La preuve par 9

Il y a aussi la preuve par 11 .
Combinés, les deux tests détectent 99% des erreurs.

Je ne connaissais pas non plus la preuve par 11.

La preuve par 9, par contre, je la faisais quand j'avais des 6èmes. La plupart n'en avait jamais entendu parler. L'instit de mes enfants non plus. Et je crois que beaucoup de collègues n'en ont pas entendu parler non plus.

Ceci dit, la preuve de cette preuve par 9 peut difficilement se faire avant la terminale.

Serait-ce celà ?

La preuve par 9 dit que si $ab=c$, et si $a',b',c'$ sont les nombres compris entre $0$ et $8$ tels que $a\equiv a'$, $b\equiv b'$ et $c\equiv c'\pmod{9}$, alors $a'b'\equiv c'\pmod{9}$.

De plus pour trouver $a'$, on calcule $S(S(\cdots(S(a))\cdots))$ où $S(a)$ est la somme des chiffres de $a$.

Tout cela est difficilement démontrable sans connaître la notion de congruence.

Pour un enfant de CM1 qui fait beaucoup d'erreurs de calculs, je suggère de s'entraîner sur des multiplications de deux nombres compris entre $11$ et $99$, et de vérifier l'opération en la refaisant dans l'autre sens. Ca n'a pas d'intérêt de calculer des nombres tels que $4876278\times 184$, la probabilité d'erreur est telle que ça devient décourageant.

On peut la démontrer dès la 4e pour les nombres entiers, disons, inférieurs à 1000.

En effet, se tromper dans une vérification fout tout en l’air.

Remarque : cette méthode fonctionne avec les nombres décimaux non entiers mais ne détecte pas l’erreur de décalage de la virgule. C’est donc « dangereux ».

Ce qu'on m'a appris :

1274
x 366
.....
466284

$\qquad$ 5
3$\qquad$$\qquad$ 3
$\qquad$ 6

où 5 est le résidu de 1274,
6 celui de 366,
3 gauche celui de 466284
3 droite celui de 5 x 6

Une grande croix de St. André séparait
les nombres de la preuve.

Dom,

la croix ne posait aucun problème aux enfants de 8 ans de 1950, en campagne comme en ville. Comme ils apprenaient leurs leçons (pour 80% d'entre eux, voire 95% dans les bons endroits), il savaient leurs tables, savaient poser les multiplications, et savaient écrire la "preuve par neuf".
On ne parlait pas de résidus, mais de somme des chiffres (éventuellement recommencée), à laquelle on enlevait des 9.

Bien évidemment, au siècle de la calculette, on n'a plus autant besoin de savoir poser les multiplications et de les vérifier.

Cordialement.

Pourquoi pas ? mais il manque un deuxième 3 (sinon, on n'a pas vérifié).
La disposition en croix date du dix-neuvième siècle, et n'est pas plus compliquée que celle-ci (enfin ... n'était, à l'époque où on savait tracer des traits à la règle, dont 2 pour une multiplication. Et on prenait le temps de le faire.

A l'époque, l'instituteur vérifiait qu'on avait vérifié.
Plus tard (collège), on faisait ça au brouillon, à toute vitesse.

En 6e : on note d et u les chiffres des dizaines et des unités.

 du
x11
————
 du
du0
————
  u   là il y a discussion si (d+u)<10 on trouve les trois chiffres d/(d+u)/u
        sinon on trouve les trois chiffres (d+1)/(...)/(u) où ... est le chiffre des unités de (d+u)

Bonjour,
la preuve par neuf sert aussi à vérifier les divisions euclidiennes (je ne l'ai jamais utilisée pour les additions et soustractions).
Sa démonstration était accessible en 5ème à mon époque (années 70).
En revanche bien sûr ce n'est qu'un test, pas une "preuve".
Elle est très utile pour contrôler les calculs à la main (encore faut-il que l'on en fasse)
Elle se fait en organisant les nombres autour d'une grande croix.

Je n'avais jamais entendu parler de preuve par 11.
preuve par 11

Cordialement

J'ai appris la preuve par 9 au primaire.
Si j'ai besoin de calculer $337\times 619$ je prends ma calculette et j’espère ne pas faire de faute de frappe.
Au mauvais vieux temps du calcul manuel, j'aurais vérifié le résultat modulo 9.

franchement même dans les années 60 sans calculette et sans poser ...
337x600 + 337x20 -337 = 202200 + 6740 - 337 = 208603 aujourd'hui c'est la méthode Singapour CM1
Ce qui ne me semble pas super, outre qu'on ne s'en sert jamais, c'est que la démo propre est hors d'atteinte des enfants à qui on l'enseigne, et que ce n'est qu'une condition nécessaire qui n'est donc pas fiable.
La bonne vérif. ce serait : 350x600 en ordre de grandeur mentalement c'est rapide parce que d'expérience les enfants se trompent fréquemment dans l'ordre de grandeur, et c'est encore plus fréquent avec les décimaux (et l'erreur est largement majoritaire au collège pour les divisions avec des décimaux qui ne sont plus enseignées au primaire).

J'ai tapé au hasard une multiplication entre un nombre de 7 chiffres et un nombre de 3 chiffres... Dans certains cas particuliers on peut trouver des astuces mais ce n'était pas l'objet de mon message. Ce que je voulais dire c'est que certains enseignants de CM1 demandent des multiplications trop compliquées à des élèves qui maîtrisent encore mal l'algorithme, vont se décourager et se retrouveront en 6e à dire que $8\times 8 = 63$.

Il vaut mieux faire 10 multiplications simples avec une probabilité de réussite de 80% que 2 multiplications compliquées avec une probabilité de réussite de 20%.

Oui Math Coss, je relève souvent des erreurs rien qu’en regardant le chiffre des unités.
« Preuve » par 2, par 5 et par 10.

@Math Coss je vois bien l'intérêt mathématique en soi mais la difficulté c'est de faire comprendre cela avec profit à des enfants de l'école primaire, c'est un problème pédagogique. Comme je l'ai rappelé Lafforgue l'indique dans son programme mais ne donne pas de précisions. Dans les anciens programmes elle figure au cours moyen (Letterrier 1954).

Dans les manuels (cf. le blog manuels anciens) elle est énoncée sommairement, parfois avec une présentation qui ne donne pas envie de l'utiliser car son manque de fiabilité est exposée, par exemple p82 de http://ecolereferences.blogspot.com/2013/01/vassort-calcul-vivant-cm-lecons-de_6.html

Donc je suis vraiment dubitatif, tant qu'à faire de l'arithmétique autant en faire un peu proprement, mais pas comme ça. J'ai le sentiment que c'est un truc qui traîne depuis x temps dans les programmes, qui a certes un intérêt en soi, mais qui n'est pas adapté ni ne sert en pratique pour vérifier les opérations.

@JLT : je connais bien le primaire, ce que tu énonces comme probabilité de réussite est la fourchette haute dans l'école actuelle (les divisions de mémoire ont un taux de réussite qui ne dépasse pas 35 %).
Cependant, en conjuguant dans l'apprentissage les 3 facteurs suivants :
- connaissance des tables (par forçage temporel en augmentant le nombre d'opérations par minute),
- concentration sur l'opération,
- entraînement suffisant (cahier d'exos méthode Singapour par exemple),
le taux d'erreurs tant vers 0, y compris pour les opérations un peu grosses avec des décimaux.

Pourquoi ça ne marche pas à l'école ? Simplement parce que chaque cas d'opération n'est présenté qu'une fois avec très peu d’entraînement. Et il n'y a pas de présentation exhaustive de tous les cas. C'est la nouvelle mode qui s'est progressivement imposée sur des programmes particulièrement allégés délabrés.

Le fait que le calcul à l'école se soit effondré sur 30 ans (cf. l'étude de la Depp 87 - 2017) n'a pas d'autres sources.

C’est trop dur dans le sens où la division n’est pas acquise. J’oserais même dire qu’elle est inconnue de beaucoup de 6e.

Oui, je suis d’accord.
On a abandonné le « dur » au soi-disant profit de « donner du sens pratique ».
Je cite « les tables s’apprennent au détour des problèmes ».

C’est comme d’habitude : on glisse sémantiquement en remplaçant « apprendre ses tables sur le bout des doigts » par « apprendre bêtement ».

@kioups, oui bien sur. La page vient d'un bouquin d'entrainement au calcul où ils conseillent de faire 1-2 lignes par jour en dehors des devoirs.

vorobichek a écrit:

@JLT, pourrais tu donner des exemples des opérations compliquées niveau CM1?

Je parlais juste de multiplications du type $8976473\times 748$.

Ce n'est pas difficile en soi, mais les tables de $7,8,9$ sont été apprises récemment. Pour réussir cette opération, il faut faire $21$ multiplications et une vingtaine d'additions, la probabilité de faire au moins une erreur parmi celles-ci est assez élevée, donc tant que les tables de $7,8,9$ ne sont pas bien maîtrisées, il vaut mieux rester sur des multiplications entre deux nombres plus petits.

Bonjour à tous

Le livre intitulé "NOUVELLE ARITHMETIQUE des ECOLES PRIMAIRES, conforme, entre autre, à la circulaire ministérielle et au décret du 28 juillet 1903 propose le programme d'arithmétique des écoles primaires supérieures suivant :


ARITHMETIQUE

a) Opérations sur les nombres entiers

b) Preuve par 9 de la multiplication et de la division

c) …...

En 1903...les calculatrices étaient au stade de minerai…..

Patrick : donne lui 3 multiplications par jour pendant mois, il n'aura plus de problème après.