Introduire les lois à densité
Bonjour
J’enseigne en TSTL cette année et je me pose beaucoup de questions sur l’introduction de la loi uniforme qui va aller de pair avec l’introduction des lois à densité.
Je dois donc faire découvrir aux élèves en une activité le passage du discret au continu avec en exemple de loi la loi uniforme.
Y a-t-il des personnes qui enseignent en classe technologique ces concepts et si oui comment procédez-vous.
Car le plus dur c'est bien l'introduction de ces concepts, si c'est bien fait le cours se fait rapidement et les exercices sont très répétitifs et très simples. Pour moi tout l'enjeu est dans la présentation de ces concepts, de manière abordable pour les élèves de classes technologiques.
Merci.
J’enseigne en TSTL cette année et je me pose beaucoup de questions sur l’introduction de la loi uniforme qui va aller de pair avec l’introduction des lois à densité.
Je dois donc faire découvrir aux élèves en une activité le passage du discret au continu avec en exemple de loi la loi uniforme.
Y a-t-il des personnes qui enseignent en classe technologique ces concepts et si oui comment procédez-vous.
Car le plus dur c'est bien l'introduction de ces concepts, si c'est bien fait le cours se fait rapidement et les exercices sont très répétitifs et très simples. Pour moi tout l'enjeu est dans la présentation de ces concepts, de manière abordable pour les élèves de classes technologiques.
Merci.
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Réponses
A un niveau M1, traiter de la même façon le discret et le continu est une nécessité (unification des méthodes). A ton niveau (si j'enseignais encore), je marquerais nettement la différence avec l'idée intuitive de "prendre un nombre réel (*) au hasard entre 0 et 1", où l'équiprobabilité supposée donne une chance sur 2 d'être entre 0 et 0,5, une chance sur 10 entre 0,2 et 0,3, etc, finalement une probabilité h d'être entre a et a+h ($0\le a\le a+h\le1$). Et bien noter le caractère contre-intuitif de ce modèle, tout en les rassurant sur l'usage pratique qu'ils en feront.
Donc pas de "passage du discret au continu" toujours difficile (**), au contraire, mettre l'accent sur la différence. N'importe comment, ils ne verront pas cette année des variables mixtes.
Cordialement.
(*) surtout pas les décimaux, ça induit des difficultés conceptuelles.
(**) J'ai enseigné en IUT des passages de modèles continus à leur échantillonnage discret, ça passait difficilement, bien qu'ils utilisent ensuite ça en électronique ou traitement du signal.
Diverses illustrations obtenues grâce à l'outil informatique du résultat bien connu suivant pourraient être une piste:
Soit, pour tout $n\in\N^*$, $X_n$ une variable aléatoire de loi $\mathcal{U}(\{~0~;~\ldots ~;~n~\})$.
Alors, la suite $\Big(\dfrac{X_n}{n}\Big)_{n\in\N^*}$ converge en loi vers une variable aléatoire de loi $\ \mathcal{U}([0,1])$.
j'ai fait ça une fois, juste avant de partir à la retraite.
J'étais parti de loi uniformes sur {1...n} envoyées dans [0;1] en divisant par n.
Quand n est grand on obtient une surface noire en faisant un diagramme en bâton.
D'où la probabilité égale à l'aire sous la courbe.
Ça n'a pas été très concluant.
Essayer de créer une intuition sur le passage discret/continu n'est pas si important que ça, surtout quand on n'a rien pour être un peu rigoureux.
1ere) Travailler sur le fait que la probabilité de tirer un nombre dans l'intervalle [c;d] est le rapport de longueur d-c/b-a.
En commençant par [c;d]=[0;5] puis [c;d]=[7.5;10] puis [c;d]=[3;4] puis [c;d]=[6,3;6,7]. Le but étant d'arriver à exprimer la proba comme le rapport d-c/b-a. Ensuite travailler sur le fait que deux intervalles de même longueur ont même proba (pour expliquer le terme "uniforme"). Ensuite donner la fonction de densité et demander de l'intégrer entre c et d pour chacune des bornes étudiées précédemment. Retrouver les résultats. Puis expliquer que cette fonction de densité servira de loi de proba et qu'à partir d'elle on peut calculer la proba de n'importe quel intervalle. Leur demander d'évaluer la proba de [3,850;7,45] par exemple.
2eme) Passer par l'histogramme. Utiliser la calculatrice pour générer des nombres aléatoires entre 0 et 10.
On coupe l'intervalle [0;10] en 4.
Chaque élève simule 10 tirages, compte le nombre de tirages dans chaque sous intervalles. On regroupe les données de la classe. On trace l'histogramme associé. Ensuite on réfléchit sur le fait que les hauteurs sont à peu près les mêmes (d'où le uniforme) et valent à peu près 0,1 (qui correspond à 1/longueur[0;10]). Je projette geogebra et je fais varier le nombre de classes et/ou le nombre de tirages. On essaie de voir ensuite si calculer l'aire d'un rectangle de largeur d-c et de hauteur 0,1 donne une bonne approximation de la fréquence de la classe [c;d]. Puis on introduit la fonction de densité et le calcul d'aire sous la courbe qui se ramène donc au calcul de l'aire d'un rectangle (cette activité je l'ai trouvé sur le site académique de Paris : activité).
Qu'en pensez-vous ?
Il faut alors introduire l'idée qu'il faut beaucoup moins de cases que de tirages, puis il y a l'erreur statistique par case, etc... Il y a mille façons d'introduire plus de confusion qu'autre chose avec un histogramme précoce quand l'idée de densité n'est pas bien acquise. L'histogramme est un estimateur d'un échantillonnage d'une densité, et plein de pièges.
J'irai plutôt pour "le pot de peinture" qu'on étale: par gouttelettes (discret), ou avec le pinceau (continu).
@bulle de savon: pour ma part, voilà ce que j'avais donné pour démarrer (voir document joint).
La remarque d'alea me semble judicieuse.
Travailler sur des exercices du type suivant (en marge du programme) me semble bien plus formateur, mais de peu d'utilité dans l'optique du bac où les exercices sont effectivement tels que tu les décris.
Cordialement.
Y.
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Deux amis décident de se retrouver au café de l’Hôtel de Ville entre sept et huit heures du matin.
Ils peuvent arriver à tout moment entre sept et huit heures.
Que peut-on dire du temps d’attente du premier arrivé ?
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Je pense beaucoup de mal des simulations informatiques, ou autres, comme introduction aux probabilités.
On confond statistiques et probabilités.
Mais j'ai particulièrement de mal avec les simulations informatiques.
On a une fonction qui est censée simuler un tirage uniforme sur [0;1].
Ce qui veut dire qu'elle renvoie des valeurs qui ont l'air d'être des tirages indépendants suivant une loi uniforme.
Et que ce serait vraiment étonnant qu'elle ne le fasse pas, puisqu'elle a été faite pour ça.
Mais « on » sait bien que ce n'est pas le cas, on a affaire à des fonctions déterministes, l'air n'est pas la chanson.
Et on peut remarquer que, dans ton document, une loi uniforme sur [0;1] est ce que donne un générateur pseudo-aléatoire, c'est-à-dire une loi discrète.
Je crois qu'il faut donner une définition d'une loi uniforme sur un intervalle.
*ON élève paresseux*
Madame, Monsieur, pourquoi intégrer? Dans le cas de la loi uniforme, c'est juste un rectangle. Il suffit de calculer son aire...
*OFF élève paresseux*
Voilà comment je fais avec les miens (ex BACs ES... en maths ils ne sont pas meilleurs que les tiens) et cela marche plutôt bien :
0) Avant les lois continues, je fais un cours complet sur les lois discrets. Par exemple je parle des axiomes de Kolmogorov avec un langage adapté. J'explique bien ce que c'est une $v.a.$ (sans parler des applications parce qu'ils ne savent pas ce que c'est). Ils ont bien compris ce que c'est une loi de proba et tout ce qui va avec (notations, support, fonction de masse etc.)
1) Je présente d'abord les $v.a.$ continues. Dans cette partie il faut bien leur faire comprendre qu'on parle de n'importe quel nombre réel exacte (pris dans un intervalle précis). Ci c'est $\sqrt{2}$ ou $\pi$, c'est exactement ce nombre, avec tous les chiffres après la virgule et non l'approximation du nombre $\pi \approx 3,14$. Si j'ai de la chance et les étudiants ne sont pas trop endormis, quelqu'un fera la remarque qu'on ne connait pas tous les chiffres après la virgule.
2) Puis on parle de l'absurdité de chercher la probabilité $P(X=a)$ si $X$ est une $v.a.$ continue et $a \in \mathbb{R}$. Je les amène à comprendre que cette probabilité est nulle. Et de toute façon chercher $P(X=a)$ dans le cas continue n'est pas une chose utile. Par exemple, la probabilité que la taille d'une personne est exactement 160 centimètres... sachant que toutes les mesures sont approximatives (-/+ erreur de mesure).
3) Au vu ce que c'est une $v.a.$ continue, comment définir les choses tout en restant dans le cadre des 3 axiomes de Kolmogorov? Là le cours commence vraiment : fonction de densité, fonction de répartition, espérance, variance etc. Je prends comme le cas illustratif la loi triangulaire, sans la nommer et je pars de la représentation graphique. Une attention particulière : il faut s'assurer qu'ils comprennent que l'intégrale est une somme!
4) Les lois usuelles "simples", dont la loi uniforme. Je ne leur fais rien "découvrir". On part de la fonction de densité et on prouve le reste des formules (quand c'est possible).
5) La loi normale et l'approximation des lois discrets. C'est la partie idéale pour faire des simulations et montrer des jolies images/animations. :-D
D'après mon expérience, les exercices calculatoires sans contexte sont très appréciés par tous (étudiant faibles et forts). Même si les faibles ont parfois du mal à calculer, ils comprennent ce qu'on fait et suivent. Bref, 1 TD + 1 devoir pour les automatismes, puis on fait des problèmes et applications.