Justifier l'apprentissage du radian en EDS

EDS = Enseignement De Spécialité ?

Le radian est la longueur d'un arc du cercle unité.

Au lieu de dire « un angle dont la longueur de l’arc est $x$ si le cercle a pour rayon $1$ », on préfère dire « un angle de $x$ radians ».
C’est vrai que c’est plus court.

Bonjour,

@bulledesavon : comme tu sais, je suis physicien, alors ma réponse n'est peut être pas adaptée : je te laisse juge.

Pour mesurer un angle, par exemple entre deux segments sécants, on veut une mesure de l'écartement de leur direction : on peut avoir l'idée de découper les écartements selon une échelle de mesure : les degrés qui découpent l'écartement maximum en 180 unités.

Mais, on peut avoir une autre idée : il est plus facile de mesurer des longueurs que des écartements. (En fait, on ne sait mesurer que des longueurs, mais c'est une autre histoire.) On trace alors un cercle, et au lieu de mesurer un écartement on mesure la longueur le long du cercle. C'est une nouvelle façon de mesurer un angle, n'est-ce pas ?
On mesure la longueur le long du cercle $\ell$ et comme elle est proportionnelle au rayon $r$ (alors que l'angle reste le même), alors on forme le rapport $\ell/r$ pour cette mesure d'angle. Il faut alors lui donner une unité puisque un angle de $1$ dans la première méthode ne vaut pas $1$ dans la seconde. On lui donne le nom de 'mesure circulaire d'un angle' puis, plus tard, de 'radian'.

L’argument est étonnant YvesM, mais je ne dis pas qu’il n’est pas convenable.
Je reprends ce que tu dis.

1) on donne communément des mesures à des angles, en degrés ou en grades.
2) une autre méthode est d’attribuer à un angle un quotient de longueur (arc/rayon).
3) comme on veut éviter les confusions, on donne une unité au quotient de longueur.

N’y a-t-il pas une contradiction « purement physique » oserais-je dire ?
N’importe quel quotient de longueurs est alors un nombre avec une unité : le radian.

Édit : orthographe.

Alors :
Longueur de l’arc : $\ell$.
Rayon : $r$.

Longueur du côté d’un rectangle : $a$.
Longueur d’un autre côté du rectangle : $b$.

Si $a=\ell$ et $b=r$, alors $\ell /r$ est en radian mais pas $a/b$.

Ha ça, c’est mon credo : ne jamais commencer par répondre directement à « à quoi ça sert ? ».
Jamais. D’ailleurs argumenter dans ce sens est « dangereux » (toute proportion gardée).

@YvesM: un angle peut être vu comme un rapport de deux grandeurs exprimées dans la même unité.

Je me souviens que la question du radian comme unité m'avait un peu bloqué en physique, lorsqu'il était question de pulsation. Physiquement je comprends pourquoi, mais en analyse dimensionnelle est-ce que le radian existe ?

Rien ne me convainc.
Enfin, si, je suis convaincu que "radian" n'est pas une unité de mesure.
C'est un terme utilisé pour alléger le discours, comme je l'ai dit plus haut.

Je pense même qu'on ne devrait pas dire "l'angle mesure 2,1 radians" mais davantage "l'angle est de 2,1 radians" ou "l'angle correspond à 2,1 radians" éventuellement.

Je le dis de nouveau : "l'angle est de 2,1 radians" signifie "l'angle est tel que si le rayon du cercle est 1, alors la longueur de l'arc de cercle est 2,1" qui sous-entend d'ailleurs que l'on sait de quel cercle on parle...(et on peut proposer une phrase encore plus longueur qui chasse - presque - tous les implicites)

Edit : je viens de voir ton message.
Justement, les quelques articles que je lis contiennent les contradictions que je pointe dans ce fil.
Je te remercie toutefois et te comprends (comme toi je crains le dialogue de sourds :-)).

Edit 2 : pour les rectangles, on parle de ratio - nouveau terme des programmes de collège - (voir le fil sur les pixels où l'on utilise le terme "format" avec les exemples courants 4/3 ou 16/9).
Personne ne me dira que 4/3 est un nombre avec une unité.
D'ailleurs un angle de "format" 4/3 ou d'environs "1,33 radians", ça m'amuse de penser que ça pourrait se dire.

Vu !
Aucun problème Yves ;-)

Amicalement, bien sûr :-)

Dom

Edit : je crois que j'ai bientôt une manière de me rapprocher de ton point de vue...
C'est artificiel (enfin, en physique, les unités "premières" le sont de toute manière) mais très pratique.
J'attends un peu et suis occupé pour le moment. Mais on va tomber d'accord je pense et c'est même moi qui vais tomber d'accord avec toi...

Si le radian est une unité de mesure, il mesure quoi?
L'égalité $\exp (ix) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(ix)^k}{k!}$ a-t-elle un sens physique et si oui et si la variable $x$ possède une unité $u$, quelle est cette unité et pourquoi peut-on sommer des $u^n$ avec des entiers $n$ différents?

En physique :

Si l'on s'accorde à dire la chose suivante :
"Le degré (°) est une unité de mesure des angles, la référence étant l'angle plat qui mesure 180°."

Alors on peut définir une nouvelle unité de mesure, le radian (rad) avec : $\pi$ rad = 180° (et par proportionnalité pour les autre mesures).

Comme le lien entre € et $\$$ (à l'instant $t$), comme le lien entre mètres et yards, comme le lien entre °C et °F (mais là c'est un lien affine et non proportionnel).

Là, j'étais en physique et non en mathématiques.

En mathématiques maintenant : c'est ce que j'ai décrit plus haut. On utilise le terme "radian" par commodité de langage. Mais je ne parle plus d'unité de mesure.

Il s'agit bien de deux acceptions.

Des détracteurs ?

Dom

Bonjour,

@Dom : Un physicien préfère partir du radian pour définir les sous-unités comme le degré.

Quand on a défini $\theta = |\theta|.\theta_0$ on peut définir des sous-unités par $\theta = |\theta|.\theta_0 = |\alpha|.\alpha_0$ par exemple, l'angle $\theta=180.deg = \pi.rad$ dont la mesure en degré est $180$ et la mesure en radian en $\pi.$

Si l'on ne donne que la mesure sans préciser l'unité, on n'a pas défini l'angle. Comme une masse de $10$ ne donne aucune indication sur cette masse (ni même qu'elle est non nulle puisqu'une masse nulle dans une échelle n'est pas forcément nulle dans une autre échelle).

Il faut bien donner le couple $(|\theta|, \theta_0)$ pour définir $\theta$ : d'où la notation $\theta = |\theta|.\theta_0.$

En mathématiques, c'est pareil : quand on a une fonction $f$ d'une variable $x$, il faut donner $x$ et $f$ pour définir $f(x).$

L'angle mathématique est $f(x)$ : le mot 'radian' donne la fonction $f$ alors que $\pi$ donne le $x.$
Ce même angle peut aussi être défini par $g(y)=f(x)$ : le mot $degre$ donne la fonction $g$ alors que $180$ donne le $y.$

En mathématique, on suppose une règle : quand on ne précise pas la fonction $f$ ou $g$ par les mots $rad$ ou $deg$, c'est $rad$ par défaut.

Donc, en maths, je ne suis pas choqué de lire : l'angle vaut $\pi$. Je comprends par défaut : $rad$.
Mais un angle de $\pi.deg$ existe aussi et il faut bien le distinguer d'un angle différent de $\pi.rad$.

Je suis d'accord qu'en maths il ne s'agit pas 'd'unité de mesure' mais simplement d'une référence à une certaine fonction implicite.

Il semblerait que l'ingénieur et physicien James Thomson, à l'origine du radian, ait introduit beaucoup d'autres termes en science (voir image). Pourquoi radian ? Radian, du latin radius, rayon : un angle d’un radian intercepte un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle.

source image : Trigonometry, De Charles P. McKeague, Mark D. Turner, 2007

Une note à la page 118 du livre de Charles P. McKeague, Mark D. Turner précise :
Bien que bien que la première utilisation imprimée du terme radian soit attribuée à James Thomson, on pense que le concept de radian a été initialement proposé par Roger Cotes (1682-1716), qui fut le premier à calculer 1 radian en degrés.
À lire aussi la note page 119 :

Bonjour,

@Dom et @GaBuZoMeu :

Un ressort. On prend une masse étalon de 1.kg, on l’accroche, on mesure une extension du ressort de 10.cm.
Pour mesurer une masse m, on l’accroche, on mesure une extension de 20.cm.
On conclut que la masse m est 20.cm/10.cm 1.kg=2.kg.
On a mesuré un rapport de longueurs qui est adimensionnel. Mais la masse m possède une dimension.

On fait pareil avec un angle :
On prend un angle étalon de 1.rad.
On mesure un angle par le rapport de la longueur de l’arc et du rayon : on trouve 4.cm/2.cm.
On conclut que l’angle est 4.cm/2.cm 1.rad=2.rad.
On a mesuré un rapport de longueurs qui est adimensionnel. Mais l’angle possède une dimension.

Votre raisonnement ‘puisque la mesure de l’angle est un rapport adimensionnel, alors il n’a pas de dimension’ mène à considérer la masse comme adimensionnelle, n’est-ce pas ? Pourtant vous ne le croyez sans doute pas.

Pourquoi ?

Ci-joint une lettre du fils de James Thomson, parue dans Nature, avril 1910.
Bataille autour du mot..

à lire aussi Whence the "radian" ? Robert J Whitaker

@GaBuZoMeu : le tour est angle étalon canonique, mais d'autres grandeurs physiques ont aussi des étalons canoniques, comme la longueur de Planck.

Ceci ne l'empêche pas d'être canonique. Si on veut quelque chose de plus facilement accessible, on peut dire que l'unité de vitesse canonique est celle pour laquelle $c=1$.

Bonjour,

Je viens de lire la page Wiki de ´grandeurs physiques’ et il est noté que l’angle est adimensionnel OU de dimension le radian.

Je sais bien que les deux points de vues existent.

Je considère qu’un tour reste un tour, oui. Mais qu’il vaut $2 \pi.rad$ avec le radian son unité physique. Les instances internationales ont varié sur ce point... et changeront encore (sans doute).

Bonjour,

Tu dois avoir raison. Mais alors ils donnent bien le ´radian’ comme unité pour les angles. Cependant, une phrase dit explicitement que ‘l’incorporation de la grandeur angle n’est pas générale dans l’analyse dimensionnelle’. Personnellement, je l’utilise systématiquement...

Pour revenir à ton raisonnement sur le tour (qui est intéressant pour comprendre en quoi ce cas de l’angle est problématique). D’ailleurs, la mole donne les mêmes divergences de vues.

Comme @JLT le remarque on peut trouver des grandeurs canoniques qui ne varient pas comme la vitesse de la lumière ou la masse du proton ; puis mesurer des vitesses et des masses comme des fractions... donc sans dimension.

En relativité générale, la déformation de l’espace fait que la circonférence n’est pas forcément $2\pi$, n’est-ce pas ? Donc un monde où ‘le tour n’est plus le tour’ n’est pas si étrange à concevoir avec les trous noirs tout autour de nous.

Je me souviens que "la droite qu'on enroule" m'avait fait bondir comme élève dans le temps, ça cassait toute forme de rigueur mathématique. J'avais dit à mon prof que si on pouvait "faire courber" une "droite" alors pourquoi pas en faire de l'élastique et alors selon qu'on tirait plus fort ou pas, les nombres s'écartaient un peu plus ou un peu moins et je pouvais mettre n'importe quel nombre n'importe où sur le cercle en tirant plus ou moins fort.

Il m'avait sagement répondu à l'époque que oui, c'était de la foutaise, mais pour le comprendre il faillait comprendre la longueur d'arc avec une intégrale, et on en était pas là, donc il fallait patienter, je comprendrais plus tard. Ce qui fut.

Je préfère ton modèle, JLT, à celui de Christophe pour qui c’est tout simplement un corps (où on peut additionner des choux et des carottes).

JLT a écrit:

> J'utiliserai une notion de "l'angle du tournevis"
> (je ne sais pas si ça a un nom mathématique) :
> "tourner de 450° dans le sens trigonométrique" a
> un sens.

Ça a un sens "cinétique", mais il faut un paramètre d'évolution continue (par exemple le temps quand on pense à des applications physiques) pour différentier 720 degrés de 0 degrés: purement en regardant la situation de départ et de fin (purement géométriquement) ça ne se distingue pas. C'est "le mouvement" qui se distingue, pas le résultat final.

Je suppose que ce que la remarque de l'élève du début du fil impliquait, c'est que le concept d'angle avait été élargi, d'une idée purement géométrique (une relation entre deux demi-droites commençant au même point), à une idée plus cinétique (une sorte de "propriété d'évolution").