Fonction exponentielle

Oui, c'est un isomorphisme de groupe entre $(\R,+)$ et $(\R^+_0,*)$. C'est l'idée originale de la fonction exponentielle (et logarithmique) de Napier: d'avoir un tel isomorphisme. De pouvoir faire des multiplications, en faisant des additions.

C'est effectivement plus "parlant" comme introduction de la fonction exponentielle.

On est supposés démontrer que si $f(a+b) = f(a) \times f(b)$, et $f(0)=1$, alors si $f$ est continue, elle est aussi dérivable et $\exists !u\in\R$ tel que $f' = u \times f$ et que pour $f(1) \simeq 2{,}7$, alors $u \simeq 1$, c'est ça ?

D'après André Tricot, ce genre d'approche, c'est exactement ce qu'il ne faut pas faire si on veut que les élèves tirent quelque chose de ce qu'on fait en classe. On passe un temps pas possible à les faire chercher comme des fous pour inventer des choses qu'on pourrait simplement leur enseigner.

Pour répondre à la question 1 de la situation 2, il faut faire le raisonnement suivant.

On a $f(0) = f(0+0) = f(0) \times f(0)$.

Je résous l'équation trinomiale $r^2 = r$ : $f(0) = 0$ ou $f(0) = 1$.

Or, si $f(0) = 0$, on a pour tout $a\in\R$, $f(a)=f(a+0)=f(a) \times f(0) = 0$.

Si on veut que $f$ soit non-nulle, il faut donc avoir $f(0)=1$.

Existe-t-il des élèves qui ont une technique suffisante pour résoudre la question 1, avant d'avoir appris la fonction exponentielle ?

En fait, il s'agit d'un sujet de recherche, le genre qu'on donnerait en math sup sur cette caractérisation de la fonction exponentielle, en annonçant le résultat recherché.

Mais ici, on donnera ce sujet à des élèves de terminale. Comme c'est évidemment trop difficile pour eux (ils travaillent à l'aveugle), on leur permettra de raconter à peu près n'importe quoi, et ensuite, on leur donnera la bonne réponse, par laquelle il aurait fallu commencer.

Bref, ça n'a aucun sens, à mon avis. Aucun élève ne trouvera cette approche utile, à moins qu'il connaisse déjà la réponse.

Chaurien a écrit:

Mieux vaut enseigner que de feindre de faire redécouvrir. Ce faisant, comme dit marsup, on ne perd pas son temps.

Un cours de maths au lycée, c'est une séance où un prof fait semblant d'enseigner les maths à des élèves qui font semblant de les comprendre.....

Besicovitch a écrit:

Le document suivant a été utilisé lors d'un stage officiel de formation concernant la réforme du lycée.

Cet exemple illustre, une fois de plus, la nullité et la fumisterie des stages organisés par EDNAT.....
Les profs qui doivent subir cela perdent leur temps et auraient mieux à faire en assurant leurs cours face à leurs élèves.....

Voici une caractérisation élémentaire de l'exponentielle parmi toutes les fonctions définies sur $\mathbb R$ :
\[
\forall (x,y)\in\mathbb R^2,\quad f(x+y) = f(x)f(y) \quad\text{et}\quad f(x) \geqslant x + 1.
\]
On peut tout retrouver à partir de là, y compris l'existence (si on dispose déjà de $\mathbb R$). Sans doute que Chaurien connaissait déjà.

Actuellement, en terminale ES, je crois que l'on part des fonctions $x \mapsto q^x$, présentées comme un prolongement des suites géométriques.

On apprend (dit autrement) qu'elles sont solutions d'une équation de la forme $f'= u \cdot f$, avec $f(0)=1$.

Ensuite, on apprend qu'on peut avoir $u=1$ pour un unique $q$, et ça donne la fonction exponentielle.

Bonjour Chaurien.

L'inventeur n'est-il pas Neper ?

Cordialement.

Pour le plaisir, je vais rédiger mes réflexions à partir de la caractérisation de Siméon.
$\bullet$ Soit une fonction $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ telle que :
$\forall x \in \mathbb R, \forall y \in \mathbb R, f(x+y)=f(x)f(y)~~~~~~~~~~$ (1),
$\forall x \in \mathbb R, f(x) \ge 1+x~~~~~~~~~~$ (2).
$\bullet$ Dans (2) faisons $x:=0$, il vient : $f(0) \ge 1~~~~~~~ $ (3).
Dans (1) faisons $x:=0$ et $y:=0$, il vient : $f(0)^2=f(0)$, d'où $f(0)=1$ ou $f(0)=0$.
Et par suite d'après (3) : $ f(0)=1~~~~~~~~~~$ (4)
$\bullet$ Dans (1) faisons $y:=-x$, il vient, compte tenu de (4) : $f(x)f(-x)=1$.
En conséquence, pour tout $ x \in \mathbb R$ : $f(x) \neq 0~~~~~~~~~$ (5), et $f(-x)= \frac 1{f(x)}~~~~~~~~~$ (6).
$\bullet$ Dans (1) faisons $x:= \frac x2$ et $y:= \frac x2$, il vient : $f(x)=f(\frac x2)^2$ d'où compte tenu de (5) : $f(x)>0~~~~~~~~~$ (7).
$\bullet$ Dans (2) faisons $x:=-x$, il vient, compte tenu de (6) :$ \frac 1{f(x)} \ge 1-x~~~~~~$ (8).
D'où pour tout $x<1$, d'après (2) et (8) : $1+x \le f(x) \le \frac 1{1-x}$, soit : $0 \le f(x)-1-x \le \frac {x^2}{1-x}$.
Il en résulte : $\lim_{x \rightarrow 0} \frac {f(x)-1}x=1$. La fonction $f$ est dérivable en $0$, et $f'(0)=1~~~~~~~~~$ (9).
$\bullet$ Soit $ x_0 \in \mathbb R,h \in \mathbb R, h \neq 0$. Alors d'après (1) et (9) : $\frac {f(x_0+h)-f(x_0)}h=f(x_0) \frac {f(h)-1}h \rightarrow f(x_0)$ quand $h \rightarrow 0$, ce qui prouve que la fonction $f$ est dérivable en tout $ x_0 \in \mathbb R$, et que $f'(x_0)=f(x_0)$.

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On retombe sur les propriétés bien connues. Cette fonction $f$ est de classe $\mathcal C^ \infty$ avec $f^{(n)}=f$, strictement croissante, strictement convexe, de limite $+ \infty$ en $+ \infty$ et $0$ en $- \infty$, d'où la fonction réciproque $g$ définie sur $ \mathbb R_+^*$, telle que $g(1)=0$ et $g~'(x)= \frac 1x$.
Pour l'existence, il me faut savoir ce qui est supposé connu. Suppose-t-on connue la résolution de l'équation différentielle $y'=y$ ? Ou bien part-on de ce que $g(1)=0$ et $g~'(x)= \frac 1x$. impliquent $\displaystyle g(x)= \int_{1}^{x } \frac{dt}{t}$, ce qui établit l'existence de $g$ et donc celle de $f$ ?.
En tout cas c'est une très belle caractérisation, dont j'aimerais savoir la provenance.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Puisque la question historique est soulevée, on m'a déjà raconté que la suite (1 + 1/n)^n dont Euler a déterminé la convergence avait été introduite par Bernoulli, dans un contexte économique (je mets 1€ en banque, l'année fiscale est découpée en n périodes et les intérêts sont d'un taux de 1/n perçus à chaque période : combien ai-je à la fin de l'année lorsque n est très grand ?), et le conteur m'a donc raconté que e était né de ce problème. Qu'en pensent les experts du forum ?

(tu) Jandri.

Moi, bien qu’Occitan, je suis têtu comme un Breton et j'avais essayé d'adapter ma méthode précédente. J'avais trouvé quelques propriétés de la fonction $f$, même la dérivée en $0$, mais je calais devant la dérivée partout. Nous avons là une vraiment belle caractérisation, car les inéquations fonctionnelles ne sont pas si fréquentes.

Mais ce très beau problème, je ne suis pas certain qu'il soit très utile pour introduire la fonction exponentielle en Terminale, ni nulle part ailleurs. Car la solution trouvée ici ne serait que le début. Siméon parle de « choses classiques » avec inégalité de Bernoulli pour démontrer ensuite que les suites $ (1+\frac xn)^n $ et $ (1-\frac xn)^{-n}$ convergent vers la même limite, mais ce n'est pas immédiat, surtout avec le programme très limité de Terminale.

Quoi qu'il en soit, j'ai déjà dit maintes fois que je ne suis pas favorable à passer du temps en classe sur les constructions des objets mathématiques. Pour moi l'activité mathématique n'est pas la contemplation prolongée des origines des notions mathématiques, mais le travail avec ces notions, qui est la meilleure manière de se les approprier. Admettez l'existence de cette fonction et proposez vingt exercices non triviaux à son sujet, et les élèves ne soulèveront pas la question de son existence. Comme l'a dit Friedrich Engels : the proof of the pudding is in the eating. Ceux qui poseront tout de même la question de cette existence sont une petite élite, et l'on pourra leur répondre à part.

Bonne journée.
Fr. Ch.

Encore une couche. Il m'est arrivé de traiter la construction de l'exponentielle en classe, c'était en Mathématiques Spéciales et c'était l'exponentielle complexe. La définition que je donnais était la suivante :
(i) $\forall z\in \mathbb{C},\forall z^{\prime }\in \mathbb{C},f(z+z^{\prime })=f(z)f(z^{\prime })$ ;
(ii) $\forall z\in \mathbb{C},\left\vert z\right\vert \leq 1\Rightarrow\left\vert f(z)-1-z\right\vert \leq \left\vert z\right\vert ^{2}$.
Pour l'existence, on utilise bien sûr la série (entière) $\displaystyle f(z)=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}\frac{z^{n}}{n!}$. Noter que pour la convergence de cette série, il suffit de connaître les séries numériques à termes complexes, il n'est pas nécessaire de connaître quoi que ce soit sur les séries entières, et ceci peut donc se faire dans les classes où les séries entières ne sont pas au programme.

Pour l'équation fonctionnelle (i), on utilise le produit de Cauchy de séries numériques absolument convergentes, comme l'on sait. Si ce n'est pas au programme, on peut faire intervenir $g(z)=(1+ \frac zn)^n$, on allonge la chose mais ce n'est pas sans intérêt. Je l'ai aussi posé en devoir dans d'autres classes prépas.

Avec ces deux présupposés, on a tout, fonction exponentielle et fonctions circulaires. Pour ces dernières, il est bon à un certain niveau d'avoir un exposé déductif, pour éviter le caractère bric-à-brac des collections de formules, et pour montrer qu'on peut traiter ces fonctions en restant dans le cadre de l'Analyse, sans recours aucun à la Géométrie. C'est une fois que l'Analyse les a définies qu'elle en fait cadeau en quelque sorte à la Géométrie, comme un outil de mesure des terrifiants Angles Orientés.

Et pour en revenir au début, disons que si l'on veut se confiner à exponentielle réelle, on peut aussi utiliser cette définition, en remplaçant $\mathbb{C}$ par $\mathbb{R}$.

Bonne soirée.
Fr. Ch.

Dans ce message, on établit les propriétés de base de l'exponentielle réelle $\exp$ (dont l'existence !!) avec pour seuls prérequis:
-l'inégalité des accroissements finis
-les propriétés des suites adjacentes
-le droit de passer à la limite dans les inégalités.
[small]Et bien sûr un savoir faire calculatoire qui devrait en principe être celui du lycée (aujourd'hui: M1-M2 ?).[/small]
La dérivabilité de $\exp$ est atteinte au point 5°) ci-dessous, le fait que c'est un morphisme en 6°. Le reste est en bonus.
Bonne lecture!

Soit $x$ un nombre réel. Posons $P_n(x):= \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$. On a évidemment $P_n(x) \leq P_{n+1}(x)$ pour tout entier $n$ et tout réel $x$ positif.

Pour tout $n\in \N$ et tout $x\in \R$ posons $Q_n(x):= P_n(x) +\frac{x^n}{n!}$.

1°) Soit $x$ un réel positif.Pour tout $n\geq 2x-1$ on a $Q_{n+1}(x) - Q_n (x) = \frac{x^n}{n!} \left (\frac{2x}{n+1} -1 \right ) \leq 0$. Par suite la suite $n \mapsto Q_n(x)$ est décroissante à partir d'un certain rang et comme $|P_n (x)- Q_n(x)| \leq \frac{x^n}{n!}$, ces deux suites adjacentes ont une limite commune qu'on peut noter $\exp(x)$.

2°) Pour tout $x< 0$ et tout $n\in \N$ tel que $n \geq \frac{|x|-1}{2}$, on a $P_{2n+1} (x) \leq P_{2n+3} (x) \leq P_{2n+2}(x) \leq P_{2n} (x)$. On a également $0 \leq P_{2n}(x) - P_{2n+1}(x) \leq \frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}$. Les deux suites adjacentes (à partir d'un certain rang) $\left ( P_{2n+1}(x)\right )_{n \in \N}$ et $\left ( P_{2n}(x)\right )_{n \in \N}$ convergent donc vers une limite commune notée à nouveau $\exp(x)$.

Par construction,pour tout $x\in \R$ $\exp(x)$ est la limite de $\left (P_n(x) \right )_{n \in \N}$, que $x$ soit positif ou négatif.

3°) Pour tout $n\in \N$ la fonction $P_n$ est croissante et positive sur $[0,+\infty[$; soit $A>0$ un réel positif. Comme la suite $n\mapsto P_n(A)$ converge, elle est bornée. D'où $B>0$ tel que pour tout $n$, $B\geq P_n(A)$. Pour tout $n \in \N$ et tout $x\in [-A,A]$, on a $|P_n(x)| \leq P_n(|x|) \leq P_n(A) \leq B$.

4°) L'inégalité des accroissements finis dit que pour toutes fonctions $p,q$ dérivables d'un intervalle $J$ dans $\R$, si $p'\leq q'$ sur $J$ alors pour tous $a,b\in J$ tels que $a \leq b$, $p(b) - p(a) \leq q(b) - q(a)$.
Soit $I$ un intervalle, $M\in \R$ positif, $x\in I$ et $f:I \to \R$ une fonction deux fois dérivable telle que pour tout $y\in I$, $|f''(y)| \leq M$. Alors pour tout $z\in I$, $$|f(z) - f(x) - (z-x)f'(x)| \leq \frac{M(z-x)^2}{2}$$
En effet $g:= y \mapsto f(z) - f(x) - (z-x)f'(x)$ est deux fois dérivable et satisfait $g(0)=g'(0)=0$; et $-M\leq g''(z)\leq M$ pour tous $z$. Par acroissements finis, pour tout $z_1 \geq x$ on a $-M(z_1 - x) \leq g'(z_1) \leq M(z_1 - x)$ et pour tout $z_2 \leq x$ on a $M(z_2 - x) \leq g'(z_1) \leq -M(z_2 - x)$. A nouveau par acroissements finis on a $- \frac{M(z-x)^2}{2} \leq g(z) \leq \frac{M(z-x)^2}{2}$ (distinguer les cas $z\leq x$ et $z\geq x$) d'où le résultat.

5°) Soit $A>0$ réel. Soit $B> 0$ comme au 3°) (majorant uniformément $P_n$ sur $[-A,A]$). Soient $x,y\in[-A,A]$.
Pour tout $n\in \N$, $P_n$ est la dérivée de $P_{n+1}$ (et donc aussi la dérivée seconde de $P_{n+2}$) . Par suite comme $|P_n(t)| \leq B$ pour tout $t\in [-A,A]$, on en déduit d'après 4° que $$|P_{n+2}(y) - P_{n+2} (x) - (y - x) P_{n+1}(x)| \leq B\frac{(y-x)^2}{2}$$ En passant à la limite dans cette inégalité, on obtient $|\exp(y) - \exp (x) - (y-x) \exp (x)| \leq B\frac{(y-x)^2}{2}$ et donc $$\left | \frac{\exp y - \exp x}{y - x} - \exp x \right | \leq \frac{B}{2} |y-x|$$ Comme cette majoration est valable pour tous $x,y$ dans $[-A,A]$ avec $A>0$ quzelconque, on en déduit immédiatement la dérivabilité de $\exp$ sur tout $\R$ et l'égalité $\exp'(t) = \exp (t)$ pour tout $t\in \R$

6°) $P_n(0)=1$ pour tout $n\in \N$ et donc $\exp (0)=1$.
Pour tout $y$, $x \mapsto \exp (y-x) \exp (x)$ est de dérivée nulle (calculs) et est donc constante, égale à sa valeur en $0$ qui est $\exp (y)$. Par suite $\exp (y-x)\exp (x) = \exp (y)$ pour tous $x,y\in \R$ et donc $\exp(p)\exp(q)=\exp(p+q)$ pour tous $p,q\in \R$ (en faisant $p+q:=:y$ et $q=:x$ dans l'égalité précédente).

7°) Pour tout $x\in \R$, $\exp(x) = \exp \left ( \frac{x}{2}\right ) \exp \left ( \frac{x}{2}\right ) = \left [ \exp \left ( \frac{x}{2}\right ) \right ] ^2$. Donc $\exp(x)\geq 0$ (c'est un carré). Comme $\exp(x) \exp(-x)=1$ n'est nul pour aucune valeur de $x$, on en déduit $\exp(t)>0$ pour tout $t\in \R$. Comme $\exp$ est égale à sa propre dérivée, elle est également strictement croissante.

8°) Par accroissements finis on déduit de 7°) que $f: t \mapsto \exp (t) - t - 1$ est positive sur $\R$ (on a $f(0)=0$ sa dérivée vaut $t \mapsto \exp(t) - 1$ qui est strictement croissante et vaut $0$ en $0$, d'où les variations de $f$).

9°) Si une suite de nombres $(a_n)_{n \in \N}$ est telle que $n \mapsto \sum_{k=0}^n a_k$ converge, il est d'usage de noter $\sum_{n=0}^{+\infty} a_k$ sa limite. D'après cette convention et les définitions de 1°) et 2°) on a donc $\exp(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}$ pour tout $x\in \R$.

10°) Soit $x$ un réel positif. Alors la monotonie de la suite $n \mapsto P_n(x)$ (cf 1°) et, étant donné $n\in \N$, la positivité des termes dont la somme vaut $P_{n+1}(x)$ dans 1°) entraînent les inégalités $$0 \leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\leq P_{n+1}(x) \leq \exp (x)$$
Par suite pour tout $x>0$, $$\frac{x}{(n+1)!} \leq \frac{\exp (x)}{x^n}$$ Le membre de droite de cette inégalité tend donc vers l'infini avec $x$ d'où le slogan célèbre "toutes les puissances sont négligeables devant $\exp$".

@ Audeo
(tu) Quelle belle inéquation fonctionnelle !
Pour la résoudre, il n'est pas possible, me semble-t-il, d'échapper à l'encadrement $\left(1+\frac xn\right)^n \leqslant f(x) \leqslant \left(1-\frac xn\right)^{-n}$ pour $n >|x|$, que l'on obtient assez rapidement.
D'où nous vient cette « gemme mathématique » ?
Bonne journée.
Fr. Ch.

On demande de déterminer une fonction $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R $ telle que : $\displaystyle \forall x \in \mathbb R, \forall y \in \mathbb R, f(x+y) \ge (1+y)f(x)$, et $f(0)=1$. Moi je prends ça comme une inéquation fonctionnelle, dans un contexte où je connais les fonctions usuelles, et notamment la fonction exponentielle. On la résout comme l'a montré Jandri en prouvant : $ \displaystyle \left(1+\frac xn\right)^n \leqslant f(x) \leqslant \left(1-\frac xn\right)^{-n}$ pour tout $x \in \mathbb R$ et tout $ n \in \mathbb N^*$, $n> |x|$. $~~$ Une fois qu'on a trouvé cette méthode, cet encadrement s'obtient sans grande difficulté, mais encore fallait-il y penser ! $~~$ Par passage à la limite quand $n \rightarrow + \infty$, il en résulte immédiatement : $f(x)=e^x$, que je connais déjà.

La présentation, définition, construction de la fonction exponentielle, c'est une tout autre question. Pour présenter cette fonction, avec les autres fonctions usuelles, j'ai dit comment j'avais procédé en Mathématiques Spéciales, ce qui s'applique dans toute classe où l'on étudie les séries numériques, complexes ou réelles. À d'autres occasions, avec d'autres classes, pour rester plus élémentaire, sans les séries, j'avais considéré $\displaystyle P_{n}(x)=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}\frac{x^{k}}{k!}$ et $\displaystyle Q_{n}(x)=(1+\frac{x}{n})^{n}$, le premier pour obtenir la convergence de $P_{n}(x)$ quand $n \rightarrow +\infty$, et le second pour vérifier l'équation fonctionnelle. Et je montrais au moyen d'une inégalité de Bernoulli généralisée que $P_n(x)-Q_n(x) \rightarrow 0$ quand $n \rightarrow +\infty$, ce qui permet d'établir la convergence de $Q_{n}(x)$. Ça marche aussi dans $\mathbb C$. J'avais trouvé l'idée de cette différence dans un vieux traité de Papelier dont un professeur m'avait fait cadeau quand j'étais lycéen. Dans ce fil, Foys et Audeo nous proposent d'autres exposés, élémentaires et ingénieux.

J'ai dit que je considère l'inéquation fonctionnelle en question comme une « gemme mathématique », pour reprendre l'expression de Ross Honsberger. Ma question est de savoir s'il y a des références pour ce problème, une bibliographie qui signalerait un gisement de telles gemmes.

Bonne journée.
Fr. Ch.

Pour info, le développement indiqué par Audéo ci-dessus ressemble à un article récent paru dans le Quadrature n° 110 sur l'inégalité de Bernoulli.

Est-ce là ta référence ?

Merci pour ces éclaircissements. Moi aussi j'aime bien cette caractérisation.
Alors si l'on veut citer une source pour ces idées, ce sera Quadrature n° 110 ?
Bonne journée.
Fr. Ch.