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La preuve par 9

Envoyé par Patrick123 
La preuve par 9
le mois dernier
Alors là !

Je fais faire des opérations posées à mon cadet qui est en CM1, et la plus grosse difficulté est "l'écriture cochon": toutes ses erreurs viennent de mauvais alignement/mauvais positionnement des retenues etc... Il n'y a pas de problèmes de compréhension, mais d'écriture systématique et propre, surtout quand on fait des opérations sur des "très grands nombres" du style 7 ou 8 chiffres.

J'insiste qu'il puisse vérifier de lui-même que son résultat soit correct (ou a des chances d'être correct). Refaire l'opération est laborieux, et on double la chance d'erreur finalement. Je lui ai donc appris "la preuve par 9". Il l'avait bien compris, et ça l'aide bien à savoir s'il faut essayer de trouver une erreur ou pas.

Il a dû le faire à l'école sans doute aussi. Et hier, il m'a dit que sa maîtresse n'en avait jamais entendu parler, et ne connaissait pas eye popping smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
avatar
Il y a aussi la preuve par 11 .
Combinés, les deux tests détectent 99% des erreurs.
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
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Bonjour,
Moi non plus je ne connaissais pas la preuve par 9 jusqu'à aujourd'hui (ni par 11). On ne me l'avait jamais apprise.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Calli.
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
Je ne connaissais pas non plus la preuve par 11.

La preuve par 9, par contre, je la faisais quand j'avais des 6èmes. La plupart n'en avait jamais entendu parler. L'instit de mes enfants non plus. Et je crois que beaucoup de collègues n'en ont pas entendu parler non plus.

Ceci dit, la preuve de cette preuve par 9 peut difficilement se faire avant la terminale.
Dom
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
La preuve par 9, n’est-ce pas le critère de divisibilité par 9, tout simplement ?

Une démonstration niveau 4e est faisable.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Dom.
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
Serait-ce celà ?
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
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Le dernier numéro du bulletin vert (sur le travail en groupe) cause de la preuve par 9.
Pour la preuve par 11, elle marche comment, elle donne aussi le reste de la division euclidienne ?

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par nicolas.patrois.
JLT
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
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La preuve par 9 dit que si $ab=c$, et si $a',b',c'$ sont les nombres compris entre $0$ et $8$ tels que $a\equiv a'$, $b\equiv b'$ et $c\equiv c'\pmod{9}$, alors $a'b'\equiv c'\pmod{9}$.

De plus pour trouver $a'$, on calcule $S(S(\cdots(S(a))\cdots))$ où $S(a)$ est la somme des chiffres de $a$.

Tout cela est difficilement démontrable sans connaître la notion de congruence.

Pour un enfant de CM1 qui fait beaucoup d'erreurs de calculs, je suggère de s'entraîner sur des multiplications de deux nombres compris entre $11$ et $99$, et de vérifier l'opération en la refaisant dans l'autre sens. Ca n'a pas d'intérêt de calculer des nombres tels que $4876278\times 184$, la probabilité d'erreur est telle que ça devient décourageant.
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
JLT : complètement d'accord, la preuve par 9, c'est marrant pour les élèves qui s'en sortent déjà pas trop mal.
Dom
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
On peut la démontrer dès la 4e pour les nombres entiers, disons, inférieurs à 1000.

En effet, se tromper dans une vérification fout tout en l’air.

Remarque : cette méthode fonctionne avec les nombres décimaux non entiers mais ne détecte pas l’erreur de décalage de la virgule. C’est donc « dangereux ».



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Dom.
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
Bonjour.

Au siècle dernier, la preuve par 9 était enseignée partout en primaire (les instituteurs voyaient son origine à l'école normale d'instituteurs), sans justification; mais aussi avec ses limites. Je l'ai aussi utilisée pour tester la multiplication 13x7 = 28 (obtenue en ne faisant pas le décalage donc 3x7 = 21, 1x7=7 21+7=28) que je vérifiais aussi par addition et division (fausses).
Sa disparition est sans doute liée à l'idée qu'on ne doit pas enseigner ce qu'on ne peut prouver, idée fréquente en maths, mais dont on voit l'inanité si on l'applique par exemple à la géographie.

Cordialement.
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
avatar
Ce qu'on m'a appris :

1274
x 366
.....
466284

$\qquad$ 5
3$\qquad$$\qquad$ 3
$\qquad$ 6

où 5 est le résidu de 1274,
6 celui de 366,
3 gauche celui de 466284
3 droite celui de 5 x 6

Une grande croix de St. André séparait
les nombres de la preuve.
Dom
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
Je crois avoir vu ce schéma à l’école primaire.
Pourquoi aller chercher une croix d’ailleurs ?!
Je trouve que ça complique car les dispositions des nombres ne sont pas intuitives.
Le gamin risquera de bien faire le travail sauf de disposer bien les nombres.
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
Dom,

la croix ne posait aucun problème aux enfants de 8 ans de 1950, en campagne comme en ville. Comme ils apprenaient leurs leçons (pour 80% d'entre eux, voire 95% dans les bons endroits), il savaient leurs tables, savaient poser les multiplications, et savaient écrire la "preuve par neuf".
On ne parlait pas de résidus, mais de somme des chiffres (éventuellement recommencée), à laquelle on enlevait des 9.

Bien évidemment, au siècle de la calculette, on n'a plus autant besoin de savoir poser les multiplications et de les vérifier.

Cordialement.
Dom
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
Je dis que c’est assez étrange d’apprendre en plus une manière de disposer des nombres.
Sinon, comme tout s’apprend, on peut inventer n’importe quoi et le faire apprendre, oui, c’est vrai.

Écrire les chiffres correspondants aux congruences en face de chaque nombre n’est-il pas plus simple ?


  1274            /   5
x  366            /   6
——————

——————
466284            /   3

Re: La preuve du 9.
le mois dernier
Pourquoi pas ? mais il manque un deuxième 3 (sinon, on n'a pas vérifié).
La disposition en croix date du dix-neuvième siècle, et n'est pas plus compliquée que celle-ci (enfin ... n'était, à l'époque où on savait tracer des traits à la règle, dont 2 pour une multiplication. Et on prenait le temps de le faire.
Dom
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
Le deuxième 3 est « dans » le premier winking smiley

Je ne sais plus que adulte m’avait montré ça.
Il avait tâtonné « heu... comment c’est déjà...? heu...mettre le nombre ici...non...y’a ah oui c’est là... »

Ça reste du détail.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
A l'époque, l'instituteur vérifiait qu'on avait vérifié.
Plus tard (collège), on faisait ça au brouillon, à toute vitesse.
Re: La preuve par 9
le mois dernier
J’ai appris la preuve par 9 en primaire pour la multiplication (années 1970s), et mon petit dernier (né en 2006) l’a aussi apprise en primaire, mais dans une école hors contrat.
Évidemment on ne la démontrait pas, mais on apprenait bien ses limites.

En revanche je n’avais pas appris la preuve par 11, juste « comment multiplier par 11 un nombre à deux chiffres », ce qui n’est pas très loin du critère de divisibilité par 11, ni pensé à l’appliquer à la division euclidienne.
Si j’ai un peu de temps, peut-être que je la montrerai à mon groupe de spé maths.
Dom
Re: La preuve par 9
le mois dernier
En 6e : on note d et u les chiffres des dizaines et des unités.

 du
x11
————
 du
du0
————
  u   là il y a discussion si (d+u)<10 on trouve les trois chiffres d/(d+u)/u
        sinon on trouve les trois chiffres (d+1)/(...)/(u) où ... est le chiffre des unités de (d+u)
Re: La preuve par 9
le mois dernier
Oui, visiblement ce n'est plus connu ce truc. Un collègue ingénieur n'en avait jamais entendu parler non plus. Autant pour moi.

Je me souviens que c'était "martelé" dans le temps: à chaque opération posée il fallait toujours ajouter la preuve du neuf, sinon c'était "comme une phrase écrite qu'on n'avait pas relue".

C'est pourtant pratique, rapide et facile (à appliquer).



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Patrick123.
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
@ polka oui tout à fait, je me souviens même de l'écriture en grand X smiling smiley

@gerard0: effectivement, on ne détecte pas des "décalages", ni dans les multiplications, ni quand on a écrit les retenues dans la mauvaise colonne. Ce n'est pas un outil pour prouver le bon résultat. C'est un détecteur de certaines erreurs.

C.à.d. si cette preuve ne marche pas, c'est sûr qu'il y ait une erreur. Si elle marche, on ne peut pas savoir.

@Dom: oui, je lui ai montré aussi comme tu le fais, à coté. Ça me paraît aussi plus "évident" comme ça. Mais bon, c'est l'idée qui compte, pas l'écriture.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Patrick123.
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
@soland: la preuve par 11, je ne la connaissais pas. Elle est géniale, car elle détecte aussi les décalages de colonne si je comprends bien !
thumbs down
Re: La preuve du 9.
le mois dernier
Bonjour,
la preuve par neuf sert aussi à vérifier les divisions euclidiennes (je ne l'ai jamais utilisée pour les additions et soustractions).
Sa démonstration était accessible en 5ème à mon époque (années 70).
En revanche bien sûr ce n'est qu'un test, pas une "preuve".
Elle est très utile pour contrôler les calculs à la main (encore faut-il que l'on en fasse)
Elle se fait en organisant les nombres autour d'une grande croix.

Je n'avais jamais entendu parler de preuve par 11.
preuve par 11

Cordialement
xax
Re: La preuve du 9.
il y a sept semaines
avatar
Dans son programme de primaire Lafforgue l'indique mais je ne suis pas sûr que ça vaille une vérification rapide par ordre de grandeur puis à la main soigneusement selon l'importance de l'opération dans un problème par exemple.

De mon temps je l'avais apprise mais objectivement ça ne m'a jamais servi.
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
J'ai appris la preuve par 9 au primaire.
Si j'ai besoin de calculer $337\times 619$ je prends ma calculette et j’espère ne pas faire de faute de frappe.
Au mauvais vieux temps du calcul manuel, j'aurais vérifié le résultat modulo 9.
Re: La preuve du 9.
il y a sept semaines
Disons que maintenant, si tu éprouves le besoin de vérifier une opération posée à la main (comme un exercice qui aurait été donné à un élève !), tu peux prendre une calculatrice ou utiliser en ligne un langage interprété. Dans les années 60 et avant, le côté pratique était évident pour un grand nombre de personnes amenées à faire des calculs au quotidien. smiling smiley

Ah ben on a eu un peu la même idée au même moment.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Sato.
xax
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
avatar
franchement même dans les années 60 sans calculette et sans poser ...
337x600 + 337x20 -337 = 202200 + 6740 - 337 = 208603 aujourd'hui c'est la méthode Singapour CM1
Ce qui ne me semble pas super, outre qu'on ne s'en sert jamais, c'est que la démo propre est hors d'atteinte des enfants à qui on l'enseigne, et que ce n'est qu'une condition nécessaire qui n'est donc pas fiable.
La bonne vérif. ce serait : 350x600 en ordre de grandeur mentalement c'est rapide parce que d'expérience les enfants se trompent fréquemment dans l'ordre de grandeur, et c'est encore plus fréquent avec les décimaux (et l'erreur est largement majoritaire au collège pour les divisions avec des décimaux qui ne sont plus enseignées au primaire).



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
xax
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
avatar
JLT 4876278x184 ce n'est pas la mer à boire non plus car quand on décompose en ligne il n'y a que la multiplication par deux à la basse donc une seule multiplication avec après une additions et une soustraction.
4876278x200 - 4876278x20 +2x24876278
Un enfant qui est bien structuré ("unités" "dizaine" etc pour le calcul en ligne) ne se trompe pas et la vérification est éventuellement dans la redondance de l'opération X 2
Après au delà de 3 chiffres l'intérêt pédagogique n'est pas patent, c'est plutôt une histoire de confiance en soi de l'avoir fait juste : l'enfant sait qu'il peut calculer même sur des grands nombres s'il a un peu de méthode et du temps.

Et puis ça arrive à tout le monde un jour de ne pas avoir de calculette sous la main et de devoir ce taper quelques calculs de la sorte.
JLT
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
avatar
J'ai tapé au hasard une multiplication entre un nombre de 7 chiffres et un nombre de 3 chiffres... Dans certains cas particuliers on peut trouver des astuces mais ce n'était pas l'objet de mon message. Ce que je voulais dire c'est que certains enseignants de CM1 demandent des multiplications trop compliquées à des élèves qui maîtrisent encore mal l'algorithme, vont se décourager et se retrouveront en 6e à dire que $8\times 8 = 63$.

Il vaut mieux faire 10 multiplications simples avec une probabilité de réussite de 80% que 2 multiplications compliquées avec une probabilité de réussite de 20%.
Dom
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
Du bon sens...

Les « grosses » multiplications sont plutôt à présenter comme des défis dans les petites classes.

Par contre appliquer sans cesse ces critères (par 9/par 11) à des petites multiplications développé simplement le calcul mental.
Une bonne idée.
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
@JLT: bien sûr, comme avec tout, il faut savoir marcher avant de courir. Les opérations sur "grands nombres" ne servent qu'à s'entraîner sur le mécanisme, de montrer que "ça marche toujours", et il ne faut pas les entamer quand il y a encore des choses pas claires sur des petits nombres. Mais ils ont l'avantage pédagogique de:

1) être un entraînement "en situation" des tables et du calcul mental sur petits nombres (il faut faire beaucoup d'additions, soustractions, multiplications de petits nombres pendant une "grosse opération", on s'entraîne donc dessus sans s'en rendre compte).

2) apprendre à se concentrer sur un travail, plus que 30 secondes. Faire un truc "un peu plus conséquent".

3) savoir qu'on aura le bon résultat seulement si on fait TOUT bon. Qu'une réussite, c'est un truc où il n'y avait pas d'erreur. Et apprendre à s'organiser pour éviter des erreurs. (c'est là que j'ai encore du travail avec le mien). Apprendre que ça paie, de s'organiser correctement.

4) et justement, apprendre à "faire du contrôle qualité". Se donner des moyens pour vérifier la qualité du travail.

La satisfaction du bon résultat ne vient que si tout cela est en place, et on y voit alors l'intérêt.

Mais comme tu dis, ça n'a pas de sens de faire cela quand 89 x 4 ne marche pas encore, bien sûr. Le but n'est pas de décourager.

Se limiter, cependant, à 89 x 4, quand ça marche bien, ne permet pas de s'apercevoir de la nécessité / l'utilité de pratiques universelles mentionnées ci-dessus. On peut se permettre de faire ça vite fait, comme un cochon, désorganisé, et ça passe.
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
Avant de faire la preuve par neuf, on devrait faire la preuve par deux, non ? Il m'arrive souvent d'entendre des résultats de calcul qui n'ont pas la bonne parité. Ensuite, on pourrait faire la preuve par dix.

La preuve par neuf est un code correcteur. Elle prépare à comprendre ce qu'est la clé d'un numéro INSEE ou de compte bancaire, ou une fonction de hachage.

La preuve par neuf donne un exemple de passage au quotient. Ça permettrait de dédramatiser la notion quand on voit les quotients à vingt ans passés.

Que de vertus !
Dom
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
Oui Math Coss, je relève souvent des erreurs rien qu’en regardant le chiffre des unités.
« Preuve » par 2, par 5 et par 10.
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
la preuve par 2, 5 et 10, oui, mais c'est un test très limité. Il ne teste que le tout début de ce qu'on fait dans une opération posée (quand on est encore attentif en fait), et qui influence les unités.
xax
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
avatar
@Math Coss je vois bien l'intérêt mathématique en soi mais la difficulté c'est de faire comprendre cela avec profit à des enfants de l'école primaire, c'est un problème pédagogique. Comme je l'ai rappelé Lafforgue l'indique dans son programme mais ne donne pas de précisions. Dans les anciens programmes elle figure au cours moyen (Letterrier 1954).

Dans les manuels (cf. le blog manuels anciens) elle est énoncée sommairement, parfois avec une présentation qui ne donne pas envie de l'utiliser car son manque de fiabilité est exposée, par exemple p82 de [ecolereferences.blogspot.com]

Donc je suis vraiment dubitatif, tant qu'à faire de l'arithmétique autant en faire un peu proprement, mais pas comme ça. J'ai le sentiment que c'est un truc qui traîne depuis x temps dans les programmes, qui a certes un intérêt en soi, mais qui n'est pas adapté ni ne sert en pratique pour vérifier les opérations.

@JLT : je connais bien le primaire, ce que tu énonces comme probabilité de réussite est la fourchette haute dans l'école actuelle (les divisions de mémoire ont un taux de réussite qui ne dépasse pas 35 %).
Cependant, en conjuguant dans l'apprentissage les 3 facteurs suivants :
- connaissance des tables (par forçage temporel en augmentant le nombre d'opérations par minute),
- concentration sur l'opération,
- entraînement suffisant (cahier d'exos méthode Singapour par exemple),
le taux d'erreurs tant vers 0, y compris pour les opérations un peu grosses avec des décimaux.

Pourquoi ça ne marche pas à l'école ? Simplement parce que chaque cas d'opération n'est présenté qu'une fois avec très peu d’entraînement. Et il n'y a pas de présentation exhaustive de tous les cas. C'est la nouvelle mode qui s'est progressivement imposée sur des programmes particulièrement allégés délabrés.

Le fait que le calcul à l'école se soit effondré sur 30 ans (cf. l'étude de la Depp 87 - 2017) n'a pas d'autres sources.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par xax.
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
@JLT, pourrais tu donner des exemples des opérations compliquées niveau CM1? Mais je suis d'accord sur le principe qu'il est inutile harceler les élèves par les exercices que 80% échouerons de faire.

Et "difficile" c'est subjectif. J'ai posté ces exercices d'entrainement pour les 6e sur un groupe de Facbook, on m'a dit que c'est TROP dur même pour les 5e. Heu... comment dire confused smiley


Dom
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
C’est trop dur dans le sens où la division n’est pas acquise. J’oserais même dire qu’elle est inconnue de beaucoup de 6e.
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
Je ne connais pas la preuve par $9$, par $11$ etc. Ce genre de preuve n'étaient jamais enseigné en classe. On pouvait les trouver dans les livres d'amusette de maths, dans le journal scientifique pour les enfants, pour les devinettes. Si jamais une telle chose était utilisé en cours, le professeur finissait par tout démontrer et expliquer en détail.

Mais... on devait régulièrement vérifier non réponses. Comment? Pour les opérations posées il fallait faire les opérations inverses : somme/soustraction, multiplication/division! C'est plus lent, mais cela fonctionne aussi. Pour les équations, il fallait toujours vérifier les racines.

P.S. nous avons arrêté les gros calculs posées en 4e quand on a commencé à faire le calcul littéral. Il fallait toujours faire les opérations posées, mais c'était beaucoup moins fréquent. Et à part le calcul littéral, il y avait aussi des fractions, des racines carrés, plus tard la trigonométrie et les $\ln$. Ci-joint 3 page typiques d'exos (niveau 1ière, premier semestre, inéquations trigonométriques, maths générales non scientifiques) : lien

@Dom, c'est toujours trop dur... quoi qu'on fasse! La division n'est pas acquise parce qu'on ne fait jamais les choses "dures". Pourtant au début toutes les notions sont dures, parce qu'on les voit la première fois. Mais avec la pratique cela devient facile. Il faut tout simplement enseigner les méthodes et commencer par les exercices faciles

P.S. Il y a une méthode pour faciliter la résolution, surtout les opérations dans la troisième colonne : numéroter au crayon l'ordre des opérations tongue sticking out smiley



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par vorobichek.
Dom
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
Oui, je suis d’accord.
On a abandonné le « dur » au soi-disant profit de « donner du sens pratique ».
Je cite « les tables s’apprennent au détour des problèmes ».

C’est comme d’habitude : on glisse sémantiquement en remplaçant « apprendre ses tables sur le bout des doigts » par « apprendre bêtement ».
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
Vorobichek : au lieu de mettre toute une page, t’en mets 5 ou 10, ça passera déjà mieux
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
@kioups, oui bien sur. La page vient d'un bouquin d'entrainement au calcul où ils conseillent de faire 1-2 lignes par jour en dehors des devoirs.
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
@vorobichek: c'est une question d'efficacité et de prix acceptable pour l'erreur.

Effectivement, une façon très solide c'est de faire l'opération inverse. Mais le prix à payer, c'est de doubler l'effort. Par contre, il attrape près de 100% des erreurs.

Ne pas faire de contrôle du résultat ne coûte rien, mais ne rattrape rien non plus. Quand on est très sur de soi, alors c'est la bonne méthode.

A priori, la preuve du neuf devrait capter 8 des 9 erreurs (ce n'est pas tout à fait vrai, ça dépend de ce qu'on fait), mais ne coûte que, disons, 1/5 du temps d'une opération (au pif).

Si on veut "optimiser son temps" pour avoir le plus d'opérations justes par unité de temps, alors on a la chose suivante:

Si on fait 24 opérations dans une heure sans vérification, on en fera donc 20 avec la preuve du neuf et on va pouvoir s'assurer que 17 ont été faites sans faute. Quand on a un meilleur taux naturel de réussite que 17/24, alors il ne faut pas faire la preuve du neuf, le temps qu'on perd n'est pas compensé par les erreurs qu'on capte. Par contre, si on fait plus de fautes que 1/3, c'est utile.

Par contre, si on refait une opération complète, on capte toutes les erreurs, mais on ne peut en faire que 12. Ce ne sera jamais aussi rentable qu'un teste partiel mais rapide qui débroussaille une bonne fraction des erreurs.

Bien sûr, si le temps n'est pas compté, et la justesse du résultat est primordial, on fait un test complet.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Patrick123.
JLT
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
avatar
Citation
vorobichek
@JLT, pourrais tu donner des exemples des opérations compliquées niveau CM1?

Je parlais juste de multiplications du type $8976473\times 748$.

Ce n'est pas difficile en soi, mais les tables de $7,8,9$ sont été apprises récemment. Pour réussir cette opération, il faut faire $21$ multiplications et une vingtaine d'additions, la probabilité de faire au moins une erreur parmi celles-ci est assez élevée, donc tant que les tables de $7,8,9$ ne sont pas bien maîtrisées, il vaut mieux rester sur des multiplications entre deux nombres plus petits.
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
@Patrick123,
Citation

Effectivement, une façon très solide c'est de faire l'opération inverse. Mais le prix à payer, c'est de doubler l'effort. Par contre, il attrape près de 100% des erreurs.
Je ne sais pas ce qu'il y avait dans la tête des décideurs et pourquoi les astuces ne sont pas enseignés... Peut-être ils se sont dit que l'opération inverse est un double effort... mais c'est le double résultat : on s'entraine à faire 2 opérations en même temps et on voit qu'elles sont liées. Peut-être ils se sont dit que les choses comme la preuve par neuf sont difficiles à démontrer aux collégiens et que certains élèves risquent à considérer les calculs comme magiques/boite noir. Il faut aussi préciser que les méthodes sont les mêmes partout et cela facilite le travail! Par exemple ne France il y a 3 méthodes de soustraction. En Russie une seule... et elle est différente de ces 3 méthodes (plus intuitif et logique à mon avis). Et du coup il n'y a plus de problème de changement d'école et d'enseignant. Les enfants ne se retrouvent pas comme en France : nouvelle année => nouveau enseignant qui exigent d'oublier les méthodes apprises avec l'autre prof et d'utiliser que les siennes. Prenons la soustraction :
- En CE1 les enfants apprennent la méthode 1
- En CE2 l’enseignant demande d'oublier la méthode 1 et d'apprendre la méthode 2
- En CM1 le troisième enseignant demande d'oublier la 1 et la 2
- En CM2 les enfants retrouve le PE qu'ils ont eu en CE1 qui demande la méthode 1. Ils l'ont déjà oublié!
Comment voulez vous qu'ils apprennent quoique ce soit dans ces conditions?

@JLT,
Citation

Je parlais juste de multiplications du type $897647 \times 748$.
La table de $7,8,9$ apprise en CM1? Ce n'est pas un peu TROP tard? Sinon oui, s'ils commencent tout juste avec cette table, pas la peine d'utiliser des nombres trop grands.
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
Bonjour à tous

Le livre intitulé "NOUVELLE ARITHMETIQUE des ECOLES PRIMAIRES, conforme, entre autre, à la circulaire ministérielle et au décret du 28 juillet 1903 propose le programme d'arithmétique des écoles primaires supérieures suivant :


ARITHMETIQUE

a) Opérations sur les nombres entiers

b) Preuve par 9 de la multiplication et de la division

c) …...

En 1903...les calculatrices étaient au stade de minerai…..
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
J'a appris la preuve par 9 au primaire (années 60), j'avais complètement oublié la présentation en croix, mais en relisant cette discussion, effectivement, ça me rappelle quelque chose.
Je connais la preuve par 11, mais je ne l'ai jamais apprise à l'école.

La preuve par 9 est simple à appliquer, amusante ...j'y vois plein d'intérêts y compris pédagogiques.
Quitte à aborder la preuve par 11, on peut aussi aborder la preuve par 7 (à peine plus compliquée que la preuve par 11)

@Patrick123 : Oui, si on permute 2 chiffres, la preuve par 9 continuera de dire que le résultat est potentiellement juste, alors que la preuve par 11 a des chances de le détecter. Si on permute le chiffre des dizaine et le chiffre des milliers, ni ola preuve par 9, ni la preuve par 11 ne vont le détecter, mais il faut être vraiment malchanceux pour permuter 2 chiffres qui ne sont pas consécutifs.
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
@vorobichek

Effectivement. quand le vois le parcours de mon cadet, les tables sont apprises de façon assez incompréhensible, et les 7 8 et 9 "les "difficiles" sont toujours à la traîne. Ce n'est pas qu'on ne les apprend pas avant (en CE2 normalement), mais ça arrive toujours à la fin de l'année, alors qu'on a passé un temps fou sur la table de 3 et de 4. Le mien (milieu CM1) avait officiellement la table du 6 à apprendre il y a quelques semaines. Il devait déjà apprendre "un peu" les tables jusqu'à 9 l'année passée en CE2, mais "une seule fois". Puis, plus rien. En CM1, à Noël, il devait apprendre.... la table du 3.

Attention, ça n'empêche pas, une fois toutes les 4 ou 5 semaines, de devoir faire soudain quelques multiplications posées sur des nombres 3 chiffres x 3 chiffres, avec tous les chiffres dedans. Puis, plus rien pendant des semaines.

Les additions posées, c'est plus souvent. Parfois, des multiplications sont tentées. Je crois que les résultats ne sont pas bons, et donc on passe à autre chose. Parfois même, on pose des divisions (avec un diviseur à un chiffre). Puis, pendant longtemps, plus rien.

Mais bon, je crois que dans l'école du mien, ça ne tourne pas rond.
JLT
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
avatar
Je crois que les tables de 7, 8, 9 sont apprises en CE2, mais souvent pas encore bien maîtrisées en CM1.
JLT
Re: La preuve par 9
il y a sept semaines
avatar
Patrick : donne lui 3 multiplications par jour pendant mois, il n'aura plus de problème après.
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