Vecteur

@pldx1:

Je n'avais pas tout de suite compris que tu acceptais bien que le milieu d'un segment est une chose qui puisse exister en-dehors d'un système de coordonnées, car pour moi, "la façon de définir" le milieu d'un segment n'avait rien à voir avec l'équipollence ; il serait d'ailleurs étonnant que certaines définitions de "milieu" pourraient être utilisées pour cette démonstration, et d'autres, qui mènent au même milieu, pas.

Je n'utilise pas "le milieu d'un segment" dans la notion d'équipollence, je ne voyais donc pas le lien, j'utilise "parallélogramme" comme "véhicule géométrique qui met en relation des segments orientés dont on VOUDRAIT qu'ils aient même sens, direction et grandeur". Un parallélogramme véhicule clairement "même grandeur", et "parallélisme", et le fait qu'on ajoute l'astuce d'orientation (donc sens) en nommant les points "dans le sens du contour", fait que intuitivement, cette figure fait bien ce qu'elle est supposée faire. Comme il s'agit de "mêmes propriétés", il va en fait déjà de soi qu' une relation "... a les mêmes propriétés que ... " ne peut être que transitive. Si le parallélogramme "fait donc l'affaire" il en suit que la relation plus formalisée par cette figure, doit aussi être transitive.

On n'est pas en train de faire un développement purement formel, et on sait tous que les démonstrations chez Euclide ne sont pas purement formelles. Il y a une différence entre être purement formel, et puis être flou. Par exemple, le premier théorème d'Euclide, sur la construction du triangle équilatéral, est formellement faux, car on ne peut pas prouver formellement que les deux cercles vont se couper en deux points, mais le dessin le suggère fortement. Ça ne dérange personne. Chez Euclide, on accepte certaines choses à partir de l'intuition du dessin, ce n'est pas un manque de rigueur, ce n'est juste pas totalement formalisé. On peut dire qu'une partie du "formel" chez Euclide n'est pas une suite de symboles, mais est aussi un dessin.

Dans ma petite démonstration, ce qui manque sans doute pour prouver que CE // DF, c'est qu'il faut prouver que le triangle CAE et le triangle DBF dont on a démontré qu'ils sont isométriques, sont aussi "de la même parité", donc l'un n'est pas l'image miroir de l'autre, mais sont "dans le même sens". Alors leurs angles, qui sont de même magnitude, sont alors aussi des angles *orientés* du même signe. Alors qu'on sait que l'angle ECA est le même angle que FDB, il faudrait qu'il soit le même angle *orienté*. Si c'est le cas, alors il en suit que CE // DF, car on peut alors ajouter les angles du parallélogramme interne et externe en C resp. D, et ce fameux angle ECA resp. FDB, et alors l'angle de CE avec CD est le même que l'angle de FD avec CD, ce qui prouve que CE // DF.

Sur le dessin, ça se voit qu'ils sont orientés de la même façon, et "niveau Euclide" c'est suffisant. Il faudrait d'ailleurs regarder tous les cas, avec AB et EF des deux cotés de CD, du même coté, etc... mais une démonstration chez Euclide est parfois aussi un peu aidée par le dessin, ce n'est pas un système purement formel, justement. Mais comme les notions géométriques Euclidiennes sont suffisamment intuitives, cela ne dérange pas à la compréhension, ni d'ailleurs, à la puissance convaincante de la démonstration.

Je ne sais donc pas si on peut démontrer formellement que le point d'intersection de CE avec la droite AB (appelons-le M) est de l'autre coté de A que B, et le point d'intersection de DF, avec la droite AB, appelons-le N, est du même coté de B que A, ou vice-versa. Sur le dessin, c'est évident. Comme c'est évident que les deux triangles isométriques sont "de la même parité". Il se trouve qu'il existe un tel raisonnement Euclidien formel, il se trouve que c'est une difficulté de l'axiomatique Euclidienne comme il y en a plusieurs - mais qui ne sont pas gênantes car l'intuition du dessin aide à les combler.

Cela n'empêche en rien de concevoir que l'équipollence est bien une relation transitive, qui met en relation des segments orientés "de même direction, sens, et grandeur", et que un parallélogramme, plus le sens, est bien la figure géométrique qui "véhicule" cette relation. Cela n'empêche en rien de concevoir géométriquement qu'on peut avoir un ensemble de ces flèches et qu'il n'y a pas de "flèche spéciale" qui est maître des autres, qu'elles sont toutes aussi représentatives que d'autres pour cet ensemble.

Ma petite démonstration peut convaincre que oui, quand on "combine" deux parallélogrammes, le résultat en est un aussi, comme la construction de la médiatrice avec deux cercles peut convaincre. Et non, ce n'est pas une preuve purement formelle, comme il y en a plusieurs chez Euclide, mais qui peuvent quand-même convaincre.

Bonjour,
j'ai une question peut-être bête.

Comment définit-on le parallélisme sans distance, droites sans point commun?
mais surtout comment le construit-on ?
Pas de distance, pas d'angle ...
(on construit un angle droit en pliant une feuille en deux, mais comment le justifier ?
la réponse est sans doute simple mais c'est un peu flou pour moi.

Bonjour,

Un petit travail que j'avais fait pour un ami sur la relation d'équipollence.
Voir mon message suivant

Foys :
« Un enfant de 4 ans sait déjà ce qu'est le milieu d'un segment »

Si des profs passent par là tu verras que tu ne parlent que d’une catégorie d’enfants de 4 ans.
En effet, du CP à la 3e on trouve des échecs aux consignes suivantes :

1) Voilà deux points A et B, place à main levée un point au milieu de [AB]
2) Voilà deux points A et M, place à main levée un point B afin que M soit au milieu de [AB]

Premières constatations :
Beaucoup confondent « milieu » avec « entre ». Est-ce l’article indéfini « un » qui est piégeant ?
Essayer avec « place le milieu du segment [AB] » pour voir et constater que ce n’est pas mieux.
Beaucoup ne comprennent pas la consigne « 2) ».

Ainsi, les enfants de 4 ans qui savent déjà ce qu’est le milieu d’un segment sont des enfants non sinistrés.
Je n’ose pas proposer une estimation mais on verra certainement les deux couleurs sur la représentation en camembert.

@ gay requin: oui, c'est une idée de partir de $\R^2$ "sans rien", et d'introduire toute la géométrie Euclidienne à partir de là. Mais intuitivement, c'est "hard".

La question que je me pose, est: à quoi ça cert alors, d'introduire la relation d'équipollence et la notion de "vecteur" ? Je ne dis pas qu'on ne peut pas le faire, mais à quoi bon ?

D'ailleurs, la façon dont c'est fait a un petit souci: le théorème 2 dit que la réflexivité est évidente, alors qu'elle ne marche pas avec la définition donnée: (a,b) R (a,b) si s. si ab // ab (OK) et aa // bb (??)
Et il y a aussi le souci qu'on m'avait reproché, avec le parallélogramme dégénéré (a, b, c, d colinéaires, alors, selon la définition, tout (a, b) R (c, d)).

N'est-il pas beaucoup plus simple de dire (a,b) R (c,d) si s. si : b - a = d - c ? Ou, si on veut: b + c = a + d ?

(mais alors, je répète, à quoi ça sert ?)

Il y a une analogie avec l'introduction de $\Z$ par (la même) équipollence sur $\N$: pour tout a, b, c, d en $\N$, on définit: (a,b) R (c,d) si s. si a + d = b + c, et ainsi $\N^2 / R = \Z$. Les entiers relatifs sont donc les "vecteurs" dans $\N$. Mais bon...

Ronan,

ne confondrais-tu pas "ce que je sais" avec "obligatoire" ? Le fait que tu saches que les points d'une parallèle à une droite (D) sont tous à la même distance de (D) n'implique pas le fait qu'on puisse définir des parallèles sans avoir de distance. Et la définition élémentaire est sans distance : "deux droites sont parallèles si elles n'ont aucun point commun(*)".
Si on définit la géométrie affine à deux dimensions, on a la notion de parallélisme, de milieu, éventuellement de secteur angulaire, mais pas de perpendicularité ni de distance. En rajoutant un repère cartésien formé de 3 points non alignés A, B et C, on définit (à l'aide de la géométrie euclidienne sur les droites, il faut bien que la distance apparaisse (**)) une notion de coordonnées, puis de distance et de perpendicularité pour laquelle (AB) est perpendiculaire à (AC), même si on n'y voit pas d'angle droit !!
En fait, toute la géométrie moderne, apparue au cours du dix-neuvième siècle, s'est construite contre "ce qu'on voit sur les figures), en essayant de comprendre quels axiomes sont cohérents entre eux et suffisent à traiter de questions de géométrie .. sans les parallèles, avec (et un axiome sur l'existence d'une, aucune ou plusieurs), avec la notion de distance, etc.

Cordialement.

(*) ou sont confondues; pour passer à une définition plus utile.
(**) ou bien avec une structure affine de la droite qui permet de comparer les vecteurs des axes

Bonjour.

Pour en revenir à la construction du milieu telle que proposée par Gerard0. La construction la plus souvent proposée de $M=\mu(A,B)$ est celle de Thalès. On suppose que l'on dispose d'un modèle $C,N,D$ tracé sur un calque, avec $N=\mu(C,D)$. On déplace alors ce modèle pour amener $C$ en $A$ tout en laissant $D$ en dehors de $(AB)$. La parallèle à $(BD)$ par $N$ recoupe $(AB)$ au point cherché. On peut aussi se donner $N$ et définir $D$ par $D\doteq \alpha(A,N)$. Mais cela revient à admettre que l'on sait déplacer $AN$ de façon rigide, c'est à dire avec $ND=AN$. Il se trouve cependant que faire cela revient plus ou moins à $D=N+\overrightarrow{AN}$, introduisant une boucle logique. La construction proposée par Patrick consiste à construire le modèle $C,N,D$ par combinaison de plusieurs quadrilatères à côtés parallèles, évitant la critique ci-dessus.

Il n'y a plus de risque de boucle logique dans la construction proposée par Gerard0, et pour cause: c'est la construction pure et dure du quatrième harmonique, construction projective s'il en est une (cf figure). Et cela aboutit à un intéressant exercice: démontrer au niveau collège que cette construction donne effectivement le milieu du segment.

Cordialement, Pierre.

Edit: la discussion ne portait pas sur la possibilité de construire le milieu, mais sur la façon d'utiliser cette construction pour en déduire la transitivité de l'équipollence.

je reviens sur ma question, en essayant de la préciser:
comment (peux-t-on) tracer une parallèle sans utiliser la notion de distance, même cachée.
pas de compas, donc.
Faire glisser une règle sur une équerre (coté perpendiculaire ou non) utilise la notion d'angles correspondants, donc d'angles, non?

@ ronan: on ne peut sans doute pas le "construire", on peut le "tester". Il ne faut pas nécessairement un algorithme qui s'arrête qui produit le résultat, pour qu'il existe.

Essentiellement, prolonge de plus en plus ta droite-candidate, et si elle ne coupe jamais l'autre, c'est qu'elle est parallèle :-D sinon tu essaies de faire mieux.

@pldx1: je ne sais toujours pas si une preuve "formelle" Euclidienne existe pour la transitivité de l'équipollence, sans devoir "guider son intuition" par un dessin.

Comme j'ai dit déjà avant, dans des raisonnements de type Euclide, cela ne dérange pas, et on sait déjà que pour certains théorèmes officiels d'Euclide, il faut déjà le faire (le premier est déjà "cuit"). Donc cela ne m'a jamais "choqué".

J'utilise https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html comme ma "référence pratique" d'Euclide.

Euclide lui-même ne semble d'ailleurs pas s'inquiéter pour ce que tu reproches (reproche formellement justifié, j'en conviens):

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI33.html

Ronan,

"peut-on construire une parallèle sans distance? " Dans quel cadre ? En géométrie euclidienne, oui : avec deux perpendiculaires (construction à l'équerre). En géométrie projective, ou hyperbolique, pas de parallèles. Dans la géométrie de Lobachevski, il faut préciser quelle parallèle tu utilises. Dans le plan fini {A,B,C,D} dont les droites sont (AB), (CD), (AC), (BD), (AD), (BC) il y a trois couples de parallèles tout construits, et pas d'autres.

Enfin, une dernière remarque : La géométrie traite d'un plan dont on connait essentiellement les axiomes. Si les axiomes définissent l'existence de parallèles, elles existent, que tu saches les "construire" (*) ou non. On ne parle pas de dessin industriel.

Cordialement.

(*) quelle que soit la signification de ce mot.

Patrick123,

Quand j'enseignais cela autrefois, la preuve était assez élémentaire avec le théorème du "segment des milieux" et la définition par le "même milieu".

Cordialement.

@ gai requin
"Se coltiner $B-A$ revient en fait à remplacer ces fichus vecteurs par des points à l'infini d'un espace projectif au-dessus de $\mathcal P=\mathbb R^2$ : c'est plus général mais c'est beaucoup moins enfantin !"

Lorsque $A$ et $B$ sont dans un espace affine, alors $B-A$ est exactement le résultat d'une soustraction: on prend les coordonnées des points et on les soustrait l'une après l'autre. Pour ce qui est d'un espace projectif privé de l'une de ses droites $\mathcal L _\infty$ (appelée droite de l'infini), on a: \[
\overrightarrow {AB}\doteq B/(\mathcal L _\infty \cdot - A/(\mathcal L _\infty \cdot A) \] Il est assez clair qu'il faut normaliser avant de soustraire, sinon cette différence n'est pas définie. On obtient alors: la direction d'un vecteur n'est autre que son projectifié. Quant au sens, c'est une notion insensée, qui revient en fait à "je regarde la figure et je mets un signe qui est peut-être le bon (et sinon, c'est l'autre)".

Cordialement, Pierre.

@GG
Il y a quelques années j'ai concocté une axiomatique
de la géométrie euclidienne en six axiomes, que voici.
(Je pourrais développer...)

PS.
Celle en 8 m'intéresserait !

@Pierre : Oui, on peut faire les calculs dans l'enveloppe vectorielle $\widehat{\mathcal P}$ du plan affine réel $\mathcal P$ qui est un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension $3$.
Plus précisément, si $A,B,C$ sont trois points non alignés de $\mathcal P$, alors $(A,B,C)$ est une base de $\widehat{\mathcal P}$ et pour tous réels $x,y,z$,$$xA+yB+zC\in\mathcal P\Leftrightarrow x+y+z=1.$$Or, pour tous points $M,N$ de $\mathcal P$, on a $M+\overrightarrow{MN}=N$ donc, dans $\widehat{\mathcal P}$,$$\overrightarrow{MN}=N-M.$$Et donc, par définition, les coordonnées barycentriques de $N$ et $M$ sont forcément normalisées dans cette égalité.

C'est peut-être plus simple de parler de milieu d'un segment aux enfants non ?

@GaiRequin.

En version soulignée, est-ce plus clair ?

Lorsque $A$ et $B$ sont dans un [size=medium]espace affine[/size], alors $B-A$ est exactement le résultat d'une soustraction: on prend les coordonnées des points et on les soustrait l'une après l'autre.

Pour ce qui est d'un [size=medium]espace projectif privé de l'une de ses droites[/size] $\mathcal L _\infty$ (appelée droite de l'infini), on a: \[
\overrightarrow {AB}\doteq B/(\mathcal L _\infty \cdot - A/(\mathcal L _\infty \cdot A) \] Il est assez clair qu'il faut normaliser avant de soustraire, sinon cette différence n'est pas définie. On obtient alors: la direction d'un vecteur n'est autre que son projectifié.

Quant à c'est plus "simple de parler de milieu d'un segment aux enfants", c'est d'autant plus vrai que c'est ce que je propose. Rappel de la méthode: pour obtienir les coordonnées du milieu d'un segment plongé dans le rantanplan, on ajoute et on divise par deux, sur le modèle $M=(A+B)/2$: le milieu se calcule par les moyennes.

On peut aussi dire: ne calculons jamais rien (=ne nous emmerdons pas à tenir compte des deux millénaires de progrès fait par la géométrie depuis Zeus-clide). Quant à utiliser $M=(A+B)/2=(C+D)/2$ pour en déduire $A-C=D-B$ (et lycée de Versailles)... est-ce vraiment si difficile et atrocement élitiste ?

Cordialement, Pierre.

@ Dom: quand on a une métrique, on peut en définir un produit scalaire par "la règle du cosinus".

(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2 a.b

donc a.b = 1/2 { (a+b)^2 - a^2 - b^2 }

< a | b > = 1/2 ( |a + b|^2 - |a|^2 - |b|^2 )

edit: oops, merci nicolas.patois, erreur de signe.

La règle du cosinus vient en fait de (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2 a.b

@GG
Mots-clé pour google :

axiomatique géométrie distance

Tout est là, y compris l'équivalence avec celle de Hilbert.

https://www.ems-ph.org › journals › show_pdf

Je n'arrive pas à obtenir un lien fonctionnel.

GG a écrit:

Ensuite, si l'on tient
> vraiment à introduire les vecteurs comme classes
> de la relation d'équipollence T_AB =
> T_CD, et à définir plutôt cette
> relation en termes de direction, de sens, et de
> longueur, on peut, n'en déplaise à Foys et à
> pldx1, le faire parfaitement
> rigoureusement, mais cela requiert des
> considérations plutôt subtiles sur l'orientation
> d'une direction er demande un effort
> supplémentaire.

Je n'en ai jamais vu. Cela dit, je n'ai jamais vu une géométrie axiomatique rigoureuse. J'en suis resté à Euclide, pour ensuite passer sur l'espace vectoriel $\R^2$. Euclide n'est pas formellement rigoureux, c'est à moitié "de la physique".

Mais c'est bon de savoir qu'il y ait une preuve formelle de la transitivité de l'équipollence, sans "devoir regarder le dessin". Je ne savais pas qu'elle existait.

@Patrick123,

Cela dit, je n'ai jamais vu une géométrie axiomatique rigoureuse.

En voici une, du moins je l'espère !

On considère un ensemble $\Pi$ appelé plan euclidien dont les éléments sont appelés points et un ensemble de parties de $\Pi$ appelées droites, satisfaisant les axiomes suivants.

Axiomes d'incidence :

I₁. Le plan contient au moins deux droites, et chaque droite au moins deux points.
I₂. Par deux points distincts passe une droite et une seule.

Axiomes d'ordre :

Chaque droite est munie de deux relations d'ordre total opposées. Ces deux structures d'ordre sont introduites simultanément parce qu'il n'existe aucun choix naturel d'un ordre sur une droite.
Déf. de la droite orientée (droite munie d'un de ses deux ordres). On note $\Delta$AB la droite AB munie de son ordre tel que A < B,
de la demi-droite [AB (d'origine A et contenant ,
du segment [AB],
de l'axe (droite orientée munie d'une origine),

de la relation "Deux points sont du même côté d'une droite" ( [AB] $\cap $ a = $\varnothing$)

O₁. Pour tout point O d'une droite orientée, il existe deux points X et Y de cette droite vérifiant X < O < Y.
O₂. Pour toute droite a, la relation "A et B sont du même côté de a" est transitive. (variante de l'axiome de Pasch).

Déf. du demi-plan de frontière a.

Axiomes métriques :

Le plan est muni d'une distance (d: $\Pi$ x $\Pi \rightarrow$ R₊ telle que d(A, = 0 $\Leftrightarrow $ A = B, d(A, = d(B, A), d(A, C) $\leqslant$ d(A, + d(B, C) pour tous points A, B, C) vérifiant :

M₁. d(A, C) = d(A, + d(B, C) $\Leftrightarrow$ C $\in$ [AB] pour tous points A, B, C.
M₂. Pour toute demi-droite [OA et tout réel k $\geqslant $ 0, il existe un unique point X de [OA tel que d(O, X) = k.

Déf. d'une isométrie d'une partie A de $\Pi$ dans une partie B.
Le groupe des isométries du plan.

Axiome de la symétrie, dit "du pliage" :

S. Pour toute droite a, il existe une isométrie d'un demi-plan de frontière a dans l'autre qui laisse fixes les points de a.

Axiome des parallèles :

P. Pour tout point P et toute droite a, il passe par P au plus une parallèle à a

Ces 8 axiomes sont ceux de la géométrie euclidienne, les 7 premiers, ceux de la géométrie absolue, et complétés par $\neg$ P, ceux du plan hyperbolique.

Voilà, c'est tout.
Quelques étapes pour montrer que le plan euclidien ainsi défini satisfait à la définition algébrique (sans les preuves).

Existence et unicité d'un isomorphisme $\varphi$ (pour l'ordre) d'un axe d'origine O sur R vérifiant $\varphi$(O) = 0 et d(A, = | $\varphi$(B) - $\varphi$(A) | pour tous points A et B de l'axe.
Déf. de l'abscisse.
Existence et unicité du milieu d'un segment.

Existence et unicité de la symétrie axiale.
Déf. de la perpendiculaire (droite invariante par symétrie par rapport à une droite distincte).
Existence et unicité de la perpendiculaire par un point.
Existence de la parallèle.

Déf. de la symétrie centrale ou demi-tour (produit de deux symétries autour de deux droites perpendiculaires).
Existence et unicité du demi-tour C_AB amenant A sur B.
Déf. de la translation (produit de deux symétries autour de deux droites parallèles).
Coïncidence des translations et des produits de demi-tours.
Existence et unicité de la translation T_AB amenant A sur B.

Les translations forment un sous-groupe abélien du groupe de isométries du plan.

Règle du parallélogramme : T_AB = T_CD $\Leftrightarrow$ [AD] et [BC] ont mêmes milieux $\Leftrightarrow$ T_AC = T_BD

Déf. du produit d'une translation par un réel k (k T_AB (pour A $\neq$ , c'est la translation T_AC où C est le point de l'axe AB d'origine A, et d'abscisse k fois celle de B. C est indépendant de l'orientation de l'axe, et la définition de la translation est indépendante du choix de A).

Les translations forment un R-espace vectoriel dont le groupe opère (canoniquement) simplement transitivement par A + t = t(A). Le plan est donc un R-espace affine.
Etc.

Mais c'est bon de savoir qu'il y ait une preuve formelle de la transitivité de l'équipollence, sans "devoir regarder le dessin".

Si tu définis l'équipollence par "[AD] et [BC] ont mêmes milieux", par la règle du parallélogramme, elle est équivalente à T_AB = T_CD, et donc trivialement transitive. Si tu veux la définir à l'aide de la direction, du sens et de la longueur des bipoints, je ferai un autre message.

@Dom
Evidemment ce sont les trois derniers axiomes
qui mènent au plan euclidien.

@GG
Je serais curieux de voir comment ton axiomatique permet de prouver l'existence d'un triangle équilatéral.
Il est très facile de construire une géométrie affine sur $\Q^2$.
Mais pour avoir une géométrie euclidienne cad une distance, il faut avoir au moins un corps stable par racine carrée.

@Foys, Artin, je l'ai reçu et je suis en train de le lire... Je m'attendais à quelque chose d'indigeste, mais ça se lit bien (au moins, au début...).

@GG c'est bien, mais en fait, toute référence à $\R$ gâche un peu (M1 et M2 donc) l'idée non ?

Car si on a $\R$, on ne se fait pas mal, on travaille dans $\R^2$, non ?

GG a écrit:

> j'ai cru comprendre que ce fil, introduit par une
> question sur les vecteurs, avait pour cadre la
> géométrie élémentaire.

==> oui, c'est ce que j'avais aussi compris. Sinon la notation $\vec{AB}$ n'a pas beaucoup de sens (au moins, au niveau du secondaire).

> "Il y a maintenant un accord assez unanime,
> dans tous les pays, sur les deux principes
> suivants:
> 1) Pour les jeunes enfants, l'enseignement de la
> géométrie ne peut être déductif. Ce doit être
> un enseignement basé sur l'observation; son but
> est l'élaboration des concepts fondamentaux à
> partir de l'expérience.
> 2) Pour le mathématicien, la façon la plus
> élégante, la plus profonde, la plus rapide, est
> de définir la plan (ou l'espace) comme un espace
> vectoriel (affine) sur R, à (ou trois)
> dimensions, muni d'un produit scalaire.

Oui, tout à fait. Mais (sauf pour des choses très sophistiquées) il n'y a pas lieu de définir $\vec{AB}$ dans $\R^2$, car les éléments mêmes sont déjà des vecteurs.

> De nombreux professeurs de l'enseignement du
> second degré témoignent, par leur expérience,
> que cette définition peut être déjà utilisée
> avec grand profit par des élèves de 17 ans
> (classe terminale des lycées) ayant étudié
> antérieurement le produit scalaire. Cette
> méthode permet dans cette classe une économie de
> la pensée considérable, (...)

Oui, à un détail près. Il faut justement faire une certaine acrobatie en $\R^2$ pour "oublier" la base canonique. (2,3) est un élément de $\R^2$, et aller l'exprimer comme (2,-1) car 2*(1,1) - 1*(0,1). On peut donc introduire des notions non-euclidiennes comme "rectangle horizontal" très facilement.

> Le problème est moins simple aux âges
> intermédiaires, disons entre 13 et 16 ans.
> L'enfant commence à comprendre ce qu'est une
> démonstration; chez certains s'éveille une
> véritable soif de logique, indiquant que le temps
> est venu d'aborder sérieusement le raisonnement
> déductif.

Oui. C'est là qu'un truc comme Euclide n'est pas mauvais.

> pour ceux-ci les
> mathématiques apparaissent comme un jeu aux
> règles strictes, et ils ont une grande joie à
> jouer correctement ce jeu.

Euclide est parfait pour montrer comment on joue *presque* correctement, pour montrer qu'il y avaient des erreurs formelles (mais pas des erreurs "logiques", seulement des vérités supplémentaires qui ne faisaient pas partie officiellement des axiomes, mais qui sont cependant "acceptables" comme axiomes supplémentaires).

> il n'est
> pas désirable de prendre au départ de très
> nombreux axiomes: le jeu mathématique basé sur
> trop de règles devient complexe et prend une
> allure de fragilité et d'incertitude),

En fait, je ne suis pas d'accord avec cela. Ça, c'est une obsession de mathématicien, mais qui ne sert à rien, d'avoir un jeu le plus petit possible d'axiomes. La seule chose qu'on veut d'un jeu d'axiomes, c'est qu'ils soient "évidents" et "non-contradictoires". C'est un désir supplémentaire "de mathématicien" d'être le plus sobre possible - on comprend pourquoi: cela diminue les chances d'avoir un système incohérent.

Mais la géométrie d'Euclide est à moitié de la physique. C'est la théorie mathématique derrière des idéalisations *physiques* de dessins sur feuille blanche. On fait 100% confiance à un dessin particulier. En fait, un théorème "Euclidien" pourrait tout à fait être falsifié par un vrai dessin (1 seul) qui le contredit, quand on ne joue pas sur les idéalisations (comme l'épaisseur d'une ligne).

Alors, des choses qui sont parfaitement *expérimentalement* évidentes par dessin, sont aussi bien des "axiomes".

Dans la première proposition d'Euclide, du livre I, il ne peut pas déduire que les deux cercles qu'il a construit, se coupent. Il a été trop frugal avec ses axiomes. Mais le dessin ne laisse aucun doute. Alors, dire que, si on ajoute comme axiome, que dans cette configuration de deux cercles, on obtient un point (et même deux) d'intersection, ce n'est pas une erreur "logique". C'est une erreur formelle/axiomatique, mais cela n'invalide pas la démonstration.

Personne ne doute un seul instant que ces deux cercles se coupent. C'est impossible de s'imaginer que ces deux cercles ne se coupent pas, pas plus que de s'imaginer qu'on ne peut pas tracer une droite quand on a deux points. Ça se vaut comme "vérité". Et on n'en doute pas, justement, parce que la géométrie est une théorie physique en partie. ON ne peut pas décréter ce qu'on veut, il faut que cela corresponde à la réalité physique de la feuille blanche et du crayon.

*expliquer* cela, et "trouver des erreurs chez le grand monsieur Euclide" est sans doute aussi excitant et intéressant pour l'élève qui veut apprendre à raisonner que d'apprendre un système tout lisse.

> axiomes forts, c'est-à-dire donnant très
> vite accès à des théorèmes non évidents,
> et intuitifs, c'est-à-dire traduisant des
> propriétés de l'espace qui nous entoure faciles
> à vérifier.

Je n'en connais pas, en fait. Car il faut quand-même axiomatiser $\R$. Et ça, ce n'est pas si "intuitif" que cela, et demande quand-même pas mal de travail.

> Il est bien établi que "l'axiomatique" d'Euclide
> ne répond plus à nos exigences logiques; (...)
> On sait qu'Hilbert a élagué et complété
> l'axiomatique d'Euclide, pour en faire un système
> logiquement satisfaisant; sa préoccupation
> essentielle n'était pas l'enseignement
> élémentaire; (...)

==> Oui, c'est trop dur.

> Les Grecs n'ont longtemps connu que les nombres
> rationnels et même après leur découverte
> mémorable de l'irrationalité de $\sqrt{2}$, ils
> n'ont pas su dégager la notion générale de
> nombre; celle-ci est restée pour eux liée à la
> géométrie. Les continuateurs d'Euclide ont
> tenté de perfectionner son oeuvre en mettant au
> point un "calcul segmentaire" qui permet de
> retrouver, mais bien péniblement, la structure de
> corps de l'ensemble des nombres à partir de la
> géométrie plane. Nous ne devons à aucun prix
> tomber dans cette erreur. Le plus tôt possible
> l'enfant doit concevoir l'ensemble R des nombres
> comme un corps commutatif totalement ordonné:

Ce qui est difficile, c'est qu'il doit aussi être "complet". Sinon, $\Q$ fait l'affaire. Et on rentre dans des considérations subtiles quand il faut "compléter" $\Q$.

Ce n'est, dans le programme actuel, d'ailleurs, jamais fait, et la notion intuitive de $\R$ reste géométrique: c'est "l'axe des nombres", donc la droite d'Euclide.

> Plus tard, selon les besoins, il utilisera
> l'axiome d'Archimède, ou l'axiome plus fort de la
> borne supérieure."

Ce n'est pas simple, ça. D'ailleurs, je préfère la convergence de suites de Cauchy, plus abordables pour moi, intuitivement.

Donc on va de toute façon avoir une "axiomatique" lourde avec des notions difficilement abordables quand on veut commencer à apprendre à raisonner.

> Voilà qui répond, je pense mieux que je n'aurais
> pu l'écrire moi-même, à ton objection sur la
> référence à R.

Je n'ai bien sûr pas d'objection à $\R$. Je dis que, quand on veut faire de la géométrie "axiomatique" du style Euclide "mais sans tricher", alors, introduire quelque part $\R$ est bizarre, car il vaut alors mieux simplement utiliser $\R^2$. Tout est déjà prêt. Quand on peut parler de $\R$, on peut alors aussi facilement considérer des couples de nombres réels. Il n'y a plus lieu de faire de l'axiomatique supplémentaire "élémentaire", et ce n'est pas élémentaire.

Et si on n'utilise pas $\R$, ça va être dur comme premier abord si on veut être rigoureux. Et si on se permet une notion intuitive de $\R$, on peut accepter aussi quelques intuitions avec l'Euclide original.

> Tu proposes à la place de définir le plan par
> R². Je serai(s) alors curieux de voir
> ta démonstration d'une proposition "qui se voit
> sur la figure" et qui est une conséquence
> (relativement) simple des premiers 4 axiomes
> I₁, I₂, O₁,
> O₂ que je propose : Un quadrilatère
> simple possède au moins une diagonale (droite
> reliant deux sommets opposés) passant entre les
> deux autres sommets.

Quand tu me donnes ta définition de quadrilatère *simple* on en reparlera.

Mais je vois cela autrement: tes axiomes sont facilement prouvées dans $\R^2$ comme théorèmes (avec les bonnes définitions des notions géométriques) je pense. Alors, toute démonstration que tu peux faire dans ton système axiomatique, on peut le faire aussi quand on a prouvé ces théorèmes.

O1: je suppose qu'on peut facilement avoir une représentation paramétrique d'une droite:
x = a t + b
y = c t + d

Alors l'ordre en t donne un ordre sur la droite.

O2: on prend "du même coté" comme "du même signe" de (a x + by + c) qui définit la droite.

Alors tout ce que tu vas démontrer avec ces axiomes, je peux le faire aussi de la même façon, non ?

@GG:

Une droite: {(x,y) | a x + b y + c = 0 } pour (a,b) différent de (0,0).

(a,b,c) représente la même droite que (a',b',c') si s. si il existe d tel que a = d a', b = d b', c = d c'.

Pour I1:

---

La droite (a,b,c) (1, 0 , 0) et la droite (0, 1, 0) sont différentes. (trivial)

cas a ne pas 0: a x + b y + c = 0 si s. si x = - b/a y - c/a. Prend y = 0 => x = -c/a. Prend y = 1 => x = -b/a - c/a. Il y a donc 2 points dans toute droite avec a ne pas 0.

cas a = 0. b n'est pas 0 alors. b y + c = 0. y = -c/b. prend x = 0 ; prend x = 1. Donc 2 points aussi pour les droites ayant a = 0.

D'où I1.

Pour I2:

---

(x1, y1) et (x2, y2)

Premier cas: il existe un d tel que x2 = d x1 et y2 = d y1 et d ne pas 1.

Alors y2 x1 - x2 y1 = 0.

Si a x1 + b y1 = 0 et a x2 + b y2 = 0, il faut que a = e y2 et b = - e x2.

Si c ne pas 0, alors a x1 + b y1 + c = 0, et a x2 + b y2 + c = 0. On multiplie la première équation avec d, et on fait la soustraction:

a(d x1 - x2) + b(d y1 - y2) + (d - 1) c = 0. Donc (d -1 ) c = 0. Mais d - 1 n'est pas 0, donc c = 0.

Ainsi la seule et unique droite dans ce cas est (e y2, -e x2, 0).

Deuxième cas:
(x1,y1) n'est pas d (x2, y2).

a x1 + b y1 + c = 0
a x2 + b y2 + c = 0

Si x1 différent de x2: b ne peut pas être 0 (sinon x1 = x2 = c/a ou a = 0 interdit).
On divise par b:
y1 = - a/b x1 - c/b
y2 = - a/b x2 - c/b

On fait la différence: y2 - y1 = - a/b (x2 - x1), et donc -a/b = (y2 - y1)/(x2 - x1), puis, par substitution, on obtient c/b (la flemme)

==> la droite est donc ( (y1 - y2)/(x2 - x1), 1, la flemme)

Si x1 = x2: la droite (1, 0, -x1) est la droite en question.

Donc I2.

Pour O1

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Si droite a x + b y + c = 0

Alors x = U t + V
y = W t + Z

et pas (U, W) = (0, 0)

a ( U t + V) + b (W t + Z) + c = 0

(a U + b W) t + a V + b Z + c = 0

a U + b W = 0
a V + b Z + c = 0

Toujours possible de trouver 4 valeurs:

- pour V et Z, comme il existent 2 points, il existe au moins 1 point (V,Z) de la droite, donc OK.

- Si a ne pas 0, on prend U = -b/a et W = 1. Si a = 0, alors on prend U = 1, et W = 0.

Dans l'autre sens:
si x = U t + V
y = W t + Z

et un des U, W n'est pas 0,
alors il existent des (a,b,c) tel que

a U + b W = 0
a V + b Z + c = 0

et pas (a,b) = (0,0)

Si U ne pas 0, alors prend b = 1, et a = - W / U. Si U = 0, alors prend a = 1, et b = 0.

Prend c = - a V - b Z.

Il en suit que tous les points ( x(t), y(t) ) appartiennent à la droite, et que toute droite contient des points de cette forme-là.

En plus, comme les points (x(t), y(t) ) "balaient" tous les valeurs de R pour x et / ou pour y, il n'y a pas de points d'une droite qui restent hors range pour la forme paramétrique. (peut être rendu plus précis).

une paramétrisation introduit un ordre sur une droite. Chaque point correspond à une valeur de t. Si 0 correspond à t1, alors choisissez X avec t1 - 1 et Y avec t1 + 1. D'où O1.

Pour O2

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Un coté d'une droite est donné par "le même signe de a x + b y + c". Si (x1,y1) et (x2, y2) ont le même signe, et (x2,y2) et (x3,y3) ont le même signe, alors (x1,y1) et (x3,y3) ont le même signe. Transitivité pour un triplet (a,b,c) donné.

Cela ne change pas pour une droite donnée si on passe sur (d a, d b, d c). Si d > 0, alors le signe reste le même.
Si d < 0, TOUS les signes changent. Donc ceux qui avaient les mêmes signes, gardent les mêmes signes.

D'où O2.

Et maintenant, toute preuve que tu donneras, marchera aussi pour moi B-)