@Sato (tu)
Mais je ne sais pas s'il est possible de remédier à ce problème. On ne peut pas, par exemple, enchaîner la découverte de la notion de fonction et les études de fonctions par dérivation. Ce serait trop rapide il me semble (bon, j'y connais pas grand chose en pédagogie...).
Comme le fil a repris un cours utile, j'y recontribue.
Dans ma génération et les suivantes (celles pour lesquelles j'étais prof en lycée), on faisait beaucoup de travaux sur les fonctions bien avant de voir la dérivation, y compris des tableaux de variation. Ce qui donnait une saine notion de "croissant" et "décroissant". Bien évidemment, il y avait une bonne maîtrise du calcul élémentaire, et quelques techniques de manipulation des inégalités.
Remarque oui t'as raison @gerard0, je me souviens qu'on faisait des tableaux de variation en seconde alors qu'on a vu la dérivation qu'en première. Mais je ne sais plus comment on s'y prenait. Par des manipulations d'inégalité ? Parfois "à l’œil" peut-être (observation de la courbe) ?
Personnellement si un collégien ou lycéen ne confond pas l'image et l'antécédent et comprend que par exemple dans l'enchaînement de ces trois fonctions $f,g$ et $h$ dans cet ordre [
a\overset{f}\longmapsto a+1 \overset{g}\longmapsto(a+1)^2\overset{h}\longmapsto(a+1)^2-5,\text{ alors }\ g(x)=x^2 \text{ et }\ h(x)=x-5 \]cela me suffit.
Dom, la définition est très simple et n'est absolument pas circulaire, je ne vois pas ce qui pose problème, la définition de la relation étant encore plus triviale.
Je ne vois toujours pas ce qui empêcherait son enseignement.
Bon je commence à avoir l'habitude, les instits disent que c'est trop compliqué de parler de nombres premiers ou d’additionner des fractions, il y a donc une bonne continuité avec le collège.
xax : je me sens un peu seul, ça ne gêne que moi (pour le moment ?).
Pour définir « fonction » tu as besoin du terme « relation ».
Qu’est-ce qu’une « relation » ?
Si tu as besoin du terme « loi », qu’est-ce qu’une « loi » ?
Je suis d’accord qu’il s’agit bien d’un débat de puriste.
Objets premiers ou pas ?
Attention : je fais le malin, mais j’étais dans le même pétrin il y a encore quelques années.
Une relation c'est un lien entre objets mathématiques, qu'est ce qui te chagrine ? Le lien fondamental c'est la comparaison, tous les autres se construisent avec. Là ma référence c'est le Souriau qui est un peu plus abstrait que Dixmier, mais qui explique bien. Bon je sais qu'il doit exister des formulation plus contemporaines et plus élaborées, il faut demander à Foys ou à Christophe, mais les deux précités ont bonne réputation en maths. ET pour bien caler au collège et même au lycée, ça suffit.
Tiens au passage, je cherche un tableau synoptique de toutes les notions vues au collège, qui arroserait large, si possible en LaTeX. Pas forcément très détaillé, mais très complet sur les notions. Si tu a vu passer un truc comme ça ce serait sympa de me l'indiquer.
Hum. Ok « un lien » maintenant.
Tant qu’on ne dit pas « ensemble » on ne s’en sortira pas.
Tu proposes deux intervenants. On doit bien pouvoir trouver des discussions à ce sujet (récurrent, en fait) de l’objet « fonction » où ils ont participé.
> tu présentes les choses comme s'il y avait une
> seule façon d'expliquer (la tienne ?) et tu
> refuses l'expérience des autres.
Eh, non. Par contre je crois qu'il faut, pour chaque notion, *toujours* une définition, surtout dans un sujet comme les mathématiques, au-delà du primaire. Faire des leçons avec des mots dont on ne veut pas dire quelle est leur définition, ne va pas. Si ça, c'est "ma façon", oui. On n'utilise pas de mots "techniques" dont on n'a pas donné une définition.
Ma question était donc: quelle définition (autre que la Bourbakiste) peut-on donner au mot "fonction" qu'on va utiliser au niveau du collège ? Mais bien-sûr, sous-entendu que cette définition n'installe pas une conceptualisation qui peut être fausse (c.a.d. mener sur un chemin qu'on paiera cher au lycée). Donc chaque proposition de définition doit alors être analysée sur cette possibilité.
Je suis parfaitement ouvert à l'expérience des autres. Mais une phrase comme "j'ai toujours fait comme ça et ça n'a jamais posé problème" est manifestement expérimentalement faux, car j'ai constaté moi-même qu'il y a des personnes qui en ont une fausse conceptualisation au lycée. Si "la façon de faire des gens avec de l'expérience" ne posait pas problème, ce constat n'y serait pas. Il y a (pas mal) d'élèves qui sortent du collège avec une drôle de conceptualisation de la notion fonction.
On m'a aussi convaincu que la voie Bourbakiste n'est pas bonne avant, disons, 15 ans. Donc alors, comment devrait-on faire ?
"rien dire" -> pas acceptable
"formule" ou "formalisme de substitution" -> je veux bien en discuter mais je crois que ça pose problème pour toute idée de fonction qui n'est pas définie par une expression mais autrement.
"machine" -> pas une mauvaise idée, mais dangereux, car des machines font des choses que les fonctions ne font pas.
Voila. Je ne vois pas pourquoi il faut agresser quand on veut discuter de cela.
> C'est étrange de partir du principe que la
> machine peut ne pas donner des résultats
> constants dans le temps
Ben chez moi, "machine" fait penser à machine à états finis, ou à machine de Turing par exemple.
En électronique, il faudrait parler de "circuit combinatoire" et "non-séquentiel".
C'était pas donné de façon brute :
> "une fonction c'est une machine, point ; et bonne
> chance pour interpréter ça".
Oui, mais il ne faut pas sous-estimer la capacité à trouver la façon tordue de voir les choses, de telle façon qu'elle reste compatible avec ce qui est dit. Le danger avec "machine", c'est qu'elle puisse contenir "un état", donc "une mémoire".
Mais oui, finalement je crois donc qu'une bonne définition de "fonction" est:
Une fonction est à voir comme une machine, à laquelle on donne un nombre, et qui en produit un autre, de telle façon que:
- quand on donne le même nombre plusieurs fois à la machine, elle donne chaque fois la même réponse
- on ne s'occupe pas de savoir comment la machine s'y prend: donc deux machines qui agissent de la même façon, sont considérées les mêmes (même si elles fonctionnent différemment à l'intérieur).
- attention, pour certains nombres à l'entrée, la machine explose.
Est-ce qu'il y a des choses qui peuvent aller mal avec ça ?
@Dom en fait comme souvent la difficulté est de donner une définition exacte qui soit compréhensible et qui ne soit pas fausse. Le truc faux est de commencer par partir sur le truc "une fonction est une machine, un procédé, une formule algébrique, un robot, une couleur dans scratch etc."
Christophe fait référence à la manière d'introduire la définition à la façon des maths modernes qui était certainement - et d'un abord élémentaire - exacte, avec les graphes de relation, produits cartésiens etc. La définition simple qu'il donne, << f est une fonction >> abrège << pour tous x,y,z si (x,y) et (x,z) sont dans f alors y=z>> , s'illustrerait effectivement bien comme ça.
Foys indique que l'on n'a pas besoin de beaucoup de choses, et que la relation à 2 arguments suffit.
Donc oui ce qu'il disent est intéressant, merci de m'avoir indiquer le fil Dom, et ça confirme mon sentiment qu'il est important qu'un élève puisse disposer d'une définition.
Et en fait le cahier des charges de la définition est très simple : est-ce qu'un élève - du moins à son niveau - va pouvoir distinguer dans les objets mathématique ce qui est une fonction et ce qui ne l'est pas. Avant d'aller plus loin dans les manipulations, ça me parait quand même important.
Donc pourquoi priver les élèves d'une définition qui n'est pas si ardue et qui est d'un usage constant en mathématique ?
P.S. En fait je commence à me faire aux posts Christophe / Foys qui ne prennent pas tant de temps que ça à lire et qui comportent des infos de qualité. Le mode d'emploi c'est :
- saisir la problématique,
- sauter les gros pavés polémiques,
- tenter de comprendre le cœur mathématique,
- demander à se le faire réexpliquer le cas échéant (ça me concerne surtout car bien souvent je n'ai pas le niveau, mais les deux protagonistes sont toujours bien aimables et généreux sur ce dernier point).
> Et en fait le cahier des charges de la définition
> est très simple : est-ce qu'un élève - du moins
> à son niveau - va pouvoir distinguer dans les
> objets mathématique ce qui est une fonction et ce
> qui ne l'est pas. Avant d'aller plus loin dans les
> manipulations, ça me parait quand même
> important.
EXACTEMENT. C'est à ça qu'on reconnaît une bonne définition: contient-elle les informations pour pouvoir juger si un "truc" est, oui ou non, la chose qu'on vient de définir.
I) On montre ci-dessous comment définir proprement les concepts de base dans la théorie des ensembles de Zermelo (ZF sans le schéma de remplacement).
0°) Si $P$ est une propriété (une formule à une variable libre - $t$ en l'espèce) et $X$ un ensemble, les axiomes de la théorie des ensembles garantissent l'existence d'un ensemble (noté $\{t \in X \mid P\}$ tel que pour tout $k$, $k$ appartient à $\{t \in X \mid P\}$ si et seulement si $k \in X$ et $P[t:=k]$ est vraie (énoncé obtenu en substituant $k$ aux occurrences libres -i.e. non quantifiées- de $t$ dans $P$). De tels ensembles sont dits "définis par compréhension".
1° ) En théorie des ensembles, tous les objets sont des ensembles (ce sont les axiomes portant sur la relation d'appartenance qui donnent le sens "ensembliste" des objets envisagés).
2°) Soient $x,y$ deux ensembles. On note $(x,y)$ l'ensemble $\{\{x\},\{x,y\}\}$. On peut montrer avec l'axiome d'extensionnalité que pour tous $p,q,r,s$, si $(p,q)=(r,s)$ alors $p=r$ et $q=s$. Un ensemble de la forme $(g,h)$ s'appelle un couple.
3°) Si $m$ est un ensemble, il existe un ensemble appelé réunion de $m$ et noté $\bigcup m$, tel que pour tout $x$, $x\in \bigcup m$ si et seulement si il existe $t\in m$ tel que $x\in t$. Lorsque $m=\{A,B\},$ $\bigcup m$ est encore noté $A \cup B$.
(axiome de la réunion).
4°) NB: pour tous ensemble $a,b,c$, si $(b,c)\in a$ alors $\{b\}$ et $\{b,c\}\in \bigcup a$; par suite $b$ et $c$ appartiennent à $\bigcup \bigcup a$.
-Une fonction est un ensemble $a$ dont tous les éléments sont des couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in a$ et $(x,z)\in a$ alors $y=z$.
5°) Soit $x$ un ensemble. On appelle domaine de $x$ l'ensemble des $z \in \bigcup \bigcup x$ tels qu'il existe $y\in \bigcup \bigcup x$ tel que $(z,y) \in x$. On noera "$dom(x)$" ce domaine dans la suite.
Compte tenu de 4°) un ensemble $t$ est dans $dom(f)$ si et seulement si il existe $s$ tel que $(t,s)\in x$ (pas besoin de mentionner $\bigcup \bigcup x$).
On appelle [small]image[/small] de $x$ et on note $im(x)$ (ou parfois "codomaine") l'ensemble des $j\in \bigcup \bigcup x$ tels qu'il existe $i$ tel que $(i,j) \in x$. A nouveau un ensemble $k$ appartient à $im(x)$ si et seulement si il existe $\ell$ tel que $(\ell,k) \in x$.
7°) Soient $a,b$ deux ensembles. On abrégera par $a(b)$ la réunion de l'ensemble des $c \in \bigcup \bigcup a$ tels que $(b,c)\in a$.
Alors pour tous ensembles $r,s,t$, si $t$ est le seul ensemble tel que $(s,t) \in r$, alors $r(s)=t$. Ainsi, avec cette notation on a immédiatement le fait suivant: Pour toute fonction $f$ et tout $x\in dom(f)$, $\left (x, f(x) \right )) \in f$. Autrement dit $f(x)$ désigne l'unique objet (i.e. ensemble) $y$ tel que le couple $(x,y)$ appartienne à $f$.
8°) Si $X$ est un ensemble, il existe un ensemble noté $\mathcal P(X)$ dont les éléments sont exactement les ensembles contenus dans $X$ (i.e. pour tout $p$, $p \in \mathcal P(X) \Leftrightarrow \forall y, (y \in p \Rightarrow y \in X)$).
Pour tous $x,y,a,b$ tels que $x\in a$ et $y\in b$, on a $\{x\}$ et $\{x,y\}$ qui appartiennent à $\mathcal P(a \cup b)$. Par suite, $(x,y) \in \mathcal P \left ( \mathcal P \left (a \cup b \right ) \right )$.
On appelle donc produit cartésien de $a$ et de $b$, et on note $a\times b$ l'ensemble des $p\in \mathcal P \left ( \mathcal P \left (a \cup b \right ) \right )$ tels qu'il existe $u\in a$ et $v\in b$ tels que $(u,v)=p$.
9°)Soient $E$ et $F$ des ensembles. on note $F^E$ (ou parfois $\mathcal F(E,F)$)l'ensemble des parties $g$ de $E\times F$ qui sont des fonctions telles que $dom(g)=E$. Un ensemble $x$ appartient à $F^E$ si et seulement si c'est une fonction dont le domaine est $E$ et l'image est contenue dans $F$. $F^E$ s'appelle "l'ensemble des fonctions (ou applications) de $E$ dans $F$".
10°) Soit $A$ un ensemble et $Q$ une propriété; $\{(x,y) \in A \mid Q\}$ abrège $\{p \in A \mid \forall x,y; p=(x,y) \Rightarrow Q\}$
11°) Soit $F$ un ensemble; alors $\{(x,x)\in F \times F \mid x \in F\}$ est une fonction de $A$ dans lui-même appelée "identité" de $F$ et notée $id_F$, telle que $id_F(t)=t$ pour tout $t\in F$.
12°) Soient $A,B$ deux ensembles. On pose $\kappa_{A,B}:= \{(x,u) \in A \times B^A \mid \forall z \in F, u(z) = x \}$.
Alors $\kappa_{A,B}$ est une fonction telle que pour tous $x\in A$ et $y \in B$, on a $\kappa_{A,B}(x)(y) = x$ (i.e. $\kappa_{A,B}(x)$ est la fonction constante qui à tout élément de $B$ fait correspondre $x$). $\kappa_{A,B} \in (A^B)^A = \mathcal F (A, \mathcal F (B,A))$.
13°) Soient $P,Q,R$ trois ensembles. Posons $\sigma_{P,Q,R}:= \left \{(x,a) \in (R^Q)^P \times (R^P) ^{(Q^P)} \mid \forall y \in Q^P,\forall b \in R^P, (y,b) \in a \Leftrightarrow \left [\forall z \in P,\forall c\in R, (z,c)\in b \Leftrightarrow x(z)(y(z)) = c \right ]\right \}$. Alors $\sigma_{P,Q,R}$ est une fonction de $(R^Q)^P$ dans $(R^P) ^{(Q^P)}$ telle que pour tous $f\in (R^Q)^P$, $g\in Q^P$ et $u \in P$, on a $\sigma_{P,Q,R} (f) (g) (u) = f(u) (g (u))$.
Le rôle de ces fonctions $\kappa,\sigma$ sera précisé au paragraphe suivant.
0°) On se donne un certain nombre de lettres $A,B,C,...$ appelées "types de base" (dits aussi "atomiques"), et on définit par induction (dans le cadre de ce fil!) un type comme étant un type de base ou bien $(\mathcal F) \to \mathcal G$ où $\cal F$ et $\cal G$ sont des types.
Pour tous types $\cal F,G,H$ on se donne des symboles de constantes $\mathbf I_{\cal F}$, $\mathbf K_{\cal F,G}$ et $\mathbf S_{\cal F,G,H}$ auxquels on assigne les types respectifs suivants:
$\cal (F) \to F$; $\cal (F) \to (G) \to F$ et $\cal ((F) \to (G) \to H) \to ((F) \to G)\to (F) \to H$.
On appelle contexte une liste $\Gamma$ de couples $(\mathbf x_1, \mathcal F_1); (\mathbf x_2, \mathcal F_2), (\mathbf x_3, \mathcal F_3)...$ où $\mathbf x_i$ est une lettre (ou une lettre avec un indice, ou une chaîne de caractères etc...) et où $\mathcal F_i$ est un type pour tout $i$. Les lettres $\mathbf x_i$ sont supposées toutes différentes.
On fixe un telle liste $\Gamma$ ("liste des noms des personnages de l'histoire" en quelque sorte) dans toute la suite.
1°) Etant donné un type $\mathcal T$, une expression mathématique (ou simplement expression) de type $\mathcal T$ du contexte $\Gamma$ est
-une lettre $y$ telle que $(y,\cal T)$ est dans $\Gamma$
-une des trois constantes $\mathbf I_{\cal F}$, $\mathbf K_{\cal F,G}$ et $\mathbf S_{\cal F,G,H}$ citée en 0° et alors $\mathcal T$ est le type correspondant
-$\bf p \langle q \rangle $ avec $\mathcal U$ un type, $\bf p$ une expression de type $\cal (U) \to T$ du contexte $\Gamma$ et $\bf q$ une expression de type $\mathcal U$ du contexte $\Gamma$.
2°) règles de réduction (i.e. de simplification) des expressions.
On définit la réduction d'un terme inductivement de la façon suivante:
i) pour toute expression $\bf u$, $\bf u$ se réduit en $\bf u$.
ii) pour tous types $\cal A,B$ et toutes expressions $\bf p$ de type $\cal A$ et $\bf q$ de type $\cal B$,
$\mathbf K_{\mathcal A, \mathcal B} \langle \bf p\rangle \langle q \rangle$ se réduit en $\bf p$.
iii) pour tout type $\mathcal C$ et toute expression $\bf a$ de type $\cal C$, $\mathbf I_{\mathcal C} \langle \bf a \rangle $ se réduit en $\bf a$
iv) pour tous types $\cal P,Q,R$ et toutes expressions $\bf u$ de type $\cal (P) \to (Q) \to R$, $\bf v$ de type $\cal (P) \to Q$ et $\bf w$ de type $\cal P$, $\mathbf S_{\mathcal P,\mathcal Q, \mathcal R} \langle \bf u \rangle \langle v\rangle \langle w \rangle$ se réduit en $\bf u \langle w \rangle \langle v \langle w \rangle \rangle$.
v) Pour toutes expressions $\bf p, \bf p', \bf q, \bf q'$, si $\bf p$ se réduit en $\bf p'$ et $\bf q$ se réduit en $\bf q'$ alors $\bf p \langle q\rangle$ se réduit en $\bf p' \langle q' \rangle $
vi) la réduction est transitive: pour toutes expressions $\bf a,b,c$ si $\bf a$ se réduit en $\bf b$ et $\bf b$ se réduit en $\bf c$ alors $\bf a$ se réduit en $\bf c$.
On peut remarquer (par induction sur le nombre d'étapes de réduction) que la réduction ainsi définie préserve les types: pour tous type $\mathcal A$ et toutes expressions $\bf x,y$, si $\bf x$ se réduit en $\bf y$ et si $\bf x$ est de type $\cal A$, alors $\bf y$ est aussi de type $\cal A$.
3°) Interprétation des expressions mathématiques.
3.1): Interprétation des types:
Dans ce qui suit, on considère la donnée, pour tout type atomique $A$, d'un ensemble $\overline A$.
On définit par induction $\mathfrak E(\mathcal F)$ comme étant:
-si $\mathcal F$ est un type de base, $\mathfrak E(\mathcal F) := \overline {\mathcal F}$
-si $\cal F = (G) \to H$, $\mathfrak E(\mathcal F) = \mathfrak E(\mathcal H)^{\mathfrak E(\mathcal G)}$
3.2) Interprétation des expressions:
Le contexte $\Gamma$ étant $(x_1,\mathcal F_1);(x_2,\mathcal F_2);...(x_n,\mathcal F_n)$, on suppose la donnée pour tout $i$ d'un élément $\eta_i$ de $\mathfrak E \left (\mathcal F_i \right )$.
On définit alors par induction (cf paragraphe I, 11°, 12°, 13°), pour chaque expression $\mathbf p$, $\mathbf p [x_1:= \eta_1, x_2 := \eta_2,...,x_n:=\eta_n]$ (noté aussi $\mathbf p [\vec x := \vec{\eta}]$ pour faire court) de la manière suivante:
-pour une lettre mettons $x_k$, on a $x_k[\vec x := \vec{\eta}]:= \eta_k$.
-$\mathbf I_{\mathcal A} [\vec x := \vec{\eta}] := id_{\mathfrak E (\mathcal A)}$ pour tout type $\mathcal A$.
-$\mathbf K_{\mathcal B,\mathcal C} [\vec x := \vec{\eta}] := \kappa_{\mathfrak E (\mathcal ,\mathfrak E (\mathcal C)}$ pour tous types $\cal B,C$.
-$\mathbf S_{\mathcal P,\mathcal Q,\mathcal R} [\vec x := \vec{\eta}] := \sigma_{\mathfrak E (\mathcal P),\mathfrak E (\mathcal Q),\mathfrak E (\mathcal R)}$ pour tous types $\cal P,Q,R$
-et enfin $\mathbf q \langle \mathbf r \rangle [\vec x := \vec{\eta}] := \mathbf q [\vec x := \vec{\eta}] \left (\mathbf r [\vec x := \vec{\eta}]\right )$.
3.3) Compte tenu du 11° 12° et 13° de I) ci-dessus ainsi que des définitions du II, on voit par induction sur la taille des expressions que pour toutes expressions $\bf a,b$ du contexte $\Gamma$, si $\bf a$ se réduit en $\bf b$ alors $\mathbf a [\vec x := \vec{\eta}]$ et $\mathbf b [\vec x := \vec{\eta}]$ sont égaux..
4°) Opérateur d'abstraction.
4.1) Si $\bf p$ est une expression et $(x,\mathcal F)$ une lettre du contexte avec son type, on définit $\lambda^{\mathcal F} x (\bf p)$ par induction sur la taille de $\mathbf p$ de la façon suivante:
(i) $\lambda^{\mathcal F} x\left ( x \right ) := \mathbf I_{\mathcal F}$
(ii) si la lettre $x$ n'apparaît pas dans $\mathbf p$ (c'est syntaxique) et si $p$ est de type $\mathcal G$, on pose $\lambda^{\mathcal F} x\left ( \mathbf p\right ):= \mathbf K_{\mathcal F, \mathcal G} \langle \mathbf p\rangle$
(iii) si $\bf q$ est de type $\cal (M) \to N$ et $\bf r$ de type $\cal M$ on pose $\lambda^{\mathcal F} x\left (\bf q \langle r\rangle \right ) := \mathbf S_{\mathcal F,\mathcal M,\mathcal N} \langle \lambda^{\mathcal F} x\left (\mathbf q \right )\rangle \langle \lambda^{\mathcal F} x\left ( \mathbf r \right )\rangle$.
Cet algorithme produit des termes gigantesques et franchement illisibles cependant on a les propriétés cruciales suivantes: 4.2.0): Pour tout $\bf p$, toutes les lettres apparaissant dans $\lambda^{\mathcal F} x\left ( \mathbf p\right )$ apparaissant dans $\bf p$. De plus:
4.2.1) $x$ a disparu complètement de $\lambda^{\mathcal F} x\left ( \bf p\right )$ (l'algo enlève ses occurrences une par une).
4.2.2) Pour tout $\bf q$ et tout type $\mathcal A$, si $\bf q$ est de type $\mathcal A$ alors $\lambda^{\mathcal F} x\left ( \bf q\right )$ est de type $\cal (F) \to A$
4.2.3) Pour tout $\bf r$, $\lambda^{\mathcal F} x\left ( \mathbf r \right ) \langle x \rangle $ se réduit en $\bf r$ (immédiat par induction sur la taille de $\bf r$ en appliquant la définition de l'algo).
4.2.4) entraîne par récurrence sur $p\leq n$ que: $\lambda^{\mathcal F_1} x_1 \left ( \lambda^{\mathcal F_2} x_2 \left ( ... \lambda^{\mathcal F_p } x_p \left ( \mathbf f \right )\right ) \right ) \langle x_1 \rangle \langle x_2 \rangle ... \langle x_p \rangle $ se réduit en $\bf f$ pour toute expression $\bf f$.
5°) La partie 4 et le théorème 3.3) entraînent le résultat fondamental suivant qui motive l'introduction de $\lambda^{\mathcal F} x\left ( ... \right )$.
[size=large]Pour tout type $\mathcal M$ et toute expression $\bf e$ de type $\mathcal M$ du contexte $\Gamma$, $\left (\lambda^{\mathcal F_1,\mathcal F_2,,...,\mathcal F_p} x_1,x_2,...,x_p \left ( \mathbf e\right ) \right )[x_{p+1}:= \eta_{p+1};...; x_n := \eta_n]$ est une fonction(*) de $\mathfrak E (\mathcal F_1) \times ... \times \mathfrak E (\mathcal F_p)$ dans $\mathfrak E (\mathcal M)$; de plus
$\left ( \left (\lambda^{\mathcal F_1,\mathcal F_2,,...,\mathcal F_p} x_1,x_2,...,x_p \left ( \mathbf e\right ) \right )[x_{p+1}:= \eta_{p+1};...; x_n := \eta_n] \right ) (\eta_1) (\eta_2) ... (\eta_p) = \mathbf e [\vec x:=\vec {\eta}]$.[/size]
Pour toute expression $\mathbf u$, si on note $E_i:=\mathfrak E (\mathcal F_i) $, on abrège par "$x_1 \in E_1,...,x_p \in E_p \mapsto \mathbf u$" la fonction $\left (\lambda^{\mathcal F_1,\mathcal F_2,,...,\mathcal F_p} x_1,x_2,...,x_p \left ( \mathbf u\right ) \right )[x_{p+1}:= \eta_{p+1};...; x_n := \eta_n]$.
Le lecteur retrouve alors les usages dont il a l'habitude.
[size=x-small](*)à curryfication près: on identifie $A^{B \times C}$ avec $(A^B)^C$[/size]
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@ kioups: oui, mais donner des exemples *illustre* une définition, mais ne peut pas la remplacer. Cette façon de conceptualiser par exemple, sans pouvoir mettre des mots dessus, c'est bon pour les sciences humaines (et encore), mais pas en mathématiques (ou toute autre science d'ailleurs). Les mots ont un sens précis et il faut être d'accord sur ce sens.
En tout cas, si on le fait "de façon implicite", il ne faut pas s'étonner que l'intuition de certains ne fonctionne pas comme prévu. Et à force d'avoir un empilement de notions "implicites" et donc floues ou à coté de la plaque, il ne faut pas s'étonner que l'édifice obtenu n'est pas toujours stable.
L'implicite, c'est le cœur de l'art, et une œuvre d'art n'est jamais vue de façon identique par tout le monde. C'est ce qui rend l'art "intéressant", de voir à quel point l'implicite peut être vu de façons différentes par des individus différents. Mais l'idée d'une notion mathématique, ce n'est pas qu'elle soit vue de façon "artistique" et (trop) différente, non ? Car il y aura bien des artistes qui vont en faire un truc bizarre qui posera problème quand ils vont constater que les autres ne voient pas les choses de la même façon.
@ Calli: on est très habitué à des machines qui font des choses différentes "avec la même entrée", selon l'historique. Les machines de lotto par exemple. L'appareil de carte bancaire. Le paiement sans contact. On paie 3 fois, ça marche, et la 4ième fois, il faut taper son code. On tape d'ailleurs toujours le même code, mais le ticket de caisse est chaque fois différent. Le code de cinéma quand on achète un billet électronique: la première fois, on peut entrer, puis, avec le même code, on ne peut plus. Le forfait électronique de ski: si le forfait est un forfait de 4 heures, il donne accès aux téléskis, et puis, en faisant exactement la même chose plus tard, la barrière ne s'ouvre plus. Il y a des machines à états (à mémoire) partout autour de nous. Même la cafetière. Elle chauffe pendant une demi heure. Puis elle s'arrête. La voiture: il est très différent de tirer le frein à main si on a d'abord poussé sur l'accélérateur, ou sur le frein à pied :-D
Ne pas donner une définition car, ça n’en est pas une.
Je reprends l’exemple de « droites sécantes ».
Si le prof donne « deux droites sont sécantes signifie qu’elles se coupent » je trouve ça inutile car ça ne dit rien.
S’il parle intuitivement, ok, ça marche. Ok « c’est qu’elles se croisent ».
Mais en tant que définition je dis qu’il a tort.
Bon, ceci dit, d'un point de vu administratif, le parti pris de ne plus donner de définition est cohérent avec les "programmes " : " la notion de fonction est abordée sans formalisation particulière." [cache.media.eduscol.education.fr]
Pathétique et nuisible. De façon générale il y a un problème qui frappe régulièrement et spécifiquement les profs de maths.
Le prof de dessin enseigne le dessin et la technique de dessin.
Le prof de boxe enseigne la boxe et comment donner les coups etc.
Le prof d'anglais enseigne les mots anglais, leur signification, leur syntaxe, comment les prononcer...
Le prof d'échecs enseigne le mouvement correct des pièces puis les tactiques, les ouvertures,...
Le prof de philo enseigne des concepts.
....
Mais on oblige le prof de maths à enseigner des notions.
Les notions sont une abomination, c'est de la m___ excusez-moi !!
Je ne pense pas avec des notions (et ne pourrais pas), je pense avec des concepts.
Le pédagogisme a la prétention inouïe d'entrer en communion mentale avec l'élève, imaginant piloter comme par magie son cheminement intellectuel en évitant systématiquement toute formulation précise. C'est pour ça qu'on nous flanque des "notions".
Comble du ridicule, La notionnite s'est mise à déborder sur des domaines où elle n'est même plus (et de loin) pertinente, comme le montre l'expression hallucinante de notion de variable, oubliant que ce qui fait qu'une lettre accède au statut de "variable" (les logiciens et informaticiens parleraient pluôt de variable liée mais je vais garder cette terminologie ici) est un fait purement syntaxique. En maths, les variables sont du sucre syntaxique. Du sucre quasi indispensable en pratique (sinon langage illisible de type machine) mais du sucre quand même.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@Dom on va rester sur les fonctions :-) Mais sur le fond oui, il faut donner une définition exacte pour le niveau du secondaire des objets, et les cas que tu donnes ne m'apparaissent pas plus compliqués dans ce contexte.
Le « il faut » du théoricien me va. Je dis que c’est impossible.
Allez, qui balance son cahier de cours de l’élève avec toutes les définitions ?
Attention les gars. À critiquer les technocrates qui ne comprennent rien au terrain, vous êtes en train de les singer dangereusement.
C’est assez drôle. Mais je n’ai pas beaucoup de temps en plus à consacrer à ce fil, alors proposez des choses pertinentes.
Pour le moment, seul Foys propose une définition de fonction.
Moi, je ne la donnerais pas. Ni au collège, ni au lycée de 2020.
Il n'y a pas de définition de "fonction" à partir de rien.
Donner la définition ensembliste sans avoir donné la définition des ensembles est tricher avec la règle : Toujours définir de dont on parle. Mais en en mathématiques ensembliste, il n'y a justement pas de définition du mot "ensemble".
On commence les mathématiques dès la fin de la maternelle (entiers et comparaisons d'entiers, formes, classes et relations; sous forme ludique). Finalement, on peut se contenter de savoir que les entiers comptent, que les nombres mesurent, que les inégalités comparent, que les fonction fonctionnent, et aller très loin (Voir les travaux d'Euler et Gauss). Puis, quand on fait des études de mathématiques pour mathématicien et scientifique théoricien, on peut étudier sérieusement les fondements des mathématiques, pour voir une cohérence globale qui ne fait d'ailleurs que retrouver les usages basiques des objets (*).
Cordialement.
(*) J'ai appris la définition ensembliste avec mes profs de fac, elle n'a rien changé à ma connaissance de l'outil, ne m'a apporté aucune méthode nouvelle de preuve, n'a rien remis en cause.
@Dom il faut quand même pas exagérer, la définition de fonction que j'ai donnée où celle de Christophe sont exactes et parfaitement utilisables dans le secondaire.
Foys a pris la peine de souligner en rouge (les deux premières phrases en rouge) dans son texte ce qu'on peut extraire et ça y correspond.
Les autres définitions dont tu parles sont tout aussi facilement exposables, on le faisait "avant" avec un recours aux ensembles, ce n'était pas très facile au collège mais ce n'était pas insurmontable non plus, même pour des élèves moyens.
Après que tu ne veuilles pas en parler dans tes cours ça te concerne, et ce n'est en rien une faute puisque les programmes ont été délabrés sur le corpus conceptuel - entre autres.
> Patrick,
>
> Tu dis qu’il faut donner une définition des
> objets dont on parle.
> Allons-y,
Oui. L'approche Bourbakiste rend cela très accessible, et c'est comme ça que j'ai appris ces notions à partir de la 5ième. Donc c'était fluide, évident et je n'ai jamais connu autre chose.
En 5ième, on a eu d'abord le langage de la théorie des ensembles naive Cantor, (beaucoup plus que je fais dans mon livre pour le lycée), on a étudie le monoide commutatif de l'ensemble des sous ensembles d'un ensemble avec l'opération "union", avec l'opération "intersection", le demi anneau avec les deux (pour introduire la distributivité). On a défini un groupe, et on a joué avec des groupes finis arbitraires avec des tableau de Cayley, et il fallait vérifier si c'était un groupe. On a défini le produit d'ensembles, les relations, les fonctions, les applications, les injections bijections etc... Les permutations, les transformations d'un ensemble etc.. Les partitions, les équivalences, les ordres, et oui, l'ensemble-quotient.
Puis, d'une façon formellement fausse, on a introduit l'entier naturel, comme l'ensemble-quotient de l'équivalence "... a une bijection avec ..." dans "l'ensemble de tous les ensembles finis". Un ensemble fini = un ensemble qu'on peut noter par énumération (donc { a, b, c, ...}).
Ça, c'était $\N$.
On a introduit l'addition comme l'entier naturel qui contenait l'union de deux représentants des termes, n'ayant pas d'élément en commun, et la multiplication comme l'entier naturel contenant le produit de deux représentants des facteurs. On en a déduit commutativité et associativité par exemple.
Ensuite, exactement comme dans mon texte, on a introduit les entiers relatifs avec un ensemble-quotient et vu que c'était un anneau commutatif. A partir de là, on a déduit des règles de calcul comme les identités remarquables.
En 5ième donc.
Coté géométrie, c'était vraiment n'importe quoi, je dois dire. On passait un temps fou à introduire ce que c'était, une droite dans "le plan Pi, ensemble de points". En 4ième, on introduisait le parallélogramme, et la notion d'équipollence de couples de points, ce qui donnait lieu à la notion de vecteur. A partir de là, on était parti faire de la géométrie, une fois qu'on avait le vecteur comme ensemble-quotient de couples de points équipollents.
Si tu veux savoir exactement, il y a les livres de Papy qu'on suivait essentiellement. Malheureusement, ils ne sont pas disponibles scannés à ce que sache. Je les ai acheté en occaze sur Rakuten il y a quelques années.
Je ne dis pas que c'est la bonne façon de faire au collège. Je crois que c'en était trop, et trop tôt. Mais sur le plan "définition claire" il n'y avait donc à aucun moment le moindre doute.
Alors, si on ne le fait pas de façon Bourbakiste, et donc, je crois effectivement qu'il ne faut pas le faire au niveau collège, et puisque tout le monde dit qu'on peut faire sans, il faut donc remplacer les définitions Bourbakistes par d'autres, qui sont aussi claires, mais qui parlent peut-être plus à l'imaginaire d'un collégien.
Simplement ne rien définir et rester dans le flou n'est pas une option.
Donc, oui, il est parfaitement possible de définir la notion "entier naturel", etc... au collège puisqu'on le faisait. Mais puisqu'on dit que cette façon de faire n'est pas la bonne à cet age (et j'en conviens), il faut remplacer cela par quelque chose qui est au moins aussi clair, non ? Sinon, on recule. On remplace quelque chose qui marche, par rien.
Mais pour remplacer les notions Bourbakistes par "des choses plus simples", je ne sais pas comment faire puisque je ne l'ai jamais fait. Les gens qui disent qu'il faut faire "plus simplement" doivent donc savoir comment, non ?
Ça tourne en rond.
Tu donnes une définition de « fonction » en proposant une autre mot non défini (relation).
Puis pour m’expliquer « relation », tu parles avec un autre mot (lien).
(Au passage, j’espère que tu ne dis pas que Christophe fait cela, c’est assez méchant...)
Vas-tu l’entendre un moment dans la discussion que tu ne définis rien ?
Ne vois-tu pas un problème à définir des mots avec d’autres mots non définis ?
Comme le dit Gérard, c’est avec « ensemble » qu’on remonte à la source des sources.
Alors je dis qu’il faut être clair : dire quelles sont les sources (les notions premières) et construire les autres objets avec les objets « sources ».
Ça ne me gêne pas qu’on invente ses propres notions sources. C’est une aveu de faiblesse, mais c’est sincère.
Faire semblant, c’est dégueulasse.
Quel est le mal à dire « je ne vous définis pas ce qu’est ce truc mais on va en parler quand même » ?
Autrement dit, je suis contre le fait d’annoncer :
- écoutez les enfants, je vous donne la définition du siècle, êtes-vous prêts ?
- oui monsieur ! (Tous en coeur)
- une fonction est une relation
- hannnn merci monsieur. (Tous en coeur)
C’est du foutage de gueule, non ?
Je t’écoute pour la définition d’une droite, en 6e, que tu évites en disant « c’est pas bien plus difficile ».
N’épiloguons-pas. Proposons un truc propre sans détour.
Allez, écris ce que l’élève de 6e devrait avoir comme définition de « droite ».
Sans rajouter d’édulcorants, sans faire la prose habituelle, sans décorer le propos.
Tiens, je vais jouer le pédagogo : quelle est la trace écrite de Éric de la 6eB à Trifouilly ?
Enfin, le genre de phrase « que tu ne veuilles pas [...] dans tes cours » montre qu’on va rentrer, si on n’y est pas déjà, dans la cours de récréation.
Cette discussion est-elle de cette teneur ? Je ne le pensais pas. Je ne serais jamais venu sinon. Je l’ai pressenti dans un message précédent ou je parle du temps consacré à lire et à répondre dans ce fil. Sans prétention aucune cependant. Je n’ai aucune légitimité et n’en cherche pas.
On a un seul désaccord.
Tu dis : trouvons d’autres définitions, intuitives, imagées même si elles ne sont pas mathématiques.
Je dis : ne donnons pas de définition qui n’en sont pas sauf à les qualifier de non mathématiques.
Là où l’on s’accorde finalement c’est que je m’autoriserais à dire « je ne sais pas définir ce truc en 6e mais si vous voulez j’en donne une définition non mathématique mais intuitive ».
NB : depuis le début j’utilise le terme « définition » (seul, sans adjectif) à la place de « définition mathématique ». Est-ce la raison d’une sensation de dialogue de sourd ?
Dans tous les autres cas je précise avec un adjectif (intuitif, imagé, empirique, etc.).
Je te remercie pour ce dernier message.
Il est très clair et m’incite à penser que contrairement à d’autres participants je ne te mets pas dans le même sac (pardon, ce n’est pas péjoratif, c’est rapidement rhétorique) que xax par exemple.
xax, cette dernière phrase n’est pas non plus méprisante pour toi, l’expression « mettre dans le même sac » est malheureuse et je n’en ai pas trouvé d’autres.
> Quel est le mal à dire « je ne vous définis
> pas ce qu’est ce truc mais on va en parler quand
> même » ?
Ben, tout. Ce mot ne veut rien dire alors. On ne peut pas utiliser un mot qui ne veut rien dire. Si on ne peut pas dire explicitement ce qu'il veut dire, alors c'est un mot bidon. Dans l'art, je veux bien, c'en est le cœur, de ne pas dire de quoi on parle, pour laisser libre son interprétation. Dans les maths, non.
Je suis bien d'accord qu'il y ait des notions qui sont sans doute suffisamment bien développées pour que, au niveau collège, ça n'apporte rien de vouloir re-définir ce qu'on sait déjà, et le nombre entier naturel est sans doute une telle notion. Peut-être le nombre entier relatif aussi. L'addition des entiers, sans doute aussi. La multiplication, aussi. La soustraction, aussi. La division, ça devient glissant déjà. Il y a une notion intuitive de "division", mais entre "division Euclidienne" et "fraction" on est déjà à la limite de ce dont on peut supposer qui est intuitivement acquis.
Les notions élémentaires géométriques sont aussi suffisamment proches de l'intuition graphique et visuelle, pour qu'il n'y ait pas besoin d'avoir des re-définitions au niveau collège.
Donc tout ça, c'en était trop dans l'approche Bourbakiste, il n'était pas *nécessaire* d'être plus précis, même si ce n'était pas difficile de l'être. L'intuition géométrique, à moitié formalisé par Euclide, est suffisante, et suffisamment uniforme par tout le monde, pour qu'il n'y ait pas d'utilité de rendre ça plus clair à ce niveau.
Une droite, c'est l'idéalisation du trait fait avec un crayon sur un bout de papier, imaginé prolongé à l'infini. Ça suffit à ce niveau, et tout le monde s'imagine la même chose plus ou moins. Donc pas besoin d'en faire tout un cake, même si ce n'est pas difficile.
Mais la notion de fonction pose problème. Je l'ai constaté. Même la notion de fraction peut poser problème. Le collège est la période où on transite des maths intuitifs (arithmétique élémentaire et géométrie sur un bout de papier) vers des notions abstraites. On ne peut pas rester sur un plan "artistique", mais il faut sans doute faire plus simple que Bourbakiste.
@Dom tu n'as manifestement pas lu ce que j'ai écrit http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1924962,1925462#msg-1925462 pour trouver le temps de faire tout ce baratin inutile et ridicule pour tenter de faire croire que je ne sais pas donner une définition de la fonction compréhensible post-primaire et justifier le fait de ne plus faire de maths au secondaire !
Encore une fois je ne me situes pas dans le contexte scolaire (et Patrick écrit pour une lecture en dehors de celui-ci); je n'en tiens plus compte.
La lecture des programmes et ton point de vue confirme le fait que ce qui s'enseigne actuellement au collège est bien anecdotique, ce qui rend quand même pas mal d'enseignants mal à l'aise.
je crois qu'il faut distinguer deux choses:
- le fait que les concepts introduits soient apprenables et superficiellement compréhensibles par les élèves de collège
- le fait qu'ils les comprennent suffisamment et se les approprient
Pour les notions d'ensembles, de fonctions, de relations, le premier point est tout à fait possible. Je l'ai vécu dans les années 70.
(par exemple une relation est un ensemble de couples, un couple est la paire composée d'une paire et d'un singleton, d'intersection non vide)
Pour le second point c'est plus compliqué, il faut que l'élève en ressente la nécessité, qu'il voit une "valeur ajoutée" au concept.
Pour cela il faut qu'il dispose d'exemples concrets en nombre suffisant (3 ou 4).
Là il faut distinguer entre la théorie des ensembles et les notions de fonctions et relations.
La notion d'ensemble est très concrète (ensembles d'élèves, d'objets, d'animaux, de symboles, de lettres, de chiffres), l'élève dispose dés la 6ème de nombreux exemples autour de lui.
On peut donc l'enseigner très tôt.(6ème-5ème) (y compris intersection, réunion, complémentaire, ensemble des parties, ensemble vide)
Pour disposer d'exemples en nombre suffisant de fonctions et de relations il faut attendre la 4ème-3ème.
Là on connait (ou on devrait connaitre) les congruences arithmétiques, les vecteurs, les fractions (je ne prétend nullement que la notion de relation soit nécessaire à l'apprentissage des fractions, mais que dans un deuxième temps elles peuvent être revisitées), la relation d'ordre sur IR.
Pour les fonctions il faut connaitre les fonctions affines, la fonction racine carrée, la fonction carrée, la fonction valeur absolue, les transformations géométriques.
On peut alors introduire la notion de relation d'équivalence, d'ordre, d'application, surjection, injection, bijection.
En revanche il n'est pas nécessaire d'introduire la notion de loi de composition avant de voir les matrices et les espaces vectoriels (au lycée donc idéalement).
Il ne faut donc à mon sens introduire les concepts qu'après que l'élève a vu suffisamment d'exemples de cas concrets. En revanche les définitions données doivent reposer sur la théorie des ensembles.
Ok, xax, je parlais de ta première définition avec « relation ».
J’avais bien lu ce message. Il site Foys et Christophe c’est pourquoi je ne t’ai pas attribué leur définition.
Je suis sûr qu'après avoir présenté à des élèves la définition de fonction de Foys (je suppose qu'il s'agit de cela, j'ai arrêté de lire à la première ligne)
un élève saura répondre aux questions:
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=2x+5$.
1) Donner l'image de $5$ par la fonction $f$.
2) Donner le ou les antécédants de $5$ par la fonction $f$.
Ce dont tu parles n'existe malheureusement plus depuis longtemps (cela reste enseigné dans quelques établissements qui, pour certaines raisons, dérogent, mais sont peu nombreux).
xax,
je suis bien d'accord, mais en creux cela donne la réponse:
Si les élèves n'ont pas d'exemples concrets de ces structures, on ne peut pas les présenter.
De toute façon Patrick123, se demande ce que l'on peut enseigner (à la maison) à des élèves de collège en passant par profits et pertes les programmes officiels.
On voit se différentier deux modes de pensée. L'un se donne pour but d'amener l'élève à contempler les mathématiques (sur le modèle: elles sont dures, ces maths là). L'autre se donne pour but d'amener l'élève à faire des mathématiques.
Dans le premier mode, il n'y a aucune raison de ne pas charger la barque. Le laïus de Foys à la sauce ZFx, surtout pour conclure "le lecteur retrouve alors les usages dont il a l'habitude" est une tentative amusante en ce sens. On pourrait aussi demander aux élèves de 6ème de transporter le bouquin de Dehornoy dans leur cartable, cela leur ferait les muscles et, qui sait, hâterait l'avènement de la prophétie du gourou de secours: "dans un système qui serait sain, vers 8-9ans, tout enfant non handicapé mental grave aurait un L2 de maths en gros" (verset 1791184)
Dans le deuxième mode, on ne se contente pas de psalmodier des définitions. On fait faire des exercices. Il est exact que faire faire n'est pas trop dans l'air du temps. Mais c'est en forgeant que l'on devient forgeron, en lisant que l'on devient liseron, et ainsi de suite. C'est comme cela. Lorsqu'un élève a "compris de façon imprévue", c'est tout de suite qu'il faut le détecter et pas deux ans plus tard. Cela suppose en particulier de ne pas inclure les réponses dans les questions. C'est ainsi que les deux questionnements:
(1) montrer, par induction sur la taille des expressions, que pour toutes expressions a,b du contexte $\Gamma$, si a se réduit en b alors a[x:=n] t b[x:=n] sont égaux.
(2) comparer a[x:=n] et b[x:=n] lorsque a,b sont des expressions du contexte $\Gamma$ et que a se réduit en b (n'hésitez pas à prouver votre opinion à ce sujet).
ne mesureraient pas la même chose.
Pour ce qui est des fonctions, on part du graphe ci-dessous, et on demande: (1) peut-on obtenir $x$ en fonction de $y$? (2) peut-on obtenir $y$ en fonction de $x$? Comprendre ce qu'est une fonction, c'est à dire intérioriser une définition opératoire de cette notion, cela équivaut à comprendre la différence entre l'article défini singulier et l'article indéfini. Un antécédent de $y=2$, ce n'est pas la même chose que les antécédents de $y=2$. Quant à le antécédent de $y=2$, quand y en a deux, y en a plusse qu'un. En résumé: enseigner la gran'maire comme au temps des grand'mères résout le problème.
J’ai le sentiment que les deux camps décrits par Pierre, que je salue, balancent un cours très différent mais proposent ensuite la même chose, les mêmes « attendus » pour l’élève.
C’est en ce sens que je disais « à quoi bon si c’est pour proposer des choses qu’on ne va pas exiger de savoir ? ».
@pldx1 c'est juste le "faire", mais tu es quand même un peu vache avec Foys qui est très généreux dans ses exposés et qui a indiqué en rouge ce qui est en pratique important à retenir pour les élèves et directement utilisable.
@Mathurin oui et c'est très bien cette attitude qui consiste à combler les béances les plus inacceptables et à partager. Personnellement je travaille sur quelque chose de plus modeste, un tableau synoptique des concepts au collège, assez détaillé, car je n'ai pas trouvé (il existe des réalisations très abouties, mais elles reprennent les programmes officiels et sont plutôt destinées aux enseignants http://frederic.leon77.free.fr/formations/synoptiqueA3.pdf).
Quand tu commences à perdre les gens dans des considérations qu'ils ne peuvent pas comprendre, ou très difficilement comprendre, ils sont moins enclins à être disposés à t'écouter quand tu leur proposes de faire des choses qui sont raisonnables.
Je vais vous engueuler dans le message suivant, pour le moment voilà comment la chose est faite dans les pays des idiots où, à quelques exceptions près, les élèves n'ont jamais entendu parler de fonction application, image et antécédent avant le supérieur :
6e : ensembles, ensemble des entiers naturels et des fractions positives (il faut savoir les ordonner et placer sur la demi-droite graduée).
5e : tous les autres nombres (y compris les irrationnels), ratios, proportions... et à la fin de l'année on apprend ce que c'est un système des coordonnées cartésiennes et comment y placer les points. On finit avec un peu de statistique et quelques graphiques à lire. Les définitions :
On appelle l'axe des coordonnées, une droite avec le point d'origine, le segment unité et la direction positive.
Un système de coordonnées cartésiennes $xOy$ est formée par deux axes des coordonnées, axe $x$ et axe $y$, perpendiculaires l'un à l'autre et sécantes au point d'origine.
L'axe $x$ est appelé l'axe des abscisses, alors que l'axe $y$ est appelé l'axe des ordonnées.
Les mots soulignés ont été abordés et expliqués avant.
4e et 3e : inégalités, intervalles, rappel de ce que c'est un système des coordonnées cartésiennes. Certain manuels commencent à la fin de 4e, d'autre début 3e. La fonction est présentée comme une formule avec des conditions en utilisant les exemples venant du cours de physique.
Version 1 : Soit $M$ est un ensemble des nombres réels et soit à chaque nombre $x \in M$ correspond un unique nombre $y$ d'après une certaine loi, alors on dit que $y$ est une fonction de $x$ définie sur l'ensemble $M$. Par ailleurs $x$ est appelé un argument ou une variable indépendante, $y$ est appelée une variable dépendante et $M$ est l'ensemble de définition de la fonction.
Version 2 : une fonction est une dépendance entre deux variables telle que à chaque valeur d'une variable indépendante correspond une unique valeur de la variable dépendante.
Version 1 : La courbe de la fonction $y=f(x)$ est un ensemble des points dans un système de coordonnées $xOy$ où les coordonnées de chaque point corresponde à $(x; f(x))$ avec $x$ n'importe quel nombre issu du domaine de définition de la fonction.
Version 2 : Un graphique (courbe?) de la fonction est un ensemble de tous les points dans un système des coordonnées cartésiennes où l'axe des abscisses représente l'argument de la fonction (variable indépendante) et l'axe des ordonnées représente la variable dépendante.
2nd : Fonction continue et discontinue (définition intuitive), les fonctions usuelles ($y=ax+b$, $y=x^2$ et $y=ax^2 +bx + c$, $y=x^3$, $y=1/x$, $y=|x|$ et $y=\sqrt{x}$ + d'autres si la classe avance vite. Résolution graphique des (in)équations et des systèmes d'(in)équations.
1iere : fonctions trigo (les 4), fonction paire/impaire/périodique, étude des fonctions, dérivée et tangente.
Je ne sais pas Fin de partie. Je ne crois pas que ça se passe comme ça.
Selon le charisme du prof, sa personnalité et la confiance des élèves envers lui, il peut demander plein de choses à ses élèves, même si lesdites choses sont difficiles, abruptes, etc. Ainsi quel que soit le principe adopté on trouvera toutes les situations et sans grandes disproportions qui laisseraient penser qu’il faut faire comme ceci et ne pas faire comme cela (j’entends dans le cas où les « mêmes exercices » sont finalement proposés par les deux camps).
La généralité que tu suggères contient sûrement l’écueil des innombrables cas par cas.
Pourquoi pour vous faire des jolies phrases à rallonge avec image/antécédent est si important? Quelle est l'utilité dé phrases suivante en dehors du cours de maths :
1) Donner l'image de 5 par la fonction $f$.
2) Donner le ou les antécédants de 5 par la fonction $f$.
??? Qui dans la pratique va utiliser ces phrase au lieu de $f(5)$ vaut $10$ et $f(x)=10$ si $x=5$? En économie il y a des fonctions partout. Mais à aucun moment ni moi, ni mes collègues n'utilisons ces phrases à rallonge. On va droit au but! Sommes nous des idiots?
Qu'est-ce qui est plus important pour les élèves : savoir faire les zolifrases et de ne pas mélanger image/antécédent ou savoir ce que c'est les nombres, les coordonnées et savoir les placer, les relier, savoir dessiner à la main un graphique de la fonction etc?
> Il ne faut donc à mon sens introduire les
> concepts qu'après que l'élève a vu suffisamment
> d'exemples de cas concrets. En revanche les
> définitions données doivent reposer sur la
> théorie des ensembles.
Je voulais essayer d'introduire des "pré-définitions" non-ensemblistes, avant d'arriver aux définitions Bourbakistes dont je crois effectivement que ce sont les seules "vraies", mais je suis aussi sensible à l'argument qu'on ne peut pas faire cela trop tôt dans le parcours et que c'était l'erreur fondamentale des "maths modernes", justement, de ne pas passer par un stade "pré-ensembliste plus intuitif.
Donc, la question est: peut-on donner des définitions pré-ensemblistes des notions "difficiles" au collège, sans instaurer des images mentales qui poseront problème plus tard. La solution "ne rien dire" n'empêchera pas l'élève de se faire quand-même sa propre image mentale, mais non-guidée, et augmente donc le risque d'un inventer une qui sera problématique.
Je vois cela un peu comme l'apprentissage d'un sport. On n'apprend pas tout de suite le geste "professionnel", mais il faut se garder d'acquérir des mauvaises habitudes car elles sont difficiles à s'en débarrasser après. Quand on apprend du ski, par exemple, il y a des gestes à ne pas faire, dès le début (par exemple, être trop en arrière sur ses skis). Par contre, la technique pour tourner sera différente pour un skieur débutant, que pour un plus confirmé. Le moniteur ne dit pas: "bon, débrouillez-vous pour descendre la pente". Ne pas donner une définition (c.à.d. un concept clair de la notion) ressemble au moniteur qui donne un coup de pied dans les fesses de son apprenti en haut de la pente, du moment où il finira par glisser vers le bas, ça lui va.
oui Patrick123,
je crois qu'il est vain de vouloir trouver des définitions "pré-ensemblistes", c'est pour cela que je prône une introduction très précoce à la théorie des ensembles, qui est assez intuitive.
En revanche les définitions ensemblistes des fonctions et relations ne doivent être introduites qu'après que l'élève ait vu plusieurs (3 ou 4) exemples et qu'il en ait donc réellement besoin. Sinon cela reste pour lui un jeu assez vain.
Réponses
Mais je ne sais pas s'il est possible de remédier à ce problème. On ne peut pas, par exemple, enchaîner la découverte de la notion de fonction et les études de fonctions par dérivation. Ce serait trop rapide il me semble (bon, j'y connais pas grand chose en pédagogie...).
Dans ma génération et les suivantes (celles pour lesquelles j'étais prof en lycée), on faisait beaucoup de travaux sur les fonctions bien avant de voir la dérivation, y compris des tableaux de variation. Ce qui donnait une saine notion de "croissant" et "décroissant". Bien évidemment, il y avait une bonne maîtrise du calcul élémentaire, et quelques techniques de manipulation des inégalités.
Cordialement.
Je suis d’accord.
a\overset{f}\longmapsto a+1 \overset{g}\longmapsto(a+1)^2\overset{h}\longmapsto(a+1)^2-5,\text{ alors }\ g(x)=x^2 \text{ et }\ h(x)=x-5 \]cela me suffit.
Je ne vois toujours pas ce qui empêcherait son enseignement.
Bon je commence à avoir l'habitude, les instits disent que c'est trop compliqué de parler de nombres premiers ou d’additionner des fractions, il y a donc une bonne continuité avec le collège.
Pour définir « fonction » tu as besoin du terme « relation ».
Qu’est-ce qu’une « relation » ?
Si tu as besoin du terme « loi », qu’est-ce qu’une « loi » ?
Je suis d’accord qu’il s’agit bien d’un débat de puriste.
Objets premiers ou pas ?
Attention : je fais le malin, mais j’étais dans le même pétrin il y a encore quelques années.
Tiens au passage, je cherche un tableau synoptique de toutes les notions vues au collège, qui arroserait large, si possible en LaTeX. Pas forcément très détaillé, mais très complet sur les notions. Si tu a vu passer un truc comme ça ce serait sympa de me l'indiquer.
Tant qu’on ne dit pas « ensemble » on ne s’en sortira pas.
Tu proposes deux intervenants. On doit bien pouvoir trouver des discussions à ce sujet (récurrent, en fait) de l’objet « fonction » où ils ont participé.
Ha ! Ici où ça se dit des mots d’amour, pour la bonne cause.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1791040
Ce n’est pas la discussion la plus fructueuse...
Eh, non. Par contre je crois qu'il faut, pour chaque notion, *toujours* une définition, surtout dans un sujet comme les mathématiques, au-delà du primaire. Faire des leçons avec des mots dont on ne veut pas dire quelle est leur définition, ne va pas. Si ça, c'est "ma façon", oui. On n'utilise pas de mots "techniques" dont on n'a pas donné une définition.
Ma question était donc: quelle définition (autre que la Bourbakiste) peut-on donner au mot "fonction" qu'on va utiliser au niveau du collège ? Mais bien-sûr, sous-entendu que cette définition n'installe pas une conceptualisation qui peut être fausse (c.a.d. mener sur un chemin qu'on paiera cher au lycée). Donc chaque proposition de définition doit alors être analysée sur cette possibilité.
Je suis parfaitement ouvert à l'expérience des autres. Mais une phrase comme "j'ai toujours fait comme ça et ça n'a jamais posé problème" est manifestement expérimentalement faux, car j'ai constaté moi-même qu'il y a des personnes qui en ont une fausse conceptualisation au lycée. Si "la façon de faire des gens avec de l'expérience" ne posait pas problème, ce constat n'y serait pas. Il y a (pas mal) d'élèves qui sortent du collège avec une drôle de conceptualisation de la notion fonction.
On m'a aussi convaincu que la voie Bourbakiste n'est pas bonne avant, disons, 15 ans. Donc alors, comment devrait-on faire ?
"rien dire" -> pas acceptable
"formule" ou "formalisme de substitution" -> je veux bien en discuter mais je crois que ça pose problème pour toute idée de fonction qui n'est pas définie par une expression mais autrement.
"machine" -> pas une mauvaise idée, mais dangereux, car des machines font des choses que les fonctions ne font pas.
Voila. Je ne vois pas pourquoi il faut agresser quand on veut discuter de cela.
Ben chez moi, "machine" fait penser à machine à états finis, ou à machine de Turing par exemple.
En électronique, il faudrait parler de "circuit combinatoire" et "non-séquentiel".
Oui, mais il ne faut pas sous-estimer la capacité à trouver la façon tordue de voir les choses, de telle façon qu'elle reste compatible avec ce qui est dit. Le danger avec "machine", c'est qu'elle puisse contenir "un état", donc "une mémoire".
Mais oui, finalement je crois donc qu'une bonne définition de "fonction" est:
Une fonction est à voir comme une machine, à laquelle on donne un nombre, et qui en produit un autre, de telle façon que:
- quand on donne le même nombre plusieurs fois à la machine, elle donne chaque fois la même réponse
- on ne s'occupe pas de savoir comment la machine s'y prend: donc deux machines qui agissent de la même façon, sont considérées les mêmes (même si elles fonctionnent différemment à l'intérieur).
- attention, pour certains nombres à l'entrée, la machine explose.
Est-ce qu'il y a des choses qui peuvent aller mal avec ça ?
Christophe fait référence à la manière d'introduire la définition à la façon des maths modernes qui était certainement - et d'un abord élémentaire - exacte, avec les graphes de relation, produits cartésiens etc. La définition simple qu'il donne, << f est une fonction >> abrège << pour tous x,y,z si (x,y) et (x,z) sont dans f alors y=z>> , s'illustrerait effectivement bien comme ça.
Foys indique que l'on n'a pas besoin de beaucoup de choses, et que la relation à 2 arguments suffit.
Donc oui ce qu'il disent est intéressant, merci de m'avoir indiquer le fil Dom, et ça confirme mon sentiment qu'il est important qu'un élève puisse disposer d'une définition.
Et en fait le cahier des charges de la définition est très simple : est-ce qu'un élève - du moins à son niveau - va pouvoir distinguer dans les objets mathématique ce qui est une fonction et ce qui ne l'est pas. Avant d'aller plus loin dans les manipulations, ça me parait quand même important.
Donc pourquoi priver les élèves d'une définition qui n'est pas si ardue et qui est d'un usage constant en mathématique ?
P.S. En fait je commence à me faire aux posts Christophe / Foys qui ne prennent pas tant de temps que ça à lire et qui comportent des infos de qualité. Le mode d'emploi c'est :
- saisir la problématique,
- sauter les gros pavés polémiques,
- tenter de comprendre le cœur mathématique,
- demander à se le faire réexpliquer le cas échéant (ça me concerne surtout car bien souvent je n'ai pas le niveau, mais les deux protagonistes sont toujours bien aimables et généreux sur ce dernier point).
EXACTEMENT. C'est à ça qu'on reconnaît une bonne définition: contient-elle les informations pour pouvoir juger si un "truc" est, oui ou non, la chose qu'on vient de définir.
0°) Si $P$ est une propriété (une formule à une variable libre - $t$ en l'espèce) et $X$ un ensemble, les axiomes de la théorie des ensembles garantissent l'existence d'un ensemble (noté $\{t \in X \mid P\}$ tel que pour tout $k$, $k$ appartient à $\{t \in X \mid P\}$ si et seulement si $k \in X$ et $P[t:=k]$ est vraie (énoncé obtenu en substituant $k$ aux occurrences libres -i.e. non quantifiées- de $t$ dans $P$). De tels ensembles sont dits "définis par compréhension".
1° ) En théorie des ensembles, tous les objets sont des ensembles (ce sont les axiomes portant sur la relation d'appartenance qui donnent le sens "ensembliste" des objets envisagés).
2°) Soient $x,y$ deux ensembles. On note $(x,y)$ l'ensemble $\{\{x\},\{x,y\}\}$. On peut montrer avec l'axiome d'extensionnalité que pour tous $p,q,r,s$, si $(p,q)=(r,s)$ alors $p=r$ et $q=s$. Un ensemble de la forme $(g,h)$ s'appelle un couple.
3°) Si $m$ est un ensemble, il existe un ensemble appelé réunion de $m$ et noté $\bigcup m$, tel que pour tout $x$, $x\in \bigcup m$ si et seulement si il existe $t\in m$ tel que $x\in t$. Lorsque $m=\{A,B\},$ $\bigcup m$ est encore noté $A \cup B$.
(axiome de la réunion).
4°) NB: pour tous ensemble $a,b,c$, si $(b,c)\in a$ alors $\{b\}$ et $\{b,c\}\in \bigcup a$; par suite $b$ et $c$ appartiennent à $\bigcup \bigcup a$.
-Une fonction est un ensemble $a$ dont tous les éléments sont des couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in a$ et $(x,z)\in a$ alors $y=z$.
5°) Soit $x$ un ensemble. On appelle domaine de $x$ l'ensemble des $z \in \bigcup \bigcup x$ tels qu'il existe $y\in \bigcup \bigcup x$ tel que $(z,y) \in x$. On noera "$dom(x)$" ce domaine dans la suite.
Compte tenu de 4°) un ensemble $t$ est dans $dom(f)$ si et seulement si il existe $s$ tel que $(t,s)\in x$ (pas besoin de mentionner $\bigcup \bigcup x$).
On appelle [small]image[/small] de $x$ et on note $im(x)$ (ou parfois "codomaine") l'ensemble des $j\in \bigcup \bigcup x$ tels qu'il existe $i$ tel que $(i,j) \in x$. A nouveau un ensemble $k$ appartient à $im(x)$ si et seulement si il existe $\ell$ tel que $(\ell,k) \in x$.
7°) Soient $a,b$ deux ensembles. On abrégera par $a(b)$ la réunion de l'ensemble des $c \in \bigcup \bigcup a$ tels que $(b,c)\in a$.
Alors pour tous ensembles $r,s,t$, si $t$ est le seul ensemble tel que $(s,t) \in r$, alors $r(s)=t$. Ainsi, avec cette notation on a immédiatement le fait suivant:
Pour toute fonction $f$ et tout $x\in dom(f)$, $\left (x, f(x) \right )) \in f$. Autrement dit $f(x)$ désigne l'unique objet (i.e. ensemble) $y$ tel que le couple $(x,y)$ appartienne à $f$.
8°) Si $X$ est un ensemble, il existe un ensemble noté $\mathcal P(X)$ dont les éléments sont exactement les ensembles contenus dans $X$ (i.e. pour tout $p$, $p \in \mathcal P(X) \Leftrightarrow \forall y, (y \in p \Rightarrow y \in X)$).
Pour tous $x,y,a,b$ tels que $x\in a$ et $y\in b$, on a $\{x\}$ et $\{x,y\}$ qui appartiennent à $\mathcal P(a \cup b)$. Par suite, $(x,y) \in \mathcal P \left ( \mathcal P \left (a \cup b \right ) \right )$.
On appelle donc produit cartésien de $a$ et de $b$, et on note $a\times b$ l'ensemble des $p\in \mathcal P \left ( \mathcal P \left (a \cup b \right ) \right )$ tels qu'il existe $u\in a$ et $v\in b$ tels que $(u,v)=p$.
9°)Soient $E$ et $F$ des ensembles. on note $F^E$ (ou parfois $\mathcal F(E,F)$)l'ensemble des parties $g$ de $E\times F$ qui sont des fonctions telles que $dom(g)=E$. Un ensemble $x$ appartient à $F^E$ si et seulement si c'est une fonction dont le domaine est $E$ et l'image est contenue dans $F$. $F^E$ s'appelle "l'ensemble des fonctions (ou applications) de $E$ dans $F$".
10°) Soit $A$ un ensemble et $Q$ une propriété; $\{(x,y) \in A \mid Q\}$ abrège $\{p \in A \mid \forall x,y; p=(x,y) \Rightarrow Q\}$
11°) Soit $F$ un ensemble; alors $\{(x,x)\in F \times F \mid x \in F\}$ est une fonction de $A$ dans lui-même appelée "identité" de $F$ et notée $id_F$, telle que $id_F(t)=t$ pour tout $t\in F$.
12°) Soient $A,B$ deux ensembles. On pose $\kappa_{A,B}:= \{(x,u) \in A \times B^A \mid \forall z \in F, u(z) = x \}$.
Alors $\kappa_{A,B}$ est une fonction telle que pour tous $x\in A$ et $y \in B$, on a $\kappa_{A,B}(x)(y) = x$ (i.e. $\kappa_{A,B}(x)$ est la fonction constante qui à tout élément de $B$ fait correspondre $x$). $\kappa_{A,B} \in (A^B)^A = \mathcal F (A, \mathcal F (B,A))$.
13°) Soient $P,Q,R$ trois ensembles. Posons $\sigma_{P,Q,R}:= \left \{(x,a) \in (R^Q)^P \times (R^P) ^{(Q^P)} \mid \forall y \in Q^P,\forall b \in R^P, (y,b) \in a \Leftrightarrow \left [\forall z \in P,\forall c\in R, (z,c)\in b \Leftrightarrow x(z)(y(z)) = c \right ]\right \}$. Alors $\sigma_{P,Q,R}$ est une fonction de $(R^Q)^P$ dans $(R^P) ^{(Q^P)}$ telle que pour tous $f\in (R^Q)^P$, $g\in Q^P$ et $u \in P$, on a $\sigma_{P,Q,R} (f) (g) (u) = f(u) (g (u))$.
Le rôle de ces fonctions $\kappa,\sigma$ sera précisé au paragraphe suivant.
***************************************************
II) Définition des expressions mathématiques.
0°) On se donne un certain nombre de lettres $A,B,C,...$ appelées "types de base" (dits aussi "atomiques"), et on définit par induction (dans le cadre de ce fil!) un type comme étant un type de base ou bien $(\mathcal F) \to \mathcal G$ où $\cal F$ et $\cal G$ sont des types.
Pour tous types $\cal F,G,H$ on se donne des symboles de constantes $\mathbf I_{\cal F}$, $\mathbf K_{\cal F,G}$ et $\mathbf S_{\cal F,G,H}$ auxquels on assigne les types respectifs suivants:
$\cal (F) \to F$; $\cal (F) \to (G) \to F$ et $\cal ((F) \to (G) \to H) \to ((F) \to G)\to (F) \to H$.
On appelle contexte une liste $\Gamma$ de couples $(\mathbf x_1, \mathcal F_1); (\mathbf x_2, \mathcal F_2), (\mathbf x_3, \mathcal F_3)...$ où $\mathbf x_i$ est une lettre (ou une lettre avec un indice, ou une chaîne de caractères etc...) et où $\mathcal F_i$ est un type pour tout $i$. Les lettres $\mathbf x_i$ sont supposées toutes différentes.
On fixe un telle liste $\Gamma$ ("liste des noms des personnages de l'histoire" en quelque sorte) dans toute la suite.
1°) Etant donné un type $\mathcal T$, une expression mathématique (ou simplement expression) de type $\mathcal T$ du contexte $\Gamma$ est
-une lettre $y$ telle que $(y,\cal T)$ est dans $\Gamma$
-une des trois constantes $\mathbf I_{\cal F}$, $\mathbf K_{\cal F,G}$ et $\mathbf S_{\cal F,G,H}$ citée en 0° et alors $\mathcal T$ est le type correspondant
-$\bf p \langle q \rangle $ avec $\mathcal U$ un type, $\bf p$ une expression de type $\cal (U) \to T$ du contexte $\Gamma$ et $\bf q$ une expression de type $\mathcal U$ du contexte $\Gamma$.
2°) règles de réduction (i.e. de simplification) des expressions.
On définit la réduction d'un terme inductivement de la façon suivante:
i) pour toute expression $\bf u$, $\bf u$ se réduit en $\bf u$.
ii) pour tous types $\cal A,B$ et toutes expressions $\bf p$ de type $\cal A$ et $\bf q$ de type $\cal B$,
$\mathbf K_{\mathcal A, \mathcal B} \langle \bf p\rangle \langle q \rangle$ se réduit en $\bf p$.
iii) pour tout type $\mathcal C$ et toute expression $\bf a$ de type $\cal C$, $\mathbf I_{\mathcal C} \langle \bf a \rangle $ se réduit en $\bf a$
iv) pour tous types $\cal P,Q,R$ et toutes expressions $\bf u$ de type $\cal (P) \to (Q) \to R$, $\bf v$ de type $\cal (P) \to Q$ et $\bf w$ de type $\cal P$, $\mathbf S_{\mathcal P,\mathcal Q, \mathcal R} \langle \bf u \rangle \langle v\rangle \langle w \rangle$ se réduit en $\bf u \langle w \rangle \langle v \langle w \rangle \rangle$.
v) Pour toutes expressions $\bf p, \bf p', \bf q, \bf q'$, si $\bf p$ se réduit en $\bf p'$ et $\bf q$ se réduit en $\bf q'$ alors $\bf p \langle q\rangle$ se réduit en $\bf p' \langle q' \rangle $
vi) la réduction est transitive: pour toutes expressions $\bf a,b,c$ si $\bf a$ se réduit en $\bf b$ et $\bf b$ se réduit en $\bf c$ alors $\bf a$ se réduit en $\bf c$.
On peut remarquer (par induction sur le nombre d'étapes de réduction) que la réduction ainsi définie préserve les types: pour tous type $\mathcal A$ et toutes expressions $\bf x,y$, si $\bf x$ se réduit en $\bf y$ et si $\bf x$ est de type $\cal A$, alors $\bf y$ est aussi de type $\cal A$.
3°) Interprétation des expressions mathématiques.
3.1): Interprétation des types:
Dans ce qui suit, on considère la donnée, pour tout type atomique $A$, d'un ensemble $\overline A$.
On définit par induction $\mathfrak E(\mathcal F)$ comme étant:
-si $\mathcal F$ est un type de base, $\mathfrak E(\mathcal F) := \overline {\mathcal F}$
-si $\cal F = (G) \to H$, $\mathfrak E(\mathcal F) = \mathfrak E(\mathcal H)^{\mathfrak E(\mathcal G)}$
3.2) Interprétation des expressions:
Le contexte $\Gamma$ étant $(x_1,\mathcal F_1);(x_2,\mathcal F_2);...(x_n,\mathcal F_n)$, on suppose la donnée pour tout $i$ d'un élément $\eta_i$ de $\mathfrak E \left (\mathcal F_i \right )$.
On définit alors par induction (cf paragraphe I, 11°, 12°, 13°), pour chaque expression $\mathbf p$, $\mathbf p [x_1:= \eta_1, x_2 := \eta_2,...,x_n:=\eta_n]$ (noté aussi $\mathbf p [\vec x := \vec{\eta}]$ pour faire court) de la manière suivante:
-pour une lettre mettons $x_k$, on a $x_k[\vec x := \vec{\eta}]:= \eta_k$.
-$\mathbf I_{\mathcal A} [\vec x := \vec{\eta}] := id_{\mathfrak E (\mathcal A)}$ pour tout type $\mathcal A$.
-$\mathbf K_{\mathcal B,\mathcal C} [\vec x := \vec{\eta}] := \kappa_{\mathfrak E (\mathcal
-$\mathbf S_{\mathcal P,\mathcal Q,\mathcal R} [\vec x := \vec{\eta}] := \sigma_{\mathfrak E (\mathcal P),\mathfrak E (\mathcal Q),\mathfrak E (\mathcal R)}$ pour tous types $\cal P,Q,R$
-et enfin $\mathbf q \langle \mathbf r \rangle [\vec x := \vec{\eta}] := \mathbf q [\vec x := \vec{\eta}] \left (\mathbf r [\vec x := \vec{\eta}]\right )$.
3.3) Compte tenu du 11° 12° et 13° de I) ci-dessus ainsi que des définitions du II, on voit par induction sur la taille des expressions que pour toutes expressions $\bf a,b$ du contexte $\Gamma$, si $\bf a$ se réduit en $\bf b$ alors $\mathbf a [\vec x := \vec{\eta}]$ et $\mathbf b [\vec x := \vec{\eta}]$ sont égaux..
4°) Opérateur d'abstraction.
4.1) Si $\bf p$ est une expression et $(x,\mathcal F)$ une lettre du contexte avec son type, on définit $\lambda^{\mathcal F} x (\bf p)$ par induction sur la taille de $\mathbf p$ de la façon suivante:
(i) $\lambda^{\mathcal F} x\left ( x \right ) := \mathbf I_{\mathcal F}$
(ii) si la lettre $x$ n'apparaît pas dans $\mathbf p$ (c'est syntaxique) et si $p$ est de type $\mathcal G$, on pose $\lambda^{\mathcal F} x\left ( \mathbf p\right ):= \mathbf K_{\mathcal F, \mathcal G} \langle \mathbf p\rangle$
(iii) si $\bf q$ est de type $\cal (M) \to N$ et $\bf r$ de type $\cal M$ on pose $\lambda^{\mathcal F} x\left (\bf q \langle r\rangle \right ) := \mathbf S_{\mathcal F,\mathcal M,\mathcal N} \langle \lambda^{\mathcal F} x\left (\mathbf q \right )\rangle \langle \lambda^{\mathcal F} x\left ( \mathbf r \right )\rangle$.
Cet algorithme produit des termes gigantesques et franchement illisibles cependant on a les propriétés cruciales suivantes:
4.2.0): Pour tout $\bf p$, toutes les lettres apparaissant dans $\lambda^{\mathcal F} x\left ( \mathbf p\right )$ apparaissant dans $\bf p$. De plus:
4.2.1) $x$ a disparu complètement de $\lambda^{\mathcal F} x\left ( \bf p\right )$ (l'algo enlève ses occurrences une par une).
4.2.2) Pour tout $\bf q$ et tout type $\mathcal A$, si $\bf q$ est de type $\mathcal A$ alors $\lambda^{\mathcal F} x\left ( \bf q\right )$ est de type $\cal (F) \to A$
4.2.3) Pour tout $\bf r$, $\lambda^{\mathcal F} x\left ( \mathbf r \right ) \langle x \rangle $ se réduit en $\bf r$ (immédiat par induction sur la taille de $\bf r$ en appliquant la définition de l'algo).
4.2.4) entraîne par récurrence sur $p\leq n$ que:
$\lambda^{\mathcal F_1} x_1 \left ( \lambda^{\mathcal F_2} x_2 \left ( ... \lambda^{\mathcal F_p } x_p \left ( \mathbf f \right )\right ) \right ) \langle x_1 \rangle \langle x_2 \rangle ... \langle x_p \rangle $ se réduit en $\bf f$ pour toute expression $\bf f$.
On abrègera $\lambda^{\mathcal F_1} x_1 \left ( \lambda^{\mathcal F_2} x_2 \left ( ... \lambda^{\mathcal F_n } x_n \left ( \mathbf f \right )\right ) \right )$ en $\lambda^{\mathcal F_1,\mathcal F_2,,...,\mathcal F_p} x_1,x_2,...,x_p \left ( \bf f\right ) $, de sorte que:
5°) La partie 4 et le théorème 3.3) entraînent le résultat fondamental suivant qui motive l'introduction de $\lambda^{\mathcal F} x\left ( ... \right )$.
[size=large]Pour tout type $\mathcal M$ et toute expression $\bf e$ de type $\mathcal M$ du contexte $\Gamma$, $\left (\lambda^{\mathcal F_1,\mathcal F_2,,...,\mathcal F_p} x_1,x_2,...,x_p \left ( \mathbf e\right ) \right )[x_{p+1}:= \eta_{p+1};...; x_n := \eta_n]$ est une fonction(*) de $\mathfrak E (\mathcal F_1) \times ... \times \mathfrak E (\mathcal F_p)$ dans $\mathfrak E (\mathcal M)$; de plus
$\left ( \left (\lambda^{\mathcal F_1,\mathcal F_2,,...,\mathcal F_p} x_1,x_2,...,x_p \left ( \mathbf e\right ) \right )[x_{p+1}:= \eta_{p+1};...; x_n := \eta_n] \right ) (\eta_1) (\eta_2) ... (\eta_p) = \mathbf e [\vec x:=\vec {\eta}]$.[/size]
Pour toute expression $\mathbf u$, si on note $E_i:=\mathfrak E (\mathcal F_i) $, on abrège par "$x_1 \in E_1,...,x_p \in E_p \mapsto \mathbf u$" la fonction $\left (\lambda^{\mathcal F_1,\mathcal F_2,,...,\mathcal F_p} x_1,x_2,...,x_p \left ( \mathbf u\right ) \right )[x_{p+1}:= \eta_{p+1};...; x_n := \eta_n]$.
Le lecteur retrouve alors les usages dont il a l'habitude.
[size=x-small](*)à curryfication près: on identifie $A^{B \times C}$ avec $(A^B)^C$[/size]
Bah évidemment. Quand on dit "machine" à un collégien, il pense tout de suite "machine de Turing" et pas "voiture" ou "cafetière". :)o
Édit : Je pense qu'on a assez parlé du fait que la machine réponde toujours de la même façon ou pas. On commence à tourner en rond.
En tout cas, si on le fait "de façon implicite", il ne faut pas s'étonner que l'intuition de certains ne fonctionne pas comme prévu. Et à force d'avoir un empilement de notions "implicites" et donc floues ou à coté de la plaque, il ne faut pas s'étonner que l'édifice obtenu n'est pas toujours stable.
L'implicite, c'est le cœur de l'art, et une œuvre d'art n'est jamais vue de façon identique par tout le monde. C'est ce qui rend l'art "intéressant", de voir à quel point l'implicite peut être vu de façons différentes par des individus différents. Mais l'idée d'une notion mathématique, ce n'est pas qu'elle soit vue de façon "artistique" et (trop) différente, non ? Car il y aura bien des artistes qui vont en faire un truc bizarre qui posera problème quand ils vont constater que les autres ne voient pas les choses de la même façon.
xax, tu vas presque dans mon sens.
Ne pas donner une définition car, ça n’en est pas une.
Je reprends l’exemple de « droites sécantes ».
Si le prof donne « deux droites sont sécantes signifie qu’elles se coupent » je trouve ça inutile car ça ne dit rien.
S’il parle intuitivement, ok, ça marche. Ok « c’est qu’elles se croisent ».
Mais en tant que définition je dis qu’il a tort.
Le prof de dessin enseigne le dessin et la technique de dessin.
Le prof de boxe enseigne la boxe et comment donner les coups etc.
Le prof d'anglais enseigne les mots anglais, leur signification, leur syntaxe, comment les prononcer...
Le prof d'échecs enseigne le mouvement correct des pièces puis les tactiques, les ouvertures,...
Le prof de philo enseigne des concepts.
....
Mais on oblige le prof de maths à enseigner des notions.
Les notions sont une abomination, c'est de la m___ excusez-moi !!
Je ne pense pas avec des notions (et ne pourrais pas), je pense avec des concepts.
Le pédagogisme a la prétention inouïe d'entrer en communion mentale avec l'élève, imaginant piloter comme par magie son cheminement intellectuel en évitant systématiquement toute formulation précise. C'est pour ça qu'on nous flanque des "notions".
Comble du ridicule, La notionnite s'est mise à déborder sur des domaines où elle n'est même plus (et de loin) pertinente, comme le montre l'expression hallucinante de notion de variable, oubliant que ce qui fait qu'une lettre accède au statut de "variable" (les logiciens et informaticiens parleraient pluôt de variable liée mais je vais garder cette terminologie ici) est un fait purement syntaxique.
En maths, les variables sont du sucre syntaxique. Du sucre quasi indispensable en pratique (sinon langage illisible de type machine) mais du sucre quand même.
Tu dis qu’il faut donner une définition des objets dont on parle.
Allons-y,
Nombre, nombre entier, point, segment, droite.
J’écoute attentivement, j’attends le dictionnaire.
Remarquer : « fonction » est plus simple à définir que les mots de cette liste oserais-je dire...
Allez, qui balance son cahier de cours de l’élève avec toutes les définitions ?
Attention les gars. À critiquer les technocrates qui ne comprennent rien au terrain, vous êtes en train de les singer dangereusement.
C’est assez drôle. Mais je n’ai pas beaucoup de temps en plus à consacrer à ce fil, alors proposez des choses pertinentes.
Pour le moment, seul Foys propose une définition de fonction.
Moi, je ne la donnerais pas. Ni au collège, ni au lycée de 2020.
Il n'y a pas de définition de "fonction" à partir de rien.
Donner la définition ensembliste sans avoir donné la définition des ensembles est tricher avec la règle : Toujours définir de dont on parle. Mais en en mathématiques ensembliste, il n'y a justement pas de définition du mot "ensemble".
On commence les mathématiques dès la fin de la maternelle (entiers et comparaisons d'entiers, formes, classes et relations; sous forme ludique). Finalement, on peut se contenter de savoir que les entiers comptent, que les nombres mesurent, que les inégalités comparent, que les fonction fonctionnent, et aller très loin (Voir les travaux d'Euler et Gauss). Puis, quand on fait des études de mathématiques pour mathématicien et scientifique théoricien, on peut étudier sérieusement les fondements des mathématiques, pour voir une cohérence globale qui ne fait d'ailleurs que retrouver les usages basiques des objets (*).
Cordialement.
(*) J'ai appris la définition ensembliste avec mes profs de fac, elle n'a rien changé à ma connaissance de l'outil, ne m'a apporté aucune méthode nouvelle de preuve, n'a rien remis en cause.
Foys a pris la peine de souligner en rouge (les deux premières phrases en rouge) dans son texte ce qu'on peut extraire et ça y correspond.
Les autres définitions dont tu parles sont tout aussi facilement exposables, on le faisait "avant" avec un recours aux ensembles, ce n'était pas très facile au collège mais ce n'était pas insurmontable non plus, même pour des élèves moyens.
Après que tu ne veuilles pas en parler dans tes cours ça te concerne, et ce n'est en rien une faute puisque les programmes ont été délabrés sur le corpus conceptuel - entre autres.
Oui. L'approche Bourbakiste rend cela très accessible, et c'est comme ça que j'ai appris ces notions à partir de la 5ième. Donc c'était fluide, évident et je n'ai jamais connu autre chose.
En 5ième, on a eu d'abord le langage de la théorie des ensembles naive Cantor, (beaucoup plus que je fais dans mon livre pour le lycée), on a étudie le monoide commutatif de l'ensemble des sous ensembles d'un ensemble avec l'opération "union", avec l'opération "intersection", le demi anneau avec les deux (pour introduire la distributivité). On a défini un groupe, et on a joué avec des groupes finis arbitraires avec des tableau de Cayley, et il fallait vérifier si c'était un groupe. On a défini le produit d'ensembles, les relations, les fonctions, les applications, les injections bijections etc... Les permutations, les transformations d'un ensemble etc.. Les partitions, les équivalences, les ordres, et oui, l'ensemble-quotient.
Puis, d'une façon formellement fausse, on a introduit l'entier naturel, comme l'ensemble-quotient de l'équivalence "... a une bijection avec ..." dans "l'ensemble de tous les ensembles finis". Un ensemble fini = un ensemble qu'on peut noter par énumération (donc { a, b, c, ...}).
Ça, c'était $\N$.
On a introduit l'addition comme l'entier naturel qui contenait l'union de deux représentants des termes, n'ayant pas d'élément en commun, et la multiplication comme l'entier naturel contenant le produit de deux représentants des facteurs. On en a déduit commutativité et associativité par exemple.
Ensuite, exactement comme dans mon texte, on a introduit les entiers relatifs avec un ensemble-quotient et vu que c'était un anneau commutatif. A partir de là, on a déduit des règles de calcul comme les identités remarquables.
En 5ième donc.
Coté géométrie, c'était vraiment n'importe quoi, je dois dire. On passait un temps fou à introduire ce que c'était, une droite dans "le plan Pi, ensemble de points". En 4ième, on introduisait le parallélogramme, et la notion d'équipollence de couples de points, ce qui donnait lieu à la notion de vecteur. A partir de là, on était parti faire de la géométrie, une fois qu'on avait le vecteur comme ensemble-quotient de couples de points équipollents.
Si tu veux savoir exactement, il y a les livres de Papy qu'on suivait essentiellement. Malheureusement, ils ne sont pas disponibles scannés à ce que sache. Je les ai acheté en occaze sur Rakuten il y a quelques années.
Je ne dis pas que c'est la bonne façon de faire au collège. Je crois que c'en était trop, et trop tôt. Mais sur le plan "définition claire" il n'y avait donc à aucun moment le moindre doute.
Alors, si on ne le fait pas de façon Bourbakiste, et donc, je crois effectivement qu'il ne faut pas le faire au niveau collège, et puisque tout le monde dit qu'on peut faire sans, il faut donc remplacer les définitions Bourbakistes par d'autres, qui sont aussi claires, mais qui parlent peut-être plus à l'imaginaire d'un collégien.
Simplement ne rien définir et rester dans le flou n'est pas une option.
Donc, oui, il est parfaitement possible de définir la notion "entier naturel", etc... au collège puisqu'on le faisait. Mais puisqu'on dit que cette façon de faire n'est pas la bonne à cet age (et j'en conviens), il faut remplacer cela par quelque chose qui est au moins aussi clair, non ? Sinon, on recule. On remplace quelque chose qui marche, par rien.
Mais pour remplacer les notions Bourbakistes par "des choses plus simples", je ne sais pas comment faire puisque je ne l'ai jamais fait. Les gens qui disent qu'il faut faire "plus simplement" doivent donc savoir comment, non ?
Tu donnes une définition de « fonction » en proposant une autre mot non défini (relation).
Puis pour m’expliquer « relation », tu parles avec un autre mot (lien).
(Au passage, j’espère que tu ne dis pas que Christophe fait cela, c’est assez méchant...)
Vas-tu l’entendre un moment dans la discussion que tu ne définis rien ?
Ne vois-tu pas un problème à définir des mots avec d’autres mots non définis ?
Comme le dit Gérard, c’est avec « ensemble » qu’on remonte à la source des sources.
Alors je dis qu’il faut être clair : dire quelles sont les sources (les notions premières) et construire les autres objets avec les objets « sources ».
Ça ne me gêne pas qu’on invente ses propres notions sources. C’est une aveu de faiblesse, mais c’est sincère.
Faire semblant, c’est dégueulasse.
Quel est le mal à dire « je ne vous définis pas ce qu’est ce truc mais on va en parler quand même » ?
Autrement dit, je suis contre le fait d’annoncer :
- écoutez les enfants, je vous donne la définition du siècle, êtes-vous prêts ?
- oui monsieur ! (Tous en coeur)
- une fonction est une relation
- hannnn merci monsieur. (Tous en coeur)
C’est du foutage de gueule, non ?
Je t’écoute pour la définition d’une droite, en 6e, que tu évites en disant « c’est pas bien plus difficile ».
N’épiloguons-pas. Proposons un truc propre sans détour.
Allez, écris ce que l’élève de 6e devrait avoir comme définition de « droite ».
Sans rajouter d’édulcorants, sans faire la prose habituelle, sans décorer le propos.
Tiens, je vais jouer le pédagogo : quelle est la trace écrite de Éric de la 6eB à Trifouilly ?
Enfin, le genre de phrase « que tu ne veuilles pas [...] dans tes cours » montre qu’on va rentrer, si on n’y est pas déjà, dans la cours de récréation.
Cette discussion est-elle de cette teneur ? Je ne le pensais pas. Je ne serais jamais venu sinon. Je l’ai pressenti dans un message précédent ou je parle du temps consacré à lire et à répondre dans ce fil. Sans prétention aucune cependant. Je n’ai aucune légitimité et n’en cherche pas.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1789934,page=1
On a un seul désaccord.
Tu dis : trouvons d’autres définitions, intuitives, imagées même si elles ne sont pas mathématiques.
Je dis : ne donnons pas de définition qui n’en sont pas sauf à les qualifier de non mathématiques.
Là où l’on s’accorde finalement c’est que je m’autoriserais à dire « je ne sais pas définir ce truc en 6e mais si vous voulez j’en donne une définition non mathématique mais intuitive ».
NB : depuis le début j’utilise le terme « définition » (seul, sans adjectif) à la place de « définition mathématique ». Est-ce la raison d’une sensation de dialogue de sourd ?
Dans tous les autres cas je précise avec un adjectif (intuitif, imagé, empirique, etc.).
Je te remercie pour ce dernier message.
Il est très clair et m’incite à penser que contrairement à d’autres participants je ne te mets pas dans le même sac (pardon, ce n’est pas péjoratif, c’est rapidement rhétorique) que xax par exemple.
xax, cette dernière phrase n’est pas non plus méprisante pour toi, l’expression « mettre dans le même sac » est malheureuse et je n’en ai pas trouvé d’autres.
Ben, tout. Ce mot ne veut rien dire alors. On ne peut pas utiliser un mot qui ne veut rien dire. Si on ne peut pas dire explicitement ce qu'il veut dire, alors c'est un mot bidon. Dans l'art, je veux bien, c'en est le cœur, de ne pas dire de quoi on parle, pour laisser libre son interprétation. Dans les maths, non.
Je suis bien d'accord qu'il y ait des notions qui sont sans doute suffisamment bien développées pour que, au niveau collège, ça n'apporte rien de vouloir re-définir ce qu'on sait déjà, et le nombre entier naturel est sans doute une telle notion. Peut-être le nombre entier relatif aussi. L'addition des entiers, sans doute aussi. La multiplication, aussi. La soustraction, aussi. La division, ça devient glissant déjà. Il y a une notion intuitive de "division", mais entre "division Euclidienne" et "fraction" on est déjà à la limite de ce dont on peut supposer qui est intuitivement acquis.
Les notions élémentaires géométriques sont aussi suffisamment proches de l'intuition graphique et visuelle, pour qu'il n'y ait pas besoin d'avoir des re-définitions au niveau collège.
Donc tout ça, c'en était trop dans l'approche Bourbakiste, il n'était pas *nécessaire* d'être plus précis, même si ce n'était pas difficile de l'être. L'intuition géométrique, à moitié formalisé par Euclide, est suffisante, et suffisamment uniforme par tout le monde, pour qu'il n'y ait pas d'utilité de rendre ça plus clair à ce niveau.
Une droite, c'est l'idéalisation du trait fait avec un crayon sur un bout de papier, imaginé prolongé à l'infini. Ça suffit à ce niveau, et tout le monde s'imagine la même chose plus ou moins. Donc pas besoin d'en faire tout un cake, même si ce n'est pas difficile.
Mais la notion de fonction pose problème. Je l'ai constaté. Même la notion de fraction peut poser problème. Le collège est la période où on transite des maths intuitifs (arithmétique élémentaire et géométrie sur un bout de papier) vers des notions abstraites. On ne peut pas rester sur un plan "artistique", mais il faut sans doute faire plus simple que Bourbakiste.
D'où ma question de ce fil.
Encore une fois je ne me situes pas dans le contexte scolaire (et Patrick écrit pour une lecture en dehors de celui-ci); je n'en tiens plus compte.
La lecture des programmes et ton point de vue confirme le fait que ce qui s'enseigne actuellement au collège est bien anecdotique, ce qui rend quand même pas mal d'enseignants mal à l'aise.
je crois qu'il faut distinguer deux choses:
- le fait que les concepts introduits soient apprenables et superficiellement compréhensibles par les élèves de collège
- le fait qu'ils les comprennent suffisamment et se les approprient
Pour les notions d'ensembles, de fonctions, de relations, le premier point est tout à fait possible. Je l'ai vécu dans les années 70.
(par exemple une relation est un ensemble de couples, un couple est la paire composée d'une paire et d'un singleton, d'intersection non vide)
Pour le second point c'est plus compliqué, il faut que l'élève en ressente la nécessité, qu'il voit une "valeur ajoutée" au concept.
Pour cela il faut qu'il dispose d'exemples concrets en nombre suffisant (3 ou 4).
Là il faut distinguer entre la théorie des ensembles et les notions de fonctions et relations.
La notion d'ensemble est très concrète (ensembles d'élèves, d'objets, d'animaux, de symboles, de lettres, de chiffres), l'élève dispose dés la 6ème de nombreux exemples autour de lui.
On peut donc l'enseigner très tôt.(6ème-5ème) (y compris intersection, réunion, complémentaire, ensemble des parties, ensemble vide)
Pour disposer d'exemples en nombre suffisant de fonctions et de relations il faut attendre la 4ème-3ème.
Là on connait (ou on devrait connaitre) les congruences arithmétiques, les vecteurs, les fractions (je ne prétend nullement que la notion de relation soit nécessaire à l'apprentissage des fractions, mais que dans un deuxième temps elles peuvent être revisitées), la relation d'ordre sur IR.
Pour les fonctions il faut connaitre les fonctions affines, la fonction racine carrée, la fonction carrée, la fonction valeur absolue, les transformations géométriques.
On peut alors introduire la notion de relation d'équivalence, d'ordre, d'application, surjection, injection, bijection.
En revanche il n'est pas nécessaire d'introduire la notion de loi de composition avant de voir les matrices et les espaces vectoriels (au lycée donc idéalement).
Il ne faut donc à mon sens introduire les concepts qu'après que l'élève a vu suffisamment d'exemples de cas concrets. En revanche les définitions données doivent reposer sur la théorie des ensembles.
Cordialement
J’avais bien lu ce message. Il site Foys et Christophe c’est pourquoi je ne t’ai pas attribué leur définition.
un élève saura répondre aux questions:
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=2x+5$.
1) Donner l'image de $5$ par la fonction $f$.
2) Donner le ou les antécédants de $5$ par la fonction $f$.
Mathurin, tu as lu les derniers programmes (reste assis si c'est la première fois ...) ?
À partir de la p29
http://cache.media.education.gouv.fr/file/30/05/0/ensel169_annexe2V2_986050.pdf
et à partir de la p41
http://cache.media.education.gouv.fr/file/30/62/8/ensel169_annexe3_985628.pdf
Ce dont tu parles n'existe malheureusement plus depuis longtemps (cela reste enseigné dans quelques établissements qui, pour certaines raisons, dérogent, mais sont peu nombreux).
C'est pour ça que Patrick se pose ces questions.
je suis bien d'accord, mais en creux cela donne la réponse:
Si les élèves n'ont pas d'exemples concrets de ces structures, on ne peut pas les présenter.
De toute façon Patrick123, se demande ce que l'on peut enseigner (à la maison) à des élèves de collège en passant par profits et pertes les programmes officiels.
On voit se différentier deux modes de pensée. L'un se donne pour but d'amener l'élève à contempler les mathématiques (sur le modèle: elles sont dures, ces maths là). L'autre se donne pour but d'amener l'élève à faire des mathématiques.
Dans le premier mode, il n'y a aucune raison de ne pas charger la barque. Le laïus de Foys à la sauce ZFx, surtout pour conclure "le lecteur retrouve alors les usages dont il a l'habitude" est une tentative amusante en ce sens. On pourrait aussi demander aux élèves de 6ème de transporter le bouquin de Dehornoy dans leur cartable, cela leur ferait les muscles et, qui sait, hâterait l'avènement de la prophétie du gourou de secours: "dans un système qui serait sain, vers 8-9ans, tout enfant non handicapé mental grave aurait un L2 de maths en gros" (verset 1791184)
Dans le deuxième mode, on ne se contente pas de psalmodier des définitions. On fait faire des exercices. Il est exact que faire faire n'est pas trop dans l'air du temps. Mais c'est en forgeant que l'on devient forgeron, en lisant que l'on devient liseron, et ainsi de suite. C'est comme cela. Lorsqu'un élève a "compris de façon imprévue", c'est tout de suite qu'il faut le détecter et pas deux ans plus tard. Cela suppose en particulier de ne pas inclure les réponses dans les questions. C'est ainsi que les deux questionnements:
(1) montrer, par induction sur la taille des expressions, que pour toutes expressions a,b du contexte $\Gamma$, si a se réduit en b alors a[x:=n] t b[x:=n] sont égaux.
(2) comparer a[x:=n] et b[x:=n] lorsque a,b sont des expressions du contexte $\Gamma$ et que a se réduit en b (n'hésitez pas à prouver votre opinion à ce sujet).
ne mesureraient pas la même chose.
Pour ce qui est des fonctions, on part du graphe ci-dessous, et on demande: (1) peut-on obtenir $x$ en fonction de $y$? (2) peut-on obtenir $y$ en fonction de $x$? Comprendre ce qu'est une fonction, c'est à dire intérioriser une définition opératoire de cette notion, cela équivaut à comprendre la différence entre l'article défini singulier et l'article indéfini. Un antécédent de $y=2$, ce n'est pas la même chose que les antécédents de $y=2$. Quant à le antécédent de $y=2$, quand y en a deux, y en a plusse qu'un. En résumé: enseigner la gran'maire comme au temps des grand'mères résout le problème.
Cordialement, Pierre.
C’est en ce sens que je disais « à quoi bon si c’est pour proposer des choses qu’on ne va pas exiger de savoir ? ».
@Mathurin oui et c'est très bien cette attitude qui consiste à combler les béances les plus inacceptables et à partager. Personnellement je travaille sur quelque chose de plus modeste, un tableau synoptique des concepts au collège, assez détaillé, car je n'ai pas trouvé (il existe des réalisations très abouties, mais elles reprennent les programmes officiels et sont plutôt destinées aux enseignants http://frederic.leon77.free.fr/formations/synoptiqueA3.pdf).
Il y a une différence notable selon moi.
Quand tu commences à perdre les gens dans des considérations qu'ils ne peuvent pas comprendre, ou très difficilement comprendre, ils sont moins enclins à être disposés à t'écouter quand tu leur proposes de faire des choses qui sont raisonnables.
6e : ensembles, ensemble des entiers naturels et des fractions positives (il faut savoir les ordonner et placer sur la demi-droite graduée).
5e : tous les autres nombres (y compris les irrationnels), ratios, proportions... et à la fin de l'année on apprend ce que c'est un système des coordonnées cartésiennes et comment y placer les points. On finit avec un peu de statistique et quelques graphiques à lire. Les définitions : Les mots soulignés ont été abordés et expliqués avant.
4e et 3e : inégalités, intervalles, rappel de ce que c'est un système des coordonnées cartésiennes. Certain manuels commencent à la fin de 4e, d'autre début 3e. La fonction est présentée comme une formule avec des conditions en utilisant les exemples venant du cours de physique.
2nd : Fonction continue et discontinue (définition intuitive), les fonctions usuelles ($y=ax+b$, $y=x^2$ et $y=ax^2 +bx + c$, $y=x^3$, $y=1/x$, $y=|x|$ et $y=\sqrt{x}$ + d'autres si la classe avance vite. Résolution graphique des (in)équations et des systèmes d'(in)équations.
1iere : fonctions trigo (les 4), fonction paire/impaire/périodique, étude des fonctions, dérivée et tangente.
Bref, vous vous compliquez la vie inutilement...
Selon le charisme du prof, sa personnalité et la confiance des élèves envers lui, il peut demander plein de choses à ses élèves, même si lesdites choses sont difficiles, abruptes, etc. Ainsi quel que soit le principe adopté on trouvera toutes les situations et sans grandes disproportions qui laisseraient penser qu’il faut faire comme ceci et ne pas faire comme cela (j’entends dans le cas où les « mêmes exercices » sont finalement proposés par les deux camps).
La généralité que tu suggères contient sûrement l’écueil des innombrables cas par cas.
Qu'est-ce qui est plus important pour les élèves : savoir faire les zolifrases et de ne pas mélanger image/antécédent ou savoir ce que c'est les nombres, les coordonnées et savoir les placer, les relier, savoir dessiner à la main un graphique de la fonction etc?
Je voulais essayer d'introduire des "pré-définitions" non-ensemblistes, avant d'arriver aux définitions Bourbakistes dont je crois effectivement que ce sont les seules "vraies", mais je suis aussi sensible à l'argument qu'on ne peut pas faire cela trop tôt dans le parcours et que c'était l'erreur fondamentale des "maths modernes", justement, de ne pas passer par un stade "pré-ensembliste plus intuitif.
Donc, la question est: peut-on donner des définitions pré-ensemblistes des notions "difficiles" au collège, sans instaurer des images mentales qui poseront problème plus tard. La solution "ne rien dire" n'empêchera pas l'élève de se faire quand-même sa propre image mentale, mais non-guidée, et augmente donc le risque d'un inventer une qui sera problématique.
Je vois cela un peu comme l'apprentissage d'un sport. On n'apprend pas tout de suite le geste "professionnel", mais il faut se garder d'acquérir des mauvaises habitudes car elles sont difficiles à s'en débarrasser après. Quand on apprend du ski, par exemple, il y a des gestes à ne pas faire, dès le début (par exemple, être trop en arrière sur ses skis). Par contre, la technique pour tourner sera différente pour un skieur débutant, que pour un plus confirmé. Le moniteur ne dit pas: "bon, débrouillez-vous pour descendre la pente". Ne pas donner une définition (c.à.d. un concept clair de la notion) ressemble au moniteur qui donne un coup de pied dans les fesses de son apprenti en haut de la pente, du moment où il finira par glisser vers le bas, ça lui va.
je crois qu'il est vain de vouloir trouver des définitions "pré-ensemblistes", c'est pour cela que je prône une introduction très précoce à la théorie des ensembles, qui est assez intuitive.
En revanche les définitions ensemblistes des fonctions et relations ne doivent être introduites qu'après que l'élève ait vu plusieurs (3 ou 4) exemples et qu'il en ait donc réellement besoin. Sinon cela reste pour lui un jeu assez vain.