C'est peut-être parce que je suis physicien, mais j'ai quelque part horreur de considérer la notion de "vecteur" comme simplement "couple de réels" sans plus. Il suffit d'aller travailler avec des vecteurs qui sont des quantités physiques en coordonnées polaires, et on comprend sa douleur quand on mélange "couple de coordonnées" et "vecteur". Pour moi, c'est un objet qui a sa vie indépendamment d'un système de coordonnées, mais qu'on peut aussi décrire en utilisant des coordonnées, avec des manipulations adaptées.
Bien sûr, je sais que R^2 avec la bonne structure est un espace vectoriel aussi, mais c'est un peu "une structure traître" parce que pas toutes les bases orthonormales sont équivalentes, car il y en a une qui est canonique. C'est un peu comme si on avait trouvé, dans l'espace Euclidien, des directions préférées et qu'on avait un moyen de connaître une direction privilégiée.
Mais il y a un repère préféré : moi, mon axe céphalocaudal haut bas gauche droite avant derrière. Certain voit dans les axes du repère cartésien les restes de la mâchoire d'un prédateur, comme une pince. On fait agir le groupe euclidien et on remet droit toutes les figures retournées.
@ Dom: c'est plus basique que cela dont je parle: Si on dit qu'un vecteur lié v, c'est (2,3) à l'endroit (r = 5, thêta = 2) (c.à.d. que dans le système local à cet endroit, $v = 2 1_r + 3 1_{\theta}$ où $1_r$ et $1_{\theta}$ sont ceux du point (r = 5, thêta = 2) ), et j'ai un vecteur lié w qui est aussi (2,3) mais à l'endroit (r = 2, thêta = 4) (donc $w = 2 1_r + 3 1_{\theta}$ mais avec donc un autre $1_r$ et un autre $1_{\theta}$, car ceux du point (r = 2, thêta = 4) )
il ne faut surtout pas penser v = (2,3) et w = (2,3). Pourtant, (2,3) sont bien les coordonnées de v et de w, mais ce ne sont pas deux vecteurs équipollents et ils ne font pas partie du même vecteur libre. Ce sont d'ailleurs des coordonnées d'un vecteur, chaque fois dans un système orthonormal, ce ne sont pas, en soi, des coordonnées polaires.
C'est un peu ce que je suggérais à geo, de prendre du papier avec des coordonnées polaires, et de dire "est-ce une "translation", quand on fait "deux cercles plus loin du centre, et 3 lignes radiales plus contre le sens des aiguilles de la montre" et de voir que ce n'est pas le cas.
Pour bien faire comprendre qu'un vecteur est une autre bestiole que "deux réels", mais qui peut être *décrit* par deux réels.
Quel est l’exercice classique de seconde? montrer qu’un vecteur est colinéaire à un autre et pour montrer cela une méthode pratique est de décomposer les deux vecteurs dans une même base de vecteurs et ensuite de voir le rapport de proportionalité.
finalement je vais donner ça comme définition : le vecteur $\vec{AB}$ est la flèche AB mais aussi toutes les flèches ayant même direction, même sens et même longueur.. avec un dessin avec plusieurs vecteurs égaux et un différent.
bonjour,
désolé si ça fait double emploi, je n'ai pas suivi toute la conversation.
On traitait les vecteurs auparavant en 3eme, et ça ne me semblait pas alors une notion très difficile à faire passer.
le seul manuel de 3eme qui me reste date de 2008, c'est dommage, ils avaient déjà été enlevé.
de mémoire, on le définissait généralement ainsi:
"un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme".
avec force explications sur la notion de direction.
on montrait assez vite divers exemples et des petits exercices d'application et ça passait très bien.
Oui, dans le fond, un vecteur c'est la notion de "direction, sens et grandeur".
Je crois qu'il faut quand-même insister sur le fait que cette "idée" est représentée par toutes les flèches ayant justement même direction, sens et grandeur. Qu'il y ait une différence entre un objet et ces représentants. Je crois qu'on peut parler de vecteur lié (représentant, flèche particulière) et le vecteur libre (l'idée de direction, sens et grandeur).
Et puis, tu peux parler de ce que ça fait "en géométrie" (parallèle + même direction et même sens, "comme les cotés d'un parallélogramme") ;
et ce que ça fait dans $\R^2$, donc "ajouter un certain nombre à x et un autre nombre à y",
et que le lien entre les deux, c'est un repère orthonormal.
Le seul petit "défi" intellectuel est justement ce jeu de "objet" vs "représentant", exactement comme on fait avec les fractions.
Avec les bon mots, c'est bien sûr "classe d'équivalence", mais on peut faire comprendre l'idée sans utiliser le mot.
Je ne suis pas sûr que ce soit si bien pour la santé mentale des élèves. Ces objets flottants. Par ce qu'en fac les vecteurs sont les éléments d'un ev bien dur et puis on fait agir sur un plan.
ces "objets flottants" ont formé des générations de mathématiciens (*) sans que leur santé mentale soit plus affectées que par le reste des maths. Et sans effet majeur sur ceux qui ont choisi d'autre voie.
Et ils ont vu alors les espaces vectoriels comme une généralisation évidente d'un certain type de calcul qu'ils connaissaient bien.
D'autre part, le plan (affine) n'est à priori qu'un espace vectoriel pris d'un autre point de vue; je ne crois pas qu'on développe l'axiomatique de Hilbert, à la fac, plutôt l'assimilation "plan = $\mathbb R^2$".
Cordialement.
(*) disons, pour être sûr, tous ceux qui ont fait leurs études entre 1950 et 1970.
@enrouement: ce que tu appelles "ces objets flottants", pour moi, c'est l'essentiel de la pensée mathématique: un objet mathématique comme "idée abstraite".
Ce que moi, je considère l'énorme avantage de l'approche ensembliste, mais elle n'est pas absolument nécessaire (on peut donc faire sans aussi), c'est que l'idée d'ensemble peut tous les englober. Une fois le concept d'ensemble 'saisi', tout le reste devient "tangible", car ce sont tous des ensembles. On n'a qu'a concevoir un seul "objet abstrait", qui de plus est proche de l'intuition (un sac, une boîte, une liste, ...) et c'est bon, tout le reste s'y réduit. Plus rien ne "flotte". On peut donc faire aussi sans, et effectivement, ça devient alors un peu plus "flottant", mais qu'on le fasse en s'aidant des ensembles, ou sans, c'est quand-même l'essentiel des mathématiques pour moi.
Une des raisons pour lesquelles je pense quand-même que la voie ensembliste est "mieux", c'est que, justement, c'est plus facile à concevoir. Mais pour les notions vues au collège/lycée, on peut aussi faire sans et de rester "flottant".
Je ne trouve rien de "dangereux" mentalement de dire que l'idée de "direction/sens/grandeur" est matérialisée par un objet mathématique, qui s'appelle 'vecteur', et que cet objet est représenté par tout un tas (un ensemble donc) de flèches qui ont toutes, exactement ces propriétés ; au contraire. Une grande partie des maths est faite comme ça, même le nombre entier naturel, comme trois, qui est l'idée commune entre trois vaches, trois billes, trois bananes, trois copains, et trois Euros. On "représente" trois depuis la maternelle par 3 traits, trois pommes, trois vaches, 3 boules, 3 doigts, mais le nombre même est aussi un tel "objet flottant". On n'en devient pas fou, au contraire, on apprend à faire de l'abstraction.
Ou encore que l'idée de direction est un objet mathématique matérialisé par toutes les droites parallèles "dans cette direction". Ou qu'un nombre rationnel est matérialisé par toutes les fractions "qui représentent la même quantité". Etc..
C'est le processus de l'abstraction même: voir l'idée en question et se défaire de tout ce qui est superflu.
Les cérémonies vagues au cours desquelles sont introduites les notions de maths (notamment celle de vecteurs) sont essentiellement désinformantes et donnent aux élèves une idée fausse de ce qu'est une définition.
Une phrase comme "un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme" n'est pas une définition, ni pour un adulte, ni pour un enfant.
En fait le cours de géométrie de lycée est une arnaque dans laquelle une nouvelle notion première (le vecteur) est introduite (oui, ça tombe du ciel) avec des axiomes qui trivialisent les preuves (3 calculs pour montrer que certains points d'un triangle sont alignés au cours d'un exo type qui est invariablement le même) de façon à atteindre un taux de réussite fixé à l'avance à un examen.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Commencer, au niveau collège, par la théorie des relations d'équivalence et en déduire les vecteurs par équipollence me semble déraisonnable. Les notions doivent être présentées par ordre de "difficulté à avaler". Au contraire, l'équipollence sera l'un des exemples dont on pourra, au niveau lycée, abstraire une théorie des relations d'équivalence.
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Au collège, la première étape doit être des dictées de points. Encore et encore. Sur le modèle:
Définition. On appelle rantanplan la feuille de "papier quadrillé écolier" qui est posée devant un écolier. On fait une croix (rouge) quelque part (à l'intersection de deux lignes du quadrillage), et on écrit "vous êtes ici". Quand cela prend trop de place, on écrit "O". Et on dit "c'est l'origine".
Définition. Le point "tchouk, tchouk, tchouk, kling, tchik, tchik, bang, A" s'obtient en se plaçant en O, avec la marge derrière soi (le regard est alors dirigé selon le lignage horizontal). Alors on avance d'un carreau (tchouk), puis d'un carreau (le deuxième tchouk), puis d'un carreau (le troisième tchouk). Puis on fait un quart de tour (kling). On regarde alors dans la direction du lignage vertical. Puis on avance d'un carreau (tchik), puis d'un carreau (le deuxième tchik), puis on pose le crayon, on fait une croix (bang) et on écrit le nom du point (A).
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L'axiome fondateur du rantanplan est le suivant: l'élève de collège qui oublie ses affaires en maths, et en particulier son cahier d'écolier quadrillé, est autorisé à revenir plus tard (avec quelques lignes à copier, et le cours à rattraper).
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On veut$B=A+\overrightarrow{AB}$ et donc $\overrightarrow{AB}=B-A$. Ce sera comme cela si cela tient la route. Et sinon, c'est pas grave, on jouera à autre chose.
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$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ veut dire $B-A=D-C$ soit $\dfrac{B+D}{2}=\dfrac{A+C}{2}$. Et alors les diagonales ont même milieu (définition: pour prendre le milieu, on prend les moyennes: in medio stat virtu).
Définir AB,CD sont équipollents lorsque ABCD est parallèle au gramme = pipeau.
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On a $A+\overrightarrow{AC}=C=B+\overrightarrow{BC}=A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$. On doit donc poser $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, i.e. on ajoute les vecteurs en les mettant bout à bout. Et donc on posera $\mathbf{u}+\mathbf{v}\doteq \left(\left(O+\mathbf{u}\right)+\mathbf{v}\right)-O$ si cela tient la route. Et sinon, c'est pas grave, on jouera à autre chose.
Dire: on ajoute des vecteurs par le parallèle au gramme = pipeau
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L'écriture $\tau=\left\{ \left(A,A+\mathbf{v}\right)\mid A\in\mathrm{plan}\right\} $ définit quelque chose, mais sûrement pas $\mathbf{v}$. Autrement dit l'ensemble des bipoints équipollents à $\left(A,B\right)$ n'est pas $\overrightarrow{AB}$, mais la translation $\tau_{\overrightarrow{AB}}$.
Dans $\left(\begin{array}{c} 4\\ 5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right)+\overrightarrow{\left(\begin{array}{c} 3\\ 3 \end{array}\right)}$ c'est $3;3$ que l'on ajoute à $1;2$ et pas un ensemble de trucs, qui produirait un ensemble de résultats.
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Pourquoi pipeau: à aucun moment les théoriciens du parallèle au gramme n'indiquent comment fait-on pour savoir si $ABCD$ est ou n'est pas rallèle au gramme. Utiliser $\overrightarrow{BC}=$$\overrightarrow{AD}$ serait quelque peu tartouille. Quant aux milieux, j'attends paisiblement de voir les méthodes qui seront proposées pour déterminer le milieu d'un segment... et ensuite pour décider si les milieux de deux segments sécants sont égaux ou non.
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Le rallèle au gramme intervient au moment de vérifier la commutativité de l'addition des vecteurs. On a: $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD_{1}}$ ; $\mathbf{v}+\mathbf{u}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD_{2}}$ avec $A+D_{2}=B+C$ pour l'une des équipollences, et $A+D_{1}=C+B$ pour la deuxième. On en déduit la valeur commune: $D=B+C-A$. Et alors, le chœur des collégiens émerveillés s'écrie: oh, le beau rallèle au gramme !!!
@ronan: mes étudiants sont des adultes, cependant quelques années auparavant c'étaient des lycéens et des collégiens et ça représente un travail considérable de déconstruire toutes les salades qu'on leur a racontées (en plus de devoir leur apprendre les mathématiques de base, comme développer/factoriser, résoudre des équations de degré 2,montrer des inégalités simples etc).
@pldx1, en fait ton point de vue (pour résumer), c'est que le plan est égal à $\R^2$. C'est bizarre pour un fréquenteur régulier du forum de géométrie mais pourquoi pas (les gens semblent plutôt pencher du côté de la géométrie synthétique).
Pour les parallélogrammes, pourquoi la notion devrait-elle devenir taboue? Il y a trop de lettres dans le mot? Il suffit juste de dire ce que c'est: un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si les milieux des segments $[AC]$ et $[BD]$ sont les mêmes (et de montrer que lorsque $A,B,C,D$ ne sont pas alignés, cela équivaut à avoir $(AB)//(CD)$ et $(AD)//(BC)$ d'où l'appellation). Une définition n'a pas vocation à contenir le manuel de résolution systématique des problèmes de maths où la notion sera mentionnée.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@Foys. Lorsque l'on part du papier quadrillé, on prend le milieu en prenant les moyennes. Cela reste modeste, mais cela est clair et net. Et alors, on est certain qu'il n'y a pas une boucle logique entre milieux, équipollence et parallélogramme (et je n'ai plus rien contre les parallélogrammes). Lorsque l'on fait autrement, eh bien j'attends paisiblement de voir comment cela marche dans le détail.
Il y a quelque chose que je n'arrive pas à comprendre dans ta démarche. Tu sembles partir du fait que la notion de parallélogramme serait inconnue ou non-intuitive, et que l'idée d'un ensemble de représentants d'un objet (pour ne pas utiliser le vilain mot d'ensemble-quotient) est trop difficile, mais tu vas introduire la somme et la différence de POINTS ?
Si on me dessine sur une feuille blanche, deux points A et B, je ne saurais pas intuitivement ce que voudrais dire "A - B" et encore moins "A + B" pour "le diviser par deux". Si maintenant je dois assumer que "la différence de deux points, c'est un nouvel objet" qui peut être égal à une autre "différence de deux points" où il faudrait introduire la notion de "somme" de deux points comme étant le "double" de leur centre, on demande beaucoup beaucoup plus de gymnastique imaginaire et implicite que de dire qu'on a un parallélogramme, non ?
Toutes ces difficultés disparaissent, bien sûr, si on a simplement des "couples de nombres". Mais alors il n'y a pas de raison d'introduire une nouvelle notion pour la différence de deux couples de nombres, et donc pas vraiment lieu de parler de "vecteur".
J'ai effectivement l'impression, quand je vois certaines introductions à l'idée de "vecteur", qu'on est simplement en train de travailler en $\R^2$. Mais alors c'est plus simple d'introduire simplement l'addition en $\R^2$, il faut même pas parler de "vecteur". La façon dont tu t'y prends, avec une idée spéciale de "classes d'équivalence basée sur la soustraction", sans le dire, me fait penser à la construction des entiers relatifs alors. On peut dire que $\Z$, c'est l'ensemble des vecteurs libres sur $\N$ avec comme équipollence, a - b = c - d si et seulement si a + d = b + c, avec a, b, c, et d des entiers naturels, et la classe d'équivalence sous cette équipollence (donc les "vecteurs") l'entier relatif a - b :-D
L'analogie est frappante:
Points A et B, et nouvelle notion vecteur étant A - B
vs.
entiers naturels a et b, et nouvelle notion "vecteur" a - b
et en suite:
La nouvelle notion "vecteur A - B" est égal à "C - D"
à condition que A + D = B + C (abracadabra "milieu")
vs.
La nouvelle notion "vecteur a - b" est égal à "c - d" à
condition que a + d = c + b (addition entiers naturels) ;
ici aussi appelé entier relatif
Nous avons maintenant une "addition" aussi des nouveaux machins:
vecteur "A - B" plus vecteur "B - C" = vecteur "A - C"
vs:
entier relatif (a - b) plus entier relatif (b - c) égal entier relatif (a - c).
perso, je ne permettrait pas trop de juger ainsi le travail des autres.
d'une part, tous les enseignants ne sortent pas tous de normale sup, et essayent sans doute de faire honorablement leur boulot, dans des conditions de plus en plus difficiles.
D'autre part, le niveau des élèves a dramatiquement baissé,
Il y a 20 ans, je m'amusais avec des contraposées de Pythagore en 4eme, et mes élèves (enfin, la majorité) savaient factoriser des expressions avec parenthèses, alors que je dois actuellement tout reprendre à zéro avec mes 1eres (sti2d).
Je n'ose même pas imaginer si je devais enseigner à nouveau la démonstration à des élèves actuels, même à des terminales (en passant, avec cette nouvelle réforme, la résolution des équations du second degré vient de disparaitre des programmes de sti).
Ce n'est pas la faute de leurs enseignants, j'ai souffert et participé à cette perte de sens, moi aussi, au fil des ans, des réformes, des classes de plus en plus hétérogènes, de la dictature de la bienveillance, ...
Bon,
Soit j’ai mal compris, soit depuis le début ça te dérange qu’un plan soit identifié à $\mathbb R^2$.
C’est dommage car un plan est un espace affine de dimension 2 et donc isomorphe à ce produit cartésien qui te gêne (je reconnais que cette définition est certainement récente - 19e ?).
L’idée des coordonnées polaires, je l’ai bien comprise mais je n’en vois pas une argumentation convaincante.
Remarque : La construction avec la différence des points étaient celle qu’on trouvait dans le début des années 2000 dans les cours du CNED pour la prépa CAPES. C’était aussi ce qui était fait en prépa CAPES à Jussieu dans ces mêmes années.
(C’était Francette Bories, et je vois sur Google que c’est Francette Bories-Longuet).
Par contre même si c’est tentant, on n’y additionnait pas les points.
Vecteur lié = bipoint = couple de points.
Vecteur glissant (non nul) = classe de la relation d'équivalence "même support, même sens, même longueur".
Vecteur libre (non nul) = classe de la relation d'équivalence "même direction, même sens, même longueur".
@Foys, par curiosité, dans ta conception "vecteur = translation", comment définis-tu le vecteur glissant ?
A tous les niveaux, on "constate que le niveau a baissé", et a tous les niveaux, "on baisse le niveau". Ceci explique alors cela.
J'ai vraiment du mal à concevoir que pour une majorité des élèves, il serait au-delà de leurs capacités intellectuelles de concevoir "un ensemble de flèches" comme un concept. Le fait même de ne pas oser en parler repousse alors encore de quelques années leur *possibilité* d'exercer leur potentiel à réfléchir (un tout tout petit peu) "abstrait". Il ne faut alors pas s'en étonner que cette capacité est encore en état vierge en terminale, mais surtout, qu'entre temps on a construit mentalement quelque chose de très bancal dans ce qu'ils auront appris comme étant "des mathématiques": de la rigueur floue, de l'abstrait avec des mouvements de bras.
Si, dès le CP, on dit "oulala, c'est difficile, les nombres au-delà de 10 ", ben au collège, on dira toujours "oulala, c'est difficile, les nombres au-delà de 10". Et en terminale, on dira que ces imbéciles ne savent même pas ce que c'est, douze. Un vague truc avec des œufs. On a tout fait pour.
On a dégénéré toutes les notions mathématiques pour que, surtout, à aucun moment, on avait l'occasion de voir une notion précise, claire, et abstraite. A tout, on a enlevé l'essentiel, et ajouté une dose de "grand mouvements de bras". Je ne comprends pas cette idée, qu'en faisant cela, ça pourrait apporter quelque chose.
J'ai visiblement du mal à dire ce qui me gène dans pas mal d'approches présentés ici, je pensais pourtant que je l'avais déjà fait. C'est essentiellement qu'on "dégénère le concept de vecteur", et qu'on nomme un truc "vecteur" en laissant de coté l'essentiel, ou bien qu'on fait appel de façon implicite à des notions bien plus difficiles sans les expliciter.
Quand on fait des opérations dans $\R^2$, on n'a pas besoin de parler de vecteurs. Ce sont des couples de nombres, et il est alors beaucoup plus facile d'introduire l'addition et la différence de couples de nombres sur $\R^2$ que de vouloir parler de vecteurs comme couples de nombres étant la différence entre couples de nombres mais n'étant pas des couples de nombres d'origine. En $\R^2$, il n'y a aucune différence entre "vecteur" et "point", ce sont les mêmes choses.
Quand on identifie $\R^2$ avec le plan, il y a alors un report automatique de couple de nombres, et de POINT, et là aussi, il ne faut alors pas parler de "vecteur", SURTOUT, quand on considère déjà les "différences" et les "sommes" de points.
Quand on veut quand-même parler de vecteurs, il faudrait alors quand-même qu'ils incarnent un concept, et on fait tout pour ne pas définir ce que c'est, ce concept, à part des grands mouvements de bras. On refuse de dire ce qui est essentiel à la notion de vecteur dans un contexte géométrique, qui est justement l'idée de sens, direction et grandeur, sans "endroit spécifique", qui est "matérialisé" par toutes les flèches ayant ces propriétés et qui est incarné par la figure de parallélogramme ; ou bien, de façon plus abstraite, par une équipollence.
Quand, par contre, on veut parler de "vecteur" comme élément d'un espace vectoriel, alors le "point" dans $\R^2$ l'est déjà, et il ne faut donc pas "introduire une nouvelle notion", mais simplement dire que c'est un autre nom pour des couples de nombres, si on veut, du moment on on a introduit l'addition et la multiplication scalaire de couples de nombres. On fait alors tout "sans géométrie", ce qui n'empêche pas de "faire une illustration graphique", de la même façon qu'on fait un diagramme de Venn pour illustrer graphiquement l'intersection de deux ensembles: juste un dessin.
Seulement, cette dernière façon de faire loupe donc l'essentiel sur le plan géométrique qui sera utilisé en physique, à savoir "même direction, sens et grandeur" quand on prend des "points de vue différents".
Mais on loupe aussi l'essentiel d'un espace vectoriel en faisant cela, car les idées fondamentales d'un espace vectoriel, c'est quand-même la combinaison linéaire et le changement de base, alors que, dans $\R^2$, on reste dans la base canonique, et on va parler de "vecteurs colinéaires", qui sont alors simplement ... la condition numérique d'un parallélogramme, ou bien "les points sur une droite passant par l'origine".
En gros, on a donc refusé de définir un objet mathématique avec les propriétés qui lui sont caractéristiques, pour utiliser un mot (le nom de cet objet) associé à quelque chose de vague, ou quelque chose dont on n'a pas besoin, ou en introduisant de façon sous-jacente, des concepts implicites bien plus difficiles à assimiler, finalement, sans jamais les nommer.
@ kioups "et on ne s'en porte pas plus mal" n'est pas réellement recevable ;-)
Je ne parle pas de l'application en seconde même, celle-là est tellement triviale qu'on n'en a pas besoin, c'est "la différence en $\R^2$". Je parle des utilisations après, par exemple en physique. J'espère quand-même qu'on n'introduise pas une idée, simplement pour l'application immédiate et sans "vue" sur l'utilité de cette idée plus tard. Sinon c'est complètement stérile, "en circuit fermé".
On peut faire de la géométrie cartésienne sans parler de vecteurs. Des points, c'est des couples de nombres, et puis il y a des droites qui sont des ensembles de couples de nombres qui satisfont une équation du premier degré, etc...
Comme c'est des nombres, on peut alors faire des additions et des différences (et il faudra mettre le frein pour ne pas aussi faire des multiplications et des divisions puisqu'on y est). On peut introduire la "distance" entre points, et on peut introduire la notion de droite parallèle en ayant deux équations n'ayant pas une solution commune, ou ayant les mêmes solutions. On peut introduire les conditions sur ces droites. On peut introduire un tas de notions géométriques dans la géométrie cartésienne, sans jamais parler d'un vecteur. Car dans le plan cartésien, la DISTINCTION entre "point" et "vecteur" est problématique, comme elle l'est en $\Z$.
Le plan, c'est la notion primitive introduite par Euclide. Tu ne vas quand-même pas me dire qu'on ne savait pas ce que c'était, le plan, avant que Descartes ait introduit le repère cartésien ?
(ça me fait plaisir de pouvoir utiliser l'argument "mais il y avaient des mathématiciens avant qu'on utilise des ensembles" à l'envers :-D )
C'est vrai que, à l'époque des "maths modernes" on passait un temps fou (et inutile) à construire des notions ensemblistes Euclidiennes pour bien distinguer $\R^2$ et le plan $\Pi$, mais cette notion est supposée être quand-même accessible intuitivement sans devoir passer par les nombres réels.
Le plan n'a pas d'origine. Ça contient juste des points, des droites, et des cercles et d'autres sous-ensembles de points. C'est l'abstraction de la "feuille blanche", comme faite par les Grecs.
Les notions primitives sont droite, point et cercle, le dernier essentiellement introduisant la notion de distance. On pourrait croire qu'ils sont suffisamment intuitifs pour ne pas devoir, comme on faisait dans le temps, passer par tout un formalisme ? On peut le faire bien sûr, mais ce n'est quand-même pas tout de suite $\R^2$, qui est encore plus problématique à ce niveau, sans avoir construit explicitement $\R$ ?
Sans construire $\R$ (par des suites de Cauchy, des coupes de Dédekind, ou autre), la notion primitive de $\R$ vient de la géométrie, et pas dans l'autre sens: un nombre réel, venant de la géométrie, c'est le rapport entre deux segments. La notion de segment est primitive, et la notion de réel en est déduite. On ne peut alors pas dire que le plan, ben, c'est $\R^2$, car sans plan, on n'a pas $\R$ alors.
C’est fou comme tu brodes et fait des sudoku dans tous tes messages.
Ce que tu dis me va bien.
Pour toi « plan » n’a pas la même définition que pour moi.
J’envoie dans ce cas précis les notions intuitives à la benne sauf « la feuille infinie » qui est un grand geste (bien écarter les bras dans toutes les directions).
J’envoie directement « le plan c’est $R^2$ » ou bien plus généralement « c’est un espace affine de dimension 2 ».
Oui on a un point privilégié, d’accord c’est vilain !
Quand on relie tout ça à un plan vectoriel, on identifie des vecteurs du plan affine.
Je ne trouve pas que cette idée soit meilleure ou moins bonne que la tienne.
Je n’argumente pas, c’est vain puisque chacun voit midi à sa porte.
Personne ne m’enfoncera dans le crâne sa préférence.
Et surtout avec des tomes de proses.
tu as donc une conception platonicienne de la géométrie : Il existe un objet idéal (du monde des idées), le plan, dont les propriétés géométriques sont données par les axiomes d'Euclide (*), et indépendant de la notion de nombre (puisqu'on doit compliquer pour "l'assimiler à $\mathbb R^2$). Et aussi probablement kantienne (Pour Kant, la géométrie euclidienne est une des données de notre entendement) pour ne pas t'interroger sur les fondations mathématiques de ce "plan".
Mais là où tu me déçois, c'est que toi, le chantre de "il faut tout définir", tu ne définis pas ce plan, pas même en termes d'ensemble (l'axiomatique de Hilbert, bien plus solide que celle d'Euclide ne construit pas le plan). Ce que font tous les géomètres actuels en définissant le plan affine comme étant l'espace vectoriel $(\mathbb R^2, +,\dot)$ muni de sa structure affine.
A noter : La fin de ton message fait fi des progrès historiques; tu en restes à la définition des nombres par la géométrie, datant de 2300 ans, et qui n'a jamais donné les nombres réels, seulement certains des nombres réels. Avec toutes les difficultés de conception basée sur l'abstraction du dessin d'un segment. On dirait que tu reviens de plus en plus aux mathématiques comprises par l'adolescent que tu fus, oubliant toute la construction actuelle des mathématiques à partir des ensembles.
Cordialement.
(*) et qui a peut-être aussi d'autres propriétés, mais ce n'est pas notre propos.
On peut faire de la géométrie axiomatique sans remonter à Euclide.
On peut dire:
De la géométrie projective axiomatique
Des géométries non euclidiennes axiomatiques.
De la géométrie absolue. (axiomatiques de Hilbert et Bachmann)
Oui, bien sûr que j'ai une vision Platonicienne des mathématiques, mais il n'y a même pas le choix dans le cheminement pédagogique de l'enseignement mathématique. On peut difficilement commencer au collège par introduire les langues formelles, et on y est de toute façon extrêmement loin. De toute façon, sans vision Platonicienne, on ne peut pas "appliquer" des mathématiques à des problèmes autres que des problèmes formelles mathématiques. On ne peut pas faire de la physique et utiliser des maths sans quelque part une vision Platonicienne des objets mathématiques qu'on va identifier avec des "choses de la nature".
Et on ne peut jamais "tout" définir, il y a toujours des notions primitives. Mais il y a le juste milieu. Dans une approche purement formelle, les éléments premiers sont les "éléments du langage formel". Mais ce n'est absolument pas cette voie qu'on peut prendre de façon pédagogique (et personnellement j'ai un grand doute qu'il y ait le moindre intérêt pour un jeu purement formel "sans idée derrière").
Dans une approche rigoureuse mathématicienne, on introduit un minimum de notions primitives "avec une idée", et à partir de là, on essaie de garder des parallèles entre d'un coté un développement formel, et de l'autre coté des "idées" (Platoniciennes) associées.
Le programme des "maths modernes" faisait cela: on introduisait des notions primitives concernant "les ensembles" qu'on acceptait de façon intuitive (ceci contrairement au développement formel style ZF), et à partir de là, on voulait garder tout "formel". Il y avait le slogan Bourbakiste "à bas Euclide".
Personnellement je crois que, autant que c'était une bonne idée pour beaucoup de choses, pour la géométrie Euclidienne, c'était simplement ridicule, pour la raison suivante: les notions "intuitives primitives" d'Eucide sont extrêmement proches de notre intuition visuelle. On n'a pas besoin de "soutenir notre intuition" pour comprendre ce que c'est, le plan, une droite, un point. On ne gagne rien sur le plan pédagogique en formalisant cela, ce qui était fait en "maths modernes". Ça frôlait le ridicule de passer des pages et des pages de formalisme pour dire ce que c'était, une droite, au niveau secondaire.
Je crois donc que, à coté de l'introduction de la notion de "ensemble", on peut continuer à utiliser les notions géométriques primitives d'Euclide et les nombres entiers naturels. Ils sont tellement intuitifs, qu'une formalisation en termes plus primitives ne sert à rien. C'était du zèle ridicule en maths modernes.
Par contre, à un certain point, il faut "commencer à faire des maths", dès qu'on introduit une notion qui n'est plus si intuitive que cela. Continuer à jouer sur l'intuition alors que cela devient plus subtil dessert la compréhension, autant que sur-formaliser une notion évidente. Toute notion pas si intuitive que cela, doit effectivement être définie clairement en fonction de notions primitives intuitives. Les vecteurs en font partie.
Il vaut mieux mettre cette "frontière" entre le primitif-trivial-simple et le plus sophistiqué à définir un peu "trop tôt" que "trop tard", mais il ne faut pas exagérer non plus, ce que je crois, qu'était le défaut des maths modernes en géométrie.
Euclide est pour moi, la transition entre l'intuitif et le raisonnement formel. Ce n'est pas purement formel, mais on s'exerce à raisonner, tout en utilisant des primitives intuitives "par dessin".
@Mathurin. On peut faire de la géométrie projective axiomatique. Oui. La preuve: cela m'arrive d'en faire, de temps à autre. Mais je ne suis pas certain que ce soit raisonnable de discuter du plan de Moulton... au collège, ni même au lycée. Ensuite de quoi, le principal résultat de la géométrie projective axiomatique est que, sauf pathologies d'intérêt limité, tout ce barnum se ramène à faire de la géométrie au sein d'un $\mathbb K^n$ où $\mathbb K$ est un corps. Autant dire que commencer par l'axiome du papier quadrillé écolier consiste exactement à se placer dans le cadre le plus général possible.
@Patrick (1). On part des points "tchouk, tchouk, tchouk, kling, tchik, tchik, bang, A" et "tchouk, kling, tchik, tchik, tchik, tchik, bang, B". Rappel: faire des dictées de points me semble être l'activité la plus indispensable pour commencer correctement l'enseignement de la Géométrie au collège. Quelle méthode préconises-tu pour que l'élève détermine le point $C$, milieu du segment $[A,B]$ ? Rappel: une méthode est une façon de faire générique, qui "marche à tous les coups", et pas un truc bricolé vite fait pour venir à bout d'un cas isolé. Et ensuite, comment appliques-tu cette méthode non numérique pour montrer que l'équipollence est transitive ?
@Patrick (2). Si l'on prend $A=\left(\begin{array}{c} -1\\ 2 \end{array}\right)$ et $ B= \left(\begin{array}{c} 4\\ 5 \end{array}\right)$ alors $B=A+\overrightarrow{AB}$ s'écrit: $\left(\begin{array}{c} 4\\ 5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1\\ 2 \end{array}\right) +\overrightarrow{\left(\begin{array}{c} 5\\ 3 \end{array}\right)}$. Pourquoi met-on une flèche puisque "tout ça c'est pareil, c'est des couples de nombres" ? C'est tout simple, on met une flèche parce que c'est pas pareil. En effet, soit $\tau$ la translation définie par son action $M\mapsto M+\mathbf{v}$ sur les points du plan, avec $\mathbf{v} \doteq \overrightarrow{\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)}$.
Alors $B=A+\overrightarrow{AB}$, c'est à dire $\left(\begin{array}{c} 4\\ 5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1\\ 2 \end{array}\right) +\overrightarrow{\left(\begin{array}{c} 5\\ 3 \end{array}\right)}$, devient $\left(\begin{array}{c} 5\\ 6 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 3 \end{array}\right) +\overrightarrow{\left(\begin{array}{c} 5\\ 3 \end{array}\right)}$, c'est à dire $\tau(B)=\tau(A)+\tau\left(\overrightarrow{AB}\right)$. On a donc $\tau\left(\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AB}$. Et on démontre qu'il s'agit bien d'un théorème général: l'action d'une translation sur un vecteur est nulle. Et ici, démontrer veut dire: démontrer (quelques additions, une démonstration certes bien modeste). En tout cas, cela veut dire: on ne se contente pas de "voir sur la figure" mais, en plus, on prouve que l'on a vu juste.
J'ai déjà dit que si on veut travailler en $\R^2, +$, on n'a pas besoin de définir "vecteur", et on ne doit pas dire que le vecteur AB est égal au vecteur CD, qui était le début du fil. Ce qu'on appelle "le vecteur AB", est simplement le POINT B - A, ou B, A, et B - A sont des couples de nombres (C'est ce que $\R^2$ veut dire "couples de nombres").
Il n'y a pas de distinction entre "point" et "vecteur" dans $\R^2$.
Il n'y a pas de "vecteurs" dans un espace vectoriel, "faites de deux points de l'espace vectoriel". On appelle les points dans un espace vectoriel "des vecteurs" ou 'des points' ou "des éléments" comme on veut, mais il n'y a pas cette distinction entre $\vec{AB}$ et $C$. On a juste une addition et une multiplication scalaire.
Si on considère donc juste $\R^2$, il n'y a pas lieu de poser la question de $\vec{AB}$. C'est juste $B - A$ comme différence de couples de nombres.
Remplace partout ton $\vec{AB}$ par $B - A$ et la propriété est triviale.
Je ne vois d'ailleurs pas l'utilité de cette propriété que les coordonnées d'un vecteur restent invariant sous une translation. Elles ne le sont pas sous une rotation par exemple, donc à quoi bon ?
(t une translation quelconque, c.à.d. t(X) = X + T)
Et ta propriété se réduit à : B - A = t(B) - t(A).
On a aussi : r(B) = r(A) + (r(B) - r(A)) (r une rotation quelconque, r(A) = R x A)
Là, par contre, on n'a pas que B - A = r(B) - r(A). On aura que r(B) - r(A) = R x (B - A).
Tu peux aussi le voir d'une façon algébrique: si tu considères "ajouter $\vec{AB}$" comme "appliquer la translation", alors $B = t_1(A)$ ; $t_2(B) = t_2(t_1(A))$ et on peut dire que "la composition de translations est commutative" et alors on a $t_2(B) = t_1(t_2(A))$, qui est une autre façon de voir ta "propriété" qui est bien plus parlante: la commutativité de la composition des translations.
@Patrick. Disons les choses plus brutalement, puisque cela semble nécessaire. Si tu tiens absolument à ne pas utiliser de coordonnées, comment fais-tu pour définir le milieu d'un segment de façon à être capable de prouver que l'équipollence est une relation transitive ?
Pour taper sur le clou : je n'ai pas de doute sur le fait que l'équipollence soit transitive. Le doute exprimé concerne la façon dont tu envisages de prouver cela sans utiliser de coordonnées.
@pldx1: le milieu d'un segment se construit quand-même par la médiatrice (quand on peut supposer l'existence de cercles, donc avec une structure métrique), sinon par Thales.
Veux-tu dire qu'on ne saurait ce que c'est, le milieu d'un segment, sans coordonnées ??
D'ailleurs, j'ai donné la preuve dans les feuilles brouillons que j'ai attaché dans ce fil. OK, je n'ai pas séparé tous les cas, et il faut donc (voir dessus) accepter le parallélogramme dégénéré et traiter ce cas, mais ça ne pose pas de problème de principe. J'ai proposé une démonstration en utilisant les propriétés de base d'un parallélogramme et d'isométrie de triangles.
> Bah pour moi il y a bien deux choses, deux
> $\mathbb R^2$.
>
> Les points de $\mathbb R^2$ ne sont pas les
> vecteurs de $\mathbb R^2$.
Je suppose que penses à ceci:
Il y a les coordonnées des points, et les coordonnées des translations, c.à.d. une classe particulière de fonctions de points en points, ce qu'on veut donner le nom de "vecteur" visiblement.
Si on dit que le $\R^2$ bleu, ce sont les coordonnées des points, et le $\R^2$ rouge, ce sont les coordonnées des translations (les "vecteurs"), on a les règles suivantes:
1) on ne peut pas faire la somme de deux couples "bleus", sauf pour les diviser par deux et avoir leur milieu, ce qui est un autre couple bleu. $\R^2$-bleu n'est donc pas équipé d'une addition, sauf une addition divisée par deux, appelé "milieu".
2) les translations étant des fonctions sur les couples bleus, elles prennent un couple bleu, et en fabriquent un autre, et elles sont caractérisées par un couple rouge. t(A) = B, avec A et B des couples bleus donc, et t caractérisée par un couple rouge U. Ces fonctions sont telles que l'addition externe d'un couple bleu A avec un couple rouge U, donne un couple bleu B. Il y a donc une addition externe entre les couples rouges et bleues, qui est "l'image sous translation".
3) les translations étant des fonctions, on peut aussi les composer. Si on a donc un couple bleu A, et deux translations, représentées par leurs deux couples U et V pour t et s respectivement, on peut toujours calculer s(t(A)).
--> théorème: la composition de translations est interne, c.à.d. il existe une troisième translation w, telle que, pour tout A, couple bleu, nous avons: w(A) = s(t(A)). Cette translation w est représentée par un couple rouge W, et de plus, ce couple rouge est la somme des couples U et V.
La composition de translations correspond donc à une addition interne dans $\R^2$-rouge.
Comme l'addition est commutative dans $\R^2$-rouge, on constate que la composition de translations est aussi commutative.
4) on peut introduire une différence externe dans les couples bleus: le résultat est un couple rouge.
==> théorème: Si A et B sont deux couples bleus, et R = A - B est un couple rouge représentant donc une translation t, nous avons que t(B) = A.
5) Il y a un isomorphisme canonique entre les couples rouges et les couples bleus: la translation de l'origine.
Si on a un couple rouge quelconque R qui représente une translation t, on peut le représenter par un couple bleu B, en prenant t( (0,0) ) = B.
--> théorème: le couple B contient les mêmes nombres que le couple R.
MAIS: interdiction d'importer, dans $\R^2$ bleu, l'addition interne de $\R^2$ rouge.
Je trouve cela, en $\R^2$, totalement tordu :-S, compliqué et au moins conceptuellement aussi difficile que la voie géométrique, qui elle, au moins, est soutenue par une intuition géométrique. La distinction entre couples bleus et rouges est totalement artificielle.
Je ne vois pas ce qu'on gagne, comparé à:
1) $\R^2$ peut être équipé d'une addition (et donc aussi d'une soustraction)
2) $\R^2$ peut être équipé d'une multiplication scalaire
Un ensemble, ainsi équipé d'une addition et d'une multiplication scalaire, est aussi appelé un espace vectoriel, et on peut, si on veut, appeler ses éléments alors "des vecteurs".
3) On peut introduire, sur $\R^2$ ainsi équipé, pleines de fonctions de $\R^2$ en $\R^2$ du style f(A) = B. Une classe particulière de fonctions sont les translations. Elles sont caractérisées par un point de $\R^2$.
t est une translation dans $\R^2$, et elle est caractérisée par le point T, si et seulement si, pour tout A de $\R^2$, nous avons:
t(A) = A + T.
Théorème: si t et s sont des translations, alors t(s(A)) = s(t(A)). On dit que la composition des translations commute.
Démo triviale: t(s(A)) = A + T + S = s(t(A)).
4) deux éléments de cet espace sont appelés "colinéaires" si l'un est un multiple scalaire de l'autre (en excluant (0,0)).
On peut alors, introduire des "interprétations géométriques" si on veut, mais on n'est pas obligé, et on peut rester sur le coté purement "algèbre linéaire". Mais si on le fait:
a) On peut dire que les éléments de $\R^2$ représentent les points d'un plan équipé d'un repère.
b) on appelle "une droite passant par 0" un ensemble d' éléments qui sont tous colinéaires entre eux, et l'origine.
c) on appelle "une droite quelconque", l'image sous translation d'une droite passant par 0.
d) deux droites sont parallèles si l'une est l'image sous une translation de l'autre.
e) Si d est une droite quelconque, alors d est l'image sous translation d'une droite passant par l'origine par toute translation caractérisée par un point de la-dite droite. Donc si x est un point de d, alors d est t(e) avec t caractérisée par x, et e une droite par l'origine.
f) il en suit que si x, y et z appartiennent à la même droite, y - x et z - x sont colinéaires car ils appartiennent tous les deux à la droite parallèle qui passe par l'origine.
etc...
Nul vraiment besoin de distinguer point et vecteur dans $\R^2$. Distinguer point et translation, oui, mais c'est trivial: l'un est une fonction, l'autre un point sur lequel peut agir cette fonction.
Trop long, désolé.
Ne le prends pas pour toi, c’est moi le fainéant.
Remarque sur la notion de milieu : ce n’est pas nécessairement une notion euclidienne (même si ça choque la première fois qu’on entend ça !). Ni la médiatrice, ni la distance ne sont utiles pour définir « M milieu de [AB] ».
"Le milieu d'un segment se construit quand-même par la médiatrice (quand on peut supposer l'existence de cercles, donc avec une structure métrique)"
Certainement pas. Ce n'est pas la peine d'agiter tout le barnum de la géométrie affine pour dire, dès la première ligne: arrêtons les salades et utilisons la structure orthogonale.
"Veux-tu dire qu'on ne saurait ce que c'est, le milieu d'un segment, sans coordonnées ?"
Je dis que si l'on dispose d'une application "milieu" $(A,B)\mapsto \mu(A,B)$ et de $\alpha$, sa réciproque à droite, c'est à dire $(A,M)$ flèche le $B$ tel que $\mu(A,B)=M$, alors on sait construire chacun des points de la droite $(AB)$ ayant une coordonnée p-adique par rapport à $A$ et $B$. Il reste à disposer d'une définition solide de la notion de "point situé entre deux autres", d'une solide axiomatique de la fonction "milieu" et d'une solide notion de continuité pour obtenir les coordonnées de tous les points de $(AB)$... en supposant que $\R$ soit effectivement le corps de nombres déterminé par l'action sur le rantanplan des axiomes de Desargues et de Pappus.
Remarque: $\alpha$ s'appelle ainsi parce que cette application implémente la propriété d'Archimède.
Je dis aussi qu'il vaut peut-être mieux éviter de se lancer là-dedans au niveau collège, ou même au niveau lycée. Partir de l'axiome du papier quadrillé écolier permet une construction simple et solide. Et générale.
"sinon par Thales".
A nouveau, voyons voir, en détail !!! Ce n'est pas la peine de prétendre rigourer pour pousser sous le tapis les démonstrations des points délicats. Rappel: il s'agit de disposer d'une axiomatique du milieu permettant de démontrer la transitivité de l'équipollence.
@pldx1: j'explicite ce que @Dom dit aussi: la notion de "milieu d'un segment", dans la mesure où elle serait "inconnue" :-S n'a vraiment pas besoin de coordonnées pour être définie, aussi bien de façon affine qu'Euclidienne. La façon Euclidienne par la médiatrice est le plus simple, mais on peut faire sans, et simplement compter sur le concept de "parallèle" (donc notion affine).
Mais d'abord: Parallélogramme:
- AB est parallèle à CD
- AC est parallèle à BD
- |AB| = |CD|
- |AC| = |BD|
Pour le cas non-dégénéré, c.a.d. AC n'est pas parallèle à AB, les deux propriétés suivent des deux premières.
Elles sont nécessaires pour le cas dégénéré.
Ta figure croisée ne satisfait pas AB parallèle à CD.
Si on veut laisser tomber la structure métrique, ce qu'on peut, alors on peut se limiter en premier lieu à des parallélogrammes non-dégénérés (donc juste AB parallèle à CD, et AC parallèle à BD), et définir alors "le milieu" par la construction suivante:
Etant donné un segment AB:
Si A = B, alors le milieu M de AB est M = A = B
Si A n'est pas B alors la droite AB est unique, appelons-la AB.
Choisissons un point C hors de AB, et considérons la droite AC, sécante en A avec AB.
Choisissons un point D, hors de AB et de AC. Considérons la droite AD, sécante en A avec AB et AC.
Il y a une droite unique parallèle avec AC, passant par D, appelons-la d.
Il y a une droite unique parallèle avec AD, passant par C, appelons-la e.
AD étant sécante avec AC, elle n'est pas parallèle à AC. Il en suit que d n'est pas parallèle avec e.
Il y a donc un point unique, le point où d et e se croisent. Appelons-le E.
Il en suit que ADEC est un parallélogramme non-dégénéré. (faite par les droites parallèles AD et e, et les droites AC et d). Parallélogramme des droites blues et violettes.
Ainsi, |AD| = |EC|, et |AC| = |DE| même dans un espace affine, par définition.
Introduisant maintenant la droite DC (diagonale du parallélogramme ADEC). Introduisant la droite f, parallèle à DC, passant par E. Cette droite est sécante avec la droite AC, car sinon, AC et AD seraient la même droite et CD serait parallèle, et notre parallélogramme serait dégénéré, ce qu'il n'était pas.
Le point où f et AC se croisent, on l'appelle F. Nous avons maintenant donc construit un deuxième parallélogramme, non-dégénéré, par les droites AC = CF et d, parallèles, et les droites CD et f, parallèles. C'est le parallélogramme DEFC. Parallélogramme par les droites violettes et vertes.
Il en suit que |DE| = |CF| et donc que |AC| = |CF|. Il en suit que C est le milieu de AF.
Maintenant, nous appliquons Thalès avec les droites rouges:
On construit la droite BF, et la droite g, parallèle à BF, passant par C.
F étant sur AC, sécante avec AB, différent de A, FB est sécante avec AB. Alors g, parallèle avec FB, est aussi sécante avec AB. Ce point d'intersection de g et de AB, on l'appelle M.
M est le milieu de AB.
Sans utiliser ni cercles, ni orthogonalité, et donc, de façon affine.
On n'a pas besoin de coordonnées pour définir le milieu d'un segment, ni dans un plan Euclidien (avec donc une norme, c.a.d des cercles), ni dans un plan affine.
Le passage par deux parallélogrammes pour définir le parallélogramme dégénéré se fait aussi facilement, sans même devoir passer par le milieu, mais ton objection, c'était qu'on ne pouvait pas définir "milieu" d'un segment sans passer par des coordonnées.
On peut le faire dans un espace Euclidien par la médiatrice (et ta construction n'est simplement pas un parallélogramme, c'est tout) mais on peut aussi le faire dans un espace affine sans utiliser le cercle, si on veut.
Le milieu d'un segment est donc bien une notion géométrique n'ayant pas besoin de système de coordonnées pour l'introduire et qui peut facilement se construire, avec règle et compas si on peut rester Euclidien, mais avec règle et notion "parallèle" seulement s'il le faut.
Le milieu d'un segment est une notion triviale et (même si la géométrie affine peut gérer ça à sa manière) métrique.
On appelle milieu d'un segment [AB]:
-le point A si A et B sont confondus
-un point sur (AB) équidistant de A et de B si A et B sont distincts.
Ce que veut dire pldx1 (et qui est vrai même s'il délivre l'information à sa manière: distillée au compte-gouttes dans des messages à rallonge remplis d'interpellations en tout genre): il n'est pas du tout évident que si A,B,A',B',A",B" sont des points tels que ABB'A' et A'B'B"A" sont des parallélogrammes alors ABB"A" en est également un (des problèmes de quadrilatères croisés apparaissent notamment).
Même si les propriétés de l'équipollence sont non triviales, cela n'invalide pas sa définition.
De plus la géométrie analytique ne résout pas ce problème, elle le cache en adoptant une définition du plan qui le résout mais dont on ne sait pas pourquoi elle s'applique au monde: pourquoi le papier est-il quadrillable? Est-ce que si je change de quadrillage, les milieux des segments et les théorèmes changent? L'écolier est en droit de se demander si ce qu'on lui transmet a d'autres usages que de résoudre les exercices types d'un examen standardisé.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
J'ai omis le cas des deux vecteurs colinéaires, qui nécessitent ou bien d'ajouter cela à la définition d'équipollence ou bien en acceptant les parallélogrammes dégénérés.
@Dom, c'est embêtant d'utiliser "vecteur" pour dire ce que c'est, vecteur.
La notion de milieu se définit par incidence dès qu'on dispose de la notion de parallèle : On utilise un segment CD parallèle au segment AB dont on veut le milieu, on construit les intersections I et J de (AC) et (BD) et de (AD) et (BC) respectivement (si l'un des points n'existe pas, on change de point D) , et (IJ) intersecte (AB) au milieu de [AB].
Aucune longueur, aucun vecteur, aucune perpendicularité, aucune coordonnée, la notion de milieu n'est pas euclidienne, elle se déduit déjà des axiomes d'incidence.
gerard0: les segments non dégénérés (paires de points distincts) n'ont pas de milieu dans le plan affine $\mathbf F_2^2$ (qui vérifie pourtant les axiomes d'incidence usuels), c'est pour ça que j'ai préféré parler de notion métrique (le découpage de la géométrie en spécialités: projective, affine, euclidienne, circulaire etc, intéresse plutôt les spécialistes; pour mr tout le monde, la réalité impose déjà des distances, je pense qu'on peut les utiliser).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Donc tu appuies le point de vue "Puisqu'on peut utiliser ...(ici, ce que tu veux, les distances, les coordonnées, ...), utilisons-le". Mais alors le point de vue affine suffit, on construit les milieux avec des parallélogrammes, toujours pas besoin de distance.
Mais c'est vrai que la notion de milieu est construite intuitivement dès l'école primaire avec l'équidistance, et en collège peut être vue comme une notion primitive.
Pour résumer en ce qui concerne la remarque de pldx1: on n'a pas besoin de $\R^2$, ni pour introduire la notion de parallélogramme, ni pour introduire la notion de "milieu de segment", quand on dispose de l'arsenal classique de la géométrie Euclidienne, et même, affine (c.a.d. Euclidienne sans cercle, et donc sans angle droit, et sans longueurs dans des directions non-parallèles), ni pour prouver la transitivité de l'équipollence.
Alors on a la voie "géométrique":
On peut, avec le concept de parallélogramme (y compris "dégénéré" / ou bien en faisant un cas à part de segments colinéaires), introduire l'équipollence de segments orientés et prouver la transitivité, purement à base de concepts Euclidiens et même affines. On n'a pas besoin du milieu de segment, mais on peut l'utiliser si on préfère à la place du parallélogramme, pour définir exactement la même équipollence et en prouver la transitivité. Ce sont deux chemins parfaitement équivalents. Alors la notion de "vecteur" peut être introduite de façon purement géométrique, sans $\R^2$ dans le coin, Euclidienne sans beaucoup d'effort, et affine avec juste un tout petit peu d'effort en plus.
L'utilité de "vecteur" dans le cadre géométrique est qu'il permettra justement, des additions et des multiplications scalaires, ce qu'on ne pouvait pas faire avec des points géométriques.
En plus, et cela intéresse le physicien, cette notion géométrique matérialise "direction / sens / grandeur" de façon indépendante d'un référentiel.
Ou on a la voie algébrique/numérique:
Avec une toute autre approche, non-géométrique classique, on peut faire parfaitement de $\R^2$ un espace vectoriel en introduisant l'addition et la multiplication scalaire. Dans cette approche, il n'y a pas lieu de définir des "vecteurs" autres que les éléments de $\R^2$ même. De façon presque triviale, on peut introduire des applications de $\R^2$ en $\R^2$, qui sont les translations, comme j'ai fait avant. Ici, la notion de "vecteur" comme un objet spécial, fait de deux couples de nombres, tombe un peu à plat et ne sert à rien, en fait, parce que, justement, on sait déjà faire des additions et des multiplications scalaires et ce qu'on fait avec un "vecteur", correspond simplement à une différence, ou à une translation (qui est simplement une application qui fait une addition avec un point fixe).
A partir d'un référentiel orthonormal, et $\R^2$, on peut alors faire une équivalence entre des notions géométriques basiques, comme parallélisme et colinéarité et des notions algébriques. On n'a pas besoin de vecteurs pour cela finalement, quand on dispose déjà de tout l'arsenal de $\R^2$.
Oui, prendre le segment AB comme la diagonale d'un parallélogramme en prenant un point en-dehors, construire l'autre diagonale, et trouver l'intersection est effectivement bien plus simple que le truc que j'ai posté (tu) Ça revient au même, mais c'est bien plus simple et plus beau...
Réponses
Bien sûr, je sais que R^2 avec la bonne structure est un espace vectoriel aussi, mais c'est un peu "une structure traître" parce que pas toutes les bases orthonormales sont équivalentes, car il y en a une qui est canonique. C'est un peu comme si on avait trouvé, dans l'espace Euclidien, des directions préférées et qu'on avait un moyen de connaître une direction privilégiée.
il ne faut surtout pas penser v = (2,3) et w = (2,3). Pourtant, (2,3) sont bien les coordonnées de v et de w, mais ce ne sont pas deux vecteurs équipollents et ils ne font pas partie du même vecteur libre. Ce sont d'ailleurs des coordonnées d'un vecteur, chaque fois dans un système orthonormal, ce ne sont pas, en soi, des coordonnées polaires.
C'est un peu ce que je suggérais à geo, de prendre du papier avec des coordonnées polaires, et de dire "est-ce une "translation", quand on fait "deux cercles plus loin du centre, et 3 lignes radiales plus contre le sens des aiguilles de la montre" et de voir que ce n'est pas le cas.
Pour bien faire comprendre qu'un vecteur est une autre bestiole que "deux réels", mais qui peut être *décrit* par deux réels.
désolé si ça fait double emploi, je n'ai pas suivi toute la conversation.
On traitait les vecteurs auparavant en 3eme, et ça ne me semblait pas alors une notion très difficile à faire passer.
le seul manuel de 3eme qui me reste date de 2008, c'est dommage, ils avaient déjà été enlevé.
de mémoire, on le définissait généralement ainsi:
"un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme".
avec force explications sur la notion de direction.
on montrait assez vite divers exemples et des petits exercices d'application et ça passait très bien.
Oui, dans le fond, un vecteur c'est la notion de "direction, sens et grandeur".
Je crois qu'il faut quand-même insister sur le fait que cette "idée" est représentée par toutes les flèches ayant justement même direction, sens et grandeur. Qu'il y ait une différence entre un objet et ces représentants. Je crois qu'on peut parler de vecteur lié (représentant, flèche particulière) et le vecteur libre (l'idée de direction, sens et grandeur).
Et puis, tu peux parler de ce que ça fait "en géométrie" (parallèle + même direction et même sens, "comme les cotés d'un parallélogramme") ;
et ce que ça fait dans $\R^2$, donc "ajouter un certain nombre à x et un autre nombre à y",
et que le lien entre les deux, c'est un repère orthonormal.
Le seul petit "défi" intellectuel est justement ce jeu de "objet" vs "représentant", exactement comme on fait avec les fractions.
Avec les bon mots, c'est bien sûr "classe d'équivalence", mais on peut faire comprendre l'idée sans utiliser le mot.
ces "objets flottants" ont formé des générations de mathématiciens (*) sans que leur santé mentale soit plus affectées que par le reste des maths. Et sans effet majeur sur ceux qui ont choisi d'autre voie.
Et ils ont vu alors les espaces vectoriels comme une généralisation évidente d'un certain type de calcul qu'ils connaissaient bien.
D'autre part, le plan (affine) n'est à priori qu'un espace vectoriel pris d'un autre point de vue; je ne crois pas qu'on développe l'axiomatique de Hilbert, à la fac, plutôt l'assimilation "plan = $\mathbb R^2$".
Cordialement.
(*) disons, pour être sûr, tous ceux qui ont fait leurs études entre 1950 et 1970.
Ce que moi, je considère l'énorme avantage de l'approche ensembliste, mais elle n'est pas absolument nécessaire (on peut donc faire sans aussi), c'est que l'idée d'ensemble peut tous les englober. Une fois le concept d'ensemble 'saisi', tout le reste devient "tangible", car ce sont tous des ensembles. On n'a qu'a concevoir un seul "objet abstrait", qui de plus est proche de l'intuition (un sac, une boîte, une liste, ...) et c'est bon, tout le reste s'y réduit. Plus rien ne "flotte". On peut donc faire aussi sans, et effectivement, ça devient alors un peu plus "flottant", mais qu'on le fasse en s'aidant des ensembles, ou sans, c'est quand-même l'essentiel des mathématiques pour moi.
Une des raisons pour lesquelles je pense quand-même que la voie ensembliste est "mieux", c'est que, justement, c'est plus facile à concevoir. Mais pour les notions vues au collège/lycée, on peut aussi faire sans et de rester "flottant".
Je ne trouve rien de "dangereux" mentalement de dire que l'idée de "direction/sens/grandeur" est matérialisée par un objet mathématique, qui s'appelle 'vecteur', et que cet objet est représenté par tout un tas (un ensemble donc) de flèches qui ont toutes, exactement ces propriétés ; au contraire. Une grande partie des maths est faite comme ça, même le nombre entier naturel, comme trois, qui est l'idée commune entre trois vaches, trois billes, trois bananes, trois copains, et trois Euros. On "représente" trois depuis la maternelle par 3 traits, trois pommes, trois vaches, 3 boules, 3 doigts, mais le nombre même est aussi un tel "objet flottant". On n'en devient pas fou, au contraire, on apprend à faire de l'abstraction.
Ou encore que l'idée de direction est un objet mathématique matérialisé par toutes les droites parallèles "dans cette direction". Ou qu'un nombre rationnel est matérialisé par toutes les fractions "qui représentent la même quantité". Etc..
C'est le processus de l'abstraction même: voir l'idée en question et se défaire de tout ce qui est superflu.
Une phrase comme "un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme" n'est pas une définition, ni pour un adulte, ni pour un enfant.
En fait le cours de géométrie de lycée est une arnaque dans laquelle une nouvelle notion première (le vecteur) est introduite (oui, ça tombe du ciel) avec des axiomes qui trivialisent les preuves (3 calculs pour montrer que certains points d'un triangle sont alignés au cours d'un exo type qui est invariablement le même) de façon à atteindre un taux de réussite fixé à l'avance à un examen.
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Définition. On appelle rantanplan la feuille de "papier quadrillé écolier" qui est posée devant un écolier. On fait une croix (rouge) quelque part (à l'intersection de deux lignes du quadrillage), et on écrit "vous êtes ici". Quand cela prend trop de place, on écrit "O". Et on dit "c'est l'origine".
Définition. Le point "tchouk, tchouk, tchouk, kling, tchik, tchik, bang, A" s'obtient en se plaçant en O, avec la marge derrière soi (le regard est alors dirigé selon le lignage horizontal). Alors on avance d'un carreau (tchouk), puis d'un carreau (le deuxième tchouk), puis d'un carreau (le troisième tchouk). Puis on fait un quart de tour (kling). On regarde alors dans la direction du lignage vertical. Puis on avance d'un carreau (tchik), puis d'un carreau (le deuxième tchik), puis on pose le crayon, on fait une croix (bang) et on écrit le nom du point (A).
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Définir AB,CD sont équipollents lorsque ABCD est parallèle au gramme = pipeau.
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Dire: on ajoute des vecteurs par le parallèle au gramme = pipeau
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Dans $\left(\begin{array}{c} 4\\ 5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right)+\overrightarrow{\left(\begin{array}{c} 3\\ 3 \end{array}\right)}$ c'est $3;3$ que l'on ajoute à $1;2$ et pas un ensemble de trucs, qui produirait un ensemble de résultats.
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Cordialement, Pierre.
@pldx1, en fait ton point de vue (pour résumer), c'est que le plan est égal à $\R^2$. C'est bizarre pour un fréquenteur régulier du forum de géométrie mais pourquoi pas (les gens semblent plutôt pencher du côté de la géométrie synthétique).
Pour les parallélogrammes, pourquoi la notion devrait-elle devenir taboue? Il y a trop de lettres dans le mot? Il suffit juste de dire ce que c'est: un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si les milieux des segments $[AC]$ et $[BD]$ sont les mêmes (et de montrer que lorsque $A,B,C,D$ ne sont pas alignés, cela équivaut à avoir $(AB)//(CD)$ et $(AD)//(BC)$ d'où l'appellation). Une définition n'a pas vocation à contenir le manuel de résolution systématique des problèmes de maths où la notion sera mentionnée.
Cordialement, Pierre.
Il y a quelque chose que je n'arrive pas à comprendre dans ta démarche. Tu sembles partir du fait que la notion de parallélogramme serait inconnue ou non-intuitive, et que l'idée d'un ensemble de représentants d'un objet (pour ne pas utiliser le vilain mot d'ensemble-quotient) est trop difficile, mais tu vas introduire la somme et la différence de POINTS ?
Si on me dessine sur une feuille blanche, deux points A et B, je ne saurais pas intuitivement ce que voudrais dire "A - B" et encore moins "A + B" pour "le diviser par deux". Si maintenant je dois assumer que "la différence de deux points, c'est un nouvel objet" qui peut être égal à une autre "différence de deux points" où il faudrait introduire la notion de "somme" de deux points comme étant le "double" de leur centre, on demande beaucoup beaucoup plus de gymnastique imaginaire et implicite que de dire qu'on a un parallélogramme, non ?
Toutes ces difficultés disparaissent, bien sûr, si on a simplement des "couples de nombres". Mais alors il n'y a pas de raison d'introduire une nouvelle notion pour la différence de deux couples de nombres, et donc pas vraiment lieu de parler de "vecteur".
J'ai effectivement l'impression, quand je vois certaines introductions à l'idée de "vecteur", qu'on est simplement en train de travailler en $\R^2$. Mais alors c'est plus simple d'introduire simplement l'addition en $\R^2$, il faut même pas parler de "vecteur". La façon dont tu t'y prends, avec une idée spéciale de "classes d'équivalence basée sur la soustraction", sans le dire, me fait penser à la construction des entiers relatifs alors. On peut dire que $\Z$, c'est l'ensemble des vecteurs libres sur $\N$ avec comme équipollence, a - b = c - d si et seulement si a + d = b + c, avec a, b, c, et d des entiers naturels, et la classe d'équivalence sous cette équipollence (donc les "vecteurs") l'entier relatif a - b :-D
L'analogie est frappante:
Points A et B, et nouvelle notion vecteur étant A - B
vs.
entiers naturels a et b, et nouvelle notion "vecteur" a - b
et en suite:
La nouvelle notion "vecteur A - B" est égal à "C - D"
à condition que A + D = B + C (abracadabra "milieu")
vs.
La nouvelle notion "vecteur a - b" est égal à "c - d" à
condition que a + d = c + b (addition entiers naturels) ;
ici aussi appelé entier relatif
Nous avons maintenant une "addition" aussi des nouveaux machins:
vecteur "A - B" plus vecteur "B - C" = vecteur "A - C"
vs:
entier relatif (a - b) plus entier relatif (b - c) égal entier relatif (a - c).
d'une part, tous les enseignants ne sortent pas tous de normale sup, et essayent sans doute de faire honorablement leur boulot, dans des conditions de plus en plus difficiles.
D'autre part, le niveau des élèves a dramatiquement baissé,
Il y a 20 ans, je m'amusais avec des contraposées de Pythagore en 4eme, et mes élèves (enfin, la majorité) savaient factoriser des expressions avec parenthèses, alors que je dois actuellement tout reprendre à zéro avec mes 1eres (sti2d).
Je n'ose même pas imaginer si je devais enseigner à nouveau la démonstration à des élèves actuels, même à des terminales (en passant, avec cette nouvelle réforme, la résolution des équations du second degré vient de disparaitre des programmes de sti).
Ce n'est pas la faute de leurs enseignants, j'ai souffert et participé à cette perte de sens, moi aussi, au fil des ans, des réformes, des classes de plus en plus hétérogènes, de la dictature de la bienveillance, ...
Soit j’ai mal compris, soit depuis le début ça te dérange qu’un plan soit identifié à $\mathbb R^2$.
C’est dommage car un plan est un espace affine de dimension 2 et donc isomorphe à ce produit cartésien qui te gêne (je reconnais que cette définition est certainement récente - 19e ?).
L’idée des coordonnées polaires, je l’ai bien comprise mais je n’en vois pas une argumentation convaincante.
Remarque : La construction avec la différence des points étaient celle qu’on trouvait dans le début des années 2000 dans les cours du CNED pour la prépa CAPES. C’était aussi ce qui était fait en prépa CAPES à Jussieu dans ces mêmes années.
(C’était Francette Bories, et je vois sur Google que c’est Francette Bories-Longuet).
Par contre même si c’est tentant, on n’y additionnait pas les points.
Vecteur glissant (non nul) = classe de la relation d'équivalence "même support, même sens, même longueur".
Vecteur libre (non nul) = classe de la relation d'équivalence "même direction, même sens, même longueur".
@Foys, par curiosité, dans ta conception "vecteur = translation", comment définis-tu le vecteur glissant ?
A tous les niveaux, on "constate que le niveau a baissé", et a tous les niveaux, "on baisse le niveau". Ceci explique alors cela.
J'ai vraiment du mal à concevoir que pour une majorité des élèves, il serait au-delà de leurs capacités intellectuelles de concevoir "un ensemble de flèches" comme un concept. Le fait même de ne pas oser en parler repousse alors encore de quelques années leur *possibilité* d'exercer leur potentiel à réfléchir (un tout tout petit peu) "abstrait". Il ne faut alors pas s'en étonner que cette capacité est encore en état vierge en terminale, mais surtout, qu'entre temps on a construit mentalement quelque chose de très bancal dans ce qu'ils auront appris comme étant "des mathématiques": de la rigueur floue, de l'abstrait avec des mouvements de bras.
Si, dès le CP, on dit "oulala, c'est difficile, les nombres au-delà de 10 ", ben au collège, on dira toujours "oulala, c'est difficile, les nombres au-delà de 10". Et en terminale, on dira que ces imbéciles ne savent même pas ce que c'est, douze. Un vague truc avec des œufs. On a tout fait pour.
On a dégénéré toutes les notions mathématiques pour que, surtout, à aucun moment, on avait l'occasion de voir une notion précise, claire, et abstraite. A tout, on a enlevé l'essentiel, et ajouté une dose de "grand mouvements de bras". Je ne comprends pas cette idée, qu'en faisant cela, ça pourrait apporter quelque chose.
J'ai visiblement du mal à dire ce qui me gène dans pas mal d'approches présentés ici, je pensais pourtant que je l'avais déjà fait. C'est essentiellement qu'on "dégénère le concept de vecteur", et qu'on nomme un truc "vecteur" en laissant de coté l'essentiel, ou bien qu'on fait appel de façon implicite à des notions bien plus difficiles sans les expliciter.
Quand on fait des opérations dans $\R^2$, on n'a pas besoin de parler de vecteurs. Ce sont des couples de nombres, et il est alors beaucoup plus facile d'introduire l'addition et la différence de couples de nombres sur $\R^2$ que de vouloir parler de vecteurs comme couples de nombres étant la différence entre couples de nombres mais n'étant pas des couples de nombres d'origine. En $\R^2$, il n'y a aucune différence entre "vecteur" et "point", ce sont les mêmes choses.
Quand on identifie $\R^2$ avec le plan, il y a alors un report automatique de couple de nombres, et de POINT, et là aussi, il ne faut alors pas parler de "vecteur", SURTOUT, quand on considère déjà les "différences" et les "sommes" de points.
Quand on veut quand-même parler de vecteurs, il faudrait alors quand-même qu'ils incarnent un concept, et on fait tout pour ne pas définir ce que c'est, ce concept, à part des grands mouvements de bras. On refuse de dire ce qui est essentiel à la notion de vecteur dans un contexte géométrique, qui est justement l'idée de sens, direction et grandeur, sans "endroit spécifique", qui est "matérialisé" par toutes les flèches ayant ces propriétés et qui est incarné par la figure de parallélogramme ; ou bien, de façon plus abstraite, par une équipollence.
Quand, par contre, on veut parler de "vecteur" comme élément d'un espace vectoriel, alors le "point" dans $\R^2$ l'est déjà, et il ne faut donc pas "introduire une nouvelle notion", mais simplement dire que c'est un autre nom pour des couples de nombres, si on veut, du moment on on a introduit l'addition et la multiplication scalaire de couples de nombres. On fait alors tout "sans géométrie", ce qui n'empêche pas de "faire une illustration graphique", de la même façon qu'on fait un diagramme de Venn pour illustrer graphiquement l'intersection de deux ensembles: juste un dessin.
Seulement, cette dernière façon de faire loupe donc l'essentiel sur le plan géométrique qui sera utilisé en physique, à savoir "même direction, sens et grandeur" quand on prend des "points de vue différents".
Mais on loupe aussi l'essentiel d'un espace vectoriel en faisant cela, car les idées fondamentales d'un espace vectoriel, c'est quand-même la combinaison linéaire et le changement de base, alors que, dans $\R^2$, on reste dans la base canonique, et on va parler de "vecteurs colinéaires", qui sont alors simplement ... la condition numérique d'un parallélogramme, ou bien "les points sur une droite passant par l'origine".
En gros, on a donc refusé de définir un objet mathématique avec les propriétés qui lui sont caractéristiques, pour utiliser un mot (le nom de cet objet) associé à quelque chose de vague, ou quelque chose dont on n'a pas besoin, ou en introduisant de façon sous-jacente, des concepts implicites bien plus difficiles à assimiler, finalement, sans jamais les nommer.
Mais, c’est quoi « le plan » pour toi ?
Je ne parle pas de l'application en seconde même, celle-là est tellement triviale qu'on n'en a pas besoin, c'est "la différence en $\R^2$". Je parle des utilisations après, par exemple en physique. J'espère quand-même qu'on n'introduise pas une idée, simplement pour l'application immédiate et sans "vue" sur l'utilité de cette idée plus tard. Sinon c'est complètement stérile, "en circuit fermé".
On peut faire de la géométrie cartésienne sans parler de vecteurs. Des points, c'est des couples de nombres, et puis il y a des droites qui sont des ensembles de couples de nombres qui satisfont une équation du premier degré, etc...
Comme c'est des nombres, on peut alors faire des additions et des différences (et il faudra mettre le frein pour ne pas aussi faire des multiplications et des divisions puisqu'on y est). On peut introduire la "distance" entre points, et on peut introduire la notion de droite parallèle en ayant deux équations n'ayant pas une solution commune, ou ayant les mêmes solutions. On peut introduire les conditions sur ces droites. On peut introduire un tas de notions géométriques dans la géométrie cartésienne, sans jamais parler d'un vecteur. Car dans le plan cartésien, la DISTINCTION entre "point" et "vecteur" est problématique, comme elle l'est en $\Z$.
Le plan, c'est la notion primitive introduite par Euclide. Tu ne vas quand-même pas me dire qu'on ne savait pas ce que c'était, le plan, avant que Descartes ait introduit le repère cartésien ?
(ça me fait plaisir de pouvoir utiliser l'argument "mais il y avaient des mathématiciens avant qu'on utilise des ensembles" à l'envers :-D )
C'est vrai que, à l'époque des "maths modernes" on passait un temps fou (et inutile) à construire des notions ensemblistes Euclidiennes pour bien distinguer $\R^2$ et le plan $\Pi$, mais cette notion est supposée être quand-même accessible intuitivement sans devoir passer par les nombres réels.
Le plan n'a pas d'origine. Ça contient juste des points, des droites, et des cercles et d'autres sous-ensembles de points. C'est l'abstraction de la "feuille blanche", comme faite par les Grecs.
Les notions primitives sont droite, point et cercle, le dernier essentiellement introduisant la notion de distance. On pourrait croire qu'ils sont suffisamment intuitifs pour ne pas devoir, comme on faisait dans le temps, passer par tout un formalisme ? On peut le faire bien sûr, mais ce n'est quand-même pas tout de suite $\R^2$, qui est encore plus problématique à ce niveau, sans avoir construit explicitement $\R$ ?
Sans construire $\R$ (par des suites de Cauchy, des coupes de Dédekind, ou autre), la notion primitive de $\R$ vient de la géométrie, et pas dans l'autre sens: un nombre réel, venant de la géométrie, c'est le rapport entre deux segments. La notion de segment est primitive, et la notion de réel en est déduite. On ne peut alors pas dire que le plan, ben, c'est $\R^2$, car sans plan, on n'a pas $\R$ alors.
C'est fou de devoir dire ça, non ?
Ce que tu dis me va bien.
Pour toi « plan » n’a pas la même définition que pour moi.
J’envoie dans ce cas précis les notions intuitives à la benne sauf « la feuille infinie » qui est un grand geste (bien écarter les bras dans toutes les directions).
J’envoie directement « le plan c’est $R^2$ » ou bien plus généralement « c’est un espace affine de dimension 2 ».
Oui on a un point privilégié, d’accord c’est vilain !
Quand on relie tout ça à un plan vectoriel, on identifie des vecteurs du plan affine.
Je ne trouve pas que cette idée soit meilleure ou moins bonne que la tienne.
Je n’argumente pas, c’est vain puisque chacun voit midi à sa porte.
Personne ne m’enfoncera dans le crâne sa préférence.
Et surtout avec des tomes de proses.
Cordialement cela dit, le ton n’est pas agressif.
Dom
tu as donc une conception platonicienne de la géométrie : Il existe un objet idéal (du monde des idées), le plan, dont les propriétés géométriques sont données par les axiomes d'Euclide (*), et indépendant de la notion de nombre (puisqu'on doit compliquer pour "l'assimiler à $\mathbb R^2$). Et aussi probablement kantienne (Pour Kant, la géométrie euclidienne est une des données de notre entendement) pour ne pas t'interroger sur les fondations mathématiques de ce "plan".
Mais là où tu me déçois, c'est que toi, le chantre de "il faut tout définir", tu ne définis pas ce plan, pas même en termes d'ensemble (l'axiomatique de Hilbert, bien plus solide que celle d'Euclide ne construit pas le plan). Ce que font tous les géomètres actuels en définissant le plan affine comme étant l'espace vectoriel $(\mathbb R^2, +,\dot)$ muni de sa structure affine.
A noter : La fin de ton message fait fi des progrès historiques; tu en restes à la définition des nombres par la géométrie, datant de 2300 ans, et qui n'a jamais donné les nombres réels, seulement certains des nombres réels. Avec toutes les difficultés de conception basée sur l'abstraction du dessin d'un segment. On dirait que tu reviens de plus en plus aux mathématiques comprises par l'adolescent que tu fus, oubliant toute la construction actuelle des mathématiques à partir des ensembles.
Cordialement.
(*) et qui a peut-être aussi d'autres propriétés, mais ce n'est pas notre propos.
On peut faire de la géométrie axiomatique sans remonter à Euclide.
On peut dire:
De la géométrie projective axiomatique
Des géométries non euclidiennes axiomatiques.
De la géométrie absolue. (axiomatiques de Hilbert et Bachmann)
absolue
Bachmann
(on regardera notamment la bibliographie du second lien)
Concevoir le plan comme étant forcément $R^2$, c'est expulser la géométrie d'elle-même.
C'est faire de l'algèbre sous couvert de géométrie.
Cordialement
Chacun voit midi à sa porte.
Je ne réfute pas la vision des autres.
Au plaisir
Dom
Oui, bien sûr que j'ai une vision Platonicienne des mathématiques, mais il n'y a même pas le choix dans le cheminement pédagogique de l'enseignement mathématique. On peut difficilement commencer au collège par introduire les langues formelles, et on y est de toute façon extrêmement loin. De toute façon, sans vision Platonicienne, on ne peut pas "appliquer" des mathématiques à des problèmes autres que des problèmes formelles mathématiques. On ne peut pas faire de la physique et utiliser des maths sans quelque part une vision Platonicienne des objets mathématiques qu'on va identifier avec des "choses de la nature".
Et on ne peut jamais "tout" définir, il y a toujours des notions primitives. Mais il y a le juste milieu. Dans une approche purement formelle, les éléments premiers sont les "éléments du langage formel". Mais ce n'est absolument pas cette voie qu'on peut prendre de façon pédagogique (et personnellement j'ai un grand doute qu'il y ait le moindre intérêt pour un jeu purement formel "sans idée derrière").
Dans une approche rigoureuse mathématicienne, on introduit un minimum de notions primitives "avec une idée", et à partir de là, on essaie de garder des parallèles entre d'un coté un développement formel, et de l'autre coté des "idées" (Platoniciennes) associées.
Le programme des "maths modernes" faisait cela: on introduisait des notions primitives concernant "les ensembles" qu'on acceptait de façon intuitive (ceci contrairement au développement formel style ZF), et à partir de là, on voulait garder tout "formel". Il y avait le slogan Bourbakiste "à bas Euclide".
Personnellement je crois que, autant que c'était une bonne idée pour beaucoup de choses, pour la géométrie Euclidienne, c'était simplement ridicule, pour la raison suivante: les notions "intuitives primitives" d'Eucide sont extrêmement proches de notre intuition visuelle. On n'a pas besoin de "soutenir notre intuition" pour comprendre ce que c'est, le plan, une droite, un point. On ne gagne rien sur le plan pédagogique en formalisant cela, ce qui était fait en "maths modernes". Ça frôlait le ridicule de passer des pages et des pages de formalisme pour dire ce que c'était, une droite, au niveau secondaire.
Je crois donc que, à coté de l'introduction de la notion de "ensemble", on peut continuer à utiliser les notions géométriques primitives d'Euclide et les nombres entiers naturels. Ils sont tellement intuitifs, qu'une formalisation en termes plus primitives ne sert à rien. C'était du zèle ridicule en maths modernes.
Par contre, à un certain point, il faut "commencer à faire des maths", dès qu'on introduit une notion qui n'est plus si intuitive que cela. Continuer à jouer sur l'intuition alors que cela devient plus subtil dessert la compréhension, autant que sur-formaliser une notion évidente. Toute notion pas si intuitive que cela, doit effectivement être définie clairement en fonction de notions primitives intuitives. Les vecteurs en font partie.
Il vaut mieux mettre cette "frontière" entre le primitif-trivial-simple et le plus sophistiqué à définir un peu "trop tôt" que "trop tard", mais il ne faut pas exagérer non plus, ce que je crois, qu'était le défaut des maths modernes en géométrie.
Euclide est pour moi, la transition entre l'intuitif et le raisonnement formel. Ce n'est pas purement formel, mais on s'exerce à raisonner, tout en utilisant des primitives intuitives "par dessin".
@Mathurin. On peut faire de la géométrie projective axiomatique. Oui. La preuve: cela m'arrive d'en faire, de temps à autre. Mais je ne suis pas certain que ce soit raisonnable de discuter du plan de Moulton... au collège, ni même au lycée. Ensuite de quoi, le principal résultat de la géométrie projective axiomatique est que, sauf pathologies d'intérêt limité, tout ce barnum se ramène à faire de la géométrie au sein d'un $\mathbb K^n$ où $\mathbb K$ est un corps. Autant dire que commencer par l'axiome du papier quadrillé écolier consiste exactement à se placer dans le cadre le plus général possible.
@Patrick (1). On part des points "tchouk, tchouk, tchouk, kling, tchik, tchik, bang, A" et "tchouk, kling, tchik, tchik, tchik, tchik, bang, B". Rappel: faire des dictées de points me semble être l'activité la plus indispensable pour commencer correctement l'enseignement de la Géométrie au collège. Quelle méthode préconises-tu pour que l'élève détermine le point $C$, milieu du segment $[A,B]$ ? Rappel: une méthode est une façon de faire générique, qui "marche à tous les coups", et pas un truc bricolé vite fait pour venir à bout d'un cas isolé. Et ensuite, comment appliques-tu cette méthode non numérique pour montrer que l'équipollence est transitive ?
@Patrick (2). Si l'on prend $A=\left(\begin{array}{c} -1\\ 2 \end{array}\right)$ et $ B= \left(\begin{array}{c} 4\\ 5 \end{array}\right)$ alors $B=A+\overrightarrow{AB}$ s'écrit: $\left(\begin{array}{c} 4\\ 5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1\\ 2 \end{array}\right) +\overrightarrow{\left(\begin{array}{c} 5\\ 3 \end{array}\right)}$. Pourquoi met-on une flèche puisque "tout ça c'est pareil, c'est des couples de nombres" ? C'est tout simple, on met une flèche parce que c'est pas pareil. En effet, soit $\tau$ la translation définie par son action $M\mapsto M+\mathbf{v}$ sur les points du plan, avec $\mathbf{v} \doteq \overrightarrow{\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)}$.
Alors $B=A+\overrightarrow{AB}$, c'est à dire $\left(\begin{array}{c} 4\\ 5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1\\ 2 \end{array}\right) +\overrightarrow{\left(\begin{array}{c} 5\\ 3 \end{array}\right)}$, devient $\left(\begin{array}{c} 5\\ 6 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 3 \end{array}\right) +\overrightarrow{\left(\begin{array}{c} 5\\ 3 \end{array}\right)}$, c'est à dire $\tau(B)=\tau(A)+\tau\left(\overrightarrow{AB}\right)$. On a donc $\tau\left(\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AB}$. Et on démontre qu'il s'agit bien d'un théorème général: l'action d'une translation sur un vecteur est nulle. Et ici, démontrer veut dire: démontrer (quelques additions, une démonstration certes bien modeste). En tout cas, cela veut dire: on ne se contente pas de "voir sur la figure" mais, en plus, on prouve que l'on a vu juste.
Cordialement, Pierre.
J'ai déjà dit que si on veut travailler en $\R^2, +$, on n'a pas besoin de définir "vecteur", et on ne doit pas dire que le vecteur AB est égal au vecteur CD, qui était le début du fil. Ce qu'on appelle "le vecteur AB", est simplement le POINT B - A, ou B, A, et B - A sont des couples de nombres (C'est ce que $\R^2$ veut dire "couples de nombres").
Il n'y a pas de distinction entre "point" et "vecteur" dans $\R^2$.
Il n'y a pas de "vecteurs" dans un espace vectoriel, "faites de deux points de l'espace vectoriel". On appelle les points dans un espace vectoriel "des vecteurs" ou 'des points' ou "des éléments" comme on veut, mais il n'y a pas cette distinction entre $\vec{AB}$ et $C$. On a juste une addition et une multiplication scalaire.
Si on considère donc juste $\R^2$, il n'y a pas lieu de poser la question de $\vec{AB}$. C'est juste $B - A$ comme différence de couples de nombres.
C’est la seule raison pour laquelle je comprendrais les réticences.
Les points de $\mathbb R^2$ ne sont pas les vecteurs de $\mathbb R^2$.
Pierre vient de décrire ces deux choses.
On tourne en rond, non ?
Remplace partout ton $\vec{AB}$ par $B - A$ et la propriété est triviale.
Je ne vois d'ailleurs pas l'utilité de cette propriété que les coordonnées d'un vecteur restent invariant sous une translation. Elles ne le sont pas sous une rotation par exemple, donc à quoi bon ?
Car on peut aussi dire: B = A + ( B - A ).
Alors, de façon triviale, t(B) = t(A) + (t(B) - t(A))
(t une translation quelconque, c.à.d. t(X) = X + T)
Et ta propriété se réduit à : B - A = t(B) - t(A).
On a aussi : r(B) = r(A) + (r(B) - r(A)) (r une rotation quelconque, r(A) = R x A)
Là, par contre, on n'a pas que B - A = r(B) - r(A). On aura que r(B) - r(A) = R x (B - A).
Tu peux aussi le voir d'une façon algébrique: si tu considères "ajouter $\vec{AB}$" comme "appliquer la translation", alors $B = t_1(A)$ ; $t_2(B) = t_2(t_1(A))$ et on peut dire que "la composition de translations est commutative" et alors on a $t_2(B) = t_1(t_2(A))$, qui est une autre façon de voir ta "propriété" qui est bien plus parlante: la commutativité de la composition des translations.
Pour taper sur le clou : je n'ai pas de doute sur le fait que l'équipollence soit transitive. Le doute exprimé concerne la façon dont tu envisages de prouver cela sans utiliser de coordonnées.
Cordialement, Pierre.
Veux-tu dire qu'on ne saurait ce que c'est, le milieu d'un segment, sans coordonnées ??
D'ailleurs, j'ai donné la preuve dans les feuilles brouillons que j'ai attaché dans ce fil. OK, je n'ai pas séparé tous les cas, et il faut donc (voir dessus) accepter le parallélogramme dégénéré et traiter ce cas, mais ça ne pose pas de problème de principe. J'ai proposé une démonstration en utilisant les propriétés de base d'un parallélogramme et d'isométrie de triangles.
Je suppose que penses à ceci:
Il y a les coordonnées des points, et les coordonnées des translations, c.à.d. une classe particulière de fonctions de points en points, ce qu'on veut donner le nom de "vecteur" visiblement.
Si on dit que le $\R^2$ bleu, ce sont les coordonnées des points, et le $\R^2$ rouge, ce sont les coordonnées des translations (les "vecteurs"), on a les règles suivantes:
1) on ne peut pas faire la somme de deux couples "bleus", sauf pour les diviser par deux et avoir leur milieu, ce qui est un autre couple bleu. $\R^2$-bleu n'est donc pas équipé d'une addition, sauf une addition divisée par deux, appelé "milieu".
2) les translations étant des fonctions sur les couples bleus, elles prennent un couple bleu, et en fabriquent un autre, et elles sont caractérisées par un couple rouge. t(A) = B, avec A et B des couples bleus donc, et t caractérisée par un couple rouge U. Ces fonctions sont telles que l'addition externe d'un couple bleu A avec un couple rouge U, donne un couple bleu B. Il y a donc une addition externe entre les couples rouges et bleues, qui est "l'image sous translation".
3) les translations étant des fonctions, on peut aussi les composer. Si on a donc un couple bleu A, et deux translations, représentées par leurs deux couples U et V pour t et s respectivement, on peut toujours calculer s(t(A)).
--> théorème: la composition de translations est interne, c.à.d. il existe une troisième translation w, telle que, pour tout A, couple bleu, nous avons: w(A) = s(t(A)). Cette translation w est représentée par un couple rouge W, et de plus, ce couple rouge est la somme des couples U et V.
La composition de translations correspond donc à une addition interne dans $\R^2$-rouge.
Comme l'addition est commutative dans $\R^2$-rouge, on constate que la composition de translations est aussi commutative.
4) on peut introduire une différence externe dans les couples bleus: le résultat est un couple rouge.
==> théorème: Si A et B sont deux couples bleus, et R = A - B est un couple rouge représentant donc une translation t, nous avons que t(B) = A.
5) Il y a un isomorphisme canonique entre les couples rouges et les couples bleus: la translation de l'origine.
Si on a un couple rouge quelconque R qui représente une translation t, on peut le représenter par un couple bleu B, en prenant t( (0,0) ) = B.
--> théorème: le couple B contient les mêmes nombres que le couple R.
MAIS: interdiction d'importer, dans $\R^2$ bleu, l'addition interne de $\R^2$ rouge.
Je trouve cela, en $\R^2$, totalement tordu :-S, compliqué et au moins conceptuellement aussi difficile que la voie géométrique, qui elle, au moins, est soutenue par une intuition géométrique. La distinction entre couples bleus et rouges est totalement artificielle.
Je ne vois pas ce qu'on gagne, comparé à:
1) $\R^2$ peut être équipé d'une addition (et donc aussi d'une soustraction)
2) $\R^2$ peut être équipé d'une multiplication scalaire
Un ensemble, ainsi équipé d'une addition et d'une multiplication scalaire, est aussi appelé un espace vectoriel, et on peut, si on veut, appeler ses éléments alors "des vecteurs".
3) On peut introduire, sur $\R^2$ ainsi équipé, pleines de fonctions de $\R^2$ en $\R^2$ du style f(A) = B. Une classe particulière de fonctions sont les translations. Elles sont caractérisées par un point de $\R^2$.
t est une translation dans $\R^2$, et elle est caractérisée par le point T, si et seulement si, pour tout A de $\R^2$, nous avons:
t(A) = A + T.
Théorème: si t et s sont des translations, alors t(s(A)) = s(t(A)). On dit que la composition des translations commute.
Démo triviale: t(s(A)) = A + T + S = s(t(A)).
4) deux éléments de cet espace sont appelés "colinéaires" si l'un est un multiple scalaire de l'autre (en excluant (0,0)).
On peut alors, introduire des "interprétations géométriques" si on veut, mais on n'est pas obligé, et on peut rester sur le coté purement "algèbre linéaire". Mais si on le fait:
a) On peut dire que les éléments de $\R^2$ représentent les points d'un plan équipé d'un repère.
b) on appelle "une droite passant par 0" un ensemble d' éléments qui sont tous colinéaires entre eux, et l'origine.
c) on appelle "une droite quelconque", l'image sous translation d'une droite passant par 0.
d) deux droites sont parallèles si l'une est l'image sous une translation de l'autre.
e) Si d est une droite quelconque, alors d est l'image sous translation d'une droite passant par l'origine par toute translation caractérisée par un point de la-dite droite. Donc si x est un point de d, alors d est t(e) avec t caractérisée par x, et e une droite par l'origine.
f) il en suit que si x, y et z appartiennent à la même droite, y - x et z - x sont colinéaires car ils appartiennent tous les deux à la droite parallèle qui passe par l'origine.
etc...
Nul vraiment besoin de distinguer point et vecteur dans $\R^2$. Distinguer point et translation, oui, mais c'est trivial: l'un est une fonction, l'autre un point sur lequel peut agir cette fonction.
Ne le prends pas pour toi, c’est moi le fainéant.
Remarque sur la notion de milieu : ce n’est pas nécessairement une notion euclidienne (même si ça choque la première fois qu’on entend ça !). Ni la médiatrice, ni la distance ne sont utiles pour définir « M milieu de [AB] ».
"Le milieu d'un segment se construit quand-même par la médiatrice (quand on peut supposer l'existence de cercles, donc avec une structure métrique)"
Certainement pas. Ce n'est pas la peine d'agiter tout le barnum de la géométrie affine pour dire, dès la première ligne: arrêtons les salades et utilisons la structure orthogonale.
"Veux-tu dire qu'on ne saurait ce que c'est, le milieu d'un segment, sans coordonnées ?"
Je dis que si l'on dispose d'une application "milieu" $(A,B)\mapsto \mu(A,B)$ et de $\alpha$, sa réciproque à droite, c'est à dire $(A,M)$ flèche le $B$ tel que $\mu(A,B)=M$, alors on sait construire chacun des points de la droite $(AB)$ ayant une coordonnée p-adique par rapport à $A$ et $B$. Il reste à disposer d'une définition solide de la notion de "point situé entre deux autres", d'une solide axiomatique de la fonction "milieu" et d'une solide notion de continuité pour obtenir les coordonnées de tous les points de $(AB)$... en supposant que $\R$ soit effectivement le corps de nombres déterminé par l'action sur le rantanplan des axiomes de Desargues et de Pappus.
Remarque: $\alpha$ s'appelle ainsi parce que cette application implémente la propriété d'Archimède.
Je dis aussi qu'il vaut peut-être mieux éviter de se lancer là-dedans au niveau collège, ou même au niveau lycée. Partir de l'axiome du papier quadrillé écolier permet une construction simple et solide. Et générale.
"sinon par Thales".
A nouveau, voyons voir, en détail !!! Ce n'est pas la peine de prétendre rigourer pour pousser sous le tapis les démonstrations des points délicats. Rappel: il s'agit de disposer d'une axiomatique du milieu permettant de démontrer la transitivité de l'équipollence.
"D'ailleurs, j'ai donné la preuve..."
Ben non. Voir figure.
Cordialement, Pierre.
Mais d'abord: Parallélogramme:
- AB est parallèle à CD
- AC est parallèle à BD
- |AB| = |CD|
- |AC| = |BD|
Pour le cas non-dégénéré, c.a.d. AC n'est pas parallèle à AB, les deux propriétés suivent des deux premières.
Elles sont nécessaires pour le cas dégénéré.
Ta figure croisée ne satisfait pas AB parallèle à CD.
Si on veut laisser tomber la structure métrique, ce qu'on peut, alors on peut se limiter en premier lieu à des parallélogrammes non-dégénérés (donc juste AB parallèle à CD, et AC parallèle à BD), et définir alors "le milieu" par la construction suivante:
Etant donné un segment AB:
Si A = B, alors le milieu M de AB est M = A = B
Si A n'est pas B alors la droite AB est unique, appelons-la AB.
Choisissons un point C hors de AB, et considérons la droite AC, sécante en A avec AB.
Choisissons un point D, hors de AB et de AC. Considérons la droite AD, sécante en A avec AB et AC.
Il y a une droite unique parallèle avec AC, passant par D, appelons-la d.
Il y a une droite unique parallèle avec AD, passant par C, appelons-la e.
AD étant sécante avec AC, elle n'est pas parallèle à AC. Il en suit que d n'est pas parallèle avec e.
Il y a donc un point unique, le point où d et e se croisent. Appelons-le E.
Il en suit que ADEC est un parallélogramme non-dégénéré. (faite par les droites parallèles AD et e, et les droites AC et d). Parallélogramme des droites blues et violettes.
Ainsi, |AD| = |EC|, et |AC| = |DE| même dans un espace affine, par définition.
Introduisant maintenant la droite DC (diagonale du parallélogramme ADEC). Introduisant la droite f, parallèle à DC, passant par E. Cette droite est sécante avec la droite AC, car sinon, AC et AD seraient la même droite et CD serait parallèle, et notre parallélogramme serait dégénéré, ce qu'il n'était pas.
Le point où f et AC se croisent, on l'appelle F. Nous avons maintenant donc construit un deuxième parallélogramme, non-dégénéré, par les droites AC = CF et d, parallèles, et les droites CD et f, parallèles. C'est le parallélogramme DEFC. Parallélogramme par les droites violettes et vertes.
Il en suit que |DE| = |CF| et donc que |AC| = |CF|. Il en suit que C est le milieu de AF.
Maintenant, nous appliquons Thalès avec les droites rouges:
On construit la droite BF, et la droite g, parallèle à BF, passant par C.
F étant sur AC, sécante avec AB, différent de A, FB est sécante avec AB. Alors g, parallèle avec FB, est aussi sécante avec AB. Ce point d'intersection de g et de AB, on l'appelle M.
M est le milieu de AB.
Sans utiliser ni cercles, ni orthogonalité, et donc, de façon affine.
On n'a pas besoin de coordonnées pour définir le milieu d'un segment, ni dans un plan Euclidien (avec donc une norme, c.a.d des cercles), ni dans un plan affine.
Le passage par deux parallélogrammes pour définir le parallélogramme dégénéré se fait aussi facilement, sans même devoir passer par le milieu, mais ton objection, c'était qu'on ne pouvait pas définir "milieu" d'un segment sans passer par des coordonnées.
On peut le faire dans un espace Euclidien par la médiatrice (et ta construction n'est simplement pas un parallélogramme, c'est tout) mais on peut aussi le faire dans un espace affine sans utiliser le cercle, si on veut.
Le milieu d'un segment est donc bien une notion géométrique n'ayant pas besoin de système de coordonnées pour l'introduire et qui peut facilement se construire, avec règle et compas si on peut rester Euclidien, mais avec règle et notion "parallèle" seulement s'il le faut.
Dire que $M$ est le milieu de $[AB]$ signifie que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$.
Oublions cercle, médiatrice, et tout le tome du produit scalaire.
On appelle milieu d'un segment [AB]:
-le point A si A et B sont confondus
-un point sur (AB) équidistant de A et de B si A et B sont distincts.
Ce que veut dire pldx1 (et qui est vrai même s'il délivre l'information à sa manière: distillée au compte-gouttes dans des messages à rallonge remplis d'interpellations en tout genre): il n'est pas du tout évident que si A,B,A',B',A",B" sont des points tels que ABB'A' et A'B'B"A" sont des parallélogrammes alors ABB"A" en est également un (des problèmes de quadrilatères croisés apparaissent notamment).
Même si les propriétés de l'équipollence sont non triviales, cela n'invalide pas sa définition.
De plus la géométrie analytique ne résout pas ce problème, elle le cache en adoptant une définition du plan qui le résout mais dont on ne sait pas pourquoi elle s'applique au monde: pourquoi le papier est-il quadrillable? Est-ce que si je change de quadrillage, les milieux des segments et les théorèmes changent? L'écolier est en droit de se demander si ce qu'on lui transmet a d'autres usages que de résoudre les exercices types d'un examen standardisé.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1929786,1931096#msg-1931096
J'ai omis le cas des deux vecteurs colinéaires, qui nécessitent ou bien d'ajouter cela à la définition d'équipollence ou bien en acceptant les parallélogrammes dégénérés.
@Dom, c'est embêtant d'utiliser "vecteur" pour dire ce que c'est, vecteur.
La notion de milieu se définit par incidence dès qu'on dispose de la notion de parallèle : On utilise un segment CD parallèle au segment AB dont on veut le milieu, on construit les intersections I et J de (AC) et (BD) et de (AD) et (BC) respectivement (si l'un des points n'existe pas, on change de point D) , et (IJ) intersecte (AB) au milieu de [AB].
Aucune longueur, aucun vecteur, aucune perpendicularité, aucune coordonnée, la notion de milieu n'est pas euclidienne, elle se déduit déjà des axiomes d'incidence.
Cordialement.
Mais c'est vrai que la notion de milieu est construite intuitivement dès l'école primaire avec l'équidistance, et en collège peut être vue comme une notion primitive.
Cordialement.
Alors on a la voie "géométrique":
On peut, avec le concept de parallélogramme (y compris "dégénéré" / ou bien en faisant un cas à part de segments colinéaires), introduire l'équipollence de segments orientés et prouver la transitivité, purement à base de concepts Euclidiens et même affines. On n'a pas besoin du milieu de segment, mais on peut l'utiliser si on préfère à la place du parallélogramme, pour définir exactement la même équipollence et en prouver la transitivité. Ce sont deux chemins parfaitement équivalents.
Alors la notion de "vecteur" peut être introduite de façon purement géométrique, sans $\R^2$ dans le coin, Euclidienne sans beaucoup d'effort, et affine avec juste un tout petit peu d'effort en plus.
L'utilité de "vecteur" dans le cadre géométrique est qu'il permettra justement, des additions et des multiplications scalaires, ce qu'on ne pouvait pas faire avec des points géométriques.
En plus, et cela intéresse le physicien, cette notion géométrique matérialise "direction / sens / grandeur" de façon indépendante d'un référentiel.
Ou on a la voie algébrique/numérique:
Avec une toute autre approche, non-géométrique classique, on peut faire parfaitement de $\R^2$ un espace vectoriel en introduisant l'addition et la multiplication scalaire. Dans cette approche, il n'y a pas lieu de définir des "vecteurs" autres que les éléments de $\R^2$ même. De façon presque triviale, on peut introduire des applications de $\R^2$ en $\R^2$, qui sont les translations, comme j'ai fait avant. Ici, la notion de "vecteur" comme un objet spécial, fait de deux couples de nombres, tombe un peu à plat et ne sert à rien, en fait, parce que, justement, on sait déjà faire des additions et des multiplications scalaires et ce qu'on fait avec un "vecteur", correspond simplement à une différence, ou à une translation (qui est simplement une application qui fait une addition avec un point fixe).
A partir d'un référentiel orthonormal, et $\R^2$, on peut alors faire une équivalence entre des notions géométriques basiques, comme parallélisme et colinéarité et des notions algébriques. On n'a pas besoin de vecteurs pour cela finalement, quand on dispose déjà de tout l'arsenal de $\R^2$.
Oui, prendre le segment AB comme la diagonale d'un parallélogramme en prenant un point en-dehors, construire l'autre diagonale, et trouver l'intersection est effectivement bien plus simple que le truc que j'ai posté (tu) Ça revient au même, mais c'est bien plus simple et plus beau...