La preuve par 9
Alors là !
Je fais faire des opérations posées à mon cadet qui est en CM1, et la plus grosse difficulté est "l'écriture cochon": toutes ses erreurs viennent de mauvais alignement/mauvais positionnement des retenues etc... Il n'y a pas de problèmes de compréhension, mais d'écriture systématique et propre, surtout quand on fait des opérations sur des "très grands nombres" du style 7 ou 8 chiffres.
J'insiste qu'il puisse vérifier de lui-même que son résultat soit correct (ou a des chances d'être correct). Refaire l'opération est laborieux, et on double la chance d'erreur finalement. Je lui ai donc appris "la preuve par 9". Il l'avait bien compris, et ça l'aide bien à savoir s'il faut essayer de trouver une erreur ou pas.
Il a dû le faire à l'école sans doute aussi. Et hier, il m'a dit que sa maîtresse n'en avait jamais entendu parler, et ne connaissait pas ::o
Je fais faire des opérations posées à mon cadet qui est en CM1, et la plus grosse difficulté est "l'écriture cochon": toutes ses erreurs viennent de mauvais alignement/mauvais positionnement des retenues etc... Il n'y a pas de problèmes de compréhension, mais d'écriture systématique et propre, surtout quand on fait des opérations sur des "très grands nombres" du style 7 ou 8 chiffres.
J'insiste qu'il puisse vérifier de lui-même que son résultat soit correct (ou a des chances d'être correct). Refaire l'opération est laborieux, et on double la chance d'erreur finalement. Je lui ai donc appris "la preuve par 9". Il l'avait bien compris, et ça l'aide bien à savoir s'il faut essayer de trouver une erreur ou pas.
Il a dû le faire à l'école sans doute aussi. Et hier, il m'a dit que sa maîtresse n'en avait jamais entendu parler, et ne connaissait pas ::o
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Réponses
Combinés, les deux tests détectent 99% des erreurs.
Moi non plus je ne connaissais pas la preuve par 9 jusqu'à aujourd'hui (ni par 11). On ne me l'avait jamais apprise.
La preuve par 9, par contre, je la faisais quand j'avais des 6èmes. La plupart n'en avait jamais entendu parler. L'instit de mes enfants non plus. Et je crois que beaucoup de collègues n'en ont pas entendu parler non plus.
Ceci dit, la preuve de cette preuve par 9 peut difficilement se faire avant la terminale.
Une démonstration niveau 4e est faisable.
Pour la preuve par 11, elle marche comment, elle donne aussi le reste de la division euclidienne ?
-- Schnoebelen, Philippe
De plus pour trouver $a'$, on calcule $S(S(\cdots(S(a))\cdots))$ où $S(a)$ est la somme des chiffres de $a$.
Tout cela est difficilement démontrable sans connaître la notion de congruence.
Pour un enfant de CM1 qui fait beaucoup d'erreurs de calculs, je suggère de s'entraîner sur des multiplications de deux nombres compris entre $11$ et $99$, et de vérifier l'opération en la refaisant dans l'autre sens. Ca n'a pas d'intérêt de calculer des nombres tels que $4876278\times 184$, la probabilité d'erreur est telle que ça devient décourageant.
En effet, se tromper dans une vérification fout tout en l’air.
Remarque : cette méthode fonctionne avec les nombres décimaux non entiers mais ne détecte pas l’erreur de décalage de la virgule. C’est donc « dangereux ».
Au siècle dernier, la preuve par 9 était enseignée partout en primaire (les instituteurs voyaient son origine à l'école normale d'instituteurs), sans justification; mais aussi avec ses limites. Je l'ai aussi utilisée pour tester la multiplication 13x7 = 28 (obtenue en ne faisant pas le décalage donc 3x7 = 21, 1x7=7 21+7=28) que je vérifiais aussi par addition et division (fausses).
Sa disparition est sans doute liée à l'idée qu'on ne doit pas enseigner ce qu'on ne peut prouver, idée fréquente en maths, mais dont on voit l'inanité si on l'applique par exemple à la géographie.
Cordialement.
1274
x 366
.....
466284
$\qquad$ 5
3$\qquad$$\qquad$ 3
$\qquad$ 6
où 5 est le résidu de 1274,
6 celui de 366,
3 gauche celui de 466284
3 droite celui de 5 x 6
Une grande croix de St. André séparait
les nombres de la preuve.
Pourquoi aller chercher une croix d’ailleurs ?!
Je trouve que ça complique car les dispositions des nombres ne sont pas intuitives.
Le gamin risquera de bien faire le travail sauf de disposer bien les nombres.
la croix ne posait aucun problème aux enfants de 8 ans de 1950, en campagne comme en ville. Comme ils apprenaient leurs leçons (pour 80% d'entre eux, voire 95% dans les bons endroits), il savaient leurs tables, savaient poser les multiplications, et savaient écrire la "preuve par neuf".
On ne parlait pas de résidus, mais de somme des chiffres (éventuellement recommencée), à laquelle on enlevait des 9.
Bien évidemment, au siècle de la calculette, on n'a plus autant besoin de savoir poser les multiplications et de les vérifier.
Cordialement.
Sinon, comme tout s’apprend, on peut inventer n’importe quoi et le faire apprendre, oui, c’est vrai.
Écrire les chiffres correspondants aux congruences en face de chaque nombre n’est-il pas plus simple ?
La disposition en croix date du dix-neuvième siècle, et n'est pas plus compliquée que celle-ci (enfin ... n'était, à l'époque où on savait tracer des traits à la règle, dont 2 pour une multiplication. Et on prenait le temps de le faire.
Je ne sais plus que adulte m’avait montré ça.
Il avait tâtonné « heu... comment c’est déjà...? heu...mettre le nombre ici...non...y’a ah oui c’est là... »
Ça reste du détail.
Plus tard (collège), on faisait ça au brouillon, à toute vitesse.
Évidemment on ne la démontrait pas, mais on apprenait bien ses limites.
En revanche je n’avais pas appris la preuve par 11, juste « comment multiplier par 11 un nombre à deux chiffres », ce qui n’est pas très loin du critère de divisibilité par 11, ni pensé à l’appliquer à la division euclidienne.
Si j’ai un peu de temps, peut-être que je la montrerai à mon groupe de spé maths.
Je me souviens que c'était "martelé" dans le temps: à chaque opération posée il fallait toujours ajouter la preuve du neuf, sinon c'était "comme une phrase écrite qu'on n'avait pas relue".
C'est pourtant pratique, rapide et facile (à appliquer).
@gerard0: effectivement, on ne détecte pas des "décalages", ni dans les multiplications, ni quand on a écrit les retenues dans la mauvaise colonne. Ce n'est pas un outil pour prouver le bon résultat. C'est un détecteur de certaines erreurs.
C.à.d. si cette preuve ne marche pas, c'est sûr qu'il y ait une erreur. Si elle marche, on ne peut pas savoir.
@Dom: oui, je lui ai montré aussi comme tu le fais, à coté. Ça me paraît aussi plus "évident" comme ça. Mais bon, c'est l'idée qui compte, pas l'écriture.
(tu)
la preuve par neuf sert aussi à vérifier les divisions euclidiennes (je ne l'ai jamais utilisée pour les additions et soustractions).
Sa démonstration était accessible en 5ème à mon époque (années 70).
En revanche bien sûr ce n'est qu'un test, pas une "preuve".
Elle est très utile pour contrôler les calculs à la main (encore faut-il que l'on en fasse)
Elle se fait en organisant les nombres autour d'une grande croix.
Je n'avais jamais entendu parler de preuve par 11.
preuve par 11
Cordialement
De mon temps je l'avais apprise mais objectivement ça ne m'a jamais servi.
Si j'ai besoin de calculer $337\times 619$ je prends ma calculette et j’espère ne pas faire de faute de frappe.
Au mauvais vieux temps du calcul manuel, j'aurais vérifié le résultat modulo 9.
[size=x-small]Ah ben on a eu un peu la même idée au même moment.[/size]
337x600 + 337x20 -337 = 202200 + 6740 - 337 = 208603 aujourd'hui c'est la méthode Singapour CM1
Ce qui ne me semble pas super, outre qu'on ne s'en sert jamais, c'est que la démo propre est hors d'atteinte des enfants à qui on l'enseigne, et que ce n'est qu'une condition nécessaire qui n'est donc pas fiable.
La bonne vérif. ce serait : 350x600 en ordre de grandeur mentalement c'est rapide parce que d'expérience les enfants se trompent fréquemment dans l'ordre de grandeur, et c'est encore plus fréquent avec les décimaux (et l'erreur est largement majoritaire au collège pour les divisions avec des décimaux qui ne sont plus enseignées au primaire).
4876278x200 - 4876278x20 +2x24876278
Un enfant qui est bien structuré ("unités" "dizaine" etc pour le calcul en ligne) ne se trompe pas et la vérification est éventuellement dans la redondance de l'opération X 2
Après au delà de 3 chiffres l'intérêt pédagogique n'est pas patent, c'est plutôt une histoire de confiance en soi de l'avoir fait juste : l'enfant sait qu'il peut calculer même sur des grands nombres s'il a un peu de méthode et du temps.
Et puis ça arrive à tout le monde un jour de ne pas avoir de calculette sous la main et de devoir ce taper quelques calculs de la sorte.
Il vaut mieux faire 10 multiplications simples avec une probabilité de réussite de 80% que 2 multiplications compliquées avec une probabilité de réussite de 20%.
Les « grosses » multiplications sont plutôt à présenter comme des défis dans les petites classes.
Par contre appliquer sans cesse ces critères (par 9/par 11) à des petites multiplications développé simplement le calcul mental.
Une bonne idée.
1) être un entraînement "en situation" des tables et du calcul mental sur petits nombres (il faut faire beaucoup d'additions, soustractions, multiplications de petits nombres pendant une "grosse opération", on s'entraîne donc dessus sans s'en rendre compte).
2) apprendre à se concentrer sur un travail, plus que 30 secondes. Faire un truc "un peu plus conséquent".
3) savoir qu'on aura le bon résultat seulement si on fait TOUT bon. Qu'une réussite, c'est un truc où il n'y avait pas d'erreur. Et apprendre à s'organiser pour éviter des erreurs. (c'est là que j'ai encore du travail avec le mien). Apprendre que ça paie, de s'organiser correctement.
4) et justement, apprendre à "faire du contrôle qualité". Se donner des moyens pour vérifier la qualité du travail.
La satisfaction du bon résultat ne vient que si tout cela est en place, et on y voit alors l'intérêt.
Mais comme tu dis, ça n'a pas de sens de faire cela quand 89 x 4 ne marche pas encore, bien sûr. Le but n'est pas de décourager.
Se limiter, cependant, à 89 x 4, quand ça marche bien, ne permet pas de s'apercevoir de la nécessité / l'utilité de pratiques universelles mentionnées ci-dessus. On peut se permettre de faire ça vite fait, comme un cochon, désorganisé, et ça passe.
La preuve par neuf est un code correcteur. Elle prépare à comprendre ce qu'est la clé d'un numéro INSEE ou de compte bancaire, ou une fonction de hachage.
La preuve par neuf donne un exemple de passage au quotient. Ça permettrait de dédramatiser la notion quand on voit les quotients à vingt ans passés.
Que de vertus !
« Preuve » par 2, par 5 et par 10.
Dans les manuels (cf. le blog manuels anciens) elle est énoncée sommairement, parfois avec une présentation qui ne donne pas envie de l'utiliser car son manque de fiabilité est exposée, par exemple p82 de http://ecolereferences.blogspot.com/2013/01/vassort-calcul-vivant-cm-lecons-de_6.html
Donc je suis vraiment dubitatif, tant qu'à faire de l'arithmétique autant en faire un peu proprement, mais pas comme ça. J'ai le sentiment que c'est un truc qui traîne depuis x temps dans les programmes, qui a certes un intérêt en soi, mais qui n'est pas adapté ni ne sert en pratique pour vérifier les opérations.
@JLT : je connais bien le primaire, ce que tu énonces comme probabilité de réussite est la fourchette haute dans l'école actuelle (les divisions de mémoire ont un taux de réussite qui ne dépasse pas 35 %).
Cependant, en conjuguant dans l'apprentissage les 3 facteurs suivants :
- connaissance des tables (par forçage temporel en augmentant le nombre d'opérations par minute),
- concentration sur l'opération,
- entraînement suffisant (cahier d'exos méthode Singapour par exemple),
le taux d'erreurs tant vers 0, y compris pour les opérations un peu grosses avec des décimaux.
Pourquoi ça ne marche pas à l'école ? Simplement parce que chaque cas d'opération n'est présenté qu'une fois avec très peu d’entraînement. Et il n'y a pas de présentation exhaustive de tous les cas. C'est la nouvelle mode qui s'est progressivement imposée sur des programmes particulièrement allégés délabrés.
Le fait que le calcul à l'école se soit effondré sur 30 ans (cf. l'étude de la Depp 87 - 2017) n'a pas d'autres sources.
Et "difficile" c'est subjectif. J'ai posté ces exercices d'entrainement pour les 6e sur un groupe de Facbook, on m'a dit que c'est TROP dur même pour les 5e. Heu... comment dire :-S
Mais... on devait régulièrement vérifier non réponses. Comment? Pour les opérations posées il fallait faire les opérations inverses : somme/soustraction, multiplication/division! C'est plus lent, mais cela fonctionne aussi. Pour les équations, il fallait toujours vérifier les racines.
P.S. nous avons arrêté les gros calculs posées en 4e quand on a commencé à faire le calcul littéral. Il fallait toujours faire les opérations posées, mais c'était beaucoup moins fréquent. Et à part le calcul littéral, il y avait aussi des fractions, des racines carrés, plus tard la trigonométrie et les $\ln$. Ci-joint 3 page typiques d'exos (niveau 1ière, premier semestre, inéquations trigonométriques, maths générales non scientifiques) : lien
@Dom, c'est toujours trop dur... quoi qu'on fasse! La division n'est pas acquise parce qu'on ne fait jamais les choses "dures". Pourtant au début toutes les notions sont dures, parce qu'on les voit la première fois. Mais avec la pratique cela devient facile. Il faut tout simplement enseigner les méthodes et commencer par les exercices faciles
P.S. Il y a une méthode pour faciliter la résolution, surtout les opérations dans la troisième colonne : numéroter au crayon l'ordre des opérations :-P
On a abandonné le « dur » au soi-disant profit de « donner du sens pratique ».
Je cite « les tables s’apprennent au détour des problèmes ».
C’est comme d’habitude : on glisse sémantiquement en remplaçant « apprendre ses tables sur le bout des doigts » par « apprendre bêtement ».
Effectivement, une façon très solide c'est de faire l'opération inverse. Mais le prix à payer, c'est de doubler l'effort. Par contre, il attrape près de 100% des erreurs.
Ne pas faire de contrôle du résultat ne coûte rien, mais ne rattrape rien non plus. Quand on est très sur de soi, alors c'est la bonne méthode.
A priori, la preuve du neuf devrait capter 8 des 9 erreurs (ce n'est pas tout à fait vrai, ça dépend de ce qu'on fait), mais ne coûte que, disons, 1/5 du temps d'une opération (au pif).
Si on veut "optimiser son temps" pour avoir le plus d'opérations justes par unité de temps, alors on a la chose suivante:
Si on fait 24 opérations dans une heure sans vérification, on en fera donc 20 avec la preuve du neuf et on va pouvoir s'assurer que 17 ont été faites sans faute. Quand on a un meilleur taux naturel de réussite que 17/24, alors il ne faut pas faire la preuve du neuf, le temps qu'on perd n'est pas compensé par les erreurs qu'on capte. Par contre, si on fait plus de fautes que 1/3, c'est utile.
Par contre, si on refait une opération complète, on capte toutes les erreurs, mais on ne peut en faire que 12. Ce ne sera jamais aussi rentable qu'un teste partiel mais rapide qui débroussaille une bonne fraction des erreurs.
Bien sûr, si le temps n'est pas compté, et la justesse du résultat est primordial, on fait un test complet.
Je parlais juste de multiplications du type $8976473\times 748$.
Ce n'est pas difficile en soi, mais les tables de $7,8,9$ sont été apprises récemment. Pour réussir cette opération, il faut faire $21$ multiplications et une vingtaine d'additions, la probabilité de faire au moins une erreur parmi celles-ci est assez élevée, donc tant que les tables de $7,8,9$ ne sont pas bien maîtrisées, il vaut mieux rester sur des multiplications entre deux nombres plus petits.
- En CE1 les enfants apprennent la méthode 1
- En CE2 l’enseignant demande d'oublier la méthode 1 et d'apprendre la méthode 2
- En CM1 le troisième enseignant demande d'oublier la 1 et la 2
- En CM2 les enfants retrouve le PE qu'ils ont eu en CE1 qui demande la méthode 1. Ils l'ont déjà oublié!
Comment voulez vous qu'ils apprennent quoique ce soit dans ces conditions?
@JLT, La table de $7,8,9$ apprise en CM1? Ce n'est pas un peu TROP tard? Sinon oui, s'ils commencent tout juste avec cette table, pas la peine d'utiliser des nombres trop grands.
Le livre intitulé "NOUVELLE ARITHMETIQUE des ECOLES PRIMAIRES, conforme, entre autre, à la circulaire ministérielle et au décret du 28 juillet 1903 propose le programme d'arithmétique des écoles primaires supérieures suivant :
ARITHMETIQUE
a) Opérations sur les nombres entiers
b) Preuve par 9 de la multiplication et de la division
c) …...
En 1903...les calculatrices étaient au stade de minerai…..
Je connais la preuve par 11, mais je ne l'ai jamais apprise à l'école.
La preuve par 9 est simple à appliquer, amusante ...j'y vois plein d'intérêts y compris pédagogiques.
Quitte à aborder la preuve par 11, on peut aussi aborder la preuve par 7 (à peine plus compliquée que la preuve par 11)
@Patrick123 : Oui, si on permute 2 chiffres, la preuve par 9 continuera de dire que le résultat est potentiellement juste, alors que la preuve par 11 a des chances de le détecter. Si on permute le chiffre des dizaine et le chiffre des milliers, ni ola preuve par 9, ni la preuve par 11 ne vont le détecter, mais il faut être vraiment malchanceux pour permuter 2 chiffres qui ne sont pas consécutifs.
Effectivement. quand le vois le parcours de mon cadet, les tables sont apprises de façon assez incompréhensible, et les 7 8 et 9 "les "difficiles" sont toujours à la traîne. Ce n'est pas qu'on ne les apprend pas avant (en CE2 normalement), mais ça arrive toujours à la fin de l'année, alors qu'on a passé un temps fou sur la table de 3 et de 4. Le mien (milieu CM1) avait officiellement la table du 6 à apprendre il y a quelques semaines. Il devait déjà apprendre "un peu" les tables jusqu'à 9 l'année passée en CE2, mais "une seule fois". Puis, plus rien. En CM1, à Noël, il devait apprendre.... la table du 3.
Attention, ça n'empêche pas, une fois toutes les 4 ou 5 semaines, de devoir faire soudain quelques multiplications posées sur des nombres 3 chiffres x 3 chiffres, avec tous les chiffres dedans. Puis, plus rien pendant des semaines.
Les additions posées, c'est plus souvent. Parfois, des multiplications sont tentées. Je crois que les résultats ne sont pas bons, et donc on passe à autre chose. Parfois même, on pose des divisions (avec un diviseur à un chiffre). Puis, pendant longtemps, plus rien.
Mais bon, je crois que dans l'école du mien, ça ne tourne pas rond.
Si on donne 40 opérations élémentaires à faire, et on se trompe sur 5, on va dire "bravo, 35 sur 40 !". Quand on pinaille, pour dire "ce n'est pas assez bon", ce ne sera pas vendable: on a presque 9 / 10 ! Alors que avec ce taux d'erreur, aucune grosse opération posée sera correcte et on sent la nécessité de faire mieux.