Définition de "fonction" au niveau collège.
Comment définit-on la notion de "fonction" au collège ?
Comme dans le bon vieux temps, on a toute de suite utilisé la définition Bourbakiste d'un ensemble de couples dès la 5ième, je ne saurais comment le faire autrement. Ou est-ce que cette notion n'y est pas introduite ? Parle-t-on de "variable dépendante et indépendante", mais alors, comment est-ce qu'on les définit ?
Si on veut éviter des notions ensemblistes au collège, comment fait-on ?
Comme dans le bon vieux temps, on a toute de suite utilisé la définition Bourbakiste d'un ensemble de couples dès la 5ième, je ne saurais comment le faire autrement. Ou est-ce que cette notion n'y est pas introduite ? Parle-t-on de "variable dépendante et indépendante", mais alors, comment est-ce qu'on les définit ?
Si on veut éviter des notions ensemblistes au collège, comment fait-on ?
Réponses
-
Bonjour,
Mon prof de maths de 3e (édit : ou peut-être de 4e, je ne sais plus) avait présenté ça comme une sorte de machine (ou éventuellement de programme informatique) à qui on donne un nombre et qui en renvoie un autre. Donc pas de définition formelle. J'ai appris la définition par un ensemble de couples en MPSI. -
Bonjour.
Je n'ai jamais vu la définition ensembliste de fonction dans les programmes du collège et elle a sans doute été très peu utilisée même en lycée. Ce qui est opérationnel c'est l'idée "à un antécédent on associe une image unique", qui est d'ailleurs au cœur de la définition ensembliste. Et quand on donne cette définition, c'est là qu'on raccroche à l'idée (déjà non intuitive - inconnue jusqu'au dix-neuvième siècle) de fonction. Donc l'idée élémentaire d'association à un élément d'une seule image suffit, en termes mathématiques de "relation fonctionnelle", et la fonction, c'est cette association. Je n'ai jamais rencontré d'élève qui bute là dessus.
Cordialement. -
Bonjour,
Définir $f(x)$ par ${\rm subs}(t=x, t^2+3t+1)$ serait informel ? Comment donner une définition formelle de quoi que ce soit si l'on décrète que tout ce qui ressemble à une substitution est "vilain" ? En particulier, comment savoir si la propriété "être l'un des $(x,f(x))$" est collectivisante lorsque $x$ est restreint à un ensemble particulier ?
Voyons la suite. Comment fait-on pour étudier une fonction ? Si l'on croit à la définition "ensemble de couples", la première chose à faire est de bondir sur sa calculette pour tracer ce fameux graphe définissatoire (à mon avis: un bon réflexe). Mais, comme de juste, cette façon de faire ne manquera pas d'être criticaillée comme étant informelle.
La suite de la suite. Le nombre dérivé en $x=a$. On a $f(a+h)= (a+h)^2+3(a+h)+1=(a^2+3a+1)+h(2a+3) + h^2$. Et donc \[\dfrac {f(a+h)-f(a)}{ (a+h)- (a)}= (2a+3) + h \] Remplacer $a$ par $a+h$ serait informel ? Comment faire autrement, c'est à dire en définissant $f$ comme un ensemble de couples, et non comme un procédé ? Proposer d'attendre de disposer des ultrafiltres pour dériver un polynôme du second degré, semble non pas informel, mais plutôt patatoïdal.
On pourrait aussi proposer de ne plus rien faire d'autre que de contempler la rigueur formelle ... du vide. Exercice: Quel est le son d'une seule main qui applaudit ?
Cordialement, Pierre. -
En effet,
Soit on le fait bien et c’est difficile de le faire sans noyer tout le monde et sans consommer des heures, soit on ne le fait pas.
Je propose de NE PAS définir l’objet fonction.
Toutes les notions intuitives peuvent se dire (la boite, la relation, le lien, la flèche, etc) mais surtout dire explicitement que ce n’est pas une définition.
Aussi, il est très important d’insister sur les deux ensembles, l’un de départ, l’autre d’arrivée. C’est ça qui est escamoté dans leurs têtes. Ils n’y pensent jamais.
Proscrire le raccourci « une fonction c’est une formule » par exemple.
Enfin, le « telle que quel que soit » ou « telle que pour tout » ou « qui à n’importe quel » ou « qui à tout » est important pour définir (au sens de ce que la fonction fait) la fonction étudiée.
J’ajoute que proposer des fonctions sans formule est indispensable comme « la fonction définie sur les entiers naturels non nuls qui, à chaque entier associe le nombre de ses diviseurs ».
Remarque : un parti pris peut être de le faire bien (on balance le bloc) et de ne pas s’y attarder.
C’est assez hypocrite mais dans toutes les disciplines c’est une méthode qui existe pour certaines notions.
Ça met le prof « droit dans ses bottes » (« moi je le fais avec mes classes, j’suis comme ça moi ») même si ça n’a servi à rien.
Même si ça y ressemble, je ne critique pas violemment cette posture. On fait ce que l’on peut avec ce que l’on a. -
gerard0 a écrit:> Je n'ai jamais rencontré d'élève qui bute là dessus.
J'ai eu mon fils pour qui ce n'était pas très net dans sa tête (c'est pour lui que j'ai fini par écrire mon bouquin) - il pensait d'abord qu'une fonction, c'était une formule, un calcul - la notion d'ensemble de couples lui a bien servi ; mais j'ai surtout rencontré mon neveu en terminale S, qui ne comprenait pas que si f(x) = 3 x + 2, alors f(a) voulait dire 3 a + 2.
Il savait que f(x) = 3 x + 2 voulait dire que f(5) était bien 3 * 5 + 2. Mais f(a) ne marchait pas, parce que f(x) était à base de x, et non de a. Pour lui, f(a) = 3 a + 2 est une autre fonction, une avec "a". En terminale S.
Je me suis donc demandé comment cette notion est définie dans l'histoire d'un élève. Pour moi, la voie évidente est Bourbakiste, mais je ne sais donc pas comment on le fait autrement, et d'où viennent alors les concepts qu'en ont les élèves.
Je ne sais pas non plus comment on fait la distinction entre y = 3 x + 5 comme équation, et f(x) = 3 x + 5 comme fonction. -
Calli a écrit:
> Mon prof de maths de 3e avait présenté ça comme
> une sorte de machine (ou éventuellement de
> programme informatique) à qui on donne un nombre
> et qui en renvoie un autre.
Oui, c'est mieux que rien. Mais:
Toujours le même nombre en sortie quand on met le même dedans ?
Si, à l'intérieur, il y a un dé, comment fait-on ? -
pldx1 a écrit:> La suite de la suite. Le nombre dérivé en $x=a$.
> On a $f(a+h)= (a+h)^2+3(a+h)+1=(a^2+3a+1)+h(2a+3)
> + h^2$. Et donc \[\dfrac {f(a+h)-f(a)}{ (a+h)-
> (a)}= (2a+3) + h \] Remplacer $a$ par $a+h$
> serait informel ?
C'est assez improbable, au lycée, d'introduire la notion de dérivée avant d'avoir introduit la notion de limite. Je suis tombé de ma chaise en voyant ça. La façon plus claire (pour moi), c'est ce que je fais dans mon texte:
Il faut d'abord être clair sur les notions de limite et d'environnement etc.... Alors, l'idée de limite de fonction n'est pas une notion "purement formelle" (c.à.d. un jeu de substitutions dans des chaînes de caractères), mais bien une notion ensembliste, d'images de voisinages par la fonction en d'autres voisinages, quand on "sert la vis" sur le voisinage d'arrivée.
Une fois la notion de limite comprise, on peut associer à une fonction f et un élément de son domaine, a, une autre fonction u_a(x) = (f(x) - f(a))/(x-a), qui est la fonction de "moyenne de taux de changement sur l'intervalle de a à x". C'est de cette fonction-là qu'on prend la valeur limite en a. Si cette valeur-limite existe, et est égale à K, alors on "met le couple (a,K) dans un sac", et ce sac, sera la fonction dérivée de f quand on a considéré cela pour tous les a du domaine de f. -
" $y = 3 x + 5$ comme équation" est l'application $(x,y) \mapsto {\rm isnull}(y-3x-5)$, à valeurs dans ${\rm vrai}, {\rm faux}$, tandis que $f$ est l'application $x\mapsto 3x+5$, à valeurs dans l'ensemble des nombres (celui que l'on utilise dans le contexte).
Les deux objets répondent à deux problèmes différents. (1) J'ai un point et une droite et je veux savoir si le point est sur la droite (2) J'ai une droite, je n'ai pas encore le point, je veux le fabriquer pour qu'il ait une certaine abscisse et qu'il soit sur la droite.
Selon ce que l'on veut faire, l'un des deux points de vue est adapté. On en revient à: tant qu'on ne veut rien en faire, tout cela ne sert à rien.
Cordialement, Pierre. -
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1924962,1925034#msg-1925034
Oui. C'est une machine automatique donc elle renvoie toujours la même réponse pour une entrée donnée.
Et il n'y a pas de dé à l'intérieur. Pourquoi y en aurait-il un ? Une fonction, c'est déterministe. -
Pas en programmation.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Calli a écrit:> Oui. C'est une machine automatique donc elle renvoie toujours la même réponse pour une entrée donnée.
Le problème, c'est que, quand on conceptualise "fonction" comme "machine", alors il n'y a pas de moyen facile de spécifier que chaque fois qu'il y a un nombre à l'entrée, la machine doit produire le même résultat sans dé, sauf d'avoir une sorte de tableau dans lequel noter le résultat.
On peut facilement s'imaginer une "machine" qui, quand on lui donne 'pour la première fois' un nombre à l'entrée, qu'elle jette un dé, mais puis, elle va noter ce nombre d'entrée dans un tableau et la réponse donnée aussi dans le tableau. La prochaine fois qu'on donne le même nombre, elle va voir que ce nombre apparaît déjà dans le tableau, et re-sort le même résultat. Chaque fois qu'on donne un nouveau nombre à la machine, elle va ajouter une ligne à son tableau.
En d'autres termes, en laissant aux élèves la conceptualisation de "fonction" comme "machine", on peut obtenir beaucoup de façons de "voir" cela.> Et il n'y a pas de dé à l'intérieur. Pourquoi y en aurait-il un ? Un fonction, c'est déterministe.
La notion de "déterministe" est difficile à expliquer quand on est en train d'essayer de définir la notion de "fonction".
Si on doit décrire "une façon déterministe" de le faire, on est en train de dire que c'est une formule ou un algorithme sans mémoire. Car "un compteur" est aussi une machine déterministe: n'importe quelle soit la valeur d'entrée, elle donne toujours le précédent résultat, plus 1. Donc tout cela est problématique.
Car finalement, on va tomber sur une sorte de tableau, "écrit à l'avance". Et c'est finalement plus simple de dire qu'une fonction est juste ce tableau, cette liste de couples "entrée - sortie", sauf qu'il y a trop d'éléments dans la liste pour qu'on puisse l'écrire. -
Patrick123,
"J'ai eu mon fils pour qui ce n'était pas très net dans sa tête ... - il pensait d'abord qu'une fonction, c'était une formule, un calcul -"
Ben oui, tous les élèves croient ça, faute d'imaginer d'autres façons de faire. Ce n'est pas grave, tous les mathématiciens du dix-neuvième siècle pensaient ça aussi !! Il a fallu l'examen de la convergence des séries de Fourier pour que se dégage une idée de fonction plus générale, et même encore au début du vingtième siècle, la thèse de Fréchet sur des espaces de fonctions (au sens actuel) a été critiquée (par un des rapporteurs) comme trop générale.
C'est toi que ça gênait !!
Cordialement -
La définition d'une fonction comme une "machine" est évidemment imparfaite. Mais je la trouve, on va dire, "pas trop mal" pour commencer (en rajoutant évidemment des exemples, sinon c'est incompréhensible).
Aparté : J'ai mis du temps à comprendre l'intérêt des fonctions. Quand on posait $f(x) = ax+b$ et qu'on résolvait $f(x)=c$ ou $f(x) \geqslant c$, ça n'apportait rien de parler de fonction. J'ai accepté l'utilité de cette notion quand on a vu la dérivation et les études de fonctions en première. -
Je plussoie Calli.
En troisième, j'ai rencontré les fonctions affines (on disait "linéaires" à l'époque), auxquelles je n'ai rien compris et les équations de droites de la forme y=ax+b. Je n'ai pas compris ce qu'était une "fonction". Puis en seconde, on a vu des fonctions générales (données comme des correspondances entre antécédent et image) et tout est devenu clair.
Cordialement. -
Bonjour
Le théorème de Thalès consiste à dire qu'une droite est une courbe qui "va en ligne droite", c'est-à-dire à pente constante. Et quand on a passé deux ans à explorer tous les méandres de $p=\Delta y / \Delta x$, il n'est pas extraordinaire de voir ce qui se passe avec une courbe qui s'obstine à être courbe. Ci-dessous, le graphe définissatoire de la fonction $q\mapsto q^2+3q+1$. On remarquera que la substitution de $q$ par n'importe quel objet non encore assigné définit la même fonction.
On place l'axe, et sa perpendiculaire par le sommet. On place alors le point $B=(S+H)/2$ ainsi que la droite $MB$. Et on regarde.
Et voila-t-y pas qu'on vient nous dire : défense d'y voir ! Newton, Pascal, Apollonius de Pergame et toute une tripotée d'autres auraient dû rester assis sur leur cul à regarder les pommes tomber sous prétexte que Cauchy n'avait pas encore fondé l’École Polytechnique, ni donné une définition "convenable" de ce que pourrait être une limite.
Comment oser dire que la droite $BM$ est tangente à la parabole sans avoir fait une génuflexion préalable devant les trucs qui généraliseront par la suite la notion de tangente à une parabole ? Comment oser marcher avant de connaître la théorie de la course ?
Eh bien, osons oser ! La preuve de la tarte au pommes est dans sa dégustation. Et la preuve de la gravitation universelle est dans les pommes qui finiront dans la tarte.
Cordialement, Pierre. -
gerard0 a écrit:> Ben oui, tous les élèves croient ça, faute d'imaginer d'autres façons de faire.
Cela voudrait dire qu'on peut poser la question : cette fonction, c'est une addition ?
Comment alors est-ce que f(x) = x + x et g(x) = 2x peuvent être la même fonction ?
f, c'est une addition, g, c'est une multiplication.
Encore autrement dit : si une fonction, c'est *une machine* alors des machines différentes qui produisent les mêmes résultats sont néanmoins des machines différentes. Si un train et une voiture font le voyage Lyon - Paris en 3 heures, ce ne sont pas les mêmes engins. -
Tu fais du flood !!
Va devant des élèves, tu arrêteras de pinailler sur le travail des autres ... -
pldx1 a écrit:On remarquera que la substitution de $q$ par n'importe quel objet non encore assigné définit la même fonction.
Le problème c'est que beaucoup de fonctions ne sont pas juste "une règle de substitution". Par exemple, on en parle dans le fil d'à coté, comment on peut alors concevoir la fonction exponentielle, la fonction telle que f(x+y) = f(x) * f(y) et f'(x) = f(x) ? Ou la fonction "demi-cercle" tel que le point (x, f(x)) est à distance R de l'origine et f(x) > 0 ?
La "machine" est alors une meilleure idée, mais j'ai soulevé quelques points qui peuvent faire en sorte que, si on prend cette machine trop au sérieux, on sera bloqué mentalement.
Finalement, une fonction n'est quand-même rien d'autre qu'un sac/tableau/boite/tout-ce-qu-on-veut-si-on-ne-dit-pas-ensemble de couples "antécédent / image".
Avec tout ce qui est dit, la "définition" suivante est peut-être faisable.
On peut parler de "machine-boîte-noire" qui possède une propriété supplémentaire : chaque fois qu'on donne le même nombre en entrée, on obtient le même résultat, et on n'a pas le droit d'aller regarder comment cette machine fonctionne à l'intérieur. -
Bonjour,
Comme Calli, Gérard, et pldx1 à sa façon, le disent, il semble qu'il faille accepter le fait qu'acquérir et maîtriser une notion un peu complexe ne se fait pas d'emblée, mais d'abord avec une manipulation empirique des objets, puis, une ou quelques années après, par une théorisation s'appuyant sur cette familiarité acquise antérieurement. Quand on offre à un très jeune enfant une boîte avec des cubes, cylindres, étoiles, il constate par essais-erreurs l'impossibilité d'enfoncer un cube dans le logement de l'étoile, sans qu'on ait à lui théoriser ces formes géométriques. Et plus tard, quand l'instituteur dessinera au tableau ces formes idéalisées, schématisées, il ne sera pas en terrain inconnu.
Ne pas tenir compte de cette progression acquisition-perfectionnement des connaissances sur le moyen terme semble un bon moyen pour entraver l'efficacité de la diffusion du savoir.
Dit autrement, tes deux projets de rédaction d'un manuel tout-en-un pour le collège-lycée sont louables et même admirables, mais je pense que la démarche est un peu trop ambitieuse, qu'on ne peut pas encapsuler en un seul ouvrage la progressivité de sept années. Donc, qu'ils seraient profitables davantage à l'adulte (de sa famille, par exemple) encadrant l'élève, plutôt qu'à celui-ci sans filtre, sans intermédiaire.
Je précise que c'est l'opinion d'un particulier, non celle d'un enseignant, que je ne suis pas.
Cordialement et amicalement. -
Félix:
Je souscris à ce que tu écris.
Ce que j'ai retenu de mes années de collège de ce qu'était une fonction est la conception "boîte noire".
Pas si mal comme non-définition selon moi. -
Félix a écrit:
> Comme Calli, Gérard, et pldx1 à sa façon, le
> disent, il semble qu'il faille accepter le fait
> qu'acquérir et maîtriser une notion un peu
> complexe ne se fait pas d'emblée, mais d'abord
> avec une manipulation empirique des objets, puis,
> une ou quelques années après, par une
> théorisation s'appuyant sur cette familiarité
> acquise antérieurement.
Certes. Le problème, c'est que, quand on n'est pas clair, même avec une définition plus simple, on peut avoir des conceptualisations totalement aberrantes qui, quand on les laisse s'installer, vont poser grand problème plus tard.> Dit autrement, tes deux projets de rédaction d'un
> manuel tout-en-un pour le collège-lycée sont
> louables et même admirables, mais je pense que la
> démarche est un peu trop ambitieuse, qu'on ne
> peut pas encapsuler en un seul ouvrage la
> progressivité de sept années.
J'ai été mal compris. Mon texte que j'ai posté, est seulement pour le lycée. Je voudrais en faire un (autre) pour le collège. Et justement, je ne voudrais PAS le faire "bourbakiste". Mais je ne sais simplement pas comment faire pour une notion autre que bourbakiste pour la fonction, car tout ce que j'ai déjà vu, semble avoir la possibilité de mettre l'élève sur une voie *totalement fausse* qui posera problème plus tard. Mes "critiques" sont justement ces fausses voies.
Je ne trouve pas de bon moyen de dire "association d'antécédent-image" sans passer par du presque-bourbakisme, et les substituts me semblent simplement dangereux, car il y a chaque fois des façons de se tromper sérieusement sur ce qu'on veut réellement dire.
Ma "machine boite-noire" est un essai que je propose.
Je pense que beaucoup de "dégâts" conceptuels sont faits au collège, non pas par ce qui est enseigné, mais par ce qui ne l'est pas. Alors il y a une certaine probabilité qu'un élève, qui est laissé seul à se faire une image mentale, en fait une qui semble marcher avec ce qui est enseigné au départ, mais qui le mène sur une voie de la perdition sans qu'il ait une façon de s'en rendre compte. Quand, des années plus tard, il est sensé utiliser cette notion "familière" et totalement fausse, on ne comprendra pas pourquoi il ne "pige rien". Mais c'est alors très tard pour corriger le tir.
J'essaie par tous les moyens chaque fois de jouer à l'avocat du diable et de trouver comment me conceptualiser un truc qui va finir par ne pas marcher.
J'ai un petit garçon qui fait ça très bien aussi d'ailleurs :-D et c'est un peu à lui que je pense pour le collège. Quand il peut trouver une faille dans une explication, il se faufile dedans comme un chef !> Donc, qu'ils
> seraient profitables davantage à l'adulte (de sa
> famille, par exemple) encadrant l'élève, plutôt
> qu'à celui-ci sans filtre, sans intermédiaire.
C'est vu comme ça aussi. -
gerard0 a écrit:Va devant des élèves, tu arrêteras de pinailler sur le travail des autres ...
Je ne parle pas du tout du travail des enseignants devant une classe, donc désolé si tu penses que je critique cela. Je parle de ce qu'il faut faire avec un élève tout seul pour qu'il puisse bien s'en sortir en maths. Ce n'est clairement pas le cas de la majorité des élèves qui vont dans des classes, donc la question est pertinente. Je ne saurais sans-doute pas comment faire devant une classe, mais ce n'est pas la question. -
Patrick123 a écrit:Certes. Le problème, c'est que, quand on n'est pas clair, même avec une définition plus simple, on peut avoir des conceptualisations totalement aberrantes qui, quand on les laisse s'installer, vont poser grand problème plus tard.
Le concept de fonction n'est pas simple. Il s'est dégagé tardivement dans l'histoire des mathématiques me semble-t-il (à l'époque d'Euler me semble-t-il)
Par ailleurs, peu importe la définition exposée un élève ne retient que ce qu'il peut ou veut comprendre.
Généralement on remédie au problème, non pas en rajoutant des couches de définition sur la présentation initiale, mais en mettant en application ce qui a été défini, présenté. La confrontation définition-présentation/applications lève généralement beaucoup d'incompréhension. -
Donc tu fais bien du flood, vu le sujet du fil !!Patrick123 a écrit:Je ne parle pas du tout du travail des enseignants devant une classe, -
Hum, Gérard, je n'aime pas te contredire, mais ce sujet, c'est notre ami Patrick qui l'a lancé. Et il n'y parle pas d'enseigner le concept en classe, devant les élèves, mais de le définir. Par écrit, si on prend pour contexte la rédaction de ses deux ouvrages.
Bien amicalement. -
Au collège, on est quand même vachement souvent devant des élèves...
-
Oui, Félix,
il lance un sujet qui peut intéresser du monde, puis quand des gens sérieux lui répondent, assène ses opinions (il aurait pu commencer au premier message) puis revient sur ce dont il parle déjà dans 15 fils de discussion et qui ne concerne plus "Définition de "fonction" au collège". N'est-ce pas du flood ?
Il faut noter qu'il n'est pas le seul et qu'une partie de plus en plus importante des messages est constituée d'opinions avec un rapport souvent ténu avec les maths. On a l'impression qu'il y a une grosse activité sur ce forum, mais c'est de plus en plus creux.
Cordialement. -
Félix a écrit:Et il n'y parle pas d'enseigner le concept en classe, devant les élèves, mais de le définir. Par écrit, si on prend pour contexte la rédaction de ses deux ouvrages.
La question est, est-ce qu'il est opportun de le faire dans un ouvrage destiné à des élèves?Gérard a écrit:On a l'impression qu'il y a une grosse activité sur ce forum, mais c'est de plus en plus creux.
Il doit y avoir d'autres forums plus accueillants où les gens se battent presque pour faire les devoirs de jeunes gens qui ont seulement lu l'énoncé de leur devoir. X:-( -
Je ne sais pas, FdP,
je ne les fréquente pas ... -
Non, on est souvent chez soi, avec ses parents aussi.kioups a écrit: -
Oui Gérard. Et j'avoue être un de ceux qui tombent régulièrement dans ce travers. Et n'ayant de compétences mathématiques que très limitées, contrairement à vous.
Oui Fdp, l'entreprise de Patrick, je l'ai dit, est fort sympathique, on aimerait qu'elle aboutisse avec bonheur, mais elle me semble un peu vaine. Il faudrait définir précisément le lecteur auquel il s'adresse, quels sont ses acquis et prérequis, et limiter en conséquence les considérations qui lui passeront largement au-dessus de la tête.
Pour ma part je ne poursuivrai pas le présent débat et vous souhaite une bonne soirée à tous.
Avec mes amitiés. -
Étant donnés 2 ensembles non vides E et F on appelle application de E dans F toute relation qui a chaque élément de E fait correspondre un élément unique de E.
Je suppose qu'au niveau collège c'est sans doute le plus simple et le plus expressif. Après on peut introduire les notations. L'avantage c'est de pouvoir donner des exemple variés et montrer qu'une formule est un cas particulier.
Ce qui est peut-être discutable est le choix de prendre des ensembles non vides, puisque ça nous bloquerait pour calculer 0° :-)"J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Ne vous frittez pas sur un malentendu, Patrick pensait "niveau collège" je suppose.
La difficulté actuellement quand on s'occupe de ses enfants c'est de leur donner un instruction convenable compte tenu des programmes pourris et des instructions données par certains inspecteurs (pas tous je pense) acquis au pédagogisme.
Si on a les moyens, le mieux est de déscolariser ses enfants; si on ne peut pas et que l'on dispose d'un temps limité, il faut s'organiser pour être efficace.
Personnellement au lieu de chercher à savoir ce qui se fait à l'école, je n'en tiens absolument plus compte.
Ce type d'attitude malheureusement n'est pas à la portée de tous et c'est vraiment regrettable. Cela demande en effet de savoir programmer un apprentissage sur la durée, d'acheter sans compter des bouquins, d'y passer du temps etc.
Ludwig essaye de penser quelque chose mais ce n'est pas évident, Patrick nous fait partager ses élaborations, et c'est vraiment louable, j'avais lu une partie de ce qu'il a fait c'est bien je trouve.
Pour les maths, toutes les activités clubs, jeux, concours ludiques etc. c'est un moyen - à mon sens valable et intéressant - trouvé par les professionnels pour susciter des vocations et former de façon parallèle des gens compétents."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
gerard0 a écrit:http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1924962,1925280#msg-1925280
> il lance un sujet qui peut intéresser du monde, puis quand des gens sérieux lui répondent,
assène ses opinions (il aurait pu commencer au premier message) puis revient sur ce dont il parle déjà dans 15 fils de discussion et qui ne concerne plus "Définition de "fonction" au collège". N'est-ce pas du flood ?
Je vois le mal-entendu, et effectivement, en relisant mon message d'ouverture, la question que j'avais en tête n'est pas celle que j'ai posée, bien que la réponse aurait pu être la même. La question que je voulais poser était: si on avait un élève devant soi, qui suit aussi des cours au collège, comment est-ce qu'il faudrait lui expliquer la notion de fonction pour qu'il en fasse une bonne conceptualisation à son niveau ?
Ce n'est peut-être pas la même question de "comment est-ce que c'est fait aujourd'hui au collège", mais peut-être, si.
J'ignorais totalement comment c'est fait aujourd'hui et peut-être que c'était fait d'une façon qui était tout à fait bien pensée, donc il me paraissait normal de voir d'abord comment c'est fait en classe, avant de m'aventurer à proposer éventuellement une autre façon.
Personnellement, j'ai eu le cheminement totalement Bourbakiste, mais je suis aussi de l'avis qu'à l'age des élèves au collège, ce chemin est trop tôt en général, même si cela n'avait pas posé problème à l'époque. Et comme je ne sais donc pas comment le faire à cet age *hors Bourbakisme*, je venais pour obtenir des idées sur la question,c'est tout.
Quand les réponses sont venues, j'ai simplement voulu voir en quelle mesure ces façons de faire pouvaient mener à des conceptualisations potentiellement erronées. Ce n'est pas une attaque aux enseignants. La question est simplement "étant donné qu'on fasse ceci ou cela à l'école, comment faut-il s'y prendre - éventuellement - individuellement - pour faire en sorte que l'élève particulier s'en tire bien" ?
Alors, mes réactions n'étaient pas des critiques sur comment on fait, mais des problèmes que je vois avec une façon particulière de présenter la notion. Par exemple, quand on dit "une fonction, c'est une machine qui ....", alors je m'imagine l'élève qui s'imagine une sorte de boîte métallique à laquelle on donne un bout de papier sur lequel on avait écrit un nombre, on tourne la manivelle, et la machine, après avoir ronronné un peu, imprime un autre nombre sur un bout de papier. Puis je me pose la question si cette façon de voir ne pourrait pas mener à une idée de fonction qui ne correspond pas à ce qu'on voudra qu'on s'imagine. Par exemple, la machine peut imprimer des nombres différents si on présente le même nombre à l'entrée. Donc ça peut poser problème. On peut alors en discuter, c'est tout. -
xax : la question est « qu’est-ce qu’une relation ? ».
C’est comme si pour définir « droites sécantes » tu disais « définition : on appelle deux droites sécantes, deux droites qui se coupent ».
C’est pour ça que je dis « autant ne pas définir et faire des grands gestes sur des exemples que de se lancer et de tourner autour d’un pot de synonymes du langage courant ».
Je crois que c’est LÀ Le point crucial du fil.
Bien entendu, on peut considérer que « fonction » est un objet premier (est-ce comme ça qu’on dit ?). -
Félix a écrit:Oui Fdp, l'entreprise de Patrick, je l'ai dit, est fort sympathique, on aimerait qu'elle aboutisse avec bonheur, mais elle me semble un peu vaine.
Je le sais et j'en ai déjà parlé dans l'autre fil. Mais on peut dire cela aussi quelque part pour les livres du GRIP. Mais ils nous ont été utiles (comme parent), mine de rien.
Pour le collège, mon premier but est mon propre fils qui y rentrera bientôt et je veux m'y prendre un peu plus à l'avance que avec mon aîné où ça m'est tombé sur la tête en 1S et où j'ai été sollicité ensuite par d'autres membres (plusieurs) de la famille et quelques connaissances. Et je me dis que, si je fais quelque chose d'utile, ça peut peut-être servir au-delà. En plus, ça m'amuse, car je trouve la réflexion EN SOI comment on apprend à conceptualiser des notions mathématiques, intéressante.
Je dois par contre m'excuser pour mes très longs messages mal écrits. Je tape aussi vite que je parle, et il me prendrait beaucoup plus de temps d'en faire un message court et bien écrit que de plaquer mes pensées comme ça sur le forum.
En réalité, j'ai des compilations à faire qui durent ~20 minutes, et j'en profite pour m'amuser un peu ici sur le forum, mais je ne peux pas passer des heures non plus. -
Patrick123,
tu présentes les choses comme s'il y avait une seule façon d'expliquer (la tienne ?) et tu refuses l'expérience des autres. Tu ne peux ni avancer, ni communiquer correctement avec d'autres (sauf s'ils sont prêts à te suivre sans discuter.
Je sors moi aussi de ce débat qui n'en est pas un. -
Patrick123 a écrit:Par exemple, la machine peut imprimer des nombres différents si on présente le même nombre à l'entrée.
C'est étrange de partir du principe que la machine peut ne pas donner des résultats constants dans le temps (on suppose ici que notre fonction-machine ne tombe jamais en panne :-P). Par exemple, quand je demande un programme coton 60°C à la machine à laver, elle fait toujours la même chose. De toute façon mon histoire de machine va avec des explications, reformulations et exemples. C'était pas donné de façon brute : "une fonction c'est une machine, point ; et bonne chance pour interpréter ça". -
gerard0 a écrit:En troisième, j'ai rencontré les fonctions affines (on disait "linéaires" à l'époque), auxquelles je n'ai rien compris et les équations de droites de la forme y=ax+b. Je n'ai pas compris ce qu'était une "fonction". Puis en seconde, on a vu des fonctions générales (données comme des correspondances entre antécédent et image) et tout est devenu clair.
Idem. En 3e j'ai trouvé ça complètement stupide. Obligé pour le brevet de rédiger un fatras fastidieux et absurde de cuistreries avec deux droites qui se croisent où elles se croisent et quand c'est au-dessus ben c'est au-dessus et que le nombre de départ il est au départ etc. J'ai dû me dire : "Mais c'est complètement c." En Seconde, avec des fonctions comme la racine carrée, ça prend du sens. -
Patrick123 a écrit:Puis je me pose la question si cette façon de voir ne pourrait pas mener à une idée de fonction qui ne correspond pas à ce qu'on voudra qu'on s'imagine.
Pour répondre à cette question, tu vas imaginer des situations assez tordues, je trouve (cf. la machine qui ne répond pas toujours la même chose). Restons pragmatiques. -
Définir ce qu'est une fonction au collège ? C'est impossible. Tout comme le sont beaucoup d'autres notions : la trigonométrie, qui se résume à l'application de formules et de recettes non comprises, idem pour le théorème de Pythagore, etc. On insiste jamais assez sur cette impossibilité. Mais je dis pas ça pour tout stopper ! Non, pas du tout. Et même c'est tout le contraire. C'est aussi parce que c'est impossible qu'il faut le faire. Et même : c'est parce que c'est impossible que cela existe.
Le langage qui gravite autour de l'animal et tente de le repérer n'a que faire de cette impossibilité, qui n'est pour lui qu'une difficulté passagère. Il cerne pour tuer celui qui ne croît (croit?) pas.
Comment ça j'ai fumé ? -
@Dom je vois pas où tu veux en venir, je vois les choses plus simplement : une relation c'est "une loi qui fait correspondre". C'est très bien passé, avec des exemples, diagrammes etc et rapidement dans l'abstrait (au CM1),tout comme la bijection.
Il existe probablement des définitions plus sioux, mais je ne vais pas ouvrir Bourbaki pour ça :-) Mais ça me semble bête de lanterner les enfants; c'est malheureusement ce qui s'est fait en délayant les programmes."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Oui Sato : dans les faits, c’est généralement ce que tu décris.
En théorie, toutes sortes de fonctions peuvent être vues en 3e, mais chaque prof court après le temps qui passe trop vite et beaucoup d’entre eux n’ont plus le choix : affine, linéaire, pente (pour les plus courageux) et intersection (pour les plus téméraires).
D’autant plus qu’on ne travaille quasiment plus le calcul littéral...ni les systèmes 2x2.
Un jour on verra la définition suivante dans les programmes : « Une fonction est une formule mais la formule n’est pas trop compliquée ».
La routine : on creuse encore plus profond.
Ce qui est admirable, c’est de parvenir à toucher le fond chaque année, chaque réforme. Un tonneau des danaïdes (ou des damnés) qu’on remplit de plus en plus de vide.
Ça m’aide à comprendre le concept de la physique « l’univers est en expansion ».
Philosophiquement, il y a peut-être quelque chose de sauvable. -
xax : il faut s’accorder sur ce que l’on appelle une définition mathématique.
Je n’ai rien contre les définitions empiriques ou autres définitions intuitives lorsqu’elles sont annoncées comme telles.
La classe de 6e en est remplie : nombre entier, droite, segment, symétrie axiale (pliage) etc.
Je ne t’accable pas, je ne me fous pas de toi : fonction, relation, loi...
Pour moi, tout cela est synonyme mais ne définit rien mathématiquement.
J’utiliserais volontiers tout cela à l’oral, sans état d’âme.
Pourquoi ne pas commencer dans le cahier de cours par « Intuitivement, une fonction est ... » et là qu’on balance tout ce que l’on veut.
L’important semble de savoir répondre à la consigne :
——exercice——
On considère la fonction $f$ de l’ensemble des nombres, dans l’ensemble des nombres, telle que : pour tout nombre $x$, $f(x)=2x+4x^3$.
Quelle est l’image de $7$ par $f$ ?
Quels sont les antécédents de $0$ par $f$ ?
Représenter la fonction dans le repère si contre en utilisant le tableau de valeurs ci-dessous.
——fin de l’exercice—-
C’est tout. Et j’annonce que « c’est déjà ça ».
Le collège de 2020 est un mélange de tout qui tend à familiariser les collégiens avec du vocabulaire.
Ce n’est pas rien, après tout. -
Dom:
Le jour où tous les collégiens sauront répondre à cette consigne, on pourra penser à donner une définition d'une fonction (que personne ne comprendra mais l'objectif aura été atteint: une définition aura été lâchée)
Définition que je ne connais pas personnellement et cela ne m'empêche pas de dormir. -
Ha ! On va tomber d’accord : inutile de donner une définition.
Et j’insiste sur mon point de vue : c’est encore plus inutile de faire croire qu’on en donne une, quand on sait pertinemment qu’on n’en donne pas.
Celui qui ne s’en rend pas compte, je ne lui en veux pas du tout. On a le droit de se tromper, flûte à la fin ! -
@Dom je ne vois pas du tout quelle est la contre indication de donner une des définitions des plus fondamentales et qui ne présente pas de difficulté.
Par contre je ne suis pas parti sur des expressions algébrique, mais sur des exemple comme on en faisait à l'école primaire des années 70.
La façon dont je l'ai écrite est celles des bouquins des années 70 au collège, et Dixmier donne exactement la même définition en précisément les termes (ensemble de définition etc.), la définition de la relation mathématique est identique. Je n'ai peut-être pas ouvert énormément de bouquins de maths, mais je n'ai rien vu de bien différent, à l'exception de Souriau qui parle directement d'opérateur en disant que c'est synonyme d'application.
Je pense que les programmes sont si délabrés au collège que c'est plutôt l'introduction logique qui doit poser problème."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
(:P) Merde on tourne en rond (:P) Merde on tourne en rond (:P)
Si une fonction se définit avec une relation. Alors qu’est-ce qu’une relation ?
Je sais bien qu’on trouve ça dans des bouquins.
Ca y est, on va me qualifier de zélé bourbakiste alors que je dis de ne rien dire ;-) -
@Dom, En fait, je parlais, comme @gerard0 je pense, de mon expérience d'élève, il y a longtemps. Il s'agit de dire qu'on a du mal à faire comprendre l'intérêt de la notion de fonction et du vocabulaire qui va avec si on se contente de l'appliquer à des fonctions linéaires, sous prétexte qu'il faut commencer par des cas simples.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 16
+10 Invités