Définition de "fonction" au niveau collège.

Fin de partie a écrit:

> C'est toi qui le dis.
> Dans le dernier paquet de copies de bac blanc
> d'une classe de TES que j'ai eu à corriger je
> peux t'assurer que tous les élèves ne
> maîtrisaient pas la distinction
> image/antécédent, à l'usage.

Il y a toujours eu des enfants qui ne savaient pas poser une division à 11 ans. Cela ne veut pas dire que "enseigner la division posée est insurmontable à cet age". Si "il y en a qui ne l'ont pas su" équivaut "insurmontable", on ne peut plus rien enseigner à celui qui l'aurait compris sans problème non plus.

Mathurin a écrit:

> Tu as raison la bonne définition de la fonction,
> c'est "une fonction est un triplet composé de
> l'ensemble de départ, de l'ensemble d'arrivée et
> du graphe".

:-S

Euh, l'ensemble de départ et d'arrivée ne fait pas partie de la définition d'une fonction, non ? C'est juste l'ensemble des couples (donc le "graphe" si tu veux). Il n'y a aucune différence entre la fonction de $\R$ en $\R$ $x \rightarrow \sqrt{x}$ et la fonction de $\R^{+}$ en $\R$ qui fait la même chose, car ils contiennent exactement les mêmes couples.

Sur $\R$, cet objet est une fonction, et sur $\R^+$, ce même objet est une application.

On ne va quand-même pas dire qu'on parle de deux objets différents ? Ça servirait à quoi ?

Si je vous donne {(1,3), (2,5), (3,7)}, c'est une fonction, son domaine est {1,2,3} (l'ensemble de tous les premiers éléments) et son image est {3,5,7}. Toute fonction étant une application sur son propre domaine, on peut cependant considérer cela comme une fonction sur tout ensemble qui inclut son domaine. On peut donc dire que c'est une fonction sur N, sur Z, sur Q, sur R, sur C et tout ce qu'on veut, qui inclut {1,2,3}.

En quelle mesure est-ce que la distinction entre ces objets pourrait jouer ?

Fin de partie a écrit:

s.
> Quand on dit qu'une fonction est une "boîte
> noire" c'est qu'on s'intéresse uniquement à la
> matière première qui alimente le processus et à
> ce qui est produit.

Oui, exactement. Dans la mesure où il faut dire qu'une fonction, c'est "une machine", alors on introduit le problème (inutile) avec cette représentation, que deux machines dont les vis sont placées à des endroits différents, sont des machines, et donc des fonctions, différentes.

Alors la fonction f(x) = x + x est une autre machine que la fonction g(x) = 2 * x. Car la première fait une addition, alors que la deuxième fait une multiplication. L'une, c'est un moteur diesel, l'autre, un moteur essence. Deux machines différentes. Alors que tout le but de l'introduction de l'idée de fonction, c'est que c'est juste un machin qui associe 3 avec 6. Le danger de parler de "machine" est qu'on s'intéresse au fonctionnement interne de la machine. Toute la difficulté de la notion de fonction, c'est justement de NE PAS voir que f(x) est "une somme" ou "une multiplication" ou encore autre chose, et que la SEULE chose qui importe, c'est l'association que cette "chose" fait entre un objet d'entrée et un objet de sortie, pour un certain nombres d'objets d'entrée et que toujours, quand c'est le même objet d'entrée, c'est le même objet de sortie qui apparaîtra.

Mathurin m'a finalement convaincu que tout ça, c'est de la foutaise, et qu'au collège aussi, il faut dire que c'est en ensemble de couples. C'est, après tout, tellement plus simple.

Mathurin a écrit:

Je donne la définition stricte que j'ai apprise, mais oralement on fait les simplifications que tu indiques.

Tiens, je suis surpris. Une fonction serait donc une structure ?

Oralement cela ne change rien, mais cela permet de savoir ce que l'on dit. c'est la définition bourbakiste.

Je ne vois pas l'utilité d'en faire une structure, honnêtement. J'ai toujours appris qu'une relation, c'était un ensemble de couples, pas une structure avec trois ensembles. Mais bon, visiblement c'est la définition officielle.

Mathurin a écrit:

> je ne pense pas que cela alourdisse le concept.
> Selon le choix des ensembles de départ et
> d'arrivée, une relation binaire peut devenir une
> fonction, une application, une surjection, une
> injection, une bijection.

Ben oui, justement, le fait qu'un ensemble de couples soit "une fonction" ou "une application" était justement une propriété des DEUX objets (l'ensemble, et l'ensemble de couples). Une fonction pouvait être "application" sur un ensemble, et "fonction" sur un autre.

La seule chose qui était "intrinsèque" à la fonction, c'était l'injectivité. La surjectivité et donc la bijectivité était une propriété des DEUX objets: une fonction pouvait être surjective sur un ensemble, et pas sur un autre.

Mais l'injectivité était intrinsèque, car elle disait si la relation inverse était une fonction ou non (donc si la fonction avait une fonction inverse ou non).

C'est vrai que si on "fixe" le décor autour du domaine, et on "fixe" le décor autour de l'image, que cela devient une propriété de la structure. Mais j'avoue ne pas voir l'utilité d'avoir des éléments de la structure en-dehors du domaine, et en dehors de l'image, qui ont quand-même un "statut" dans la structure.

Qu'apporte le fait d'avoir des réels négatifs dans la fonction $(\R, \R, f: x \rightarrow \sqrt{x}$) ?

> Ce sont ceux qui se limitent au graphe qui se
> compliquent la vie, sans préciser dans quel
> produit cartésien ils se placent.

Ben, dans tout produit cartésien qui contient le produit cartésien du domaine et de l'image. On parle ici d'un sous-ensemble. On ne doit jamais spécifier "de quel ensemble le sous-ensemble serait un sous-ensemble" si on veut travailler avec ce sous-ensemble, non ? C'est la même chose pour "le graph". Le graph est un ensemble de couples. Qu'il soit sous-ensemble de A x B ou de C x D, importe rien du tout, non ?

C'est un peu comme si on distinguait "les entiers naturels dans R" des "entiers naturels dans Q".

nicolas.patrois a écrit:

> Peut-être pour pouvoir pondre des
> exercices où on demande le domaine de définition
> d’une expression algébrique
> fonction application oh et puis zut.
> :-D

:-D

En réalité, quand on comprend une "expression" comme une "composition de fonctions" et on sait de quelles fonctions on parle, la définition de la fonction composée donne automatiquement le domaine de cette fonction composée.

Si, par exemple, on considère la fonction f(x) = x / (1 + x) comme une fonction composée (et le 'x' n'est même pas une variable, mais juste une façon algébrique de dire comment on a composé les fonctions), et on sait qu'on parle de:

"la fonction addition sur $\R \times \R$"

"la fonction division sur $\R \times \R_0$"

Alors la composition de fonctions nous donnera automatiquement que le domaine de f = / o (I, + o (1,I)) est $\R \backslash \lbrace -1 \rbrace$, simplement par la définition du domaine d'une fonction composée.

En d'autres termes, la seule raison de parler de fonction en $\R$ est pour spécifier quelles étaient les fonctions qu'on considérait dans la composition, indiquée par l'expression algébrique. Si on avait été clair que dans cette expression, / était la fonction division dans $\R$, et + était la fonction addition dans $\R$, c'était tout bon déjà. C'est la notation algébrique sommaire qui obligeait à spécifier à coté de quelles fonctions on parlait en utilisant ces symboles / et +, puisqu'ils sont le même symbole pour plusieurs fonctions différentes.

Mathurin a écrit:

> la donnée du graphe ne suffit pas.
> Sinon tu n'as plus que des applications
> surjectives.

Ben oui, toutes les fonctions sont des applications sur leur domaine, et sont des surjections sur leur image. Ainsi, les notions d'application et de surjection sont juste une une propriété d'une fonction ET UN ENSEMBLE, et ne sont donc pas des propriétés intrinsèques de la fonction.

$\sqrt(x)$ est une application SUR $\R^{+}$, mais ne l'est pas SUR $\R$.

$\sqrt(x)$ est une surjection DANS $R^{+}$, mais pas DANS $\R$.

Par contre, l'injectivité est une propriété purement intrinsèque à $\sqrt(x)$: c'est le fait que la relation inverse est aussi une fonction.

"est une application" ou "est surjectif" est un genre d'expression comme "est un sous ensemble".

Ça ne veut rien dire "A est un sous ensemble". On peut dire "A est un sous ensemble DE B". De la même façon, "f est une application" ne veut rien dire. "f est une application SUR B", oui. "f est une surjection" ne veut rien dire. "f est une surjection DANS C", oui.

Ceci, contrairement à "injection". f est une injection, sans devoir parler d'un ensemble autre. Si f est une injection, alors $f^{-1}$ est une fonction.

Je sais bien que "injectivité, surjectivité, et bijection" sont souvent introduits ensemble, mais je crois que c'est une erreur.

Quand on parle de "bijection" on parle beaucoup plus des deux ensembles qui sont en bijection (par f), que de la fonction f même.

> Suivant le choix tu peux avoir une relation
> binaire, une fonction, une application, une
> surjection, une injection, une bijection.
> (certains de ces choix peuvent supposer une
> restriction du graphe)

Ah, non, justement. C'est un autre problème de la structure à trois. Une structure (A, B, f) qui est telle, que (u,v) appartient à f, mais u n'appartient pas à A, c'est incohérent, car u appartient au domaine de f, mais n'est pas dans l'ensemble de départ. C'est incohérent d'avoir un f qui n'est pas une partie de A x B.

Le triplet ({1,2,3}, {3,4,5}, {(2,4),(22,47), (43,8)}) est totalement incohérent comme "fonction".

Alors que, si on parle juste de l'ensemble des couples, il n'y a pas de souci: f = {(2,4),(22,47), (43,8)}. Le domaine de f, juste comme ensemble de couples, est bien défini: c'est {2,22,43}. L'image aussi, c'est {4, 47, 8}. Dans le triplet, je ne sais pas ce qu'est le domaine, car je suppose qu'une fonction doit avoir l'ensemble de couples dans A x B ce qui n'est pas le cas. Ici, est-ce que le domaine serait juste {2}, l'intersection du "domaine de f", et de A ? Mais alors, que font (22,47) et (43,8) dans f ?

Mais admettons que nous pouvons considérer quand même que f ne soit pas dans A x B.

Est-ce qu'alors, le triplet ({1,2,3}, {3,4,5}, {(2,4),(22,47), (43,8)}) est différent de ({1,2,3},{3,4,5},{(2,4)}) ? Forcément oui, car la troisième partie du triplet est différente.

Il y aurait donc une différence entre la fonction f, "réduite à A", et la fonction f, qui ne contiendrait pas les couples dont le premier élément est hors de A ? On pourrait "ré-agrandir" la fonction réduite, alors qu'on ne pourrait pas le faire avec la fonction qui aurait perdu "à jamais" les couples hors ensemble de départ ?

En d'autres termes, dans le langage "triplets", si on définit
- l'ensemble de couples $f = \lbrace (x,y) \in \R \times \R | y = x^2 \rbrace$
- l'ensemble de couples $g = \lbrace (x,y) \in \R^+ \times \R | y = x^2 \rbrace$
- la fonction triplet F = ($\R$, $\R$, f),
- la fonction triplet G = ($\R^+$, $\R$,g)

on constate que g est une partie de f, donc aussi bien G est différente de F, g est différente de f.

Mais si maintenant, on veut utiliser le langage "triplet" pour réduire F à $\R^+$, on va donc définir la fonction triplet:
H = ($\R^+$,$\R$,f)

Et on constate que H est différent de G, simplement parce que H contient f, et G contient g, et que f est différent de g.

Il faudrait donc conclure que la réduction de F à $\R^+$ n'est pas la même fonction (triplet) que la fonction triplet "d'origine".

Plus encore, on pourrait "ré-agrandir" H, à, ]-5, +inf[ et alors, H(-2) aurait un sens, (car on n'avait jamais enlevé le couple (-2, 4) de f dans H), alors que ce n'est pas possible pour G. On peut définir un "agrandissement" de G:

K = (]-5, +inf[, $\R$,g)

mais le domaine de K reste $\R^+$, alors que l'agrandissement de H, disons L:

L = (]-5, +inf[, $\R$,f)

a comme domaine ]-5, +inf[.

Ce qui veut bien dire que G, la fonction $x^2$ défini dès le départ sur $\R^+$ est une autre fonction, que la réduction de la fonction $x^2$ défini au départ sur $\R$, et réduit à $\R^+$. Ce serait dingue.

Donc non, on ne peut même pas utiliser le triplet pour réduire la fonction à une partie de son domaine, ou une partie de son image, car alors le triplet en question devient incohérent, et il faut *de toute façon* modifier l'ensemble des couples.

Toute l'information utile est donc bien dans l'ensemble des couples, et ça n'apporte rien, sauf de la confusion, de traîner un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée.

Je peux comprendre Bourbaki s'il introduit la notion de fonction de façon structurale et abstraite, c.à.d. si on veut parler de la notion de fonction en toute généralité. Alors il faut bien sûr deux ensembles de base A et B, avant de pouvoir axiomatiser qu'il y ait une fonction, partie de A x B.

C'est un peu comme si on parlait de la structure de groupe. Là aussi, on introduit l'ensemble de base, E, et puis, l'opération, comme une partie de (E x E) x E. Si on veut parler de groupe en toute généralité, il fallait bien introduire un ensemble E, pour pouvoir axiomatiser les propriétés de l'opération.

Mais pour une opération donnée de couples ((a,b), c), il est un peu superflu de parler de l'ensemble E, car c'est bien sûr l'ensemble de tous les a, b, c qui apparaissent dans l'opération.

On parle du groupe Z,+, car le symbole du + est ambiguë: c'est le même symbole qu'on utilise pour l'opération en N, en Z, en Q, .... alors que ce sont des ensembles différents. Quand on écrit Z,+, on veut bien sûr parler du "+ du Z" et pas du "+ de N", dans cette expression. Z,+, avec le "+ du N" ne serait pas un groupe, car ((-2,-1),-3) n'est pas un élément du "+ du N" et justement, c'est un axiome du groupe que l'opération est une application sur E x E. Si c'était clair que le +, il représente le "+ du Z", alors ça suffit en lui-même et on pourrait parler du groupe "+ du Z".

Ce serait idiot de parler du "+ du N" en Z et de considérer que cette addition est différente que "le + du N" en N. C'est pourtant ce qu'on fait en insistant sur la fonction comme triplet ($\R$, $\R$, $\sqrt{x}$) et d'insister sur la présence de $\R$, et de dire que c'est une fonction différente que ($\R^+$, $\R$, $\sqrt{x}$).

De la même façon, le "+ du Z" est un groupe "dans Z", mais n'est pas un groupe "dans Q" car ce "+ du Z" n'est pas une application sur Q x Q.