Définition de "fonction" au niveau collège.

Fin de partie · January 2020

Dom:

Si on commence par te demander de faire des trucs que tu ne sais pas faire. Quand on va te demander des trucs que tu sais faire ou qui sont moins difficiles que ce qu'on t'a demandé initialement tu n'auras pas nécessairement la bonne disposition d'esprit pour réussir à faire ce qu'on te demande (le doute, l'installation du manque de confiance en soi, la méfiance vis à vis de la personne qui demande etc).

On ne nourrit pas intellectuellement les gens comme on engraisse des canards en leur mettant un entonnoir dans le bec: après on verse la nourriture jusqu'à ce que le sac soit vide. 8-)

Mathurin · January 2020

Pour illustrer le propos de pldx1, je crois utile de remettre une citation de Daniel Lehmann dans sa préface d'« initiation à la géométrie » (PUF 1988), que j’aime bien :

D Lehmann a écrit:

Cela n’a (…) aucun sens de ranger et de structurer le vide. L’erreur, selon moi, de certains disciples trop zélés de Bourbaki, a été de croire que le mode d’exposition formaliste et structuraliste pouvait avoir valeur de modèle pédagogique, et se transposer à la formation des débutants ne connaissant encore rien – ou presque– aux mathématiques.
Une grande confusion s’est alors instaurée entre les objets mathématiques et leur structure, les problématiques et leur méthode d’approche, les résultats profonds et les outils pour les formuler ou les démontrer. Ceux-ci ont pris peu à peu le pas sur ceux-là, dans l’enseignement universitaire d’abord, puis secondaire et même élémentaire. Avant qu’aucun débat n’ait permis de relativiser, dans l’esprit des élèves et des professeurs qu’on formait, le rôle qu’il convenait d’attribuer aux structures, aux axiomatiques et à la rigueur, on s’est mis à enseigner partout les « structures fondamentales », dont les personnes mal informées auraient pu croire que c’était presque par miracle qu’il était possible de les appliquer à des exemples. (…)
Les diverses tentatives de ces vingt dernières années pour enseigner ces théories puissantes à des débutants étaient donc d’avance vouées à l’échec, dans la mesure où elles reposaient sur l’illusion qu’il suffirait que ceux-ci en disposent pour éprouver spontanément le besoin de s’en servir. Souvent, même, la confusion était faite entre ces outils et leur usage, ou bien cet usage était méprisé sous prétexte qu’il rendait faciles des démonstrations réputées autrefois pénibles (confusion entre l’intérêt d’un résultat et la difficulté de sa démonstration). La plupart du temps d’ailleurs, il n’était pas question d’ »outils » à « utiliser », mais de « théories » qu’on pouvait –au mieux et quand il restait du temps – « appliquer » ; comme si la plantation des clous n’était qu’une « application » de la théorie du marteau, à faire éventuellement en exercice pour s’assurer qu’on avait bien compris !

Cependant je pense qu’il est possible idéalement d’introduire un peu de Bourbakisme au collège, pour peu qu’on se limite à ce qui est nécessaire quand c’est nécessaire.
Cordialement

xax · January 2020

@Mathurin oui ça reflète bien ce que je lis des témoignages de l’époque. Les bouquins, bien que très intéressants, sont très inégaux, comme s'il n'y avait pas eu une réflexion suffisante, pas assez de préparation.

Dans la collection Durrande, la théorie des ensembles disparaît du collège au milieu des années 80, et chose curieuse, les enfants des couvertures. L'édition de 82 de 5e fait une étude assez longue des relations et finit par les relations d'équivalence et les classes d'équivalence.

Quand on compare le contenu de ses livres et les programmes à ce qui se fait aujourd'hui, on est quand même saisi ...

Quand ce livre a été publié j'avais sensiblement l'âge des enfants sur les couvertures. Qu'une part si significative de l'enseignement des maths disparaisse en une génération fait réfléchir. Au pays des mathématiques qui plus est.

Dom · January 2020

Fin de partie :
Si on demande à quelqu’un de faire quelque chose qu’il ne sait pas faire.
J’ordonne à ce quelqu’un en question de me dire : « je ne sais pas le faire ».

Hum...ça n’a rien à voir avec la discussion.

Fin de partie · January 2020

Dom:

Si, cela a un rapport.
Par dogmatisme, certains voudraient dérouler des définitions incompréhensibles à des gens qui ont un faible bagage culturel mathématique* pour finalement leur demander des savoir-faire qui sont très éloignés des définitions données.
Et ils veulent le faire dans cet ordre-là: définitions imbitables, savoir-faire raisonnable.

Quand quelqu'un te tend dix fois la main pour te mettre une baffe, à la onzième fois tu crois que tu vas penser qu'elle va seulement te serrer la main quand elle va la tendre à nouveau vers toi?

*: la culture mathématique on ne l'apprend pas en lisant la presse quotidienne ou en écoutant les informations à la tv/à la radio. Tout le monde peut savoir ce que signifient les chiffres 49-3 mais il n'y a aucun risque qu'en lisant la presse quotidienne tu apprennes ce qu'est une fonction mathématique.

kioups · January 2020

xax : tu as fait la théorie des ensembles au collège ? Moi comme de nombreux intervenants, non. Et je ne m’en porte pas plus plus mal. Une fonction, c’était une boîte et c’était très bien comme ça.

xax · January 2020

@FdP dans le livre que je cite plus haut, ainsi que du chapitre dont je parle, la relation est envisagé sur les élèves de 5e d'un collège dont l'effectif sert d'exemple de cours pour illustrer le concept de partition.

Donc ce n'était pas si abstrait que ça dans les énoncés, et comme le pense aussi Patrick, les ensembles permettent des illustrations très concrètes et faciles à saisir (c'est quand même pas la théorie des catégories ...).

Ce n'est pas un hasard si en 85 les études de niveau indiquent que la secondarisation de l'enseignement menée sur 25 ans a été un succès. Le crash commence au début des années 90.

xax · January 2020

@kioups oui j'en ai fait, en primaire aussi, et j'ai eu des enseignants qui arrivaient à faire passer les choses, avec de très belles illustrations avec les couleurs des craies.
J'ai souvenir d'avoir appris ce qu'est une bijection en 5e sur un diagramme sagittal.

Mais les programmes juste après n'étaient pas mal non plus, c'était un autre état d'esprit car on avait décidé de fermer la grange des "maths modernes".

L'explication du crash des maths en relation avec les maths modernes n'est pas directe, et je pense même n'existe pas.

Fin de partie · January 2020

XAX:

Pour une vraie définition de la notion de fonction il faut plus faire confiance à Foys qu'à des manuels de cours destinés à des collégiens ou des lycéens (voire des étudiants de licence).
Tu crois donner une définition mais cela n'en est pas réellement une.

Cela gêne qui de définir le nombre $\pi$ comme le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre?
(même si on ne démontre pas que ce rapport est constant quand on change de cercle).

On pourrait faire une liste de ce qu'on admet dans l'enseignement secondaire et cette liste n'est surement pas anecdotique.

Foys · January 2020

Les gens peuvent se demander pourquoi j'écris ces longs textes alors que le sujet porte sur une définition à livrer à des collégiens.
Il n'y a presque jamais de collégiens qui viennent ici, le forum est fréquenté essentiellement par des profs de maths ou des étudiants et adultes ayant un bagage académique conséquent. Mes messages longs s'adressent plutôt à ce type de public.

Les définitions d'une fonction et de ses accessoires que je prône et que j'ai toujours utilisées pour moi-même sont invariablement les mêmes et le tout fait quelques lignes:

(i) Une fonction est un ensemble $f$ de couples telle que pour tous $a,b,c$, si $(a,b)\in f$ et $(a,c)\in f$, alors $b=c$.
(ii) $dom(f)$ désigne l'ensemble des $p$ tel qu'il existe au moins un $q$ tel que $(p,q)\in f$, appelé aussi "domaine de définition de $f$".
(iii) Pour tout $t$ appartenant à $dom(f)$, l'objet $u$ tel que $(t,u)\in f$ et qui est unique par (i), est appelé "image de $t$ par $f$ et noté $f(t)$". Avec cette notation, on a la propriété que pour tout $z$ dans $dom(f)$, $\left (z, f(z) \right ) \in f$

Cette définition a déjà été évoquée avant mon intervention sur le fil et comme d'habitude, durement critiquée avec au passage l'évocation des lubies habituelles (la fable des fonctions comme procédés etc). Donc plutôt que de la rappeler j'ai écrit ce texte, avec un complément qui se voulait une réponse à des questionnements récurrents ces derniers jours sur les variables, les lettres et la substitution (que veut dire "$x \mapsto \cos (x) +x^2+2+a$" ?).

***************************

La première réforme des maths modernes (il y eut plusieurs couches et les phases tardives ont plutôt été des ratages) a exposé cette définition ou une de ses variantes proches (produits cartésiens d'ensembles, relations binaires et enfin fonctions comme cas particuliers de relations binaires avec des dessins, des diagrammes sagittaux et des exemples issus de l'expérience de l'élève) à des collégiens justement.

Les pédagogistes parlent volontiers de cette époque comme de l'avènement de l'enfer sur terre, mais lorsqu'on discute avec des anciens, c'est un autre tableau qui se dessine et on s'aperçoit qu'elle a été bien vécue par les élèves (ce sont les profs qui ont morflé, et leur colère est au demeurant parfaitement compréhensible et légitime : il n'est pas correct de se voir imposer du jour au lendemain des contenus à enseigner qu'on ne connaît pas sans formation). J'ai trois connaissances dont deux qui n'ont jamais fait de maths dans leur carrière (ex informaticien, architecte et artiste peintre ayant fait des études de philo) qui, même si certains d'entre eux n'aimaient de leur propre aveu pas les maths, tous ont aimé les ensembles en sixièmes avec les diagrammes en patate, et disent que ces concepts leur ont beaucoup apporté par la suite, pour la compréhension de la logique.

La théorie dite naïve des ensembles est enseignable dans les petites classes, car elle a été en fait enseignée.
C'est le seul cadre dans lequel on peut donner une définition digne de ce nom d'un des concepts les plus importants et les plus répandus des mathématiques : celui de fonction.

Je me considère particulièrement chanceux (pour répondre à un propos lu plus haut) d'avoir pu apprendre les concepts de "loi de composition interne" mais aussi de monoïde, de groupe, d'anneau, de corps AVANT d'avoir entendu pour la première fois l'expression "espace vectoriel". Un espace vectoriel est la donnée d'un groupe abélien $(E,+)$ et d'un morphisme d'anneau d'un corps $K$ dans l'anneau des endomorphismes de groupe de $E$. Les étudiants de classes considérées comme moins fortes (formation pro; BTS; prépas non math) se voient, au nom du "plus concret" infliger des cours où cette approche est remplacée par un déluge ininterrompu de calculs indiciels, de sommes (ok il n'y a plus de concepts, vous avez gagné les pédagogistes ; mais il reste toujours à expliquer proprement comment gérer le "monstrueux" symbole $\sum_{i=1}^n$ ... ceux qui ont enseigné à ce public comprendront ce que je veux dire), de faux concepts pompeux comme "fonctions multivariées"...

L'étudiant de MP* connaît 12 concepts, l'étudiant galérien de BTS compta connaît 200 usines à gaz.
Si j'avais eu la formation du deuxième j'aurais les mêmes problèmes que lui.

xax · January 2020

:-) je regarde dans le Dixmier et le Souriau pour vérifier, comme leurs bouquins sont contemporains des "maths modernes" les expressions y sont identiques.
Foys c'est bien mais je ne suis pas habitué à lire comme ça je suis lent, mais il a eu la gentillesse de mettre en rouge ce qu'il fallait. Je pense que c'est plutôt du niveau L3 ce qu'il a fait ou L2 très fort.

Fin de partie · January 2020

Vorobichek:

Je veux bien croire que $f(5)$ est plus court que "l'image de $5$ par la fonction $f$".
Mais je pense qu'en faisant cela on perd de la substance et je ne suis pas certain que tout le monde sache de quoi il est question (le processus mental de remplacer par un "vrai" nombre une lettre dans une formule où il y a des lettres semble être défectueux chez un certain nombre d'élèves)

Mais pour ce qui concerne les antécédents d'un nombre par une fonction cela me semble difficile de se passer de cette phrase et on ne me fera pas croire que $f^{-1}\left(\{5\}\right)$ peut être compris proprement par un élève lambda du secondaire.

Dom · January 2020

Tiens ! Je pense à un autre exemple.
Qui osera me dire qu’il donne LA définition du fait que deux angles sont alternes-internes formés par les droites $d_1$, $d_2$ et la sécante $d_3$ ?
Là encore : ne pas donner une telle définition est la chose à faire d’après moi.
Cette définition n’est dans aucun bouquin, aucun poly.
Que celui qui m’en trouve une sur Internet me file le lien.

Je préfère que l’on dise :
« Bon, c’est chiant à dire, alors je vous dessine des milliers de figures, je vous montre comment on reconnaît des angles alternes-internes et je ne vous définis pas cela mathématiquement ».
Et je condamne (juste a m’offrir un verre !) le fait d’écrire « définition : deux angles alternes-internes sont les angles représentés en vert sur cette figure ou en rouge ».

Alors ? Un contradicteur ?

NB : voir sur Wiki pour ce qui n’est pas une définition.
se préparer aussi à définir « entre deux droites ».
C’est possible de donner une définition propre mais c’est imbitable.

Édit : et le plus dingue est que cette notion est d’une grande simplicité.
N’importe qui, même en primaire peut la maîtriser sans se tromper.
La décrire proprement, par contre, sans « montrer une figure » c’est pénible.

Patrick123 · January 2020

Foys a écrit:

> La théorie dite naïve des ensembles est
> enseignable dans les petites classes, car elle a
> été en fait enseignée.
> C'est le seul cadre dans lequel on peut donner une
> définition digne de ce nom d'un des concepts les
> plus importants et les plus répandus des
> mathématiques : celui de fonction.

Dans le fond je suis d'accord, mais alors mon texte je j'avais destiné au lycée est pour le collège, et je n'ai plus rien à ajouter "en dessous" pour le collège. De l'autre coté, on me dit qu'il est plutôt pour le supérieur car trop dur pour le lycée, vu ce qu'on apprend au collège, et "bon sang, il parle d'ensemble-quotient". Je me dis donc qu'il faut un texte "avant", qui met le collégien à niveau pour pouvoir entrer dans ces notions au moins pour le lycée (je sais que tu n'aimes pas le mot notion, mais préfères "concept", mais je n'ai pas de sensibilité linguistique suffisante pour différentier les deux...). Il faut donc introduire des façons de faire "préliminaires" qui ne foutent pas les idées en vrac quand ils vont apprendre les vraies définitions. Qui donnent des façons de penser qui sont semi-mathématiques, mais qui contiennent déjà l'idée de base et surtout, qui "prennent alors la place" pour empêcher des idées encore plus fausses de s'installer.

Ta façon strictement formelle de dire les choses est d'une clarté admirable, mais tu as sans doute acquis cette virtuosité en passant par des phases plus intuitives pour s'en débarrasser en suite. On n'introduit pas non plus les entiers naturels au primaire avec les axiomes de Péano, on commence par compter des billes et des copains. On va acquérir lentement des notions numériques, de moins en moins associées à l'acte de compter des billes. A la fin, on peut éventuellement même poser une multiplication :-D

Par contre, au collège, on commence doucement à côtoyer quelques idées qui sont moins automatiquement intuitives et il faut - visiblement - entrer en toute douceur de "l'argumentaire par exemple" dans "l'argumentaire en général" (on ne va pas encore parler de preuve formelle). Si on doit traverser cette zone de turbulence pendant 4 ans, il faut être guidé pour ne pas courir le risque de se construire, à défaut de guide fiable, tout un édifice imaginaire totalement bancal.

Je ne me vois pas expliquer des ensembles à un collégien d'aujourd'hui, c'est trop loin de ce qu'il fait en maths et je ne suis pas sûr qu'il en voit un bénéfice à la fin, avant bien longtemps (au lycée). Il faut donc "un guide de survie" qui met des intuitions en place sans que ça bousille ce qui est sensé venir après.

Patrick123 · January 2020

Dom a écrit:

> Tiens ! Je pense à un autre exemple.
> Qui osera me dire qu’il donne LA définition du
> fait que deux angles sont alternes-internes
> formés par les droites $d_1$, $d_2$ et la
> sécante $d_3$ ?

Bon exemple ! Je ne sais pas de quoi tu parles (et je suis sérieux) ! Je ne sais pas ce que veut dire "alternes-internes", et ce n'est pas pour pinailler, je n'en ai aucune idée, je ne pourrais pas faire un dessin... ::o

Comme j'ai dit, la géométrie c'est une exception, car tout le monde a (à peu près) le même traitement visuel dans sa tête, et reconnaît un dessin. La formalisation de la géométrie était la plus grosse ânerie des "maths modernes". Euclide est suffisamment "formel" pour la géométrie, même si ce n'est pas logiquement correct. C'est un "échauffement" pour apprendre à raisonner dans un cadre "facile" de dessin.

Patrick123 · January 2020

Mathurin a écrit:

> Cependant je pense qu’il est possible idéalement d’introduire un peu de Bourbakisme au collège, pour peu qu’on se limite à ce qui est nécessaire quand c’est nécessaire.

C'est effectivement une autre piste. Voir si on peut faire les deux, d'ailleurs. Un peu de "définition semi-mathématique à la noix", pour ensuite montrer comment c'est plus simple avec quelques notions d'ensembles.

pldx1 · January 2020

Comme l'on sait, deux parallèles distinctes découpent un plan en trois régions disjointes à savoir deux demi-plans et une bande résiduelle. Certains appellent cette bande "zone intérieure". "D'autres l'appellent Ah_non_c'est_trop_horrible".

Et maintenant: To help you remember: the angle pairs are on Alternate sides of the Transversal, and they are on the Interior of the two crossed lines.

vorobichek · January 2020

@FdP

Cela gêne qui de définir le nombre $\pi$ comme le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre?
(même si on ne démontre pas que ce rapport est constant quand on change de cercle).

Moi. :-D Mais je suis une grande admiratrice de la géométrie de papi-mami. C'est facile à démontrer et faire comprendre aux collégiens. Quoique, être honnête, j'ai d'abord appris le nombre $\pi$ en 6e ou 5e puis ce que cela signifie en 3e je pense.

Mais pour ce qui concerne les antécédents d'un nombre par une fonction cela me semble difficile de se passer de cette phrase et on ne me fera pas croire que $f^{-1}( \{ 5 \})$ peut être compris proprement par un élève lambda du secondaire.

Je te jure sur ce que tu veux, il n'y a pas d'application, d'image et d'antécédent au programme! Il est même possible que les participants russes aux IOM ne l'ont pas vu. Le programme russe est construit de sorte que tout ce qui a été appris avant est utilisé dans les thèmes suivants.

Pourquoi les crochets autour du $5$? Sinon la question n'est pas dans "est-ce que les élèves comprennent TOUT", mais est-ce qu'ils maitrisent les bases nécessaires à l'apprentissage et comprenne le concept d'une fonction (je précise : fonction et non application !). Trouver pour quelle(s) valeur(s) la fonction s'annule ou vaut un nombre $a$ est à la porté de l'élève. Et en plus c'est utile pour pas mal de choses. Apprendre la zolifraze avec le mot antécédent est, certes, aussi à la porté des élèves... mais ce n'est utilisé nul part dans le cours au collège et au lycée. C'est un peu comme le point et la droite en géométrie. On peut essayer coute que coute les définir tout de suite proprement et clairement ou s'appuyer sur l’intuitive qui n'est pas faux après tout.

le processus mental de remplacer par un "vrai" nombre une lettre dans une formule où il y a des lettres semble être défectueux chez un certain nombre d'élèves

Ce n'est pas étonnant. Déjà les élèves ne comprennent pas le concept du nombre... parce que ce n'est pas vu au collège. Déjà à ce stade une simple demi droite graduée n'est pas comprise et ils ne savent pas y placer les nombres! Ils sont déficients au niveau des 4 opérations sur les nombres. Ils ne maitrisent pas les priorités opératoires. Quant au calcul littéral ce n'est plus enseigné, on fait juste semblant de le faire pendant 1-2 semaines. Bref la grosse majorité n'ont même pas les bases pour voir et comprendre le système des coordonnées cartésiennes. Bien sur qu'ils auront du mal avec les fonctions.
Les connaissances en maths des élèves français sont comme un gruyère avec d'énormes trous. Le pire est que les trous ne sont pas les mêmes d'une classe à l'autre. Le système éducatif français a fait le choix de leur faire apprendre beaucoup de notions de façon superficielle peu import le "gruyère". En plus certaines notions sont tellement étalées dans le temps, que l'élève n'en retient rien (p.ex. les fractions). Le système russe fait le contraire. Certaines choses ne sont jamais vu, d'autres tardivement (la géométrie à partir de 4e) et d'autres très en détail.

Dom · January 2020

Ha oui mais la notion ne se définit pas seulement quand les droites sont parallèles.

(C’est facile à définir « entre les droites » quand c’est parallèle).

Édit : l’implicite « de chaque côté de la sécante » n’est pas ce que j’attends d’une définition.

Fin de partie · January 2020

Vorobichek:

Pourquoi je mets des accolades dans $f^{-1}\left(\{5\}\right)$?

Parce que la fonction $f$ n'est pas nécessairement bijective et qu'on s'attend à ce que cet objet $f^{-1}\left(\{5\}\right)$ soit un ensemble (qui peut être vide ou être un singleton, ou autre chose).

Dom · January 2020

Ne pas confondre : (pardon, mais au point où j’en suis...)
« Quels sont les antécédents... » et « quel est l’ensemble des antécédents ».

vorobichek · January 2020

@Dom

Qui osera me dire qu’il donne LA définition du fait que deux angles sont alternes-internes formés par les droites d1, d2 et la sécante d3 ?
Là encore : ne pas donner une telle définition est la chose à faire d’après moi.
Cette définition n’est dans aucun bouquin, aucun poly.
Que celui qui m’en trouve une sur Internet me file le lien.

Tu l'as cherché :-D Copie d'écran d'un manuel de géométrie 4e (je n'ai plus le lien, tu veux le PDF?):

Traduction :

30) Les angles formés par une droite sécante à deux autres droites

Soient $AB$ et $CD$ deux droites et $AC$ une droite qui est croise (coupe) les droites $AB$ et $CD$. La droite $AC$ est appelée une sécante. Les angles formés par la sécante et les droites $AB$ et $CD$ ont des noms spécifiques.

Si les points $B$ et $D$ appartient au même demi-plan formé par la sécante $AC$, alors les angles $BAC$ et $DCA$ sont appelés "blabla ou non alternes internes" (je ne suis pas sur qu'il y a un équivalent français). Si les points $B$ et $D$ appartiennent aux demi-plans différents, les angles $BAC$ et $DCA$ sont appelés les angles alternes-internes.

La sécante $AC$ à $AB$ et $CD$ forme deux pairs d'angles non alternes-internes et deux pairs d'angles alternes-internes.

Il y a d'autres précisions, j'ai la flemme de les traduire...

Dom · January 2020

Ce n’est pas parfait, il reste de l’implicite mais c’est un bon début d’après moi...

Amusante la vision russe.
En France (en Europe ?) la figure est plutôt présentée un quart de tour à droite.

Cela me fait penser à une catastrophe aérienne des dernières années.
Le documentaire explique que pour l’horizon artificiel les russes et « les autres » n’ont pas la même représentation.
Pour les uns, c’est l’horizon artificiel qui bouge et la représentation de l’avion qui est fixe (sur la vitre de l’écran) et pour les autres c’est l’horizon qui est fixe (fond d’écran) et la représentation de l’avion qui se penche.
C’était, selon le BEA (ou équivalent étranger) l’une des multiples causes possibles du crash (on dénombre une conjonction de plusieurs causes à chaque accident sérieux...).

vorobichek · January 2020

@Dom,

Ce n’est pas parfait, il reste de l’implicite mais c’est un bon début d’après moi...

Tu penses à quoi?

Amusante la vision russe.
En France (en Europe ?) la figure est plutôt présentée un quart de tour à droite.

Sur d'autres pages c'est présenté "un quart de tour à droite/gauche/bas/haut". Ils varient juste, pour que les élèves n'acquièrent pas les faux automatismes. Cela vaut pour toutes les figures. Parce que au final une sécante est une sécante, peu importe la rotation.

Dom · January 2020

J'essaye de détailler plus tard... (les implicites dont je parle)

Un article pour la digression (crash aérien) : https://www.telescoop.tv/2018/12/21/2792494/2792494_11_Dangers-dans-le-ciel.html

Patrick123 · January 2020

vorobichek a écrit:

> Mais pour ce qui concerne les antécédents d'un
> nombre par une fonction cela me semble difficile
> de se passer de cette phrase et on ne me fera pas
> croire que $f^{-1}( \{ 5 \})$ peut être compris
> proprement par un élève lambda du
> secondaire.

Je ne vois vraiment pas pourquoi ce serait difficile. "l'ensemble des valeurs a telle que f(a) = b" n'est quand-même pas une idée insurmontable. Ça a l'avantage qu'on ne peut d'ailleurs pas "bugger": l'ensemble vide peut être la réponse, si on demande l'antécédent d'un élément hors l'image de la fonction. Par exemple, l'antécédent de -5 par la fonction racine carrée (comme fonction réelle) est l'ensemble vide. L'antécédent de 25 est {-5, 5}. Pas la mer à boire, non ?

Pourquoi en parler ? Parce qu'en algèbre linéaire par exemple, ça devient intéressant: le noyau d'une application linéaire est l'antécédent du vecteur zéro. On est à deux pas de l'ensemble-quotient, de la projection selon un sous-espace etc...

Pourquoi "mettre ça dans un ensemble" ? Parce que ça permet d'avoir "une réponse" est pas "des réponses possibles". L'antécédent de 25 sous la racine carrée est {-5, 5}. Et pas "parfois 5, parfois -5, comme tu veux". Il y a une seule réponse, qui contient tout.

> Le
> programme russe est construit de sorte que tout ce
> qui a été appris avant est utilisé dans les
> thèmes suivants.

C'est un principe de parcimonie. C'est une approche possible, mais pas la seule. On peut aussi se dire que parfois, l'occasion se présente pour introduire une nouvelle idée, pour qu'on puisse commencer à s'y familiariser de telle façon, que, quand elle deviendra vraiment utile/nécessaire, elle est déjà acquise. Cela peut mener à du baroque total (le programme des maths modernes en souffrait beaucoup), mais il y a le juste milieu, quand c'est déjà un peu utile, même si pas tout à fait nécessaire.

Comme je disais, des notions comme "antécédent" deviennent vraiment utiles en algèbre linéaire ou en théorie des groupes (un truc qui est revigoré par la cryptographie). Autant déjà devenir un peu familier avec, non, surtout quand ce n'est pas dur, et déjà un peu utile ?

Math Coss · January 2020

Dans la classe de troisième 3 du collège François Villon de Saint-Gély-du-Fesc, certains élèves habitent dans ce même village, d'autres viennent des alentours : Saint-Clément-de Rivière, Prades-le-Lez, Combaillaux, Les Matelles. Lequel de ces élèves pourrait comprendre une phrase aussi complexe que « les élèves qui viennent de Prades-le-Lez devront attendre car le bus scolaire est en retard » ?

PS d'explicitation : modulo modélisation, on construit une application qui à chaque élève associe le village où elle habite. Celles qui vont attendre le bus forment l'ensemble des antécédents de Prades-le-Lez. Cette notion ne semble pas insurmontable, même si la manipulation de choses comme $f^{-1}\bigl(\{y\}\bigr)$ ne semble pas nécessaire au collège.

PS orthographique : Lez et pas Luz, où avais-je la tête ? Merci au Cévenol qui m'a signalé mon erreur.

Dom · January 2020

Patrick,
Tu commets au moins un abus de langage, sinon une erreur (voire des erreurs), en disant « Par exemple, l'antécédent de -5 par la fonction racine carrée (comme fonction réelle) est l'ensemble vide. L'antécédent de 25 est {-5, 5}. »

Remarque : Et même si on l’avait compris, il faut préciser départ et arrivée (est-ce compris dans « fonction réelle » ?). Mais ce n’est pas cela dont je parle dans mon message.

Math Coss,
Flûte ! Je n’ai pas compris...

Foys · January 2020

Niveau collège: les ensembles sont des collections d'objets. Deux ensembles sont dits égaux lorsqu'ils ont les mêmes éléments. Une relation entre ensembles $E$ et $F$ est une partie $R$ de $E\times F$. La relation opposée de $R$ est simplement l'ensemble noté $R^{-1}$des $(x,y)\in F\times E$ tels que $(y,x)\in E\times F$. Illustrations avec des dessins de patates et de flèches et des exemples issus de la vie courante si besoin est.
Si $A\subseteq E$, on note $R[A]$ l'ensemble des $y\in F$ tels qu'il y a au moins un $x$ dans $A$ tel que $(x,y)$ est dans $R$ (dessins et patates) (édité). Ainsi, si $B$ est une partie de $F$, $R^{-1}[ B ]$ est l'ensemble des $x'\in E$ tels qu'il y a au moins un $y'\in B$ tel que $(x',y')\in R$ (édité).

Le domaine de $R$ est l'ensemble $R^{-1}[F] =: dom(R)$. Le codomaine, ou image de $R$ est l'ensemble $R[E] =: codom(R)$.

Une fonction (partielle) de $E$ dans $F$ est une relation telle que pour tout $x\in E$, il y a au plus un $y$ dans $F$ tel que $(x,y)\in f$, autrement dit: $f[\{x\}]$ contient un seul élément ou aucun. L'écriture "$f(x)$" désigne cet unique élément lorsqu'il existe.

Si $R$ est une relation entre $E$ et $F$ et $S$ une relation entre $F$ et $G$, la composée de $R$ et $S$ est l'ensemble des $(p,r)\in E\times G$ tels qu'il existe $q\in F$ tel que $(p,q)\in R$ et $(q,r) \in S$.
La composée de $R$ et de $S$ se note $S \circ R$ (attention à l'ordre).

Les énoncés suivants découlent des définitions (et motivent le choix de l'ordre dans la notation $S \circ R$ au lieu de $R \circ S$).
Propriété 1: Pour toute partie $A$ de $E$, $S \circ R [A] = S\left [ R [A] \right ]$
Propriété 2: Si $a$ est une fonction de $E$ dans $F$ et $b$ une fonction de $F$ dans $G$, $b \circ a$ est une fonction de $E$ dans $G$; $dom(g \circ f) = f^{-1} [ dom (g) ]$ et pour tout $x\in dom(g \circ f)$ on a $g \circ f (x) = g \left (f(x) \right )$ .

NB: les gens notent souvent $R(A)$ au lieu de $R[A]$, et le contexte ambiant permet de ne pas confondre avec l'image d'un élément par une fonction.

Exemples (lycée ?) avec $E=F=\R$.
-Une droite de $\R^2$ est une fonction si et seulement si elle est non parallèle à l'axe des ordonnées. On appelle le cas échéant "fonction affine" une telle droite.
-$\{(x,y)\in \R^2 \mid xy=1\}$ est une fonction appelée "fonction inverse". On peut voir que le domaine de cette fonction est $\R \backslash \{0\}$.
-$\{(x,y)\mid y = x^2\}$ est une fonction. En revanche $P:=\{(x,y)\mid y^2 = x\}$ n'en est pas une (car contient $(1,1)$ et $(1,-1)$). Par contre le sous-ensemble $\{(x,y)\mid y^2 = x\text{ et } y\geq 0\}$ de $P$ est une fonction appelée "racine carrée" et dont le domaine est l'ensemble des réels positifs.

pldx1 · January 2020

"Niveau collège: les ensembles sont des collections d'objets".

Ne serait-ce pas une toto-logie ? On pourrait ajouter que les objets sont des trucs collectables, tandis que les collections sont des patates de pas-tates, car la notion d'un $x\in x$ n'est pas si collégiale que cela.

Cordialement, Pierre.

Patrick123 · January 2020

Dom a écrit:

> Patrick,
> Tu commets au moins un abus de langage, sinon une
> erreur (voire des erreurs), en disant « Par
> exemple, l'antécédent de -5 par la fonction
> racine carrée (comme fonction réelle) est
> l'ensemble vide. L'antécédent de 25 est {-5, 5}.
> »

Oui, ça devrait être "l'ensemble des antécédents", ou bien "l'antécédent de {25}".
Le problème de la notion "l'antécédent" d'une fonction non-bijective, avec un article défini, est que cet objet est mal défini, donc effectivement par abus de langage, on le remplace par l'objet qui a un sens: l'ensemble des antécédents. Mais on le fait tout le temps.

L'image d'une relation est un ensemble: l'ensemble de tous les "deuxième éléments" des couples dont est faite la relation en question, de la même façon que le domaine est un ensemble, celui des "premiers éléments" des couples.

Ainsi, l'image d'un sous-ensemble du domaine de la relation en question est l'image de la relation réduite à ce sous-ensemble (c.à.d. l'ensemble des couples de la relation dont le premier élément fait parti de ce sous-ensemble). Quand le sous ensemble dont on parle est un singleton, alors on parle de l'image de l'élément, alors que ça devrait être l'image du singleton.

Par exemple, si on prend la relation R "... est un diviseur de ..." dans les entiers naturels, alors l'image sous R de {5} est {0, 5, 10, 15, ...}, mais par abus de langage, on va dire que c'est l'image sous R de 5. Alors qu'on devrait dire {5}.
Car les couples (5,0), (5,5), (5,10), ... sont les couples de R qui ont leur premier élément dans {5}. L'ensemble des deuxièmes éléments de cette liste est justement l'image dont on parle, c'est bien {0, 5, 10 ...}.

On peut donc dire R({5}) = {0,5,10,15...}, mais on peut aussi, par abus de langage, écrire R(5) = {0,5,10,15...}. 5 est diviseur de tout ça.

La relation inverse est "...est multiple de..." et l'image sous la relation inverse, est "l'ensemble des antécédents" sous la relation d'origine.

Une fonction est spéciale "dans un sens", mais est simplement une relation dans l'autre sens, sauf si elle est injective. Ce qui rend une fonction spéciale, c'est que l'image d'un singleton, partie du domaine est un singleton. Alors on laisse tomber les "ensembles" et on passe aux "éléments" des deux cotés. On n'écrit donc pas f({3}) = {8}, mais f(3) = 8.

Mais pour les antécédents, il n'y a pas de particularité avec une fonction non-injective: la relation inverse d'une fonction non injective est une relation, et pas une fonction.

Seulement dans le cas d'une fonction injective, on peut "laisser tomber" les ensembles, et écrire directement les éléments. Dans ce cas, il existe L'antécédent (si on part d'un élément de l'image).

On peut donc confondre l'antécédent et l'ensemble des antécédents par abus, car si l'antécédent existe, il est donc seul, et pas besoin d'utiliser un singleton ; et s'il y en a plusieurs, l'antécédent (comme élément) n'existe pas, mais seulement "l'ensemble des antécédents" qu'on peut alors aussi appeler "l'antécédent"

Foys · January 2020

Quelques remarques additionnelles:
-la présentation des maths à des ados exprimées dans le langage de la théorie des ensembles n'implique pas l'introduction des concepts géométriques -tels que la droite affine- de la façon la plus absconse possible avec une action de groupe bizarre.

-Les membres fondateurs du groupe Bourbaki (fondé en 1935) sont en bas-âge lorsque Zermelo publie en 1908 (André Weil est alors âgé de deux ans) une correction crédible de la théorie des ensembles (en pleine crise des fondements).
La mouture définitive(*) (ZFC) paraît en 1922, année ou André Weil et Jean Delsarte sont admis à l'ENS. La théorie des ensembles (inventée en 1870 par Cantor et Dedekind) n'est pas du tout l'apanage de Bourbaki (même si les détracteurs des maths modernes combattent habituellement la théorie des ensembles à l'école en accusant Bourbaki).

-La théorie des ensembles a apporté un éclairage conceptuel gigantesque. C'est pour ça que les gens de l'époque ont tout fait pour la sauver quand les paradoxes du début du XXième siècle (Russell;Burali-Forti etc) ont été découverts.

-On peut pratiquer la théorie des ensembles avec très peu de bagage technique en langue courante, et en observant quelques gardes fous pour éviter les paradoxes. On est au pire dans les maladresses mais rarement dans le faux éhonté. C'est essentiellement ce que les gens font en prépa. Vous avez des gens qui n'ont jamais fait de maths, qui se sont contentés de lire le petit livre "théorie des ensembles" de PUF et qui en ont retiré de très bonnes bases.

[size=x-small](*)Pas si définitive que ça. Il y a eu d'autres théories des ensembles.: NBG, Morse-Kelley, Tarski-Grothendieck pour les catégories ... Mais ZFC est la plus répandue.[/size]

Patrick123 · January 2020

pldx1 a écrit:

> Ne serait-ce pas une toto-logie ? On pourrait
> ajouter que les objets sont des trucs
> collectables, tandis que les collections sont des
> patates de pas-tates, car la notion d'un $x\in x$
> n'est pas si collégiale que cela.

Je crois que c'est du zèle au niveau collège de vouloir éviter le paradoxe de Russell, alors qu'on travaille avec des idées totalement floues et indéfinies actuellement. On peut relativement facilement éviter que le plus marrant de la classe met le prof devant un tel paradoxe, en disant qu'un ensemble ne peut être qu'une collection d'objets qui existent au moment où on est en train de définir l'ensemble en question et pas des objets qu'on pourra seulement définir une fois notre ensemble défini. Ce n'est pas plus aberrant que de dire que dans une démonstration, on ne peut pas utiliser une affirmation qu'on prouvera après pour éviter un raisonnement circulaire. C'est d'ailleurs la même idée.

Foys · January 2020

Il existe des ensembles $x$ tels que $x\in x$ dans les modèles de ZF niant l'axiome de fondation. Ce n'est pas inconsistant. Mais pour Russell, on met ça dans les gardes fous dont je parlais (le plus simple est d'interdire le schéma de compréhension illimité: au lieu d'avoir "toute propriété définit un ensemble", on se contente de "pour tout ensemble E et toute propriété P, il existe un ensemble F des x tels que x est dans E et satisfait P").

Dom · January 2020

C’est là que ça va gronder.

Selon ce que l’on raconte :
1) il ne faut pas confondre la fonction avec sa représentation graphique (tout le monde dit ça)
2) une droite est une fonction

En effet :
fonction = graphe, c’est selon.
fonction = un triplet, c’est selon.

À mois que moi-même je m’emmêle en m’en mêlant.

Pour le 1) : je suis sûr qu’un jury de CAPES a déjà dû dire ça à des candidats « quoi, vous dites que la fonction, c’est la droite ? ».

pldx1 · January 2020

Remettons-en une couche.

Affirmer "Niveau collège: les ensembles sont des collections d'objets", c'est juste brasser du vent.

KAISSE qu'une collection ?

KAISSE qu'un objet ?

KAISSE que [size=x-large]d'[/size] ?

Cela ressemble à une "qu'est-ce" de raisonnance dérésonnable (c'est-à-dire qui ne sonne pas juste).

Cordialement, Pierre.

Foys · January 2020

Dom a écrit:

Pour le 1) : je suis sûr qu’un jury de CAPES a déjà dû dire ça à des candidats « quoi, vous dites que la fonction, c’est la droite ? ».

En fait le plan EST $\R^2$.
Le CAPES de maths est gangréné par le pédagogisme et la fausse philo.

Moi je mets au défi les gens qui me font le coup de "la carte n'est pas le territoire" sur ce sujet-là de démontrer que le plan euclidien existe (i.e. il existe une structure satisfaisant les axiomes de la géométrie) autrement que de construire $\R$ et de dire que c'est $\R^2$.

Déjà cette chose là n'a aucune contrepartie physique, la relativité générale et la mécanique quantique l'interdisent violemment. Ensuite que dire du gamin qui trolle en disant "mais ce qu'on trace sur une feuille n'est pas une droite, un trait tracé au crayon a toujours une épaisseur non nulle" etc.

Une relation et un graphe ensembliste c'est pareil (mais par contre certes, une fonction n'est pas un dessin).

Fin de partie · January 2020

Patrick123 a écrit:

"l'ensemble des valeurs a telle que f(a) = b" n'est quand-même pas une idée insurmontable.

C'est toi qui le dis.
Dans le dernier paquet de copies de bac blanc d'une classe de TES que j'ai eu à corriger je peux t'assurer que tous les élèves ne maîtrisaient pas la distinction image/antécédent, à l'usage.

Dom a écrit:

1) il ne faut pas confondre la fonction avec sa représentation graphique (tout le monde dit ça)

Il y a des gens qui font cette confusion?
C'est comme confondre une chute et une chambre d'hôpital: dans le processus de chute, tu tombes, tu te casses une jambe et tu te retrouves dans une chambre d'hôpital. :-D
C'est confondre l'essence (produit pétrolier) avec le mouvement de translation d'une voiture, un processus et le résultat qu'il produit.

Foys · January 2020

pldx1 a écrit:

Affirmer "Niveau collège: les ensembles sont des collections d'objets", c'est juste brasser du vent.

A comparer avec "une fonction est une boîte".
Et puis je me demande à nouveau pourquoi tous les gens qui ont appris ça à l'école m'ont dit qu'ils avaient aimé, en contraste saisissant avec les histoires apocalyptiques des pédagogos prétendant décrire cette époque.

Mathurin · January 2020

@Dom,
Tu as raison la bonne définition de la fonction, c'est "une fonction est un triplet composé de l'ensemble de départ, de l'ensemble d'arrivée et du graphe". (c'est la définition que j'ai apprise au collège et c'est pareil pour une relation)
Quand on simplifie en l'équivalant à son graphe, on s'interdit de transformer une fonction en application en changeant l'ensemble de départ.
Cordialement

Foys · January 2020

La querelle fonction/application est anecdotique ici. A partir du moment où on donne des définitions explicites il n'y a pas de problème.
Ce qu'il importe d'éviter, ce sont les aberrations comme
"une fonction est un procédé"
"une fonction est une boîte noire qui fait ceci cela"
"on dit qu'on a défini une fonction $f$ quand pour tout $x$ on s'est donné $f(x)$"
...

Mathurin · January 2020

La fonction et l'application ont le même graphe, si elles ne sont que leur graphe, elles deviennent le même objet.

Fin de partie · January 2020

Foys:

Et pour quelle raison on ne devrait pas considérer une fonction comme un processus?

Fin de partie · January 2020

Pourquoi n'utilise-t-on pas la lettre $a$ simplement pour désigner, suivant les besoins:
1) une droite
2) un vecteur
3) un nombre
4)n'importe quel objet mathématique.

Pourquoi éprouve-t-on le besoin d'utiliser des symboles spécifiques pour désigner des objets?
Faut-il en blâmer les pédagogistes? :-D

Foys · January 2020

Ce n'est pas grave si on précise ce qu'on fait. On peut très bien dire que (dans l'idée qu'une fonction est partielle mais une application d'un ensemble dans un autre est définie sur tout l'ensemble):

-Une fonction de $E$ dans $F$ est une fonction (graphe fonctionnel) contenu dans $E\times F$
-Une application de $E$ dans $F$ est une fonction dont le domaine est $E$ et l'image est contenue dans $F$.

Beaucoup de concepts mathématiques sont relatifs. Par exemple un espace vectoriel n'est pas susceptible d'être intrinsèquement un dual. Mais ça va être éventuellement le dual d'un autre espace vectoriel donné.

Il y a des gens qui semblent horrifiés à l'idée qu'une fonction ne puisse pas être intrinsèquement une surjection.
Quelle est la raison de cette phobie? On précise "surjective de ceci dans cela" et le problème est résolu.

Fin de partie · January 2020

Est-ce que les fonctions $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ et $g(x)=x+1$ définies sur l'ensemble $[2;3]$ sont les mêmes fonctions?

Ce ne sont pas les mêmes processus mais on ne peut raisonnablement les identifier que si les mêmes causes produisent les mêmes effets. Ce qui est le cas ici.

Dom · January 2020

Fin de partie, tu dis : "Et pour quelle raison on ne devrait pas considérer une fonction comme un processus?"
Tu as très bien compris, non ?
Qu'on nomme fonction, processus, relation, lien, boîte magique... n'est pas le problème.
On parle de définir un objet.
1) On lui donne un nom (là je te rejoins, "bidule" convient).
2) On choisit une définition qui fait appel aux seuls mots déjà définis (c'est le point essentiel du fil, et le point essentiel de ce que j'appelle, moi, définition mathématique).

Les mathématiques, mine de rien, c'est une langue. Il est très important de séparer cette langue du langage courant. Cela me va bien que l'on commente tout ce que l'on veut en langage courant.
En gros, on N'a QUE des faux amis avec le langage courant et cela dessert macabrement le langage mathématique. C'est ça le point crucial.
Le prof d'anglais présente le vocabulaire anglais puis peut expliquer des choses en français, il peut trouver des synonymes etc.

Edit : je viens de voir ton dernier message, je répondais à l'un des précédents

Une autre question en lien avec le fil : quel est l'âge où l'on arrête de "jouer" (initiation à la langue) pour "formaliser" (apprendre la langue) ?
C'est là au fond que les désaccords arrivent : maternelle, primaire, collège, lycée, supérieur.
On n'a cinq classes d'âges...mais on peut très bien s'en foutre et choisir d'autres "classes" (l'institution propose des Cycles, mouais...)

Mathurin · January 2020

sur l'intervalle [2,3], il s'agit de la même fonction, mais pas sur IR.

Dom · January 2020

Il va se faire engueuler (mais je crois qu'il l'a fait exprès) car il n'a pas proprement donné la consigne (qui est $x$, etc.).

Aussi : tant que tu ne me dis pas ce qu'est un "processus", je ne peux pas valider la dernière phrase (et "causes" et "effets" dans une expression courante, qu'est-ce que ça vient faire là dans un argumentaire ?).

Foys · January 2020

Fin de partie a écrit:

Et pour quelle raison on ne devrait pas considérer une fonction comme un processus?

J'avais dit un procédé, pas un processus .

Fonctions et procédés ne sont pas assimilables pour deux raisons:

1°) Le système solaire ne s'empare pas de sa calculatrice et ne fait pas des calculs avant de fixer la position de la terre sur son orbite (relativement aux autres objets dudit système) en fonction d'une certaine date. Les fonctions inventées par l'humain ne sont que des approximations de ces relations naturelles entre grandeurs.

Parmi les fonctions qui se présentent à nous on peut trouver:
-la température de la piscine à une heure donnée de la journée
-la température corporelle moyenne en fonction de l'espèce animale envisagée
-le nombre de billets de concert de Johnny Halliday vendus en fonction de la date du concert
-le poids d'un individu en fonction de son âge
-le prix d'une action donnée en fonction de la date
le nombre de fois qu'un dé donné est tombé sur 6, en fonction du nombre de lancers.

Aucun de ces exemples n'est un procédé de calcul (pour les deux derniers par exemple, vous pourriez lire l'avenir si c'était le cas). En fait les procédés sont des choses inventées par l'homme, mais les fonctions (graphes fonctionnels) sont des correspondances entre grandeurs imposées par la nature.
Et les mathématiques ont pour vocation d'appréhender le réel, pas de préparer à des examens de maths où les gentils procédés sont fournis par un correcteur bienveillant.

2°) Parmi les fonctions qui ne sont en aucun cas des procédés de calculs, il y a celles issues des problèmes d'indécidabilité de l'informatique théorique.
Par exemple, soit $(f_n)_{n\geq 0}$ une énumération de tous les programmes en python qui prennent un entier en entrée et renvoient un booléen $\in \{vrai,faux\}$. Soit $g(n):=vrai$ si $f_n(n)$ est défini et égal à $faux$ et renvoie $faux$ dans tous les autres cas. Alors aucun programme en python ne peut calculer $g$ (sinon il existe $k\in \N$ tel que $g=f_k$ et on a alors $g(k)=f_k(k) = vrai$ si et seulement si $g(k)=faux$). $g$ est bien une fonction mathématique (dont la définition est très longue et fait intervenir la spécification du langage). Mais ça n'est pas un programme informatique.
Pour un exemple ayant plus de conséquences concrètes, il n'y a (théorème de Rice) aucun programme qui prend $m,n\in \N$ en entrée et renvoie $vrai$ ou $faux$ selon que $f_n$ et $f_m$ font la même chose ou non (i.e. $dom(f_n)=dom(f_m)$ et $\forall x \in dom(f_m)$, $f_m(x)=f_n(x)$).

Définition de "fonction" au niveau collège.

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