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Vecteur

Envoyé par enrouement 
Re: Vecteur
le mois dernier
@gerard0

Oui, prendre le segment AB comme la diagonale d'un parallélogramme en prenant un point en-dehors, construire l'autre diagonale, et trouver l'intersection est effectivement bien plus simple que le truc que j'ai posté thumbs down Ça revient au même, mais c'est bien plus simple et plus beau...
Re: Vecteur
le mois dernier
Bonjour,

@Patrick. La question que je t'ai posée était, et reste: <ouvrez la question> comment fais-tu pour définir le milieu d'un segment de façon à pouvoir prouver que l'équipollence est une relation transitive <fermez la question>. Cette question n'était pas <ouvrez la question> comment fais-tu pour définir le milieu d'un segment <fermez la question>.

Et je t'ai posé cette question avec insistance parce que ta démonstration de la transitivité de l'équipollence est fausse. Je ne suis pas en train de dire qu'il n'y a pas transitivité. Je ne suis pas non plus en train de dire que "hors des coordonnées point de salut". Je suis en train de dire que pour avoir $ABCD$ parallélogramme, il ne suffit pas d'avoir $AB=CD$ et $BC=AD$. C'est ce que tu avais écrit. Mais c'est FAUX. Il ne suffit pas de rajouter $AB\parallel CD$. C'est la correction que tu viens de faire. Mais ta démonstration n'en devient pas meilleure: elle continue d'être FAUSSE. Tu n'as donc toujours pas démontré que $BC\parallel AD$, qui était la condition de transitivité.

Tu n'es pas le premier à vouloir proposer une "axiomatique raccourcie". Il se trouve simplement que cela foire toujours aux mêmes endroits: il suffit d'attendre paisiblement. Et on en revient à : <ouvrez la question> comment fais-tu pour définir le milieu d'un segment de façon à pouvoir prouver que l'équipollence est une relation transitive <fermez la question>

Cordialement, Pierre.
Re: Vecteur
le mois dernier
@pldx1:

Je n'avais pas tout de suite compris que tu acceptais bien que le milieu d'un segment est une chose qui puisse exister en-dehors d'un système de coordonnées, car pour moi, "la façon de définir" le milieu d'un segment n'avait rien à voir avec l'équipollence ; il serait d'ailleurs étonnant que certaines définitions de "milieu" pourraient être utilisées pour cette démonstration, et d'autres, qui mènent au même milieu, pas.

Je n'utilise pas "le milieu d'un segment" dans la notion d'équipollence, je ne voyais donc pas le lien, j'utilise "parallélogramme" comme "véhicule géométrique qui met en relation des segments orientés dont on VOUDRAIT qu'ils aient même sens, direction et grandeur". Un parallélogramme véhicule clairement "même grandeur", et "parallélisme", et le fait qu'on ajoute l'astuce d'orientation (donc sens) en nommant les points "dans le sens du contour", fait que intuitivement, cette figure fait bien ce qu'elle est supposée faire. Comme il s'agit de "mêmes propriétés", il va en fait déjà de soi qu' une relation "... a les mêmes propriétés que ... " ne peut être que transitive. Si le parallélogramme "fait donc l'affaire" il en suit que la relation plus formalisée par cette figure, doit aussi être transitive.

On n'est pas en train de faire un développement purement formel, et on sait tous que les démonstrations chez Euclide ne sont pas purement formelles. Il y a une différence entre être purement formel, et puis être flou. Par exemple, le premier théorème d'Euclide, sur la construction du triangle équilatéral, est formellement faux, car on ne peut pas prouver formellement que les deux cercles vont se couper en deux points, mais le dessin le suggère fortement. Ça ne dérange personne. Chez Euclide, on accepte certaines choses à partir de l'intuition du dessin, ce n'est pas un manque de rigueur, ce n'est juste pas totalement formalisé. On peut dire qu'une partie du "formel" chez Euclide n'est pas une suite de symboles, mais est aussi un dessin.

Dans ma petite démonstration, ce qui manque sans doute pour prouver que CE // DF, c'est qu'il faut prouver que le triangle CAE et le triangle DBF dont on a démontré qu'ils sont isométriques, sont aussi "de la même parité", donc l'un n'est pas l'image miroir de l'autre, mais sont "dans le même sens". Alors leurs angles, qui sont de même magnitude, sont alors aussi des angles *orientés* du même signe. Alors qu'on sait que l'angle ECA est le même angle que FDB, il faudrait qu'il soit le même angle *orienté*. Si c'est le cas, alors il en suit que CE // DF, car on peut alors ajouter les angles du parallélogramme interne et externe en C resp. D, et ce fameux angle ECA resp. FDB, et alors l'angle de CE avec CD est le même que l'angle de FD avec CD, ce qui prouve que CE // DF.

Sur le dessin, ça se voit qu'ils sont orientés de la même façon, et "niveau Euclide" c'est suffisant. Il faudrait d'ailleurs regarder tous les cas, avec AB et EF des deux cotés de CD, du même coté, etc... mais une démonstration chez Euclide est parfois aussi un peu aidée par le dessin, ce n'est pas un système purement formel, justement. Mais comme les notions géométriques Euclidiennes sont suffisamment intuitives, cela ne dérange pas à la compréhension, ni d'ailleurs, à la puissance convaincante de la démonstration.

Je ne sais donc pas si on peut démontrer formellement que le point d'intersection de CE avec la droite AB (appelons-le M) est de l'autre coté de A que B, et le point d'intersection de DF, avec la droite AB, appelons-le N, est du même coté de B que A, ou vice-versa. Sur le dessin, c'est évident. Comme c'est évident que les deux triangles isométriques sont "de la même parité". Il se trouve qu'il existe un tel raisonnement Euclidien formel, il se trouve que c'est une difficulté de l'axiomatique Euclidienne comme il y en a plusieurs - mais qui ne sont pas gênantes car l'intuition du dessin aide à les combler.

Cela n'empêche en rien de concevoir que l'équipollence est bien une relation transitive, qui met en relation des segments orientés "de même direction, sens, et grandeur", et que un parallélogramme, plus le sens, est bien la figure géométrique qui "véhicule" cette relation. Cela n'empêche en rien de concevoir géométriquement qu'on peut avoir un ensemble de ces flèches et qu'il n'y a pas de "flèche spéciale" qui est maître des autres, qu'elles sont toutes aussi représentatives que d'autres pour cet ensemble.

Ma petite démonstration peut convaincre que oui, quand on "combine" deux parallélogrammes, le résultat en est un aussi, comme la construction de la médiatrice avec deux cercles peut convaincre. Et non, ce n'est pas une preuve purement formelle, comme il y en a plusieurs chez Euclide, mais qui peuvent quand-même convaincre.



Edité 6 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Patrick123.
Re: Vecteur
le mois dernier
Je voudrais quand-même revenir à la question du fil, qui était:

"Comment expliquer ce processus d'identification qui de deux vecteurs bien séparés AB et CD dans un repère en fait un même ?"

Je reste sur ma conviction que l'idée d'équipollence de couples de points (ou de segments orientés, ça se vaut), qui sont eux-mêmes aussi nommés "vecteurs liés", et la classe d'équivalence qui en résulte, qu'on appelle "vecteur libre", est la bonne réponse à cette question. On peut facilement *concevoir* que cette relation est transitive, même si "les standards de rigueur" sont celles d'Euclide, et pas celles d'un système formel (ce que Euclide n'est pas). Ce n'est pas un manque de *précision*. On sait parfaitement de quoi on parle, c'est mentalement concevable et précis. La *preuve* n'est peut-être pas purement formelle, mais la *définition* est précise. "glisser" ne l'est pas. Il y a une distinction entre "je ne sais pas exactement ce que les mots dans ta proposition veulent dire", et "je ne sais pas si ta proposition est formellement prouvable à partir d'un jeu d'axiomes". Si on est dans le premier cas, on est FLOU. On n'est pas précis. Si on est dans le deuxième cas, il faut déjà être précis, mais on n'est peut-être pas formellement rigoureux. En géométrie (du plan) on choisit de ne pas être formellement rigoureux, car l'intuition y est suffisamment bonne pour ne pas gêner à la conceptualisation. Ça n'empêche en rien d'être précis.

Je suis aussi bien sûr d'accord qu'on peut complètement mettre de coté la "géométrie d'Euclide", et purement algébriquement travailler dans l'espace vectoriel $\R^2,+$. Mais dans cet espace vectoriel, il n'y a pas lieu de parler de "vecteur $\vec{AB}$", puisqu'on a déjà à sa disposition, l'addition, et la multiplication scalaire des "vecteurs" - éléments de $\R^2$, et donc, la question du fil n'aurait pas de sens dans cet espace vectoriel. Partout où on aurait tendance à parler de $\vec{AB}$, on peut bien plus simplement parler de B - A. Alors la question du fil devient trivial:
B - A = D - C, ben, si c'est le même élément de $\R^2$. Ce n'est alors pas différent de "pourquoi est-ce que 8 - 5 = 4 - 1".

Pour l'utilisation du concept de vecteur en physique, la version "géométrique" est bien plus commode dans la conceptualisation, que la version purement $\R^2$, surtout quand on va utiliser des repères "courbes".
Re: Vecteur
le mois dernier
Bonjour,
j'ai une question peut-être bête.

Comment définit-on le parallélisme sans distance, droites sans point commun?
mais surtout comment le construit-on ?
Pas de distance, pas d'angle ...
(on construit un angle droit en pliant une feuille en deux, mais comment le justifier ?
la réponse est sans doute simple mais c'est un peu flou pour moi.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Vecteur
le mois dernier
-Deux droites du plan sont dites parallèles si elles sont confondues ou ne se rencontrent pas.
-La géométrie vectorielle est une excroissance de la géométrie inventée fin 18ième siècle au plus tôt. Newton n'a jamais entendu parler de vecteurs de sa vie. Les définitions de notions de base n'ont pas à être conçues au service des vecteurs (oui c'est dur de montrer que l'équipollence est transitive). Un enfant de 4 ans sait déjà ce qu'est le milieu d'un segment, sans papier quadrillé et sans vecteurs présentés dans des encadrés intitulés "définition" et où on dit explicitement qu'on ne les définira pas.

-Une construction complète d'une structure d'espace affine sur un corps à partir d'un plan où on ne s'est donné que de simples axiomes d'incidence (plus la propriété de Desargues qui peut être comprise intuitivement comme conséquence de ce qu'on vit dans un espace: ça devient juste des plans qui se coupent. Cela équivaut en gros à ce qu'il y ait "assez" de translations/homothéties sur ledit plan) est proposée dans le livre "Geometric algebra" d'Emil Artin dont la lecture est vivement recommandée.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Vecteur
le mois dernier
Bonjour,

Un petit travail que j'avais fait pour un ami sur la relation d'équipollence.
Voir mon message suivant



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gai requin.
Dom
Re: Vecteur
le mois dernier
ronan : (au sujet de l’angle droit et de la feuille pliée)
Théorème et Définition (angle droit) : quelles que soient les droites, si elles sont sécantes alors elles définissent quatre ensembles de points appelés « secteurs angulaires » (raccourcis en « angles »). Dire que ces quatre angles sont droits signifie qu’ils sont superposables.
Remarque : pour définir un secteur angulaire (ici ils sont saillants), on peut parler d’enveloppe convexe des deux demi-droites de même origine (ses deux côtés). Pour les rentrants, on s’en sort avec le complémentaire...

Construction empirique de la symétrie axiale.
Définition empirique : dire que deux figures sont symétriques par rapport à $D$ signifie qu’elles se superposent par pliage selon $D$.

Ce qui suit est parfois ludique, même pour les grands smiling smiley

1) placer deux points $A$ et $B$ (distincts) sur une feuille et essayer de les superposer par pliage.
a) on admet qu’on y « arrive » toujours
b) on admet qu’on trouve toujours une seule manière de faire
c) on appelle cette droite (là où l’on plie) la médiatrice du segment (mais on ne sait pas encore ce qu’elle a de particulier).

2) on va « démontrer » (attention à ce terme !) qu’elle passe au milieu du segment, qu’elle y est perpendiculaire et que chacun de ses points est équidistants de $A$ et $B$.
a) placer un point $M$ sur la droite (pliure) en dehors de $[AB]$, placer $I$ l’interdiction de $D$ avec $[AB]$.
b) par symétrie (pliage) on obtient :
$A \rightarrow B$
$M \rightarrow M$
etc.
$\widehat{AIM} \rightarrow \widehat{BIM}$
$[MA] \rightarrow [MB]$
$[IA] \rightarrow [IB]$.
D’où l’on déduit : l’angle droit, le milieu et l’équidistance de $M$ a $A$ et $B$.

Tout cela n’est qu’une piste mais je crois que c’est faisable en 6e.
On cache plein de choses (notamment la structure euclidienne) dans le terme « superposable ».
On a admis plein de choses également.
Dom
Re: Vecteur
le mois dernier
Foys :
« Un enfant de 4 ans sait déjà ce qu'est le milieu d'un segment »

Si des profs passent par là tu verras que tu ne parlent que d’une catégorie d’enfants de 4 ans.
En effet, du CP à la 3e on trouve des échecs aux consignes suivantes :

1) Voilà deux points A et B, place à main levée un point au milieu de [AB]
2) Voilà deux points A et M, place à main levée un point B afin que M soit au milieu de [AB]

Premières constatations :
Beaucoup confondent « milieu » avec « entre ». Est-ce l’article indéfini « un » qui est piégeant ?
Essayer avec « place le milieu du segment [AB] » pour voir et constater que ce n’est pas mieux.
Beaucoup ne comprennent pas la consigne « 2) ».

Ainsi, les enfants de 4 ans qui savent déjà ce qu’est le milieu d’un segment sont des enfants non sinistrés.
Je n’ose pas proposer une estimation mais on verra certainement les deux couleurs sur la représentation en camembert.
Re: Vecteur
le mois dernier
je connais cette construction, ma question se place à un autre niveau,
La définition de Foys rigoureuse, mais, une fois qu'on définit ainsi le parallélisme,
mais pour moi, il y a toujours la notion de distance qui traine derrière si on veut l'appliquer.
Peut-on tracer une parallèle sans distance?
Re: Vecteur
le mois dernier
@ gay requin: oui, c'est une idée de partir de $\R^2$ "sans rien", et d'introduire toute la géométrie Euclidienne à partir de là. Mais intuitivement, c'est "hard".

La question que je me pose, est: à quoi ça cert alors, d'introduire la relation d'équipollence et la notion de "vecteur" ? Je ne dis pas qu'on ne peut pas le faire, mais à quoi bon ?

D'ailleurs, la façon dont c'est fait a un petit souci: le théorème 2 dit que la réflexivité est évidente, alors qu'elle ne marche pas avec la définition donnée: (a,b) R (a,b) si s. si ab // ab (OK) et aa // bb (??)
Et il y a aussi le souci qu'on m'avait reproché, avec le parallélogramme dégénéré (a, b, c, d colinéaires, alors, selon la définition, tout (a, b) R (c, d)).

N'est-il pas beaucoup plus simple de dire (a,b) R (c,d) si s. si : b - a = d - c ? Ou, si on veut: b + c = a + d ?

(mais alors, je répète, à quoi ça sert ?)

Il y a une analogie avec l'introduction de $\Z$ par (la même) équipollence sur $\N$: pour tout a, b, c, d en $\N$, on définit: (a,b) R (c,d) si s. si a + d = b + c, et ainsi $\N^2 / R = \Z$. Les entiers relatifs sont donc les "vecteurs" dans $\N$. Mais bon...



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Patrick123.
Re: Vecteur
le mois dernier
Citation
Foys
(oui c'est dur de montrer que
l'équipollence est transitive).

Je ne sais pas si c'est possible ou pas de façon "rigoureuse" chez Euclide ?
Re: Vecteur
le mois dernier
Ronan,

ne confondrais-tu pas "ce que je sais" avec "obligatoire" ? Le fait que tu saches que les points d'une parallèle à une droite (D) sont tous à la même distance de (D) n'implique pas le fait qu'on puisse définir des parallèles sans avoir de distance. Et la définition élémentaire est sans distance : "deux droites sont parallèles si elles n'ont aucun point commun(*)".
Si on définit la géométrie affine à deux dimensions, on a la notion de parallélisme, de milieu, éventuellement de secteur angulaire, mais pas de perpendicularité ni de distance. En rajoutant un repère cartésien formé de 3 points non alignés A, B et C, on définit (à l'aide de la géométrie euclidienne sur les droites, il faut bien que la distance apparaisse (**)) une notion de coordonnées, puis de distance et de perpendicularité pour laquelle (AB) est perpendiculaire à (AC), même si on n'y voit pas d'angle droit !!
En fait, toute la géométrie moderne, apparue au cours du dix-neuvième siècle, s'est construite contre "ce qu'on voit sur les figures), en essayant de comprendre quels axiomes sont cohérents entre eux et suffisent à traiter de questions de géométrie .. sans les parallèles, avec (et un axiome sur l'existence d'une, aucune ou plusieurs), avec la notion de distance, etc.

Cordialement.

(*) ou sont confondues; pour passer à une définition plus utile.
(**) ou bien avec une structure affine de la droite qui permet de comparer les vecteurs des axes
Re: Vecteur
le mois dernier
merci,
je crois comprendre que la définition de parallélisme induit celle de milieu sans nécessité de distance.
Cependant, bien que l'existence en soit assurée, (sous couvert d'axiome) peut-on construire une parallèle sans distance?
Re: Vecteur
le mois dernier
Bonjour.

Pour en revenir à la construction du milieu telle que proposée par Gerard0. La construction la plus souvent proposée de $M=\mu(A,B)$ est celle de Thalès. On suppose que l'on dispose d'un modèle $C,N,D$ tracé sur un calque, avec $N=\mu(C,D)$. On déplace alors ce modèle pour amener $C$ en $A$ tout en laissant $D$ en dehors de $(AB)$. La parallèle à $(BD)$ par $N$ recoupe $(AB)$ au point cherché. On peut aussi se donner $N$ et définir $D$ par $D\doteq \alpha(A,N)$. Mais cela revient à admettre que l'on sait déplacer $AN$ de façon rigide, c'est à dire avec $ND=AN$. Il se trouve cependant que faire cela revient plus ou moins à $D=N+\overrightarrow{AN}$, introduisant une boucle logique. La construction proposée par Patrick consiste à construire le modèle $C,N,D$ par combinaison de plusieurs quadrilatères à côtés parallèles, évitant la critique ci-dessus.

Il n'y a plus de risque de boucle logique dans la construction proposée par Gerard0, et pour cause: c'est la construction pure et dure du quatrième harmonique, construction projective s'il en est une (cf figure). Et cela aboutit à un intéressant exercice: démontrer au niveau collège que cette construction donne effectivement le milieu du segment.

Cordialement, Pierre.

Edit: la discussion ne portait pas sur la possibilité de construire le milieu, mais sur la façon d'utiliser cette construction pour en déduire la transitivité de l'équipollence.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pldx1.


Re: Vecteur
le mois dernier
@pldx1:

La construction "par Thalès" que j'avais proposée dans
[www.les-mathematiques.net]

ne commet pas cette erreur à priori, mais utilise le fait que, si on a un segment quelconque AC, alors on peut construire un segment AF qui est le "double" de AC, et dont C est le milieu, sans "déplacement de longueur" autre que parallèle.

Ceci se fait en construisant une droite (d) parallèle à AC, à choisir un point D librement sur cette droite, et d'utiliser un parallélogramme construit sur AC et D pour trouver le point E sur la droite d. Ainsi, la longueur de AC et de DE est la même, par pure utilisation de parallèles pour construire le parallélogramme ADEC.

En suite on ramène cette longueur de façon parallèle, par un autre parallélogramme, sur la droite AC, pour déterminer le point F sur AC. Ainsi, nous avons, par construction affine que la longueur AC = longueur DE = longueur CF sans devoir utiliser autre chose que des droites parallèles qui construisent des parallélogrammes.

Ceci nous donne donc, sur la droite AC, un segment AF dont C est le milieu.

Par Thalès, on peut alors ramener les proportions sur le segment AB du début.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Patrick123.
Re: Vecteur
le mois dernier
je reviens sur ma question, en essayant de la préciser:
comment (peux-t-on) tracer une parallèle sans utiliser la notion de distance, même cachée.
pas de compas, donc.
Faire glisser une règle sur une équerre (coté perpendiculaire ou non) utilise la notion d'angles correspondants, donc d'angles, non?
Re: Vecteur
le mois dernier
@Patrick123 : Je me suis compliqué la vie inutilement !
On peut tout faire avec le milieu d'un segment et ce n'est pas la mer à boire.

On pourrait continuer à faire mumuse en montrant que $\mathcal P$ est un $\mathbb R$-epace affine de direction $\mathcal B/\mathcal R$...
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - equipollence.pdf (35 KB)
Re: Vecteur
le mois dernier
@ ronan: on ne peut sans doute pas le "construire", on peut le "tester". Il ne faut pas nécessairement un algorithme qui s'arrête qui produit le résultat, pour qu'il existe.

Essentiellement, prolonge de plus en plus ta droite-candidate, et si elle ne coupe jamais l'autre, c'est qu'elle est parallèle grinning smiley sinon tu essaies de faire mieux.
Re: Vecteur
le mois dernier
@ gay-requin:

Oui, et (A,B) R (C,D) si s si milieu(A,D) = milieu(B,C)

qui est encore: (A + D) / 2 = (B + C) / 2

qui est encore: A + D = B + C

qui est encore: B - A = D - C

Donc (A,B) R (C,D) si s si B - A = D - C

Alors une classe d'équivalence [(A,B)] (un "vecteur") dans B/R est caractérisé par un unique point B - A de P.

Il y a un isomorphisme de vecteurs entre P et B/R: a [(A,B)] + b [(C,D)] = [(E,F)] si s si a (B - A) + b (D - C) = (F - E).

Donc à quoi sert B/R alors que c'est isomorphe à P ?

Je comprends l'exercice, mais l'utilité m'échappe... En quoi l'introduction de $\vec{AB}$ peut-elle être utile là où B - A ne le serait pas ?

Dans les "points géométriques" genre Euclide, on comprend: on ne pouvait pas additionner des points, ni les multiplier avec des scalaires. Le "vecteur géométrique" avait été inventé pour, justement, avoir un objet géométrique qui pouvait faire exactement cela: avoir une addition, et une multiplication scalaire.

Mais quand on part de $\R^2$, on l'a déjà car il y a des nombres dedans. Donc à quoi bon de fabriquer un objet qui peut avoir une somme et des multiplications scalaires et qui est pour le reste isomorphe aux points ?
Re: Vecteur
le mois dernier
@pldx1: je ne sais toujours pas si une preuve "formelle" Euclidienne existe pour la transitivité de l'équipollence, sans devoir "guider son intuition" par un dessin.

Comme j'ai dit déjà avant, dans des raisonnements de type Euclide, cela ne dérange pas, et on sait déjà que pour certains théorèmes officiels d'Euclide, il faut déjà le faire (le premier est déjà "cuit"). Donc cela ne m'a jamais "choqué".

J'utilise [mathcs.clarku.edu] comme ma "référence pratique" d'Euclide.

Euclide lui-même ne semble d'ailleurs pas s'inquiéter pour ce que tu reproches (reproche formellement justifié, j'en conviens):

[mathcs.clarku.edu]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Patrick123.
Re: Vecteur
le mois dernier
@ Ronan.

Il y a deux notions différentes.
(1) disposer d'une mesure algébrique sur chaque droite. On peut même supposer qu'elles soient synchronisées entre les droites d'un même faisceau de parallèles.
(2) disposer d'une méthode pour synchroniser les unités de longueur sur toutes les droites (et alors on perd la mesure algébrique).

Pour tracer des parallèles, on peut se passer de (2), c'est à dire du compas. A condition de disposer d'au moins une droite graduée. On transporte ces graduations par Thalès (et c'est compatible, encore Thalès). Cela donne (1).

Le (1) revient à se donner la droite de l'infini dans le plan projectif. Dit autrement: pour tracer des parallèles sur le tableau du peintre, on n'utilise pas de compas. Mais évidemment, il y a un algorithme explicite pour le faire, cela s'appelle la perspective.

Cordialement, Pierre.
Re: Vecteur
le mois dernier
Ronan,

"peut-on construire une parallèle sans distance? " Dans quel cadre ? En géométrie euclidienne, oui : avec deux perpendiculaires (construction à l'équerre). En géométrie projective, ou hyperbolique, pas de parallèles. Dans la géométrie de Lobachevski, il faut préciser quelle parallèle tu utilises. Dans le plan fini {A,B,C,D} dont les droites sont (AB), (CD), (AC), (BD), (AD), (BC) il y a trois couples de parallèles tout construits, et pas d'autres.

Enfin, une dernière remarque : La géométrie traite d'un plan dont on connait essentiellement les axiomes. Si les axiomes définissent l'existence de parallèles, elles existent, que tu saches les "construire" (*) ou non. On ne parle pas de dessin industriel.

Cordialement.

(*) quelle que soit la signification de ce mot.
Re: Vecteur
le mois dernier
@Patrick123 : Je vais essayer de te répondre.

Définir $\overrightarrow{AB}$ par les milieux permet de faire de la géométrie affine qui amène à Thalès, Pappus, Desargues, Ceva... où l'on manipule notamment les objets enfantins que sont les droites.
Se coltiner $B-A$ revient en fait à remplacer ces fichus vecteurs par des points à l'infini d'un espace projectif au-dessus de $\mathcal P=\mathbb R^2$ : c'est plus général mais c'est beaucoup moins enfantin !



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gai requin.
Re: Vecteur
le mois dernier
Patrick123,

Quand j'enseignais cela autrefois, la preuve était assez élémentaire avec le théorème du "segment des milieux" et la définition par le "même milieu".

Cordialement.
Re: Vecteur
le mois dernier
merci pour ces éclairages.
Re: Vecteur
il y a sept semaines
@ gai requin
"Se coltiner $B-A$ revient en fait à remplacer ces fichus vecteurs par des points à l'infini d'un espace projectif au-dessus de $\mathcal P=\mathbb R^2$ : c'est plus général mais c'est beaucoup moins enfantin !"

Lorsque $A$ et $B$ sont dans un espace affine, alors $B-A$ est exactement le résultat d'une soustraction: on prend les coordonnées des points et on les soustrait l'une après l'autre. Pour ce qui est d'un espace projectif privé de l'une de ses droites $\mathcal L _\infty$ (appelée droite de l'infini), on a: \[
\overrightarrow {AB}\doteq B/(\mathcal L _\infty \cdot B) - A/(\mathcal L _\infty \cdot A) \] Il est assez clair qu'il faut normaliser avant de soustraire, sinon cette différence n'est pas définie. On obtient alors: la direction d'un vecteur n'est autre que son projectifié. Quant au sens, c'est une notion insensée, qui revient en fait à "je regarde la figure et je mets un signe qui est peut-être le bon (et sinon, c'est l'autre)".

Cordialement, Pierre.
GG
Re: Vecteur
il y a sept semaines
Bonjour,
je viens de lire le fil en diagonale et j'y vois, si je puis me permettre, beaucoup de confusion.
Il y a essentiellement deux façons de définir le plan euclidien. L'algébrique : "Le plan euclidien est un R-espace affine de dimension 2 (dont l'ev associé est) muni d'un produit scalaire, et la géométrique sous forme d'une axiomatique dont l'une, particulièrement simple et concise, ne comporte que 8 axiomes, pas un de plus. (Si cela intéresse quelqu'un concerné par l'enseignement de la géométrie élémentaire, je pourrai(s) développer).

Bien entendu, le premier travail à accomplir (et dont les premiers développements devraient, à mon sens, constituer l'enseignement de la géométrie élémentaire) est de montrer l'équivalence logique de ces deux définitions, et leur caractère catégorique (unicité, à isomorphisme près, du plan euclidien). Ce faisant, on rend justice au magnifique aphorisme de la mathématicienne Sophie Germain : "L'algèbre n'est qu'une géométrie écrite, la géométrie n'est qu'une algébre figurée".

Si l'on s'attelle à cette tâche, on est amené à faire deux observations. Premièrement, à aucune moment, on est conduit à parler de vecteurs. Lorsque l'on part de l'axiomatique géométrique, les éléments de l'espace vectoriel que l'on construit ne sont autres que des isométries particulières, les translations du plan, et les appeler vecteurs ne fait pas avancer le schmilblick. Ensuite, si l'on tient vraiment à introduire les vecteurs comme classes de la relation d'équipollence TAB = TCD, et à définir plutôt cette relation en termes de direction, de sens, et de longueur, on peut, n'en déplaise à Foys et à pldx1, le faire parfaitement rigoureusement, mais cela requiert des considérations plutôt subtiles sur l'orientation d'une direction er demande un effort supplémentaire. Or le mot "effort" est un gros mot qui n'est plus à l'ordre du jour dans le nouveau monde ..
Re: Vecteur
il y a sept semaines
avatar
@GG
Il y a quelques années j'ai concocté une axiomatique
de la géométrie euclidienne en six axiomes, que voici.
(Je pourrais développer...)

PS.
Celle en 8 m'intéresserait !



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par soland.


GG
Re: Vecteur
il y a sept semaines
@soland, ça m'étonnerait que tes axiomes suffisent pour définir le plan euclidien. Le plan hyperbolique les vérifie aussi, non ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Vecteur
il y a sept semaines
@Pierre : Oui, on peut faire les calculs dans l'enveloppe vectorielle $\widehat{\mathcal P}$ du plan affine réel $\mathcal P$ qui est un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension $3$.
Plus précisément, si $A,B,C$ sont trois points non alignés de $\mathcal P$, alors $(A,B,C)$ est une base de $\widehat{\mathcal P}$ et pour tous réels $x,y,z$,$$xA+yB+zC\in\mathcal P\Leftrightarrow x+y+z=1.$$Or, pour tous points $M,N$ de $\mathcal P$, on a $M+\overrightarrow{MN}=N$ donc, dans $\widehat{\mathcal P}$,$$\overrightarrow{MN}=N-M.$$Et donc, par définition, les coordonnées barycentriques de $N$ et $M$ sont forcément normalisées dans cette égalité.

C'est peut-être plus simple de parler de milieu d'un segment aux enfants non ?
Dom
Re: Vecteur
il y a sept semaines
Comme GG je cherche où est caché le produit scalaire.
Dans (A4) et (A5) ?
Re: Vecteur
il y a sept semaines
@GaiRequin.

En version soulignée, est-ce plus clair ?

Lorsque $A$ et $B$ sont dans un espace affine, alors $B-A$ est exactement le résultat d'une soustraction: on prend les coordonnées des points et on les soustrait l'une après l'autre.

Pour ce qui est d'un espace projectif privé de l'une de ses droites $\mathcal L _\infty$ (appelée droite de l'infini), on a: \[
\overrightarrow {AB}\doteq B/(\mathcal L _\infty \cdot B) - A/(\mathcal L _\infty \cdot A) \] Il est assez clair qu'il faut normaliser avant de soustraire, sinon cette différence n'est pas définie. On obtient alors: la direction d'un vecteur n'est autre que son projectifié.


Quant à c'est plus "simple de parler de milieu d'un segment aux enfants", c'est d'autant plus vrai que c'est ce que je propose. Rappel de la méthode: pour obtienir les coordonnées du milieu d'un segment plongé dans le rantanplan, on ajoute et on divise par deux, sur le modèle $M=(A+B)/2$: le milieu se calcule par les moyennes.

On peut aussi dire: ne calculons jamais rien (=ne nous emmerdons pas à tenir compte des deux millénaires de progrès fait par la géométrie depuis Zeus-clide). Quant à utiliser $M=(A+B)/2=(C+D)/2$ pour en déduire $A-C=D-B$ (et lycée de Versailles)... est-ce vraiment si difficile et atrocement élitiste ?

Cordialement, Pierre.
Re: Vecteur
il y a sept semaines
Voyons Pierre, tu as bien vu que j'ai dit "Oui" au début de mon message précédent !

Et puisqu'on en parle, le complété projectif du plan affine $\mathcal P$, c'est $\mathbb P(\widehat{\mathcal P})$...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gai requin.
Re: Vecteur
il y a sept semaines
@ Dom: quand on a une métrique, on peut en définir un produit scalaire par "la règle du cosinus".

(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2 a.b

donc a.b = 1/2 { (a+b)^2 - a^2 - b^2 }

< a | b > = 1/2 ( |a + b|^2 - |a|^2 - |b|^2 )

edit: oops, merci nicolas.patois, erreur de signe.

La règle du cosinus vient en fait de (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2 a.b



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Patrick123.
Re: Vecteur
il y a sept semaines
avatar
Patrick123, c'est + tout en haut.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Vecteur
il y a sept semaines
avatar
@GG
Mots-clé pour google :

axiomatique géométrie distance

Tout est là, y compris l'équivalence avec celle de Hilbert.

[www.ems-ph.org] › journals › show_pdf

Je n'arrive pas à obtenir un lien fonctionnel.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par soland.
Dom
Re: Vecteur
il y a sept semaines
« Donc » tous les espaces métriques sont euclidiens ...
Re: Vecteur
il y a sept semaines
Citation
GG

Ensuite, si l'on tient
> vraiment à introduire les vecteurs comme classes
> de la relation d'équipollence TAB =
> TCD, et à définir plutôt cette
> relation en termes de direction, de sens, et de
> longueur, on peut, n'en déplaise à Foys et à
> pldx1, le faire parfaitement
> rigoureusement
, mais cela requiert des
> considérations plutôt subtiles sur l'orientation
> d'une direction er demande un effort
> supplémentaire.

Je n'en ai jamais vu. Cela dit, je n'ai jamais vu une géométrie axiomatique rigoureuse. J'en suis resté à Euclide, pour ensuite passer sur l'espace vectoriel $\R^2$. Euclide n'est pas formellement rigoureux, c'est à moitié "de la physique".

Mais c'est bon de savoir qu'il y ait une preuve formelle de la transitivité de l'équipollence, sans "devoir regarder le dessin". Je ne savais pas qu'elle existait.
Re: Vecteur
il y a sept semaines
@Dom, non il faut encore l'addition, et la bilinéarité n'est pas garantie. Mais c'est une façon de définir le produit scalaire si on a la distance...



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Patrick123.
GG
Re: Vecteur
il y a sept semaines
@Patrick123,

Cela dit, je n'ai jamais vu une géométrie axiomatique rigoureuse.

En voici une, du moins je l'espère !

On considère un ensemble $\Pi$ appelé plan euclidien dont les éléments sont appelés points et un ensemble de parties de $\Pi$ appelées droites, satisfaisant les axiomes suivants.

Axiomes d'incidence :

I1. Le plan contient au moins deux droites, et chaque droite au moins deux points.
I2. Par deux points distincts passe une droite et une seule.


Axiomes d'ordre :

Chaque droite est munie de deux relations d'ordre total opposées. Ces deux structures d'ordre sont introduites simultanément parce qu'il n'existe aucun choix naturel d'un ordre sur une droite.
Déf. de la droite orientée (droite munie d'un de ses deux ordres). On note $\Delta$AB la droite AB munie de son ordre tel que A < B,
de la demi-droite [AB (d'origine A et contenant B),
du segment [AB],
de l'axe (droite orientée munie d'une origine),

de la relation "Deux points sont du même côté d'une droite" ( [AB] $\cap $ a = $\varnothing$)

O1. Pour tout point O d'une droite orientée, il existe deux points X et Y de cette droite vérifiant X < O < Y.
O2. Pour toute droite a, la relation "A et B sont du même côté de a" est transitive.
(variante de l'axiome de Pasch).

Déf. du demi-plan de frontière a.

Axiomes métriques :

Le plan est muni d'une distance (d: $\Pi$ x $\Pi \rightarrow$ R+ telle que d(A, B) = 0 $\Leftrightarrow $ A = B, d(A, B) = d(B, A), d(A, C) $\leqslant$ d(A, B) + d(B, C) pour tous points A, B, C) vérifiant :

M1. d(A, C) = d(A, B) + d(B, C) $\Leftrightarrow$ C $\in$ [AB] pour tous points A, B, C.
M2. Pour toute demi-droite [OA et tout réel k $\geqslant $ 0, il existe un unique point X de [OA tel que d(O, X) = k.


Déf. d'une isométrie d'une partie A de $\Pi$ dans une partie B.
Le groupe des isométries du plan.

Axiome de la symétrie, dit "du pliage" :

S. Pour toute droite a, il existe une isométrie d'un demi-plan de frontière a dans l'autre qui laisse fixes les points de a.

Axiome des parallèles :

P. Pour tout point P et toute droite a, il passe par P au plus une parallèle à a

Ces 8 axiomes sont ceux de la géométrie euclidienne, les 7 premiers, ceux de la géométrie absolue, et complétés par $\neg$ P, ceux du plan hyperbolique.

Voilà, c'est tout.
Quelques étapes pour montrer que le plan euclidien ainsi défini satisfait à la définition algébrique (sans les preuves).

Existence et unicité d'un isomorphisme $\varphi$ (pour l'ordre) d'un axe d'origine O sur R vérifiant $\varphi$(O) = 0 et d(A, B) = | $\varphi$(B) - $\varphi$(A) | pour tous points A et B de l'axe.
Déf. de l'abscisse.
Existence et unicité du milieu d'un segment.

Existence et unicité de la symétrie axiale.
Déf. de la perpendiculaire (droite invariante par symétrie par rapport à une droite distincte).
Existence et unicité de la perpendiculaire par un point.
Existence de la parallèle.

Déf. de la symétrie centrale ou demi-tour (produit de deux symétries autour de deux droites perpendiculaires).
Existence et unicité du demi-tour CAB amenant A sur B.
Déf. de la translation (produit de deux symétries autour de deux droites parallèles).
Coïncidence des translations et des produits de demi-tours.
Existence et unicité de la translation TAB amenant A sur B.

Les translations forment un sous-groupe abélien du groupe de isométries du plan.

Règle du parallélogramme : TAB = TCD $\Leftrightarrow$ [AD] et [BC] ont mêmes milieux $\Leftrightarrow$ TAC = TBD

Déf. du produit d'une translation par un réel k (k TAB (pour A $\neq$ B), c'est la translation TAC où C est le point de l'axe AB d'origine A, et d'abscisse k fois celle de B. C est indépendant de l'orientation de l'axe, et la définition de la translation est indépendante du choix de A).

Les translations forment un R-espace vectoriel dont le groupe opère (canoniquement) simplement transitivement par A + t = t(A). Le plan est donc un R-espace affine.
Etc.

Mais c'est bon de savoir qu'il y ait une preuve formelle de la transitivité de l'équipollence, sans "devoir regarder le dessin".

Si tu définis l'équipollence par "[AD] et [BC] ont mêmes milieux", par la règle du parallélogramme, elle est équivalente à TAB = TCD, et donc trivialement transitive. Si tu veux la définir à l'aide de la direction, du sens et de la longueur des bipoints, je ferai un autre message.
Dom
Re: Vecteur
il y a sept semaines
C’est bien ce que je pense.
Dans le document on ne parle pas d’addition.
Re: Vecteur
il y a sept semaines
avatar
@Dom
Evidemment ce sont les trois derniers axiomes
qui mènent au plan euclidien.
Re: Vecteur
il y a sept semaines
Citation
Patrick123
Je n'en ai jamais vu. Cela dit, je n'ai jamais vu une géométrie axiomatique rigoureuse.
A nouveau, dans "Geometric algebra" d'Emil Artin, il y a une construction complète et très lisible d'une structure d'espace affine sur un plan satisfaisant uniquement des axiomes d'incidences intuitifs (incluant la propriété de Desargues qui est prouvable et intuitive lorsque le plan est plongé dans l'espace bien qu'il y ait des contre-exemples dans le cas général).

Il y a également d'autres axiomatiques modernes (Hilbert; Birkhoff; Tarski) pour la géométrie du plan.
Re: Vecteur
il y a sept semaines
@GG
Je serais curieux de voir comment ton axiomatique permet de prouver l'existence d'un triangle équilatéral.
Il est très facile de construire une géométrie affine sur $\Q^2$.
Mais pour avoir une géométrie euclidienne cad une distance, il faut avoir au moins un corps stable par racine carrée.
GG
Re: Vecteur
il y a sept semaines
@verdurin, l'axiome M2 introduit une bijection entre une demi-droite et R+. Sur la perpendiculaire à une droite AB menée par par le milieu M de [AB] (la médiatrice de [AB]), il y a donc un (deux) point C tel que MC = $\sqrt{3}$ AM ..



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par GG.
Re: Vecteur
il y a six semaines
@Foys, Artin, je l'ai reçu et je suis en train de le lire... Je m'attendais à quelque chose d'indigeste, mais ça se lit bien (au moins, au début...).

@GG c'est bien, mais en fait, toute référence à $\R$ gâche un peu (M1 et M2 donc) l'idée non ?

Car si on a $\R$, on ne se fait pas mal, on travaille dans $\R^2$, non ?
GG
Re: Vecteur
il y a six semaines
@Patrick123,
j'ai cru comprendre que ce fil, introduit par une question sur les vecteurs, avait pour cadre la géométrie élémentaire.
En 1964, le mathématicien Gustave Choquet a publié un livre "L'enseignement de la géométrie" dont voici quelques extraits (qui témoignent, soit dit en passant, de l'abîme qui sépare cette époque de la nôtre) :
"Il y a maintenant un accord assez unanime, dans tous les pays, sur les deux principes suivants:
1) Pour les jeunes enfants, l'enseignement de la géométrie ne peut être déductif. Ce doit être un enseignement basé sur l'observation; son but est l'élaboration des concepts fondamentaux à partir de l'expérience.
2) Pour le mathématicien, la façon la plus élégante, la plus profonde, la plus rapide, est de définir la plan (ou l'espace) comme un espace vectoriel (affine) sur R, à (ou trois) dimensions, muni d'un produit scalaire.
De nombreux professeurs de l'enseignement du second degré témoignent, par leur expérience, que cette définition peut être déjà utilisée avec grand profit par des élèves de 17 ans (classe terminale des lycées) ayant étudié antérieurement le produit scalaire. Cette méthode permet dans cette classe une économie de la pensée considérable, (...)
Le problème est moins simple aux âges intermédiaires, disons entre 13 et 16 ans. L'enfant commence à comprendre ce qu'est une démonstration; chez certains s'éveille une véritable soif de logique, indiquant que le temps est venu d'aborder sérieusement le raisonnement déductif. On va donc faire établir par l'enfant des morceaux de raisonnement déductif, en prenant soin de lui faire toujours préciser ses prémisses.
Il est donc indispensable que le maître de ces enfants dispose d'une axiomatique sous-jacente complète. Diverses expériences ont d'ailleurs montré le goût que manifestent certains enfants, pour une axiomatique précise; pour ceux-ci les mathématiques apparaissent comme un jeu aux règles strictes, et ils ont une grande joie à jouer correctement ce jeu. Il nous faut donc trouver une axiomatique
simple (il n'est pas désirable de prendre au départ de très nombreux axiomes: le jeu mathématique basé sur trop de règles devient complexe et prend une allure de fragilité et d'incertitude), aux axiomes forts, c'est-à-dire donnant très vite accès à des théorèmes non évidents, et intuitifs, c'est-à-dire traduisant des propriétés de l'espace qui nous entoure faciles à vérifier.
Il est bien établi que "l'axiomatique" d'Euclide ne répond plus à nos exigences logiques; (...)
On sait qu'Hilbert a élagué et complété l'axiomatique d'Euclide, pour en faire un système logiquement satisfaisant; sa préoccupation essentielle n'était pas l'enseignement élémentaire; (...)


Le rôle des nombres en géométrie

Les Grecs n'ont longtemps connu que les nombres rationnels et même après leur découverte mémorable de l'irrationalité de $\sqrt{2}$, ils n'ont pas su dégager la notion générale de nombre; celle-ci est restée pour eux liée à la géométrie. Les continuateurs d'Euclide ont tenté de perfectionner son oeuvre en mettant au point un "calcul segmentaire" qui permet de retrouver, mais bien péniblement, la structure de corps de l'ensemble des nombres à partir de la géométrie plane. Nous ne devons à aucun prix tomber dans cette erreur. Le plus tôt possible l'enfant doit concevoir l'ensemble R des nombres comme un corps commutatif totalement ordonné: autrement dit, il doit prendre conscience que lorsqu'il calcule, il n'utilise de l'addition et de la multiplication qu'un petit nombre de propriétés, celles que les mathématiciens appelent axiomes des corps commutatifs totalement ordonnés.
Plus tard, selon les besoins, il utilisera l'axiome d'Archimède, ou l'axiome plus fort de la borne supérieure."


Voilà qui répond, je pense mieux que je n'aurais pu l'écrire moi-même, à ton objection sur la référence à R.
L'axiomatique que j'ai indiquée, qui n'est d'ailleurs qu'une des options proposées par Choquet avec quelques modifications mineures de mon cru, répond à cette triple exigence de simplicité, de force et d'intuition des axiomes. Ce n'est ni le cas de celle s'appuyant sur le déterminant et proposée par soland, ni de celle d'Hilbert. Quant à "L'algèbre géométrique" d'Artin, je doute qu'il puisse être utilisé comme manuel pour l'enseignement de la géométrie élémentaire.

Tu proposes à la place de définir le plan par R2. Je serai(s) alors curieux de voir ta démonstration d'une proposition "qui se voit sur la figure" et qui est une conséquence (relativement) simple des premiers 4 axiomes I1, I2, O1, O2 que je propose : Un quadrilatère simple possède au moins une diagonale (droite reliant deux sommets opposés) passant entre les deux autres sommets.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par GG.
Re: Vecteur
il y a six semaines
Citation
GG
> j'ai cru comprendre que ce fil, introduit par une
> question sur les vecteurs, avait pour cadre la
> géométrie élémentaire.

==> oui, c'est ce que j'avais aussi compris. Sinon la notation $\vec{AB}$ n'a pas beaucoup de sens (au moins, au niveau du secondaire).

Citation

> "Il y a maintenant un accord assez unanime,
> dans tous les pays, sur les deux principes
> suivants:
> 1) Pour les jeunes enfants, l'enseignement de la
> géométrie ne peut être déductif. Ce doit être
> un enseignement basé sur l'observation; son but
> est l'élaboration des concepts fondamentaux à
> partir de l'expérience.
> 2) Pour le mathématicien, la façon la plus
> élégante, la plus profonde, la plus rapide, est
> de définir la plan (ou l'espace) comme un espace
> vectoriel (affine) sur R, à (ou trois)
> dimensions, muni d'un produit scalaire.

Oui, tout à fait. Mais (sauf pour des choses très sophistiquées) il n'y a pas lieu de définir $\vec{AB}$ dans $\R^2$, car les éléments mêmes sont déjà des vecteurs.

Citation

> De nombreux professeurs de l'enseignement du
> second degré témoignent, par leur expérience,
> que cette définition peut être déjà utilisée
> avec grand profit par des élèves de 17 ans
> (classe terminale des lycées) ayant étudié
> antérieurement le produit scalaire. Cette
> méthode permet dans cette classe une économie de
> la pensée considérable, (...)

Oui, à un détail près. Il faut justement faire une certaine acrobatie en $\R^2$ pour "oublier" la base canonique. (2,3) est un élément de $\R^2$, et aller l'exprimer comme (2,-1) car 2*(1,1) - 1*(0,1). On peut donc introduire des notions non-euclidiennes comme "rectangle horizontal" très facilement.

Citation

> Le problème est moins simple aux âges
> intermédiaires, disons entre 13 et 16 ans.
> L'enfant commence à comprendre ce qu'est une
> démonstration; chez certains s'éveille une
> véritable soif de logique, indiquant que le temps
> est venu d'aborder sérieusement le raisonnement
> déductif.

Oui. C'est là qu'un truc comme Euclide n'est pas mauvais.

Citation

> pour ceux-ci les
> mathématiques apparaissent comme un jeu aux
> règles strictes, et ils ont une grande joie à
> jouer correctement ce jeu.

Euclide est parfait pour montrer comment on joue *presque* correctement, pour montrer qu'il y avaient des erreurs formelles (mais pas des erreurs "logiques", seulement des vérités supplémentaires qui ne faisaient pas partie officiellement des axiomes, mais qui sont cependant "acceptables" comme axiomes supplémentaires).

Citation

> il n'est
> pas désirable de prendre au départ de très
> nombreux axiomes: le jeu mathématique basé sur
> trop de règles devient complexe et prend une
> allure de fragilité et d'incertitude),

En fait, je ne suis pas d'accord avec cela. Ça, c'est une obsession de mathématicien, mais qui ne sert à rien, d'avoir un jeu le plus petit possible d'axiomes. La seule chose qu'on veut d'un jeu d'axiomes, c'est qu'ils soient "évidents" et "non-contradictoires". C'est un désir supplémentaire "de mathématicien" d'être le plus sobre possible - on comprend pourquoi: cela diminue les chances d'avoir un système incohérent.

Mais la géométrie d'Euclide est à moitié de la physique. C'est la théorie mathématique derrière des idéalisations *physiques* de dessins sur feuille blanche. On fait 100% confiance à un dessin particulier. En fait, un théorème "Euclidien" pourrait tout à fait être falsifié par un vrai dessin (1 seul) qui le contredit, quand on ne joue pas sur les idéalisations (comme l'épaisseur d'une ligne).

Alors, des choses qui sont parfaitement *expérimentalement* évidentes par dessin, sont aussi bien des "axiomes".

Dans la première proposition d'Euclide, du livre I, il ne peut pas déduire que les deux cercles qu'il a construit, se coupent. Il a été trop frugal avec ses axiomes. Mais le dessin ne laisse aucun doute. Alors, dire que, si on ajoute comme axiome, que dans cette configuration de deux cercles, on obtient un point (et même deux) d'intersection, ce n'est pas une erreur "logique". C'est une erreur formelle/axiomatique, mais cela n'invalide pas la démonstration.

Personne ne doute un seul instant que ces deux cercles se coupent. C'est impossible de s'imaginer que ces deux cercles ne se coupent pas, pas plus que de s'imaginer qu'on ne peut pas tracer une droite quand on a deux points. Ça se vaut comme "vérité". Et on n'en doute pas, justement, parce que la géométrie est une théorie physique en partie. ON ne peut pas décréter ce qu'on veut, il faut que cela corresponde à la réalité physique de la feuille blanche et du crayon.

*expliquer* cela, et "trouver des erreurs chez le grand monsieur Euclide" est sans doute aussi excitant et intéressant pour l'élève qui veut apprendre à raisonner que d'apprendre un système tout lisse.


Citation

> axiomes forts, c'est-à-dire donnant très
> vite accès à des théorèmes non évidents,
> et
intuitifs, c'est-à-dire traduisant des
> propriétés de l'espace qui nous entoure faciles
> à vérifier.

Je n'en connais pas, en fait. Car il faut quand-même axiomatiser $\R$. Et ça, ce n'est pas si "intuitif" que cela, et demande quand-même pas mal de travail.

Citation

> Il est bien établi que "l'axiomatique" d'Euclide
> ne répond plus à nos exigences logiques; (...)
> On sait qu'Hilbert a élagué et complété
> l'axiomatique d'Euclide, pour en faire un système
> logiquement satisfaisant; sa préoccupation
> essentielle n'était pas l'enseignement
> élémentaire; (...)

==> Oui, c'est trop dur.

Citation

> Les Grecs n'ont longtemps connu que les nombres
> rationnels et même après leur découverte
> mémorable de l'irrationalité de $\sqrt{2}$, ils
> n'ont pas su dégager la notion générale de
> nombre; celle-ci est restée pour eux liée à la
> géométrie. Les continuateurs d'Euclide ont
> tenté de perfectionner son oeuvre en mettant au
> point un "calcul segmentaire" qui permet de
> retrouver, mais bien péniblement, la structure de
> corps de l'ensemble des nombres à partir de la
> géométrie plane. Nous ne devons à aucun prix
> tomber dans cette erreur. Le plus tôt possible
> l'enfant doit concevoir l'ensemble R des nombres
> comme un corps commutatif totalement ordonné:

Ce qui est difficile, c'est qu'il doit aussi être "complet". Sinon, $\Q$ fait l'affaire. Et on rentre dans des considérations subtiles quand il faut "compléter" $\Q$.

Ce n'est, dans le programme actuel, d'ailleurs, jamais fait, et la notion intuitive de $\R$ reste géométrique: c'est "l'axe des nombres", donc la droite d'Euclide.

Citation

> Plus tard, selon les besoins, il utilisera
> l'axiome d'Archimède, ou l'axiome plus fort de la
> borne supérieure."

Ce n'est pas simple, ça. D'ailleurs, je préfère la convergence de suites de Cauchy, plus abordables pour moi, intuitivement.

Donc on va de toute façon avoir une "axiomatique" lourde avec des notions difficilement abordables quand on veut commencer à apprendre à raisonner.

Citation

> Voilà qui répond, je pense mieux que je n'aurais
> pu l'écrire moi-même, à ton objection sur la
> référence à R.

Je n'ai bien sûr pas d'objection à $\R$. Je dis que, quand on veut faire de la géométrie "axiomatique" du style Euclide "mais sans tricher", alors, introduire quelque part $\R$ est bizarre, car il vaut alors mieux simplement utiliser $\R^2$. Tout est déjà prêt. Quand on peut parler de $\R$, on peut alors aussi facilement considérer des couples de nombres réels. Il n'y a plus lieu de faire de l'axiomatique supplémentaire "élémentaire", et ce n'est pas élémentaire.

Et si on n'utilise pas $\R$, ça va être dur comme premier abord si on veut être rigoureux. Et si on se permet une notion intuitive de $\R$, on peut accepter aussi quelques intuitions avec l'Euclide original.

Citation

> Tu proposes à la place de définir le plan par
> R2. Je serai(s) alors curieux de voir
> ta démonstration d'une proposition "qui se voit
> sur la figure" et qui est une conséquence
> (relativement) simple des premiers 4 axiomes
> I1, I2, O1,
> O2 que je propose : Un quadrilatère
> simple possède au moins une diagonale (droite
> reliant deux sommets opposés) passant entre les
> deux autres sommets.

Quand tu me donnes ta définition de quadrilatère *simple* on en reparlera.

Mais je vois cela autrement: tes axiomes sont facilement prouvées dans $\R^2$ comme théorèmes (avec les bonnes définitions des notions géométriques) je pense. Alors, toute démonstration que tu peux faire dans ton système axiomatique, on peut le faire aussi quand on a prouvé ces théorèmes.

O1: je suppose qu'on peut facilement avoir une représentation paramétrique d'une droite:
x = a t + b
y = c t + d

Alors l'ordre en t donne un ordre sur la droite.

O2: on prend "du même coté" comme "du même signe" de (a x + by + c) qui définit la droite.

Alors tout ce que tu vas démontrer avec ces axiomes, je peux le faire aussi de la même façon, non ?
GG
Re: Vecteur
il y a six semaines
Un quadrilatère est simple lorsque ses côtés opposés ne se rencontrent pas.
Oui, très bien, cela confirme qu'il pourrait être utile de connaître ces axiomes (qui sont des théorèmes avec la définition algébrique du plan) avant de se lancer dans des calculs fastidieux comme on pourrait être tenté de le faire !
Cela dit, j'attends quand même la preuve smiling smiley



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par GG.
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