Médiane et hauteur d'un tétraèdre régulier

bulledesavon
bulledesavon
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour,

Dans un exercice de niveau TS, on demande de montrer que la médiane d'un tétraèdre régulier est aussi une hauteur. Et ce, sans coordonnées donc sans calcul. Cette question suit une précédente question qui consistait à montrer que les arêtes opposées sont orthogonales.
Je sèche pour montrer qu'une médiane est aussi une hauteur. Pouvez-vous m'aider ?

Merci.

Réponses

  • Lake
    Lake
    Bonjour,

    J'ai du mal à saisir: "la médiane d'un tétraèdre" ?

    Mais une chose est probable: les plans médiateurs (de segments) seront utiles.
  • Chaurien
    Chaurien
    Tu devrais rappeler toutes les questions précédentes.
  • bulledesavon
    bulledesavon
    La médiane d'un tétraèdre issue de A est la droite passant par A et le centre de gravité de la face opposé BCD.
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Il n'y a qu'une question précédente et celle-ci consistait à montrer que les arêtes opposées d'un tétraèdre régulier sont orthogonales.
  • Chaurien
    Chaurien
    Renseignements pris, il semblerait qu'une médiane d'un tétraèdre est une droite joignant un sommet à l'isobarycentre de la face opposée. Il y a donc quatre médianes.
    Mais « sans coordonnées » ne signifie pas nécessairement « sans calculs ». Il y a le calcul vectoriel, avec possiblement le produit scalaire. Mais j'ignore ce qui est licite dans les TS de nos jours.
    Bon courage.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Soit $ABCD $ le tétraèdre régulier et $M$ le milieu de $BC$. Le plan $ADM$ est perpendiculaire à $BC$ (c'est le plan médiateur de $(B,C)$). C'est sans doute ainsi qu'on prouve que les arêtes $AD$ et $BC$ sont orthogonales. Si $I$ est le centre de gravité (isobarycentre) de $BCD$, alors $AI$ est orthogonal à $BC$. Etc.
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Non dans la première question, on n'utilise pas les plans médiateurs. Pour montrer que (DC) est orthgonale à (AB), on considère la médiane issue de B dans le triangle (BCD) et la médiane issue de A dans le triangle (ACD). Comme les triangles sont équilatéraux, les médianes sont aussi des hauteurs. En notant N le milieu de [DC], on a donc (BN) et (AN) orthogonales à (DC). Donc (DC) est orthogonale au plan (ABN). Donc (DC) est orthogonale à toutes droites de ce plan. Donc (DC) est orthogonale à (AB).

    Peut-on répondre à la question 2 sans utiliser les plans médiateurs (qui ne sont pas aux programmes de la TS) ?
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Ok j'y suis. Proposition sans faire appel aux plans médiateurs :
    (BC) orthogonale à (AD) (car les arêtes opposées sont orthogonales d'après la question 1).
    (BC) orthogonale à (AM) car la médiane (AM) dans le triangle (ABC) est aussi une hauteur.
    Donc (BC) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (ADM). Donc (BC) est orthogonale au plan (ADM). Donc (BC) est orthogonale à toutes droites du plan (ADM). Donc (BC) est orthogonale à (AG) (où G est le centre de gravité du triangle (DBC).
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Ici je n'utilise que des propriétés au programme de la TS.
  • pldx1
    pldx1
    Cet exercice est infaisable sans coordonnées, c'est à dire sans que l'étudiant utilise des coordonnées pour faire une figure et voir ce qui se passe.

    Preuve: Donc (DC) est orthogonale au plan (ABN). Donc (DC) est orthogonale à toutes droites de ce plan. Un coup d'oeil à la figure conduirait à : combien de droites sont-elles contenues dans le plan (ABN) ? Et ce serait fini.

    Cordialement, Pierre.95574
  • Chaurien
    Chaurien
    Pas du tout ! L'usage de coordonnées n'est pas du tout indispensable ici !
  • pldx1
    pldx1
    sans que l'étudiant utilise des coordonnées pour faire une figure et voir ce qui se passe. Evidemment, une fois que l'étudiant a tracé des centaines de figures... et pris quelques dizaines d'années, il n'est pas impossible qu'il se mette à voir directement, par projection interne sur les murs de son cerveau.

    La question n'était pas "vérifier la validité d'une preuve", mais trouver une preuve: on trouve par des méthodes trouvatoires, et construire une figure est la meilleure parmi toutes ces méthodes.

    Cordialement, Pierre.
  • kioups
    kioups
    Euh... à ma connaissance, nous n'avons pas l'énoncé en entier... donc bon... et bulledesavon a répondu lui ou elle-même sa question sans passer par les coordonnées...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 38

BibixCidrolinCongruDomFoysJLTMatricule_63Tonmbiguine_equationceline_Lgai requinguiguichessi +25 Invités