Exercices de seconde

Tu peux chercher dans les cahiers d’exercices de Sésamath.

J’ai oublié le site chingatome qui pond lui aussi des exercices en pdf à la demande.

Voilà une proposition. (je ne sais pas trop si c'est faisable ou non.)

$(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)=?$
Explication avec exemples de la simplification de $\frac{1}{\sqrt{n}\pm\sqrt{m}}$, et majorer $\sqrt{n^2+1}-n\le \frac1{2n}$.
Si $\phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ alors $\phi = \def\c#1{1+\frac{1}{#1}} \c\phi = \c{\c{\c{\c{\phi}}}}$.
Décomposer (guidé, peut-être simplement vérifier la réponse !) en éléments simples $\frac{1}{x(x+1)}$, et calculer $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$. Même question avec $\frac{1}{x(x+1)(x+2)}$.
$2\cdot (1+2+\dots+n) = n(n+1)$. (on somme une fois en allant dans un sens et une fois dans l'autre).
$(a+1)(n-a) \ge \big(\frac{n+1}{2}\big)^2$, et donc $(n!)^2\ge \big(\frac{n+1}{2}\big)^n$.
Pour $h_n = 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}$, montrer $\frac{1}{2} \le h_{2n}-h_{n} \le \frac{n}{n+1}$.

Ah oui tu as raison pour les $n!$ les inégalités sont dans le mauvais sens.

Sinon, je ne sais pas si c'est comme un robot, peut-être :
$
\underbrace{
\underbrace{
\underbrace{
\underbrace{
(1-x)
(1+x)}_{1-x^2}
(1+x^2)}_{1-x^4}
(1+x^4)}_{1-x^8}
(1+x^8)}_{1-x^{16}}
$

Ah oui là je t'ai mis la version avec les fautes.

La prochaine fois, je t'envoie la version relue, et tu me feras un virement de $66\%$. :-D

Inscrivez-vous et signalez les erreurs que vous voyez, comme je le fais. Elles seront corrigées.

Il s’agit certainement d’une toute simple (mais lourde de conséquences !) typo pour le 132 :

$P=2\times 3\times 5 \times 7 \times ... \times p + 1$.

Ça va un peu mieux avec ça.

Évidemment il reste l’ambiguïté sur « qu’est-ce qu’on multiplie exactement ? ».