Division euclidienne et reste
Bonjour,
j'ai chez moi un dictionnaire de mathématiques et hier, je le feuilletais et je suis arrivé à cette phrase qui m'interpelle :
"Si le reste de la division euclidienne est nul, alors il s'agit d'une division".
Autrement dit, si r = 0, alors a = b * q (+ 0) avec 0 < b donc : eh bien cela n'est pas l'écriture d'une division euclidienne.
Par curiosité, j'ai poursuivi mes recherches sur la notion de division euclidienne dans le supérieur et il m'apparaît que le reste peut-être nul (ce que je pensais).
Alors, je m'interroge : qui dit vrai ?
Merci.
j'ai chez moi un dictionnaire de mathématiques et hier, je le feuilletais et je suis arrivé à cette phrase qui m'interpelle :
"Si le reste de la division euclidienne est nul, alors il s'agit d'une division".
Autrement dit, si r = 0, alors a = b * q (+ 0) avec 0 < b donc : eh bien cela n'est pas l'écriture d'une division euclidienne.
Par curiosité, j'ai poursuivi mes recherches sur la notion de division euclidienne dans le supérieur et il m'apparaît que le reste peut-être nul (ce que je pensais).
Alors, je m'interroge : qui dit vrai ?
Merci.
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Réponses
Dans une division euclidienne, le reste peut être nul. On impose au "reste" de vérifier $0\leq r<d$ avec $d$ l'entier naturel non nul par lequel on divise (au sens de division euclidienne) un entier naturel.
2) Pourquoi donner une définition d'une définition euclidienne avec r = 0 si finalement lorsque r = 0, on ne l'appelle plus ainsi.
Autrement dit,je ne comprends pas bien pourquoi r = 0 dans une division euclidienne qui finalement n'en est pas une...
Par ailleurs, vous dites à vos élèves que si r = 0, alors il ne s'agit plus d'une division euclidienne mais d'une division ?
3) Nous sommes bien d'accord qu'une division euclidienne n'est pas une opération ? L'opération est la division ?
C'est un peu la même chose avec les fonctions affines f(x)=ax+b avec a et b des réels quelconques donc on peut dire par exemple que la fonction f(x)=3x est aussi une fonction affine même si dans ce cas on la désignera plutôt comme fonction linéaire car c'est un cas particulier avec b=0.
Donc si r = 0, la division euclidienne est un cas particulier d'une division, c'est ça ?
Pourriez-vous, s'il vous plait, répondre à mes questions 1), 2) et 3) ... ?
Pour la 2), c'est une question de convention, mais il me semble qu'absolument toute personne sérieuse parle de division euclidienne même quand le reste est nul, c'est juste qu'on ajoute comme commentaire que la division est "exacte" dans ce cas.
Pour la 3), la division euclidienne peut être vue comme l'opération qui au couple d'entiers $(a, b)$ (avec $b$ non nul) associe le couple $(q,r)$ constitué du quotient et du reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$.
Si on impose la condition $0<r<b$ alors $r,b$ n'existent pas toujours.
Par exemple si on prend $a=6,b=3$, $r$ n'existe pas.
2) "il me semble qu'absolument toute personne sérieuse parle de division euclidienne même quand le reste est nul, c'est juste qu'on ajoute comme commentaire que la division est "exacte" dans ce cas."
donc si je comprends bien , lorsque l'on travaille avec des nombres entiers naturels, si r = 0, la division euclidienne est un cas particulier d'une division, c'est ça ?
3) Et donc si c'est un cas particulier, il y a bien qu'une 4ème opération mathématique connue au collège : la division (avec cas particulier de la division euclidienne) ?
@Fin de partie : merci pour cet exemple clair.
Merci.
« Être une division » est une expression bizarre.
la division est exacte quand "elle se termine" au sens de l'école primaire.
Tu as bien fait des divisions à la main quand tu étais en CM1 et CM2, non ?
Cordialement.
Mais ce que je ne comprends pas c'est que pour moi une division euclidienne est une division avec des nombres entiers qui s'arrête dès que r < b.
Maintenant, il semblerait que si r = 0, on ne parle plus de division euclidienne mais de division.
Un peu d'ouverture d'esprit sur la manipulation du français (y compris par les matheux français) ne messied pas.
Ils s'arrêtent en donnant la réponse cherchée ou en signalant qu'il n'y en a pas,
ou encore en signalant qu'ils n'ont pas pu trancher.
Tout ceci dépend de l'ensemble dans lequel on travaille.
Dans les entiers l'algorithme de division s'arrête souvent sur la case "pas de réponse",
celui de division euclidienne toujours sur une réponse, d'où son intérêt.
Dans les fractions l'algorithme de division s'arrête toujours sur une réponse,
l'algorithme de division avec reste n'a donc pas d'intérêt.
Fichtre ! Aucun intérêt de savoir que dans cent heures il sera 21h40 (17h40 + 4h) mardi 07 ? Que si j'achète avec 5 billets de 20 euros 4 bouquins à 24 euros on me rendra 4 euros de monnaie ?
Cette manière de dire est absurde dans ce contexte.
Si on veut diviser $7$ par $3$ et qu'on s'autorise comme réponse une fraction alors on obtient une réponse $\dfrac{7}{3}$. Et on obtient toujours une réponse si on ne divise pas par $0$.
(c'est ce que j'ai compris des propos de Soland)
Si on s'autorise des fractions au même titre que des nombres entiers (qui sont des fractions particulières comme chacun sait) alors la division euclidienne perd de son intérêt. Mais on est un peu gêné pour donner exactement $\dfrac{5}{3}$ euro en paiement du prix d'une baguette de pain. :-D
Je ne connais qu'un seul algorithme, vue en CM2 (enfin, dans les écoles non défavorisées), celui de la division euclidienne posée.
Ensuite on le décline jusqu'au dixième (il s'agit d'un nombre entier de dixièmes) ou jusqu'au centième ou etc.
Mais ce n'est que le même algorithme.
Quant à "un algorithme de division" je ne sais pas ce que c'est sauf si l'on parle du même et qu'on le pousse à tout ordre...
Certains vont avoir une définition rigoriste de ce mot, d'autres une définition plus laxiste... impossible de dialoguer si chacun ne précise pas la définition qu'il emploie.
Le mot division est un mot un peu fourre-tout.
Le terme 'division euclidienne' est très précis : 17/3 = 5 et il reste 2. 17 est le dividende, 3 est le diviseur , 5 est le quotient et 2 est le reste. Et tous les nombres qui interviennent dans une division euclidienne sont des entiers positifs. Le diviseur ne peut pas être nul, mais les 3 autres termes peuvent être nuls.
C'est clair, précis, et je pense qu'il y a un consensus parfait.
Il y a un cas particulier de la division euclidienne, quand le reste est nul. Dans ce cas, certains vont dire qu'on a une division exacte, d'autres vont dire qu'on a une division euclidienne exacte, et d'autres vont dire que dans ce cas là, on a une division.
Personnellement, je n'aime pas cette dernière convention. Pour moi quand on a un nom plus un adjectif, l'adjectif sert à apporter une restriction : Un triangle équilatéral est un triangle qui est équilatéral ; l'ensemble des triangles équilatéraux est inclus dans l'ensemble des triangles.
Et donc, si on applique la même logique, l'ensemble des divisions euclidienne devrait faire partie de l'ensemble des division. Or c'est l'inverse.
Mais c'est juste un choix de terminologie. Que dit ton dictionnaire à l'entrée division ? Si ton dictionnaire dit qu'une division, c'est une division euclidienne dans laquelle le reste est nul, alors tout va bien.
Si à l'entrée 'Division', ton dictionnaire dit autre chose, c'est un problème.
Le fait que la terminologie évolue dans le temps est normal. Et du coup, un dictionnaire publié en 1980 peut donner des définitions qui sont contradictoires avec un dictionnaire publié 30 ans plus tard. C'est normal. Il faut donc s'adapter.
Je pense qu'il vaut mieux écrire la réponse sous la forme
$17 = 5\times 3 +2$
$17=3\times 5+2$ et $2<3$
Remarque : j’oublie $0\leq2$.
Je préfère $\frac{17}3 = 5 + \frac 2 3$ Où le "reste" reste bien à diviser par 3 (dans un problème concret, ce n'est pas toujours possible et il faudra trouver une méthode concrète).
Ces problèmes de division ont eu un grand rôle historique peut-être maintenant un peu trop masqué par l'apprentissage, chez les matheux de la "division euclidienne" qui n'est qu'une décomposition en produit plus reste.
Cordialement.
L’écriture avec les traits de fraction est astucieuse mais il me semble qu’elle vient dans un premier temps de l’égalité usuelle (et des quatre nombres).
Cordialement.
Comment la trouve-t-on ? N’est-ce pas d’abord en trouvant les quatre deux nombres $q$ et $r$, de nos jours ?
C’est ce que je voulais dire.
La division euclidienne est un théorème : à partir d’un couple d’entiers on en trouve un autre, unique.
Mais suis-je en train de parler d’une version contemporaine du théorème ?
« Il existe un unique couple [...] tel que $a=bq+r$ et [...] ».
Mais effectivement, je rectifie ma formulation :
17 divisé par 3 donne 5 et il reste 2 au lieu de 17/3=5 et il reste 2
2 5
17=3x5+2
2<3
Remarque :
La potence lève l’ambiguïté.
Car l’écriture 17/3 étant une classe on perd forcément de l’information.
Je pense à : $\frac{34}6 = 5 + \frac 2 3$.
Ou « pire » : $\frac{17}3 = 5 + \frac{6}{9}$
Enfin que faire avec : $\frac{51}9= 5 + \frac 6 9$
Mais je sens qu’on va encore se faire engueuler.
La division euclidienne est une théorisation (connue en fait depuis 2300 ans, mais comme une soustraction du segment diviseur au segment à diviser, répétée tant que c'est possible).
Cordialement.
On obtient bien les entiers d’abords si j’ai bien compris.
C’est ensuite la manière de les présenter qui change.