Définition de "fonction" au niveau collège.

Je ne vois pas ce que tu veux dire Dom.

Les ensembles de couples $\left \{\left (t, \left (\cos (t), \sin (t) \right) \right) \mid t \in \left] -\pi, \pi \right [ \right\}$ et $\left \{ \left ( u, \left ( \frac{1 - u^2}{1+u^2 } , \frac{2u}{1+u^2} \right )\right ) \mid u \in \R \right \}$ sont clairement différents (même si leur image s'avère être dans les deux cas le cercle unité privé de $\{(-1,0)\}$).

Bonjour.

On peut remarquer qu'une grosse part des raisons de choisir telle ou telle définition est de la forme "moi, j'ai appris comme ça" habillé ensuite d'explications adaptées à la définition choisie. Exactement comme dans les discussions sur "fonction vs application". Ce qui s'explique par des usages différents suivant les domaines mathématiques. Et les époques.
Il serait plus raisonnable d'accepter que ce mot ait plusieurs significations locales (même si ça complique la lecture quand on manque de contexte) et que l'apprentissage en collège ne doit pas masquer cette future diversité.

Cordialement

Ok.
Tout simplement.
Merci !

C’était presque « Fog » du coup pour moi ;-)

Édit : pas de souci j’avais bien lu cela comme une coquille ;-)

@kioups

Sinon, oui, il y a une différence entre la droite et une droite, mais dit comme ça, ça n'a aucun sens. Dire "une droite perpendiculaire à (AB) passant par C", ce n'est pas tout à fait correct parce qu'il n'y a qu'une seule droite perpendiculaire à (AB) passant par C. D'où l'article défini. Il n'y pas d'article défini/indéfini en Russe ?

Non, il n'y a pas d'articles en russe. Mais il n'y a pas de règles strictes en français non plus. Quand mes encadrants de thèse relisaient mon manuscrit, c'était une bataille d'articles entre les français : le premier remplace "le" par "un", le deuxième le même "un" par "le" :-D
Si on revient à la géométrie, dire un/une objet/figure me semble bien étrange. Parce que les objets et les figures géométriques vu au collège/lycée ne sont jamais uniques. Par exemple un triangle équilatéral $ABC$ dont $AB=BC=CA=10$ - ce triangle n'est pas unique, il y a une infinité des triangles répondant aux mêmes caractéristiques dans un plan. Et quand on prouve/démontre quelque chose on le fait finalement pour l'ensemble d'objets équivalents. Par exemple, si je demande à 30 élèves de dessiner un triangle $ABC$, on aura 30 différents triangles $ABC$.

@Dom,

J’ai été un peu sévère.
Cette définition me va bien. C’est la meilleure que l’on puisse trouver et elle est sobre, courte et claire.
Je ne l’ai jamais croisée (on voit partout « de part et d’autre » et « entre les droites »).
J’avais trouvé jadis quelque chose d’un peu plus compliqué d’ailleurs, inutilement. Le fait de cliver avec les points dans le même demi-plan ou pas est une solution peu coûteuse.
Remarque : le mot russe pour le cas « non alterne interne » peux-tu l’écrire ?
En Français on aurait envie de dire « internes-non alternes ».

Va pour "internes non-alternes". Si je traduit mot à mot de russe en français : "angles intérieurs de même côté" et "angles intérieurs placés en croix".
Ce manuel, Pogorelov, est un petit bijou : le manuel part de zéro, définit les axiomes d'Euclide et quelques objet dans un langage TRES simple et claire : Histoire de l'enseignement de géométrie dans les différents pays, page 97

Ma prudence a eu lieu en raison de la première phrase qui parle d’angles formés par des droites. Je me suis dis aussitôt qu’il y avait une ambiguïté (angles de droites modulo $\pi$). Mais c’est une simple phrase, disons introductive, donc elle n’est pas dangereuse, je pense.
La dernière chose, très anecdotique, étant qu’il y a un « si...alors... » mais, moi-même j’en écris encore des comme ça quand je vais trop vite. Je préfère « signifie que » ou « revient à dire » (d’autres diraient « si et seulement si ») pour avoir l’équivalence.

C'est ma traduction maladroite, je note les phrases ;-)

Oui, c'était le cas aussi pour moi, en 5e.
"Alternes-externes" est un terme sorti des programmes.
Certains profs ne mentionnent pas non plus "correspondants".

Par contre, j'avais cru pendant un moment (lycée) que l'on n'utilisait "alterne-interne" que lorsque les droites sont parallèles. Chose étrange...

Patrick :
Je me suis trompé dans mon exemple d'ailleurs.
Je voulais dire : $f$ est nulle sur $E=R_+$ et $f = 1$ sur $R_-^*$.
Ainsi on peut annoncer :
a)$f$ n'est pas continue sur $E$ (problème à gauche).
b)$f_{|E}$ est bien continue (sur $E$) (pas de problème à gauche puisque la gauche de $0$ n'existe pas).

@Dom les dénominations des angles sont bien présentes dans les bouquins des années 80 et semblent disparaître dans les premières grandes purges des années 90, tout comme les démonstrations.

@Patrick123, comme le sujet du fil semble te tenir à coeur, j'ai envie de te donner mon avis, lequel avis ne vaut pas grand-chose puisque je ne suis ni mathématicien, ni enseignant, ni père, ni mère, ni parent 3, ni, ni, etc !
Un siècle de mathématiques ensemblistes a évacué les questions philosophiques de définition et d'existence des objets mathématiques.
Tous les objets mathématiques sont devenus des ensembles,
les nombres sont des ensembles,
3 est l'ensemble {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}} (lire ce qu'en pense Paul Benacerraf dans son essai "Ce que les nombres ne peuvent pas être"),
le couple (a, b) est l'ensemble {{a}, {a, b}},
un graphe est un ensemble de couples,
une fonction est un graphe fonctionnel, etc.

On remarque d'abord que le succès de cette entreprise n'est pas total puisque évidemment, ZFC ne définit pas les ensembles.
Par ailleurs, voici ce qu'écrivait Bourbaki dans ses "Eléments d'histoire des mathématiques", page 33 :

"... En d'autres termes, l'essence des mathématiques - cette notion fuyante qu'on n'avait pu jusqu'alors exprimer que sous des noms vagues tels que "reigle générale" ou métaphysique" - apparaît comme l'étude des relations entre objets qui ne sont plus (volontairement) connus et décrits que par quelques-unes de leurs propriétés, celles précisément que l'on met comme axiomes à la base de leur théorie. C'est ce qu'avait déjà clairement vu Boole en 1847, quand il écrivait que la mathématique traite "des opérations considérées en elles-même, indépendamment des matières diverses auquelles elles peuvent être appliquées". ...".

Qu'est-ce à dire ?
Simplement qu'en mathématiques, non seulement il n'est pas nécessaire de définir TOUT ce dont on parle, mais qu'en plus, il est de l'essence des mathématiques de ne pas le faire !

Alors, plutôt que de matraquer les cervelles de jeunes élèves par des définitions formelles abstraites qui leur passent le plus souvent par-dessus la tête, on pourrait commencer par leur donner des explications simples mais capitales qui pourraient ressembler à ceci par exemple :

- Tous les objets étudiés en mathématiques ne sont pas définis. Certains le sont à partir d'autres, certains ne le sont pas. Même si on le voulait, on ne pourrait pas définir tous les objets mathématiques (jouer longuement avec l'observation que tous les dictionnaires sont circulaires).
- On désigne généralement les objets mathématiques par des lettres (parfois par d'autres signes, voire des combinaisons de signes). Contrairement aux usages habituels des langues naturelles, deux lettres différentes peuvent désigner le même objet (c'est cette minuscule information qui n'avait pas été donnée à Jung durant sa scolarité qui l'a empêché de jamais rien comprendre aux maths alors qu'il fut un génie de la psychologie. Lire son autobiographie)

- Quand on regroupe plusieurs objets par la pensée, on obtient un nouvel objet que l'on appelle ensemble. Les objets regroupés s'appellent les éléments de cet ensemble.
- Par exemple, N est l'ensemble des nombres naturels. Une droite est un ensemble de points. Qu'est-ce qu'un nombre ? Qu'est-ce qu'un point ? Il n'y a aucune raison a priori de penser que ce sont des ensembles. Ce sont juste des objets mathématiques. Les seules choses importantes à savoir à leur sujet, c'est que le nombre 3 est le suivant du nombre 2 et qu'étant donnés deux points distincts, ils sont les éléments d'une droite et d'une seule, etc. Voilà l'esprit des mathématiques.
- Etant donné deux ensembles A et B, on obtient un nouvel objet mathématique que l'on appelle fonction définie sur A et à valeurs dans B, qui associe à chaque élément de A un élément de B. Si l'on note par exemple f cet objet et x un élément de A, l'élément associé à x par f se note f(x).
"Associer" n'est pas un gros mot. Il vient du radical latin "socius", "compagnon. Il veut dire : mettre ensemble, réunir, rapprocher, lier, joindre, attacher, etc.
Il n'y a rien de compliqué ou de mystérieux dans le concept de fonction. Comme pour le nombre ou le point, il n'y a pas de raison a priori de penser que c'est un ensemble. C'est juste un objet mathématique dont les deux seules choses importantes à savoir sont : deux fonctions définies sur le même ensemble et qui associent à chaque élément de cet ensemble le même objet, sont identiques, et que toutes les fonctions définies sur A et à valeurs dans B forment un ensemble, que l'on note B^A.

Bien entendu, aux élèves qui feraient preuve de curiosité, de goût et de facilité pour le langage des ensembles, il n'est pas interdit d'aller plus loin, et de leur montrer comment peuvent s'exprimer en termes d'ensembles certains objets mathématiques. Mais pour les autres, je suis convaincu que cette démarche ne peut qu'amener confusion et répulsion, et que ce n'est pas trahir l'esprit des mathématiques que d'y renoncer.

Patrick123 a écrit:

Avec moi, mais avec pleins d'autres, cela a bien fonctionné.

Il faut relativiser. Les lycéens de ta génération (qui est aussi très certainement la mienne, j'ai bientôt 55 ans) représentaient autour de 30% d'une classe d'âge à obtenir le bac (à aller en terminale?). Par ailleurs, ici, tu vas avoir du mal à trouver des gens de cette génération qui vont te dire: cela n'a pas marché sur moi. B-)
Jamais entendu parler du "biais du survivant"? B-)-

Bonjour,

Peut-on raisonner ainsi ? Comme Fdp l'a fait remarquer, la proportion d'une tranche d'âge parvenant au bac est de très loin supérieure à celle d'il y a quelques décennies. Il serait fort étonnant que, "toutes choses égales par ailleurs", tous ces entrants aient une compréhension de la langue et de l'écrit comparable à celle des 30 % ou 40 % les plus scolarisés de la classe d'âge qui les a précédés. Or, justement, l'environnement éducationnel a changé, les choses ne sont pas égales par ailleurs. Les dictées ont disparu, l'enseignement du français a réduit ses ambitions et ses exigences. On ne peut pas, à mon sens, prôner des solutions pour l'enseignement des mathématiques sans tenir compte de ce contexte.

Amicalement.

Mathurin:

Et on retrouvait en seconde* ceux qui ne s'étaient pas complètement noyés dans le programme de mathématiques (et qui maîtrisaient le mieux la langue française, au moins écrite).

Dans les années soixante dix (au moins vers la fin de la décennie) on réorientait les élèves: fin cinquième me semble-t-il me rappeler (ils n'allaient donc pas en quatrième et en troisième) et à la fin troisième (c'est ce dont je me souviens). On pouvait se débarrasser de certains élèves et ils se retrouvaient en lice pour un CAP puis un BEP éventuellement et après, au turbin !

*: Et à la fin de la seconde, hop, on se délestait encore de certains élèves qui allaient en BEP.
(c'est ce qui est arrivé à ma soeur).
L'enseignement général était comme un bateau duquel on ne cessait de jeter des passagers à la mer pour l'alléger. :-D

Foys a écrit:

mais moins d'un 1% des élèves sait ce que veut dire le mot "fonction"

Il faudrait que tu dises tout d'abord par ce que tu entends par le verbe savoir.
Si c'est être capable d'aligner dix mille lignes de définitions préalables pour pouvoir enfin définir ce qu'est une fonction alors tu peux remplacer $1\%$ par $0\%$. Et si on accepte ce sens pour le verbe savoir on peut même penser que le nombre de profs du secondaire qui savent ce qu'est une fonction est proche aussi de $0\%$. Tu peux m'inclure dans les gens qui ne savent pas ce qu'est une fonction: je ne suis pas capable de formaliser cela en dix mille lignes qui vont faire consensus dans la communauté des logiciens.

Patrick123:

Je n'ai pas de doute que si on jette suffisamment de gens par dessus bord du bateau de l'enseignement général secondaire au collège, au lycée on peut faire les cours de mathématiques en Chinois et à la fin de la terminale on peut se permettre de faire un peu de cohomologie galoisienne.* :-D


*: c'était une plaisanterie récurrente de la part d'un de mes condisciples quand j'étais étudiant à Orsay.

FdP,
on retrouvait davantage en seconde que 30%.
Le BEPC concernait environ 80% d'une classe d'âge (pas 100%, il est vrai).
Mais il est vrai qu'il y avait un palier d'orientation en fin de 5ème, qui menait vers le CET.
petite histoire du collège unique

rapport sénat

Patrick123 a écrit:

Mais on a sérieusement baissé le niveau que pouvaient atteindre une bonne fraction d'eux.

Sur un bateau où il y a plus de passagers que de cabines si on se donne comme règle que tous les gens présents à bord doivent dormir dans une cabine, il faut nécessairement entasser des gens dans les cabines et quand on entasse trop de monde à un endroit, on augmente le risque d'être réveillé par les ronfleurs.
L'autre solution est de balancer assez de gens par dessus bord pour qu'il reste exactement le même nombre de gens que de cabines.
Ceux qui restent pourront paisiblement dormir sur leur deux oreilles pendant que d'autres seront probablement en train de se noyer au milieu de l'océan.
Si on oublie l'aspect moral, il faut que le capitaine du bateau et l'équipage décident la règle qui va être suivie et probablement faire face à la fronde de ceux qui sont promis à boire le bouillon si la deuxième règle est mise en place.
Et accessoirement il faut décider, le cas échéant, qui on balance par dessus bord (l'expérience montre que c'est la partie facile du problème à résoudre). :-D

C'est un sujet très intéressant et très révélateur sur l'état actuel de l'enseignement aussi, j'ai beaucoup appris, merci d'avoir initié le fil Patrick.

@Foys. Démontrer que la machine à récurrer est strictement plus puissante qu'une machine à pythonner est une chose. Mais il n'en résulte pas qu'un programme écrit pour la machine à récurrer ne serait pas un programme. Exemple:

let rec homo (b[i]::[/i]ordinal)[i]::[/i]ordinal:=
global a[i]::[/i]ordinal; 
   if b=0 then return 0;;
   if is_suc(b) then return homo(prec(b)) + a;;
   return sup( map(homo, a)) 
end function;

est le programme qui calcule la fonction $b\mapsto ab$ .

Cordialement, Pierre.

« l'espérance de vie d'un individu est corrélée à sa profession ».
On en fait même un critère de pénibilité.

Mais dis-moi, regarde-t-on leur manière de vivre, l’hygiène alimentaire notamment ?
Est-ce lié à sa profession de manger un grec chaque jour ?
Est-ce lié à sa profession de se coucher très tard pour se lever très tôt ?
Est-ce lié à sa profession de ne pas se préoccuper de son hygiène dentaire ?
Est-ce lié à sa profession de boire beaucoup d’alcool ?
Est-ce lié à sa profession de fumer un paquet de cigarettes par jour ?
Est-ce lié à sa profession de regarder NRJ12 ou Arte ?

Les alcooliques cadres (oui, oui, ça existe !) ont-ils une bonne espérance de vie ?


La corrélation existe bien. Mais tu sais aussi qu’on peut corréler des choses entre elles sans que ce soit pertinent.

Je me suis fait avoir, je te réponds.

@Foys,

Les mathématiques ensemblistes n'ont pas évacué ces questions, elles les ont résolues, parfois en quelques lignes.

Qu'est-ce alors qu'un ensemble ?

« L'école n'enseigne rien qu'elle n'est pas susceptible d'évaluer par des notes. »

Comment peux-tu envoyer une telle affirmation que je n’ose qualifier tellement plein de registres sont possibles ?

Existe-t-il une chose qui n’est pas évaluée par une note ? Une lettre ? Une case smiley ? Un oui ou un non ou « en cours d’acquisition » ? C’est quoi « évaluer sans note » ?

Ha encore piégé : mais c’est presque la dernière car jamais deux sans trois.

Ok.
De nos jours, contenter l’institution, c’est donner du sucre et applaudir.
Ceux qui font ça ne sont pas détestés et sont jugés non brutaux par les élèves.
Enfin, pendant leurs pubertés...

À long terme, ceux qui découvrent ce qu’on leur a fait, ont une haine assez sévère envers l’institution (car par maturité ils comprennent que ça ne vient pas essentiellement du prof).
Omar Sy dont je ne suis pas fan (mais que j’en trouve pas antipathique non plus) et dont il est évident qu’il ne représente pas tout le monde l’avait dit en gros avec un phrase du genre « on nous a menti ».

Bon, je suis sorti du sujet.
Je crois qu’il est bon que je quitte cette discussion.
Ma foi elle fut intéressante malgré le côté marronnier.