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Interprétation de l'écart-type

Envoyé par uvdose 
Interprétation de l'écart-type
il y a sept semaines
Bonjour à tous,

Je suis en train de rédiger mon cours de Première (spécialité) sur les variables aléatoires. Je cherche à écrire une phrase qui donne une interprétation de l'écart-type d'une variable $X$, à mi-chemin entre "rigueur" (hum...) et intuition. Voilà ce que j'ai écrit :

Plus l'écart-type de $X$ est petit (resp. grand), plus il est probable que les valeurs prises par $X$ soient proches (resp. éloignées) de l'espérance de $X$.

Mais je ne suis pas entièrement convaincu... Qu'en pensez-vous ? Avez-vous une meilleure idée ?
Merci par avance,

UV
Re: Interprétation de l'écart-type
il y a sept semaines
avatar
En anglais, l'écart type se dit standard deviation, il mesure la dispersion de la série autour de la moyenne.
Utilise les valeurs au programme en terminale pour la loi normale (0,68, 0,95 et 0,997) pour servir de repère.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par nicolas.patrois.
Re: Interprétation de l'écart-type
il y a sept semaines
Bonjour.

Contrairement à d'autres caractéristiques en statistiques, l'écart type n'a pas de signification, mais il s'est imposé en stats et surtout en probas comme mesure de dispersion pour ses propriétés calculatoires, en particulier les théorèmes limites. J'ai un peu peur que ce que tu dis ne soit pertinent que pour une variable de loi donnée. Dire que c'est une mesure de la dispersion des valeurs possibles, mesure technique et peu intuitive, me semble un bon début. Puis relier un écart type constant à des densités assez différentes (une grosse bosse et des queues de distribution assez longues, une variable uniforme sur un intervalle, une distribution discrète pas trop étalée, par exemple) pour montrer que c'est difficilement interprétable directement, devrait suffire à l'intuition. Enfin, son rôle pour des variables gaussiennes peut être évoqué oralement.

Cordialement.
Re: Interprétation de l'écart-type
il y a sept semaines
Bonjour,

à mes (meilleurs) collégiens je parle d'écart moyen - je ne crois pas qu'il y ait de nom officiel en français - qui est la moyenne des écarts à la moyenne (donc l'écart-type sans l'exposant 2) et qui quand on leur fait calculer leur permet de sentir l'information de dispersion donnée par ce genre de caractéristique.

A un niveau 1ère tu pourrais faire la même chose avec en plus un travail pour montrer que cet écart-moyen n'a pas de "bonnes" propriétés mathématiques, contrairement à l'écart-type.
Re: Interprétation de l'écart-type
il y a sept semaines
avatar
L'ennui, c'est que par définition l'écart moyen (à la moyenne) est nul. grinning smiley

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Interprétation de l'écart-type
il y a sept semaines
Il s'agit sans doute de l'écart absolu moyen, la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne. Il n'est pas très intéressant, contrairement à la moyenne des valeurs absolues des écarts à la médiane.

Cordialemenr.
Re: Interprétation de l'écart-type
il y a sept semaines
Bonsoir,
on peut considérer des statistiques : on a un nombre fini de données $(x_1, x_2,\dots, x_n)$.
L'écart-type est alors la distance entre le point $(x_1, x_2,\dots, x_n)$ et sa projection sur la première diagonale, en prenant comme unité la longueur d'une diagonale de l'hypercube de dimension $n$.
Re: Interprétation de l'écart-type
il y a sept semaines
Il faut peut-être partir de la variance.

Je traduis de Feller. On peut trouver une "interprétation en mécanique avec, pour une distribution de masses sur un axe, le centre de gravité pour la moyenne et le moment d'inertie pour la variance". "Une petite variance signifie que de grands écarts par rapport à la moyenne sont improbables."

Prendre la racine carrée a un intérêt en termes d'unités.
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