Apprendre en autodidacte quelques rudiments
Bonjour à tous,
Je sais que la question a déjà été posée mille fois, mais malgré mes recherches je n'ai pas trouvé toutes les réponses que j'espérais. Je suis agrégé de philosophie et je souhaiterais acquérir quelques rudiments (et même en réalité un peu plus) de mathématiques afin d'avoir une compréhension plus concrète et précise de certains points d'épistémologie qui m'intéressent grandement mais qui touchent, plus ou moins directement, aux mathématiques dont je ne connais pour ainsi dire rien. Ces points sont, par exemple, l'axiomatisation, l'axiome du choix, la théorie des ensembles (je fais par exemple, avec les élèves, le paradoxe de Russell mais j'aimerais pouvoir comprendre plus précisément l'entreprise de Frege et celle des Principia Mathematica qui m'échappent totalement), mais également certaines équations en physique. J'aimerais donc pouvoir comprendre tout cela "de l'intérieur", et non pas d'un point de vue extérieur comme c'est le cas actuellement - tant il me semble évident qu'on ne peut comprendre les mathématiques qu'en mathématisant vraiment.
Alors j'ai bien conscience du fossé qui sépare l'état actuel de mes connaissances mathématiques de l'objectif final, et qu'il ne suffira probablement pas de débuter pour saisir tout ce à quoi j'aspire. J'aimerais néanmoins ne serait-ce que tenter l'expérience et me rabibocher avec cette discipline que j'ai tant mal-aimée par le passé, mais avec laquelle je partage désormais le privilège des jugements synthétiques a priori ! (:P)
D'où ma question : par où commencer et comment s'orienter dans l'apprentissage des mathématiques ? J'ai bien conscience qu'il me faut me remettre au niveau du Bac S, mais précisément : avez-vous des sites, des ouvrages à recommander ? Puis, par la suite, des sites ou des ouvrages à recommander pour un niveau licence ?
Ma demande est ici, comme vous le voyez, très concrète même si je me pose aussi beaucoup de questions plus techniques et qui touchent à l'essence des mathématiques et à leur propédeutique : par exemple, peut-on se consacrer exclusivement à l'apprentissage d'une seule branche des mathématiques, par exemple l'arithmétique en excluant la géométrie ? C'est probablement une hérésie, pardonnez le boétien que je suis...
Je sais que la question a déjà été posée mille fois, mais malgré mes recherches je n'ai pas trouvé toutes les réponses que j'espérais. Je suis agrégé de philosophie et je souhaiterais acquérir quelques rudiments (et même en réalité un peu plus) de mathématiques afin d'avoir une compréhension plus concrète et précise de certains points d'épistémologie qui m'intéressent grandement mais qui touchent, plus ou moins directement, aux mathématiques dont je ne connais pour ainsi dire rien. Ces points sont, par exemple, l'axiomatisation, l'axiome du choix, la théorie des ensembles (je fais par exemple, avec les élèves, le paradoxe de Russell mais j'aimerais pouvoir comprendre plus précisément l'entreprise de Frege et celle des Principia Mathematica qui m'échappent totalement), mais également certaines équations en physique. J'aimerais donc pouvoir comprendre tout cela "de l'intérieur", et non pas d'un point de vue extérieur comme c'est le cas actuellement - tant il me semble évident qu'on ne peut comprendre les mathématiques qu'en mathématisant vraiment.
Alors j'ai bien conscience du fossé qui sépare l'état actuel de mes connaissances mathématiques de l'objectif final, et qu'il ne suffira probablement pas de débuter pour saisir tout ce à quoi j'aspire. J'aimerais néanmoins ne serait-ce que tenter l'expérience et me rabibocher avec cette discipline que j'ai tant mal-aimée par le passé, mais avec laquelle je partage désormais le privilège des jugements synthétiques a priori ! (:P)
D'où ma question : par où commencer et comment s'orienter dans l'apprentissage des mathématiques ? J'ai bien conscience qu'il me faut me remettre au niveau du Bac S, mais précisément : avez-vous des sites, des ouvrages à recommander ? Puis, par la suite, des sites ou des ouvrages à recommander pour un niveau licence ?
Ma demande est ici, comme vous le voyez, très concrète même si je me pose aussi beaucoup de questions plus techniques et qui touchent à l'essence des mathématiques et à leur propédeutique : par exemple, peut-on se consacrer exclusivement à l'apprentissage d'une seule branche des mathématiques, par exemple l'arithmétique en excluant la géométrie ? C'est probablement une hérésie, pardonnez le boétien que je suis...
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Réponses
je commencerais par la lecture d'Henri Poincaré : "La science et l'hypothèse", que l'on trouve en livre électronique gratuit :
http://classiques.uqac.ca/classiques/poincare_henri/science_et_hypothese/science_et_hypothese.html
Amicalement,
Un autre livre: Mathématiques et finitude - Pierre Lochak - Editions Kimé - 2015
Cordialement,
Rescassol
On remarquera que les deux références que je viens de voir ci-dessus n'ont rien à voir (façon de parler bien sûr, tout a à voir s'il s'agit de mathématiques...) avec le programme qui permet de partir d'une très vieille TS et d'arriver à un niveau permettant la compréhension "par l'intérieur" des questions de fondements évoqués. C'est normal : je crois que chacun a déjà jugé (jaugé) l'entreprise : quasiment mort-née.
Pour avoir essayé de faire un peu de même, avec un très bon niveau de licence (celle d'il y a 25 ans, une mention très bien ou presque de l'époque, encore en état de fonctionnement des décennies après sa sortie... :-o), je peux t'assurer que c'est déjà coton quand on connaît un soupçon la bête par l'intérieur. Quand il faut tout apprendre et qu'on avait pas forcément la fibre (sans mauvais jeu de mot différentiel...), il ne faut pas avoir fait une thèse de troisième cycle pour saisir que c'est une gageure comparable à tenter d'organiser un carnaval la semaine prochaine sur les Champs-Élysées...
J'ai vu traîner beaucoup de polys, de cours et de livres sur le sujet des fondements des maths (et tout ce que ça touche) rédigés par des universitaires rattachés à des départements de philosophie, qui vont parfois loin dans le sujet. Je me permettrais donc modestement de conseiller de cheminer par la voie "philosophique" (on me pardonnera de mettre les choses dans des cases...), puis de poser des questions ici ou sur tous les forums existants pour avoir des éclaircissements sur un point précis, c'est-à-dire de dérouler la pelote au fur et à mesure des besoins plutôt que de vouloir fabriquer la sienne à partir d'un mouton pas encore tondu pour être sûr de ne pas manquer de laine...
Sinon, pour répondre tout de même à la question : ouvrir n'importe quel bouquin de TS récent ou un peu ancien... et s'y coller : chapitre 1, chapitre 2, etc. ;-)
Quel que soit ton chemin : bon courage, bon plaisir et surtout en ce moment, bon confinement !!
Je pense que tu peux tout à fait te concentrer sur certaines branches des maths. Pour quelqu'un qui compte devenir mathématicien, ça ne serait pas très sérieux et assez limitant d'ignorer certains pans des maths. Mais pour un amateur (au bon sens du terme : celui qui découvre pour le plaisir), ça ne devrait pas être trop gênant, et ça permet de ce concentrer sur ce qui t'attire le plus, pour garder une bonne motivation (si tu n'aimes pas la géométrie, inutile de t'en infliger par exemple).
En l'occurrence, tu as l'air de t'intéresser à la logique, super ! C'est vrai que ça semble assez naturel pour un philosophe. Peut-être que certains faits peu intuitifs peuvent aussi te plaire, notamment sur les cardinaux et ordinaux (formalisation de la notion de taille, l'hôtel de Hilbert, tous les infinis n'ont pas la même taille, etc.) et l'infiniment petit (formalisation de la notion de continuité, pourquoi certains théorèmes qui semblent évidents – comme le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème de Jordan, le théorème de la borne atteinte... – ne le sont pas du tout, l'existence d'objets bizarres comme des fonctions continues nulles part dérivables, l'escalier du diable...) ; et cetera, la liste est longue.
Je ne suis pas sûr que travailler les thèmes assez calculatoires du programme de lycée comme le calcul de dérivée, les études de fonctions, les intégrales, etc. soient particulièrement passionnant. A toi de voir.
Un truc qui parait difficile à esquiver si on veut faire des maths, c'est les types de raisonnement (implication, double implication, récurrence, analyse-synthèse...). On peut pas sérieusement faire des maths, sans faire de démonstrations.
En revanche, je suis désolé, je n'ai pas de livre à te conseiller (j'ai beau faire des maths à plein temps, je n'ai quasiment jamais ouvert un bouquin de maths, je le confesse). Et je ne connais pas non plus de site internet adapté (il y a Wikipédia qui est bien fourni, mais pas très pédagogique quand on débute : quand je le consultait au lycée, je me retrouvait rapidement comme un enfant de 7 ans qui cherche un mot dans le dico et qui doit aller regarder 5 autres entrées pour comprendre le sens de la définition ^^).
Après ça, je n'ai pas forcément de livres à te conseiller. Tu peux essayer de trouver des livres de prépa par exemple, mais ils ont un peu le problème de trop se concentrer sur "le concours", et pas assez la beauté des maths, pour un amateur, c'est pas top. Sinon, simplement regarder les programme de licence, et lire des polycopiés sur ce qu'ils contiennent, on en trouve partout en quelque coup de Google.
Pour la philosophie, je plussoie Poincaré et ajoute Principes du calcul infinitésimal de René Guénon.
J'ai déjà eu entre les mains l'ouvrage de Poincaré, il y a quelques temps déjà cependant, et je doute d'avoir été très concentré car je n'en garde pas grand souvenir. Je vais le reconsulter.
Toutefois, comme certains l'ont apparemment compris, je cherche plutôt à essayer de faire des "mathématiques mathématisantes" et non des "mathématiques philosophantes" ! Non plus, désormais, en ayant la prétention de comprendre mathématiquement certains points touchant aux fondements (j'ai bien retenu la leçon, curiosity ; ça me rappelle une anecdote, racontée par un ancien enseignant, selon laquelle tout le monde aimait parler du principe d'incomplétude même s'il n'existait que quelques individus au monde à la comprendre vraiment, ie mathématiquement - je ne sais si c'est vrai au demeurant) ; la question étant du coup de savoir si l'on peut parvenir à comprendre, ne serait qu'asymptotiquement, ces points par un langage vernaculaire et "philosophique".
Mais du coup, essayer de faire des mathématiques peut-être pour un intérêt un peu fasciné (peut-être fantasmé) pour la beauté du formalisme mathématique. J'aime beaucoup essayer, par exemple, de formaliser des argumentations, presque par esthétisme plutôt que par esprit de rigueur ; je sais que cela me dirige plutôt vers la logique, mais disons que j'aimerais apprendre à maîtriser le système de notation mathématique, ses modes de démonstrations et puis, évidemment, apprendre des choses pour le plaisir de ne plus y rien comprendre... J'espère que cette ambition qui relève de l'hédonisme et de l'esthétisme ne vous paraît pas trop... naïve !
Quelle serait alors l'alternative ?
En tout cas, merci à tous ! Quel accueil pour une question si banale
Une des options possibles est de prendre un sujet qui t'intéresse et de le travailler vraiment (en gros, comme si tu devais l'enseigner dans 3 mois à des étudiants). Bien sûr, tu vas tomber sur des propriétés supposées connues dans d'autres domaines, ce qui t'amènera soit à venir ici demander des explications, soit même à étudier un autre domaine qui est utilisé largement dans ce qui t'intéresse.
La grosse difficulté est de perdre l'habitude philosophique de remettre en cause à priori ce qui est dit (utile pour bien cerner les idées en philo), car le fonctionnement mathématique est d'accepter les définitions et axiomes (et propriétés déjà démontrées) pour en tirer des conséquences. Et les mots n'ont d'autre signification que ce que dit explicitement leur définition (*), voire, pour les mots de base, aucune !
Il est possible que ces retours en arrière te ramènent à des notions de lycée ou de collège, tu les retrouveras rapidement. mais les programmes actuels sont assez souvent creux, et il vaut mieux travailler directement à un niveau supérieur (**).
Si un domaine te paraît plus accessible, ou plus intéressant, on pourra te donner une bibliographie.
Cordialement.
(*) quand on dit de deux droites qu'elles sont sécantes, cela veut dire qu'elles ont un point en commun (définition). Un, pas deux; et rien à voir avec sécateur ou section (je dis cela pour avoir essayé de discuter avec certains littéraires qui cherchent des significations derrière les mots).
(**) de la même façon, à un matheux qui veut s'intéresser à la philo, on ne conseillera pas un manuel de terminale. Pour ma part, j'ai commencé directement chez Popper (conjectures et réfutations), ce qui m'a ouvert pas mal de pistes.
Oui, et même pire : il a été utilisé en sciences sociales pour justifier tout et n'importe quoi !
On en parle dans la conférence sur l'incomplétude (de Girard si ma mémoire est exacte) qu'on trouve facilement sur le web en tapant "cinq conférences sur l'indécidabilité" (auteurs : Bouleau, Girard...). Ce document est d'ailleurs excellent pour le sujet...
"J'espère que cette ambition qui relève de l'hédonisme et de l'esthétisme ne vous paraît pas trop... naïve !"
Ma foi je ne pense pas, et heureusement ! J'ai acheté un violon (premier prix) juste pour savoir comment on pouvait en tirer des notes. J'arrive à "jouer" des petites phrases simples. Ca me procure effectivement beaucoup de plaisir :-).
"Quelle serait alors l'alternative ?"
Pour prendre du plaisir, il faut à mon avis ne pas commencer trop haut et travailler avec le temps. De la géométrie de lycée avec des manuels des années 90 par exemple ? Mais on peut aussi tenter une autre voie en parallèle : lire les fondements de "théorie des ensembles" selon Bourbaki. Les premières pages du bouquin du même nom sont de la logique formalisée qui reprend tout à la base. (Et on trouve facilement sur internet des éditions pdf qui traînent ici ou là...)
Pour m'être posé un peu les mêmes questions, mais sans objectif philosophique je l'avoue, je peux te conseiller les livres de Paul Milan, qui sont très bien, et que tu peux trouver ici. Ils existent également en version papier, si tu préfères.
Si tu lis un peu l'anglais, il y'a aussi les notes en ligne de Paul Dawkins, qui sont très complètes.
En espérant que cela te sera utile,
Bon courage !
je dirais qu'il faut fuir comme la peste les manuels scolaires de ces vingt dernières années.
Un livre qui pourrait t'intéresser, mais considéré comme hors-maths, plutôt vers l'informatique : Gödel, Escher, Bac etc. de D. Hoftstadter.
Pour faire des maths, tu pourrais partir sur quelques grands auteurs qui ne s'embarrassent pas du programme, comme Bourbaki cité par Curiosity. Pourquoi pas le premier tome d'analyse de Godement ?
Ou inversement, pour faire des maths pratiques, les cours des classes préparatoires au écoles commerciales de Roque, Lebœuf, Chassard et Guegand.
Comme le dit gerard0,
Donc tu peux regarder les thèmes conceptuels de MPSI, par opposition à ceux qui sont juste techniques (notamment calculatoires). Je dis ça parce que je pense que, en tant que philosophe, ce sont sûrement plus les concepts qui t'intéressent (même si on peut prendre du plaisir à résoudre des exercices techniques).
Je pense aux chapitres sur les types de raisonnements et la logique de base (préliminaire indispensable, qui ne devrait pas prendre beaucoup de temps), la notion de cardinal, la formalisation de l'analyse réelle et de l'infiniment petit (définition d'une fonction continue ou dérivable, théorèmes de Heine et compagnie, convergence de suites, un peu de topologie...), la formalisation des probas (définition d'une tribu, d'une mesure de proba, d'une variable aléatoire... – c'est philosophiquement intéressant de voir comment on peut axiomatiser l'aléatoire). Si la logique t'intéresse vraiment, tu peux aussi voir les théorèmes de complétude / incomplétudes, etc. qui sont hors programme de prépa (je ne sais pas à quel point c'est abordable en dehors de la vulgarisation, étant donné que je n'ai pas encore vraiment étudié ces trucs).
Tout ça ne sont que des propositions, à toi de voir ce qui te plaît !
Je suis d'accord. J'ai rencontré une fois sur internet (pas sur ce forum) quelqu'un qui disait avoir fait des études de philo et qui refusait catégoriquement l'histoire de l'hôtel de Hilbert car il la considérait contradictoire. Il n'a pas laissé aux maths "une chance de s'expliquer" et les a automatiquement rejetées en blocs, en invoquant des arguments philosophiques. On ne peut pas honnêtement critiquer les maths en ne se servant que d'une discipline extérieure et sans essayer de comprendre la mécanique mathématique.
Il faut donc une certaine docilité quand on fait des maths. On ne peut pas dire d'un théorème qu'il est faux ou paradoxal (car un théorème est par définition vrai), encore moins d'une définition. On peut à la limite remettre en cause l’intérêt d'une notion, mais si c'est enseigné c'est forcément que ça n'est pas idiot. Donc il faut accepter les théories présentées, et c'est souvent après avoir travaillé sur une notion dont on ne voyait pas bien l'utilité au début, qu'on comprend sa pertinence et son "sens".
Un exemple : l'arithmétique en Terminale, les congruences compliquées et qui ne vont pas loin en même temps, alors que tout s'éclaire avec $\Z/n\Z$ l'année d'après.
on rencontre la même difficulté chez les matheux qui se mettent à la philo. Certains cherchent les théorèmes sur lesquels s'appuyer, alors que justement, le but est d'analyser les notions, pas de les formaliser. Cependant, certains auteurs sont plus accessibles que d'autres, j'ai accroché avec Popper, car il définit son vocabulaire quand ce n'est pas du traditionnel. J'ai arrêté de lire un autre (très médiatique il y a 30 ans) au bout du premier chapitre, car le même mot avait changé subrepticement de signification à plusieurs reprises.
Cordialement.
De façon générale, les introductions et préfaces des gros pavés ou des traités (Dieudonné, Godement déjà cité en analyse – excellente idée ! –, mais aussi en algèbre avec tout son premier chapitre sur la théorie des ensembles qui repart de zéro, (Schwarz et son cours d'analyse en 4 volumes, peut-être ?), etc.) sont toujours intéressantes à lire consciencieusement.
Il y a mine de rien beaucoup livres qui traitent du sujet, comme l'Abrégé d'histoire des mathématiques (Dieudonné), ou bien les publications des IREM (Aux origines du calcul infinitésimal, etc.). On peut aussi se tourner vers la géométrie, comme avec Serre et son célèbre Les Origines de la géométrie, et bien d'autres qu'on peut trouver. En ces difficiles temps de disette livresque (est-ce qu'Amazon et la Fnac livrent encore ??), on peut déjà se repaître de tout ce qu'Internet regorge à ce sujet, issus des cours en ligne proposés par les universitaires de facs de maths à propos de ces histoires d'Histoire des Maths... ;-)
PS : Un très bon site sur les nombres qui va de "pas très élevé" à "un peu plus" : http://villemin.gerard.free.fr/.
Il en existe bien d'autres du même genre dans d'autres branches, par exemple en géométrie : http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/index.html.
On voit assez souvent des messages de ce genre, et je suis convaincu que 9 fois sur 10, voire plus, la personne n'arrive à rien ou presque. Désolé si ce n'est pas très encourageant.
Je conseillerais comme lecture '17 équations qui ont changé le monde' de Ian Stewart. Ce n'est pas un cours de maths, on ne va pas y apprendre à résoudre une équation du 2nd degré, ni quoi que ce soit du genre. Mais on va y trouver des anecdotes, des curiosités... des équations qui ont changé le monde.
C'est assez sympa quand on s'intéresse aux maths de l'extérieur.
PS : En lisant cette discussion, j'ai appris 2 mots que je ne connaissais pas du tout, je parie que vous devinerez facilement lesquels.
Pour cette histoire des définitions qu'il faudrait ou non accepter, je dirais personnellement que les maths, c'est avant tout une langue. Une langue étrangère pour certains, une langue universelle pour d'autres. Cette langue est particulièrement développée pour traiter certains domaines, et très peu développée pour traiter d'autres domaines.
Cette langue a des règles grammaticales, comme toute langue, elle évolue aussi.
Quand on parle cette langue, on construit des phrases (sujet+verbe+complément assez souvent) ; certains ont tendance à oublier les verbes, et ils s'étonnent quand on leur dit que la phrase n'a pas de sens...
C'est une langue.
En réalité, quelqu'un qui connait et fait vraiment de la philosophie le sait parfaitement bien, ceci étant traité aussi bien par Agrippa que par Pascal dans L'esprit géométrique. Je vois, moi aussi, beaucoup de prétention dans l'attitude pseudo-surplombante de certains "philosophes" (en général, pas "de métier" d'ailleurs). J'ai bien conscience, toutefois, de ce qui sépare l'analyse conceptuelle de la mécanique mathématique et, bien entendu, il s'agit de démarches et même d'esprits différents. Mais, de fait, il y a malgré tout une diversité de styles dans l'argumentation philosophique qui fait que, chez certains philosophes, le souci de rigueur quasi formelle est réel : je pense en particulier à la philosophie analytique contemporaine, mais il y a de nombreux exemples dans l'histoire de la philo (j'ai par exemple réussi à formaliser un argument de David Hume sur l'induction avec un peu de proba et de limites).
Les librairies et bibliothèques sont certes fermées, mais j'ai réussi à mettre la main (d'une manière dont je ne témoignerai pas :-D) sur La théorie des ensembles de Bourbaki et l'Analyse mathématique de Godement : le premier, bien que la préface soit passionnante, m'est un peu tombé des mains dès le premier chapitre ; tandis que le second est plus encourageant me concernant :
le Bourbaki n'est pas fait pour apprendre, mais pour rassembler en un seul corpus cohérent l'ensemble des mathématiques utiles de leur temps ("utile" au sens de Bourbaki, parfois un peu snobs). Et ce premier tome comporte une méthode de logique intéressante quand elle a été faite, mais depuis fortement dépassée.
Godement (un des Bourbaki) présente souvent les questions mathématiques de façon intuitive, pour montrer les limites d'un traitement élémentaire et justifier à priori les constructions complexes dont on a besoin (par exemple pourquoi a-t-on besoin de continuité uniforme, ce qui complique).
Cordialement.
"Quelle certitude, as-tu ! Ahhhh... Avec toi, rien n'est jamais possible !" :-(
Encore une fois : ça dé-pend ! On peut très bien apprendre avec "le Bourbaki". Et on peut aussi très bien l'utiliser comme référence. (Ou élément décoratif de sa bibliothèque...)
"On peut très bien apprendre avec "le Bourbaki"" Oui. Mais connais-tu des gens qui l'ont fait ? Moi pas. On peut très bien apprendre le français avec un dictionnaire. Mais je ne connais personne qui l'ait fait.
L'utiliser comme référence, c'est autre chose, et ça, je l'ai fait. mais c'est une autre question, ça n'a rien à voir avec " Apprendre en autodidacte quelques rudiments".
Que ton admiration pour Bourbaki ne te fasse pas lire de travers les propos de circonstance que j'ai tenu.
Cordialement.
NB : la question est close pour moi.
Ça se ressent beaucoup dans certains passages du livre, je me souvient notamment d'un passage sur l'infini qui, compte tenu des connaissances mathématiques actuelles, est juste du beau n'importe quoi. D'ailleurs Poincaré rejetais certaines notions de l'infini que l'on utilise actuellement en mathématiques. Évidemment le livre est très intéressant sur le point historique, épistémologique etc. C'est par exemple assez fou de voir Poincaré remettre en question les notions de temps et d'espace absolus... 3 ans avant l'article d'Einstein sur la relativité restreinte. Mais vraiment je le déconseille si le but est d'en apprendre plus sur la théorie des ensembles, l'infini ou la logique mathématique. Ce serait comme lire Darwin pour essayer de comprendre l'ADN.
Je n'ai malheureusement pas d'ouvrages à te conseiller mais je ne partage pas le défaitisme de curiosity si ça peut t'encourager.
J'ajouterais l'axiomatique de Peano pour les entiers.
Je serais intéressé par un échange de mails.
Je suis prof de lycée, avec un doctorat en géométrie.
Pas d'accord pour Poincaré !
Le gros chapitre qui parle de maths dans son livre est celui dédié au principe de récurrence. Je trouve les questions qu'il soulève remarquables.
En gros, Poincaré démontre en quelque sorte que l'infini mathématique n'est pas un vrai infini.
Pour s'expliquer, l'infini philosophique, ou infini absolu pour souligner la distinction, est un infini qui a la propriété de n'être borné dans aucune direction, et d'aucune manière. C'est de lui que Spinoza démontre l'existence de son dieu-tout (car cet infini a nécessairement une identité, sinon il serait borné du fait de sa non-identité : cette identité existe et c'est elle qu'on nomme dieu), si je ne dis pas de bêtise.
L'infini mathématique déjà n'est pas cet infini : tous ceux qu'on considère sont toujours des ensembles de nombres par exemple, qui donc n'incluent pas toutes les choses et tous les possibles.
Poincaré va plus loin en disant que l'infini, qu'on nomme ainsi par commodité, n'a aucune nature véritablement infinie. Conformément à notre célèbre maxime de Kronecker "Dieu nous a donné les nombres entiers, l'homme a fait le reste", il suffit d'examiner le cas des entiers naturels.
Or, il apparaît vite que leur construction, fondée sur le principe de récurrence, n'est en fait qu'une astuce savante trouvée pour formaliser cette idée que nous pouvons tous répéter une même tâche à l'identique sans changement notable. L'axiome de récurrence, fondement des mathématiques selon Poincaré, serait donc bien plus un aveu d'impuissance de la part de l'homme condamné à ne manipuler que des choses finies, plus qu'une vraie prise sur l'infini.
Si ça intéresse pas l'auteur ça !
Le problème du "plus grand nombre entier" est un peu l'éléphant dans la pièce des ultrafinitistes qui refusent cette distinction.
Une distinction qui peut bloquer un parcours intellectuel.
Je me souviens avoir bloqué en lisant Les Misérables, justement parce qu'au début, un personnage récite le raisonnement de Spinoza sur l'existence de Dieu juste avant de mourir, la larme à l'oeil.
La beauté du moment a été quelque peu gâtée lorsqu'en bon terminale S spé maths je me suis dit : "Mais une demi-droite est bornée dans une direction, tout en étant infinie".
La question reste fascinante. Ma connaissance de l'infini en tant que fondement s'arrête à ma connaissance des axiomes ZFC en ayant fait de la logique naïve en introduction de sup.
Après il se peut que je n'ai pas bien compris ce que cherchait brubute mais, selon moi, ce qu'il cherche il ne le trouvera pas dans la science et l'hypothèse.
Mais ça n'a pas la prétention d'être un traité de mathématiques !
Brubute cherche effectivement à apprendre les maths, mais ce petit traité écrit par l'un des plus grands et sosie du jdg me paraît être un indispensable.
Au passage, on en est où sur notre conquête de l'infini alors ?
En bon mathématicien borné et têtu je te demanderais de préciser ta question car elle n'a aucun sens mathématique ;-) Si ta question n'est pas d'ordre mathématique je suis à peu près certain de ne pas avoir les connaissances pour te répondre.
Je viens de relire ton message, tu sembles plus intéressé par un travail sur les fondements (théorie des ensembles) que par une pratique effective des mathématiques générales. Un livre récent peut t'intéresser Théorie des ensembles: Introduction à une théorie de l'infini et des grands cardinaux de Patrick Déhornois Dehornoy (merci Foys et Math Coss), décédé récemment.
Comme on ne peut pas aller facilement dans les librairies, tu peux en attendant lire les notes de cours qu'on trouve dans cette recension de ses travaux; c'est la partie "Logique et théorie des ensembles" (il faut cliquer sur chacun des chapitres).
Cordialement.
Porto : pour moi, l'infini est créé par axiome de l'infini, ou par la construction des entiers par Peano dont on a tous l'intuition. Les infinis suivants sont des bouchages de trous, en gros.
Comment donc disposerait-on d'un infini qui ne se fonde pas sur le principe de récurrence, sur l'idée mécanique que l'on peut simplement répéter la même tache ? Qu'il soit formulé dans le cadre d'une axiomatique rigoureuse ou non, c'est toujours ce principe qui conduit tout, non ?
Donc lorsque $E$ est infini, $\{0,1\}^E$ est un autre infini (encore plus gros on va dire).
Ce théorème ne requiert pas toute la force de la théorie des ensembles, seulement le minimum syndical pour parler d'applications.
On peut donc produire une pléthore d'infinis différents quand on en a au moins un.
Oui Foys, mais on ne touche toujours pas à l'infini philosophique absolu qui ne refuse aucun possible.
Tous les infinis mathématiques d'ailleurs se déduisent successivement encore une fois par principe de récurrence. Je ne vois pas où est le changement majeur par rapport à Poincaré, ni en quoi sa vision était erronée.
On a besoin d'un axiome pour "s'assurer" qu'il existe au moins un ensemble. De la même façon on a besoin d'un axiome pour s'assurer qu'un ensemble infini existe. Dans un soucis de minimalité on n'impose pas plus de propriétés à cet ensemble que "il contient $\emptyset$ et est clos pour l'application successeur" (ce qui implique qu'il doit être infini). Cela ne suffit pas à construire tous les infinis que l'on peut imagine pour autant, des exemples d'infinis (cardinaux) ne pouvant être construits à partir des axiomes de ZFC sont donnés par des cardinaux strictement compris entre $\aleph_0$ et $2^{\aleph_0}$ ou des grands cardinaux (sur lesquels je ne suis pas instruit). Donc non, tous les infinis ne sont pas construits sur le principe de récurrence, sans parler des infinis qui apparaissent dans $\lim_{x\to +\infty} e^x = +\infty$ ou la sphère de Riemann par exemple. D'ailleurs même l'axiome des parties permet de construire de "nouveaux" infinis sans faire appel selon moi à de la récurrence.
Non on ne touche toujours pas à l'infini de Spinoza d'après ce que tu dis mais je ne vois pas où est le problème, on n'en a pas besoin en math et les axiomes sont choisis dans un soucis de minimalité donc on n'en fait pas usage. Sans parler de la difficulté qu'il y aurait à formaliser une telle notion. Mais en fait je ne comprend pas très bien où tu veux en venir avec cette remarque.
Corto : c'est mon correcteur qui écorche les pseudos, il m'a encore refait le coup tiens.
Ce que je veux dire, c'est qu'il y a un premier infini, les entiers naturels, dont on a une intuition sur la manière dont il fonctionne.
Tous ceux qu'on obtient ensuite ont déjà un premier défaut : ils reposent sur cet infini artificiel.
Le passage à R, je dis qu'il repose encore sur le principe de récurrence, puisqu'il revient à associer aux suites de Cauchy une quantité, ou encore à boucher des trous pour être informel (la définition que je propose est topologique bien que "les suites de {0,1}" suffirait pour le cardinal : seulement on me concèdera que ce n'est qu'une définition sans vraiment de sens qui n'amène pas à représenter mentalement un infini nouveau, ce n'est qu'une suite de mots dit comme ça). Les suites y jouent une place importante, mais le vrai problème est l'absence de vraie prise sur cet infini. Dans un sens je crois que R ne reste qu'un objet mathématique aux limites floues : pas pour travailler avec, évidemment qu'il est proprement défini et manipulé, mais c'est un objet dur à vulgariser. En fait il y a une énorme part d'implicite dans R, là où notre esprit connaît véritablement N.
Savoir que mathématiquement il est plus gros que N est un fait qui marquera très probablement notre auteur au fer rouge, s'il parvient à comprendre dans quel sens en étudiant assez les mathématiques. Mais il reste très dépendant du principe de récurrence, et trop implicite pour qu'un philosophe ne se satisfasse de son usage et ne dise "j'ai vraiment touché l'infini". Toutes les formalisation de théorie des ensembles existantes, bien qu'elles aient très largement affiné notre conception de ce qu'est l'infini mathématique, ne s'en dépatouilleront jamais.
Je pense qu'on est d'accord sur le fond du propos : l'homme ne peut véritablement conceptualiser qu'un seul infini, c'est celui de la récurrence, et la raison pour laquelle il y arrive avec celui-là, c'est parce qu'en fait ce n'est pas un vrai infini.
Les autres infinis mathématiques, ou l'infini philosophique, ne peuvent être autre chose que des définitions d'un bloc, qu'on peut manipuler dans le cadre des règles du jeu de nos disciplines respectives sans problème, mais sans jamais les apprivoiser non plus.
Poincaré soulève une belle morale : l'homme ne touchera jamais véritablement que le fini. Les progrès de Cantor ont vraiment affiné notre rapport à la chose, mais ce fait restera.
Voilà pourquoi je trouve très important ce livre, qui n'a jamais eu prétention à être un traité de mathématiques, mais qui sur ce point, encore plus que pour la relativité restreinte qui le fait connaître aujourd'hui, offre un beau point de vue qui vaut encore la lecture malgré les progrès du siècle dernier.
Patrick Dehornoy....
Mais bon, comme on n'a pas le droit d'étudier dans Bourbaki... ("Ouais ! C'est contrôlé tous les quarts d'heure ! Y a des gens qui passent vérifier qu'on ne le fait pas..." :-D)
Je profite donc du confinement pour me mettre à niveau, en reprenant l'ensemble du programme du lycée. Peu importe où j'en suis, puisque je ne suis pas la progression par niveau ni par filière, mais un programme transversal (ensembles, nombres réels, suites, limites de suites, fonctions, dérivation, second degré...).
Néanmoins, je me pose une question au sujet du statut des démonstrations et des exercices en mathématiques : il est évident que les programmes scolaires/universitaires sont bâtis par rapport à un examen et que tous les manuels proposent des exercices destinés à réussir cet examen. Ce n'est néanmoins pas mon objectif ; par conséquent, je ne cherche pas à m'exercer, lorsque je lis un chapitre nouveau, ni même à lire les démonstrations des théorèmes en détail. Je me contente d'apprendre les définitions et de comprendre les théorèmes : je m'estime ainsi satisfait (et considère avoir compris) lorsque je visualise intellectuellement le sens d'un théorème. Néanmoins, je pense que je serais bien incapable de les démontrer ni de réaliser la plupart des exercices les plus complexes (souvent truffés de subtilités et autres pièges).
D'où ma question : est-ce que je passe à côté de quelque chose d'essentiel à la compréhension des mathématiques, en ne prêtant pas assez attention aux démonstrations des théorèmes ? Je conçois que la démonstration mathématique est essentielle en tant que critère de validation épistémologique des théorèmes, mais est-ce qu'elle est essentielle d'un point de vue simplement heuristique ? Ou pour le dire plus concrètement : peut-on avancer efficacement ainsi ou vais-je être rapidement bloqué ?
De même, les exercices relèvent-ils seulement de la propédeutique scolaire, ou bien y a-t-il un rapport essentiel entre la pratique des exercices et la compréhension des mathématiques ? (vous comprenez que, par exemple dans ma discipline, on peut comprendre toute la philosophie sans savoir faire de dissertation par exemple).
Merci d'avance pour vos lumières !
Certaine démonstration en mathématiques utilisent des méthodes, des façons de faire, qui peuvent être recyclées dans d'autres raisonnements mathématiques. Ces méthodes doivent être connues.
D'autres démonstrations sont purement utilitaires: il faut une démonstration et celles-ci font l'affaire.
Idéalement, un cours professé ne devrait contenir que des démonstrations qui ont un intérêt et qui ne servent pas seulement à remplir leur rôle de prouver un résultat.
En mathématiques on utilise souvent le raisonnement par récurrence mais on utilise aussi souvent le fait qu'un sous-ensemble non vide de $\mathbb{N}$ a un plus petit élément.
Cela peut servir, sauf erreur, pour montrer que:
Si $a,b$ deux entiers naturels sont premiers entre eux alors il existe $u,v$ des entiers tels que $au+bv=1$.
Il y a un risque, en ne faisant pas les exercices, c'est de manquer ensuite de technique pour saisir ce qui se passe dans une preuve. La preuve devient de la prestidigitation. Ou on va bloquer parce que le rédacteur n'a pas fait un calcul (évident à ce niveau) mais qu'on n'a même pas vu que c'était un calcul courant.
Un deuxième souci. Il est difficile d'être sûr d'avoir compris un théorème si on ne l'utilise pas pour aller plus loin. C'est la raison première des exercices (dans de nombreuses classes, il n'y a ni examen ni concours). En essayant de l'utiliser, on va approfondir les significations, cerner mieux quelles sont les hypothèses, ... Une autre méthode de compréhension est de traiter des contre-exemples.
Le risque, dans ce que tu dis faire est d'en arriver à du Delfeil de Ton : "J'ai pas lu, j'ai pas vu, mais j'ai entendu parler".
De manipuler des mots sans connaître leur signification.
Cordialement.
Concernant les exercices: je rejoins ce que dit les autres: ils n'ont pas que vocation scolaire. Pour "bien comprendre" une notion en mathématiques, il faut un minimum mettre les mains dans le cambouis, manipuler ces notions, tester ses limites (avec des contre-exemples en enlevant une hypothèse, par exemple). Les exercices servent à cela.
Si tu ouvres certains traités de mathématiques assez avancés, pas nécessairement destinés à des étudiants qui passent des examens, parfois même écrit par des chercheurs à destinations d'autre chercheurs, tu y trouveras des exercices, laissés là par les auteurs afin de donner les moyens aux lecteurs de manipuler par eux-même les notions exposées dans l'ouvrage. Les exercices font partie intégrante de la "pratique mathématique", et il est important d'en faire !