Preuves par récurrence

Chaurien a écrit:

L'inégalité de Bernoulli, en dépit de sa simplicité, est vraiment très utile.

Oui ! Pour tout entier $n\geq 1$ et tout réel $a>-1$, $(1+a)^n\geq 1+na$, c'est très fort !

Je n'ai d'ailleurs jamais compris pourquoi dans le programme de TS il est écrit "pour $a$ réel strictement positif et tout entier naturel $n$" : on perd tout !

Soit $f\colon\N\to\N$ strictement croissante, telle que $f(2)=2$ et telle que :$$\forall(m,n)\in\N^2,\kern0.5em f(m\times n)=f(m)\times f(n).$$ Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $f(n)=n$.

Une petite infidélité à la récurrence, pour rappeler une démonstration de l'inégalité des moyennes arithmétique-géométrique, rencontrée dans un livre de Lefébure de Fourcy, dont on parle dans le fil sur Galois.
Pour deux réels $x_1$ et $x_2 $ distincts il est bien clair que : $x_1x_2<(\frac {x_1+x_2}2)^2$.
Soit un entier $n \ge 2$ et un réel $S>0$. Soit $K$ l'ensemble des $(x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb R^n$ tels que $x_i \ge 0$ et $x_1+x_2+...+x_n=S$. Si le produit $x_1x_2...x_n$ admet un maximum sur $K$, ce ne peut être en un point où l'un des $x_i$ serait nul, car ce produit prend des valeurs $>0$, et ce ne peut être en un point où deux des $x_i$ seraient distincts, car alors en les remplaçant par leur moyenne arithmétique, on augmenterait strictement le produit. Ce maximum ne peut donc exister qu'en un point $(x_1,x_2,...,x_n)$ où tous les $x_i$ sont égaux, et donc égaux à $\frac Sn$, point unique. Ce qui prouve que $x_1x_2...x_n \le (\frac {x_1+x_2+...+x_n}n)^n$, égalité si et seulement si les $x_i$ sont tous égaux.
À cette démonstration incomplète du brave Lefébure de Fourcy, j'ajoute que l'existence de ce maximum sur $K$ est assurée car $K$ est compact et l'application $(x_1,x_2,...,x_n) \mapsto x_1x_2...x_n$, de $ \mathbb R^n$ dans $ \mathbb R$, est continue, ce qui permet de conclure.
J'avais parlé à ce propos « du bon usage des théorèmes d'existence » car c'était un exemple d'une situation où si l'on sait qu'un extremum existe, alors il devient facile de le déterminer.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Mais de rien, Nahar, j'ai toujours plaisir à prendre connaissance d'une idée mathématique nouvelle pour moi.
Bien cordialement,
Fr. Ch.

Autre propriété de la suite de Fibonacci, définie par $F_0=0$, $ F_1=1$ et pour tout $ n \in \mathbb N$ : $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$, et qui nécessite une récurrence à un moment ou à un autre.
$\bullet$ Démontrer qu'il n'existe pas $ m \in \mathbb N^*$, $ n \in \mathbb N^*$, $ p \in \mathbb N^*$ tels que : $F_m^2+F_n^2=F_p^2$.
Bonne nuit.
Fr. Ch.

Oui, Eric, j'ai donné cette méthode plus haut, avec une fonction qui n'est pas tout à fait la même. Comme j'ai dit, j'avais trouvé ça dans une ancienne revue trouvée à la BU de Jussieu, il y a des années, mais je ne sais plus où j'ai mis ça. C'était peut-être le Journal de Liouville. J'avais posé cette question en Math. Sup. C'est un bon exercice.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Oui en effet ce journal est aussi connu en France sous le nom de Journal de Liouville.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Journal_de_mathématiques_pures_et_appliquées
La bibliothèque de mathématiques de Jussieu est très riche en revues, et j'y avais trouvé cette démonstration, sans doute dans ce journal, à une époque où Internet n'existait pas, non plus que Numdam. J'en avais fait un énoncé pour ma classe de Math Sup car cette démonstration utilise une étude de fonction, plus un raisonnement par récurrence, ce qui est vraiment dans le cœur du programme, et fournit un résultat très intéressant.
Bonne journée.
Fr. Ch.