Développements asymptotiques et séries
Bonjour, je révise le cours sur les séries numériques, mais j'ai souvent du mal à savoir à quel ordre je dois m'arrêter lorsque je réalise les développements asymptotiques pour l'étude de la convergence.
J'aimerais donc savoir si une personne dispose d'un recueil d'exercices corrigés sur cette notion pour que je puisse bien les étudier pour avoir une certaine maîtrise.
Merci d'avance pour votre compréhension.
J'aimerais donc savoir si une personne dispose d'un recueil d'exercices corrigés sur cette notion pour que je puisse bien les étudier pour avoir une certaine maîtrise.
Merci d'avance pour votre compréhension.
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Réponses
Un très bon exercice est de faire les DA des série de Riemann (de terme général 1/n^s), en te fixant par exemple 4 termes.
Il y a des exemples de DA dans les Oraux X-ENS de Francinou Gianella et Nicolas, et ils sont bien entendu corrigés.
Bien sûr, l'ajout d'un terme dans un DA doit améliorer la précision, sinon on pourrait faire sans efforts des DA de millions de termes.
Pour une série alternée, on aura convergence dès qu'on arrivera à écrire $$\text{tg} = (-1)^{n} \times "\text{décroissante vers 0}" + "\text{ tg.d'une série AC}" + "\text{négligeable}".$$
À part ça, je ne sais pas trop quoi dire.
L’exercice est en général cité comme contre-exemple au fait que deux termes généraux peuvent être équivalents mais qu’avec un changement de signe, cela n’assure pas que les natures des séries soient les mêmes.
Grace au DL poussé « assez loin » on s’en sort...
En effet comme marsup l’écrit, on utilise des termes type Riemann où Bertrand dans les exercices académiques.