Épreuves indépendantes

C'est peut-être parce que bulledesavon se demande comment présenter ces contenus à sa classe.

La notion d'indépendance de variables aléatoires en maths est problématique (indépendamment de problèmes de pédagogie).
Soient $(E,\mathcal A)$ un espace mesurable (i.e. muni d'une sigma algèbre). Une information (ou plutôt le manque d'information) sur un objet (inconnu) $x$ appartenant à $E$ est modélisée habituellement par une mesure positive $P_x$ sur $(E,\mathcal A)$ telle que $P_x(E)=1$, dite "probabilité" et exprimant la plausibilité que le dit objet soit dans telle ou telle partie de $E$.
D'ailleurs le sujet principal du discours probabiliste est cette mesure elle-même et non $x$ (une fois que vous savez tout sur $x$ ça n'a plus aucun sens de parler de proba; c'est pour ça que les joueurs de poker/backgammon malheureux ne retiennent pas l'attention avec leurs jérémiades à base de "c'est injuste/truqué, ces suites de mains n'avaient que 0.1% de chance d'apparaître": le discours probabiliste ne s'applique pas au passé déterminé).

Si $(E,\mathcal A)$ et $(F,\mathcal $ contiennent des "objets inconnus" $x,y$ et que l'on considère que (la plausibilité de) l'appartenance éventuelle de $x$ à une partie (mesurable) quelconque de $E$ n'est pas affectée par ce qui arrive à $y$, on choisit de représenter l'information manquante sur le couple $(x,y)$ par un produit de mesures (et on parle "d'indépendance mathématique"). Autrement dit pour tous $U\in \mathcal A$ et $V\in \mathcal B$, $P_{x,y} (U \times V)=P_x(U)\times P_y(V)$.

Cependant on peut exhiber des cardes assez simples où ce choix est justifié (je ferai un autre post je pense).

Je crois que le problème que tu vas rencontrer, c'est le produit cartésien d’événements, qui est sans doute inconnu, sauf si ce concept a été vu. On peut le contourner en définissant tout de suite l'univers comme décrivant la double épreuve (qui est donc, sans le dire, le produit cartésien des univers de chaque épreuve). On peut alors parler des "événements liés à l'épreuve 1 quel que soient les résultats de l'épreuve 2" et "les événements liés à l'épreuve 2 quel que soient les résultats de l'épreuve 1". (on définit donc, sans l'écrire, $U = U_1 \times \Omega_2$ un événement du type I et $V = \Omega_1 \times V_2$ du type II ). Alors, on dit que l'épreuve 1 est indépendante de l'épreuve 2, si pour tout événement de type I U, et pour tout événement de type II V, on a: $P(U \cap V) = P(U) P(V)$.

C'est alors une généralisation de la notion d'événements indépendants: on dit que l'épreuve 1 est indépendante de l'épreuve 2, si tous les événements type I (donc associés à l'épreuve 1 uniquement) sont indépendants de tous les événements de type II.

C'est encore un exercice du genre "l'art de ne pas utiliser les bons mots et de le dire quand-même" :-D

Mais l'idée derrière est bien sûr qu'une probabilité, c'est une façon de décrire ce qu'on ne sait pas. Deux épreuves sont alors indépendantes, si le fait ou non de connaître quelque chose concernant le résultat de l'épreuve 1 ne change pas du tout notre ignorance concernant les résultats de l'épreuve 2 et vice versa. Ce qu'on apprend du résultat de l'épreuve 1, ne nous apprend strictement rien sur les résultats de l'épreuve 2, et vice versa.

@ bulledesavon:

Si $U = U_1 \times \Omega_2$ et $V = \Omega_1 \times V_2$, et on assume bien sûr que $U_1 \subset \Omega_1$ et $V_2 \subset \Omega_2$, alors $U \cap V = U_1 \times V_2$.

Car si (a,b) appartient à U, a appartient à $U_1$ et b appartient à $\Omega_2$.
Si (a,b) appartient à V, a appartient à $\Omega_1$ et b appartient à $V_2$

Si (a,b) appartient à $U \cap V$, alors a appartient à $U_1$ et b à $V_2$ et donc (a,b) appartient à $U_1 \times V_2$.

Si (a,b) appartient à $U_1 \times V_2$ alors (a,b) appartient aussi bien à U que à V et donc à leur intersection.

Si $P(U \cap V) = P(U) P(V)$, alors on dit que les événements U et V sont indépendants par définition d'indépendance d'événements.

On peut maintenant, c'est la question du fil, introduire la définition de l'indépendance des épreuves. Ta définition était bonne, mais elle utilisait le produit cartésien. J'ai proposé une façon de le dire sans utiliser le produit cartésien explicitement, et j'ai montré que c'était équivalent.

Bonjour Bulledesavon.

Il m'est arrivé (en BTS "textile" je crois), de faire cela "avec les mains" : On définit les probas conditionnelles, d'abord sur un univers fini avec équiprobabilité (on change de loi de probabilité quand on calcule P(B/A) puisqu'en fait, on ne s'intéresse plus qu'à ce qui se passe dans A, d'où la formule), et on généralise (par extension, on définira P(B/A) par la formule ..). Puis l'idée intuitive de "indépendante" donne P(B/A)=P(B) et la définition de l'indépendance, qu'on écrit "en ligne" pour pouvoir accepter le cas P(A)=0.
Enfin, je ne définissais pas "épreuves indépendantes", mais c'était en fait implicite que les événements de la première épreuve étaient indépendants de ceux de la deuxième.

Faut-il vraiment creuser plus en première ? Si tu n'es pas dans un grand lycée parisien ou de grande ville de province où on ne fait jamais le programme, ce n'est pas utile, tu perdras du temps sans bénéfice pour les élèves. Ils auront bien le temps de voir l'axiomatique des probas dans le supérieur. Et auront une bonne idée des principales difficultés des notions de base (genre différence entre P(A/B) et P(A et ).

Cordialement.

@philou22: oui, mais ce que tu donnes, ce sont des événements indépendants. Alors qu'ici, on veut parler d'épreuves indépendantes.

Oui, mais une épreuve représente beaucoup d'événements.

Une épreuve, c'est : je jette un dé. Un événement, c'est "le résultat de cette épreuve est un nombre pair". Un autre événement est "le résultat de cette épreuve est plus petit que 4". Etc...