
> Evidemment le niveau supposé des élèves qui
> font face à cet enseignant conditionne les choix
> opérés.

Oui, je propose juste un cadre possible. Qui ne conviendra pas, comme d'ailleurs aucun cadre, à tout le monde.

> Comme déjà indiqué, il ne suffit pas qu'on te
> fasse une liste des propriétés algébriques de
> l'ensemble des réels pour que tu te mettes à
> appliquer proprement ces règles dans la plupart
> des situations auxquelles tu pourrais être
> soumis.

Non, mais ça aide. C'est mon intime conviction que connaître les *origines* de cette liste aide souvent à l' appliquer. C'est une condition nécessaire mais pas suffisante. Il y a des gens qui apprennent par "imprégnation". Je n'en fais pas parti et je suppose que je ne suis pas le seul. Quand on introduit une notion, elle doit être claire, sinon je ne sais pas quoi en faire.

Oui, comme tout le monde, plus je vois cette notion floue dans un contexte, plus je commence à deviner un peu quelle est l'idée abstraite derrière. Quand on me montre un camembert, et on me dit "ça, c'est un exemple de fromage", je ne sais pas ce que veut dire "fromage". Je ne sais même pas si c'est la substance dont on parlait, ou une présentation particulière (ronde ?). Quand on me montre des tas de fromages, je commence vaguement à avoir une idée, je commence à faire une sorte d'abstraction de ce que veut dire "fromage" indépendant d'un fromage spécifique. Mais je ne sais toujours pas vraiment ce qu'on veut dire avec ce mot, et il y a des chances que j'ai une idée totalement fausse de ce mot. Quand on m'annonce alors quelque chose comme "pour tous les fromages, ceci ou cela", ben je dois dire "si tu veux". Je ne peux pas contredire cette personne. Je ne peux pas vraiment vérifier qu'elle me dit une chose vraie. Et moi aussi, je peux commencer à affirmer des choses "pour tous les fromages'. Je peux dire: "le boudin noir, c'est du fromage". Parce que c'est fait à partir de fluides biologiques d'animaux de la ferme. C'était ma conceptualisation de "fromage". Et va me contredire. Tu ne pourras pas le faire tant que tu n'as pas dit *clairement* ce que c'était, un fromage.

Donc oui, dans la vie de tous les jours, il faut bien faire avec des notions floues dont on se fait sa conceptualisation sans doute foireuse dans son coin, et on peut se tromper, ce n'est pas grave tant que cette notion individuelle fonctionne dans la plupart des cas rencontrés. Mais on ne peut pas faire des démonstrations dans un tel cas. On ne sait pas exactement de quoi on parle. Si on fait cela dans les mathématiques (et on le fait, en primaire, et encore un peu au collège), on est dans des mathématiques pré-Euclidiennes, non rigoureuses. Et alors il ne faut pas s'étonner d'un "boudin noir", du genre $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a+c}{bd}$ ou autre.

Les notions pré-Euclidiennes du primaire et un peu du collège sont "démontrables par argumentaire expérimental", comme dans les autres sciences. Pourquoi est-ce que a + b = b + a ? Ben, parce que 3 + 5 = 8 = 5 + 3, 19 + 11 = 20 = 11 + 19 etc.... Après suffisamment d'empirisme, on commence à accepter la loi empirique que a + b = b + a. C'est du même genre que de constater que l'eau gèle en-dessous de 0 degrés. On fait l'expérience 5 fois, et on commence à y attacher une croyance. On n'est pas très sûr que a + b = b + a pour des très grands nombres, par exemple. On sait que ça marche sans doute pour les nombres plus petits que 1000. Peut-être même jusqu'à un million. Et qui sait après ? Mais ça suffit pour les nombres utilisés en classe. Ils sont plus petits.

Mais c'est tellement plus facile quand on a une idée très nette de ce dont on parle, et qu'on peut l'appliquer à tout questionnement concernant cette idée, qu'on peut toujours "partir de la base en cas de doute". C'est l'âme même des maths.

Félix
::o Oui !

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Foys a écrit:

On ne peut pas penser avec des notions floues.

Exactement.

Après il y a eu la déformalisation délibérée de l'enseignement au nom du tout intuitif

On pourrait parler de "animalisation de l'enseignement". Alors que les notions précises étaient une aide et une condition nécessaire à la pensée, on a voulu croire que c'était un fardeau. C'est sans doute parce que de plus en plus de "décideurs" avaient fait des "sciences humaines" (animales ?) et n'avaient jamais atteint le stade de la pensée humaine. Alors ils ont cru que cet outil était juste un fardeau. La plupart des animaux auraient pris la même décision d'ailleurs.

Dom écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1917320,1921396#msg-1921396
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

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Oui, mais les grecs "connaissaient" plus de notions que juste celle-là : pensons à la circonférence du cercle, l'aire d'une ellipse etc... Ils ne savaient pas comment *construire* ces rapports par des rapports de segments, mais on peut bel et bien considérer que pour eux, ce "nombre" existait. Donc, dans l'univers des "nombres" (c.à.d. des rapports de longueurs, surfaces, ... de figures géométriques constructibles) il y avait plus que juste le rapport des segments constructibles.

Je ne crois pas que les grecs considéraient le rapport de la circonférence du cercle sur son diamètre comme "inexistant". Ils avaient peut-être un doute de l'existence d'un cube dont le volume était le double du volume d'un cube donné. Je ne sais pas s'ils avaient un doute sur l'existence d'un tel cube, ou s'ils se demandaient s'il était "constructible". Je ne sais pas en quelle mesure pour les grecs "constructible" et "existant" étaient la même chose.

philou22 a écrit:

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"2 appartient à un seul élément de S : {2,5,4}"
"2 appartient uniquement à l'élément {2,5,4} de S" serait plus claire je pense.

Je veux bien, mais la subtilité m'échappe totalement ? Est-ce une question de style de langue ou est-ce qu'il y a une ambiguïté dans la première phrase ?